2020-2021学年吉林省辽源市第七十届高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年吉林省辽源市第七十届高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x∈(−2, 0)，x2+2x<0”的否定是( )
A.∃x0∉(−2, 0)，x02+2x0≥0B.∀x0∈(−2, 0)，x02+2x0≥0
C.∀x0∉(−2, 0)，x02+2x0<0D.∃x0∈(−2, 0)，x02+2x0≥0

2. 条件p:|x+1|>2，条件q:x≥2，则￢p是￢q的（ ）
A.充分非必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要的条件

3. 已知函数f(x)=x+csx，则f′(π6)=( )
A.12B.32C.1−32D.32

4. 甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（ ）
A.B.C.D.

5. 已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90∘，则椭圆C的离心率为（ ）
A.B.C.D.

6. 在区间[0, 2]上随机地取一个数x，则这个数在区间的概率为（ ）
A.B.C.D.

7. 设F1，F2是双曲线x2−y224=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（ ）
A.42B.83C.24D.48

8. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）

A.−10B.6C.14D.18

9. f(x)＝2x3−3x2+3在区间[−1, 1]上的最大值是（ ）
A.−2B.2C.−3D.3

10. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0, 2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A.172B.3C.5D.92

11. 若函数f(x)＝x3−3bx+1在区间(1, 2]内是减函数，则（ ）
A.b≤4B.b<4C.b≥4D.b>4

12. 直线y＝x−2与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，若OA⊥OB，则p的值为（ ）
A.B.1C.D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点(−3, 6)，且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线标准方程为________．

已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一动点，定点A(1, 1)，则△PAF周长最小值为________．

已知函数f(x)＝ex+alnx，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x+b，则a+b＝________．

给出如下四个命题：
①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2α≤2b−1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；
④在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件．
其中不正确的命题的个数是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

在直角坐标系xOy中，曲线C1:x=3+tcsαy=1+tsinα （t为参数），其中α∈[0, π)．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:ρ＝4sinθ．
（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2相交于点A，B两点，点P(3, 1)，求|PA|⋅|PB|．

已知F1，F2分别是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，
（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）当∠F1PF2＝60∘时，△PF1F2的面积为483，求此双曲线的方程．

已知函数f(x)＝ex−a(x+1)．
（1）当a＝2时，求f(x)的单调区间；

（2）求f(x)的极值．

柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：

（1）请画出上表数据的散点图（画在答题卡所给的坐标系内）；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．
参考公式：，，其中，为数据x，y的平均数．

