2020-2021学年山东省德州高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省德州高二（上）期中数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线3x−3y−5=0的倾斜角为（ ）
A.π6B.π3C.23πD.56π

2. 抛物线y=2x2的准线方程为（ ）
A.y=14B.y=18C.y=−14D.y=−18

3. 已知空间向量a→=(3, 0, 1)，b→=(−2, 1, n)，c→=(1, 2, 3)且(a→−c→)⋅b→=2，则a→与b→的夹角的余弦值为（ ）
A.21021B.−21021C.721D.−721

4. 平面α的一个法向量n→=(1, −1, 0)，则y轴与平面α所成的角的大小为（ ）
A.π6B.π4C.π3D.3π4

5. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）

A.a28hB.a24hC.a22hD.a2h

6. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为（ ）
A.4B.22C.2D.8

7. 如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D，E分别为棱A1B1，B1C1的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）

A.710B.3510C.155D.35

8. 点P是直线x+y−3＝0上的动点，由点P向圆O:x2+y2＝4作切线，则切线长的最小值为（ ）
A.22B.322C.22D.12
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分

已知平面上一点M(5, 0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )
A.y=x+1B.y=2C.y=43xD.y=2x+1

下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A.若向量a→，b→与空间任意向量都不能构成基底，则a→ // b→
B.若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，c→⊥b→，则有a→ // c→
C.若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，且OD→=13OA→+13OB→+13OC→，则A，B，C，D四点共面
D.若向量a→+b→，b→+c→，a→+c→，是空间一组基底，则a→，b→，c→也是空间的一组基底

已知双曲线C过点(3, 2)且渐近线为y=±33x，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为x23−y2=1
B.双曲线C的离心率为3
C.曲线y=ex−2−1经过C的一个焦点
D.直线x−2y−1=0与C有两个公共点

如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60∘，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）

A.PC与平面BCD所成的最大角为45∘
B.存在某个位置，使得PB⊥CD
C.当二面角P−BD−C的大小为90∘时，PC=6
D.存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

若圆x2+y2=1与圆x2+y2−6x−8y−m=0相切，则m的值为________．

已知方程x2|m|−1+y22−m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．

正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，则EF与直线AC1所成角的大小为________；EF与对角面BDD1B1所成角的正弦值是________．

已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左焦点为F，若过点F且倾斜角为2π3的直线与双曲线的左支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围为________．
四、解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（1）若抛物线的焦点在直线x−2y−4=0上，求此抛物线的标准方程；
（2）若双曲线与椭圆x