已知函数f(x)＝ax3+bx2−3x(a, b∈R)，在点（1, f(1)）处的切线方程为y+2＝0．
（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若方程f(x)＝m有三个根，求m的取值范围．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点是F1(−1, 0)，F2(1, 0)，且离心率e=12．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)过点(0, t)作椭圆C的一条切线l交圆O:x2+y2＝4于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省辽源市第七十届高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，下列各题，只有一项符合题意要求。
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“∀x∈(−2, 0)，x2+2x<0”的否定是：
∃x0∈(−2, 0)，x02+2x0≥0.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
命题的否定
【解析】
根据题意，解|x+1|>2可以求出p为真的解集，从而得到¬p，由q可得¬q为x<2，进而能够判断出¬p是¬q的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案．
【解答】
根据题意，|x+1|>2⇔x<−3或x>1，
则￢p:−3≤x≤1，
又由题意，q:x≥2，则￢q为x<2，
所以￢p是￢q的充分不必要条件；
3.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
求出函数的导数，直接代入即可进行求值．
【解答】
解：∵ f(x)=x+csx，
∴ f′(x)=1−sinx，
即f′(π6)=1−sinπ6=1−12=12，
故选：A．
4.
【答案】
B
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的面积．
【解答】
F1(−5, 0)，F2(5, 0)，|F1F2|＝10，
∵ 3|PF1|＝4|PF2|，∴ 设|PF2|＝x，则|PF1|=43x，
由双曲线的性质知43x−x=2，解得x＝6．
∴ |PF1|＝8，|PF2|＝6，
∴ ∠F1PF2＝90∘，
∴ △PF1F2的面积=12×8×6=24．
8.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i＝8时满足条件i>5，退出循环，输出S的值为（6）
【解答】
模拟执行程序框图，可得
S＝20，i＝1
i＝2，S＝18
不满足条件i>5，i＝4，S＝14
不满足条件i>5，i＝8，S＝6
满足条件i>5，退出循环，输出S的值为（6）
9.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
抛物线的定义
【解析】
先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．
【解答】
解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F(12，0)，
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，
则点P到点A(0, 2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和
d=|PF|+|PA|≥|AF|=(12)2+22=172．
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
B
【考点】
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
y29−x2＝1
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
【解析】
根据题意，设要求双曲线的方程为x2−y29=t，(t≠0)，将点坐标代入计算可得t的值，将t的值代入计算双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案．
【解答】
根据题意，要求双曲线的两条渐近线方程是y＝±3x，设其方程为x2−y29=t，(t≠0)，
又由双曲线经过点(−3, 6)，则有(−3)2−369=3−4＝t＝−1，
则要求双曲线的方程为y29−x2＝1；
【答案】
3
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
2
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
【答案】
曲线C1:x=3+tcsαy=1+tsinα （t为参数），转换为直角坐标方程为:xtanα−y−3tanα+1=0(α≠π2)或x=3(α=π2)；
曲线C2:ρ＝4sinθ，转换为直角坐标方程为：x2+(y−2)2＝4，
将曲线C1:x=3+tcsαy=1+tsinα （t为参数）代入C2:x2+(y−2)2=4，
得(3+tcsα)2+(1+tsinα−2)2＝4，t2+(6csα−2sinα)t+6＝0，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
则|PA|⋅|PB|＝|t1|⋅|t2|＝|t1t2|＝6，
∴ |PA|⋅|PB|＝6．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
圆的极坐标方程
【解析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】
曲线C1:x=3+tcsαy=1+tsinα （t为参数），转换为直角坐标方程为:xtanα−y−3tanα+1=0(α≠π2)或x=3(α=π2)；
曲线C2:ρ＝4sinθ，转换为直角坐标方程为：x2+(y−2)2＝4，
将曲线C1:x=3+tcsαy=1+tsinα （t为参数）代入C2:x2+(y−2)2=4，
得(3+tcsα)2+(1+tsinα−2)2＝4，t2+(6csα−2sinα)t+6＝0，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
则|PA|⋅|PB|＝|t1|⋅|t2|＝|t1t2|＝6，
∴ |PA|⋅|PB|＝6．
【答案】
因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，
则点F2到渐近线距离为|bc±0|b2+a2=b（其中c是双曲线的半焦距），
所以由题意知c+a＝2b．又因为a2+b2＝c2，
解得b=43a，
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0．
因为∠F1PF2＝60∘，由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cs60=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2−|PF1|⋅|PF2|=4c2．
又由双曲线的定义得||PF1|−|PF2||＝2a，
平方得|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|=4a2，
相减得|PF1|⋅|PF2|=4c2−4a2=4b2．
根据三角形的面积公式得S=12|PF1|⋅|PF2|sin60=34⋅4b2=3b2=483，
得b2＝48．再由上小题结论得a2=916b2=27，
故所求双曲线方程是x227−y248=1．
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
（1）根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离即可求出a和b的关系，问题得以解决，
（2）根据余弦定理和三角形的面积公式以及双曲线的定义可得b2＝48，问题得以解决．
【解答】
因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，
则点F2到渐近线距离为|bc±0|b2+a2=b（其中c是双曲线的半焦距），
所以由题意知c+a＝2b．又因为a2+b2＝c2，
解得b=43a，
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0．
因为∠F1PF2＝60∘，由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cs60=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2−|PF1|⋅|PF2|=4c2．
又由双曲线的定义得||PF1|−|PF2||＝2a，
平方得|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|=4a2，
相减得|PF1|⋅|PF2|=4c2−4a2=4b2．
根据三角形的面积公式得S=12|PF1|⋅|PF2|sin60=34⋅4b2=3b2=483，
得b2＝48．再由上小题结论得a2=916b2=27，
故所求双曲线方程是x227−y248=1．
【答案】
当a＝2时，f(x)＝ex−2x−2，f′(x)＝ex−2，
令f′(x)>0，解得x>ln7，解得x故f(x)在(−∞, ln2)递减，+∞)递增；
f′(x)＝ex−a，
若a≤4，则f′(x)>0，
若a>0，则f(x)在(−∞，在(lna，
故x＝lna时，有极小值−alna，
综上，a≤2时；
a>0时，f(x)有极小值−alna．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
，………………………………………
，，………………………………………
，……………………………………………………
，………，
，………………
故线性回归方程为．……………………………………………………………
由
，当x＝9时，，
即预测燃放烟花爆竹的天数为8的雾霾天数为7．…………
【考点】
求解线性回归方程
散点图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
函数f(x)＝ax3+bx2−4x的导数为f′(x)＝3ax2+8bx−3，
根据在点（1, f(1)）处的切线方程为y+6＝0，
得f(1)＝−2，f′(1)＝8，3a+2b−7＝0，
解得a＝1，b＝7，
则f(x)＝x3−3x；
令f′(x)＝4x2−3＝6，
解得x＝−1或1，
令f′(x)>4，得x>1或x<−1；
令f′(x)<8，得−1∴ f(x)的单调增区间是(−∞, −3)，+∞)，1)，
f(x)极大值＝f(−1)＝6，f(x)极小值＝f(1)＝−2，
方程f(x)＝m有三个根，即为y＝f(x)和y＝m有三个交点，
∴ −2【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）由已知可得c＝1，e=ca=12，则a＝2，故b=a2−c2=4−1=3；
则椭圆C的标准方程为：x24+y23=1；
（2）由已知切线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+t，
联立方程y=kx+tx24+y23=1 ，整理得(3+4k2)x2+8ktx+4t2−12＝0，
则△＝(8kt)2−4(3+4k2)(4t2−12)＝0，化简的t2＝3+4k2，即k2=t2−34，
把y＝kx+t代入圆O:x2+y2＝4得(1+k2)x2+2ktx+t2−4＝0，
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则x1+x2=−2kt1+k2，x1x2=t2−41+k2，
所以S△OMN=12|t||x1−x2|=12|t|(−2kt1+k2)2−4t2−41+k2=|t|4k2−t2+4(1+k2)2=16t2(1+t2)2=16t2+1t2+2，
因为k2=t2−34≥0，所以t2≥3，而y＝t2+1t2在[3, +∞)上单调递增，
则y≥3+13=103，
则S△OMN=16t2+1t2+2≤3，即△OMN面积的最大值为3．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的标准方程
椭圆的应用
【解析】
(Ⅰ)根据焦点坐标得到c＝1，根据离心率得到a，结合b2＝a2−c2，即可计算出b，得到椭圆C的方程；
(Ⅱ)设切线l的方程为y＝kx+t，联立直线与椭圆方程，得到k2=t2−34，把y＝kx+t代入圆O:x2+y2＝4得(1+k2)x2+2ktx+t2−4＝0，利用根与系数关系表示出△OMN的面积为16t2+1t2+2，利用基本不等式即可算出其最大值．
【解答】
（1）由已知可得c＝1，e=ca=12，则a＝2，故b=a2−c2=4−1=3；
则椭圆C的标准方程为：x24+y23=1；
（2）由已知切线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+t，
联立方程y=kx+tx24+y23=1 ，整理得(3+4k2)x2+8ktx+4t2−12＝0，
则△＝(8kt)2−4(3+4k2)(4t2−12)＝0，化简的t2＝3+4k2，即k2=t2−34，
把y＝kx+t代入圆O:x2+y2＝4得(1+k2)x2+2ktx+t2−4＝0，
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则x1+x2=−2kt1+k2，x1x2=t2−41+k2，
所以S△OMN=12|t||x1−x2|=12|t|(−2kt1+k2)2−4t2−41+k2=|t|4k2−t2+4(1+k2)2=16t2(1+t2)2=16t2+1t2+2，
因为k2=t2−34≥0，所以t2≥3，而y＝t2+1t2在[3, +∞)上单调递增，
则y≥3+13=103，
则S△OMN=16t2+1t2+2≤3，即△OMN面积的最大值为3．x
4
5
7
8
y
2
3
5
6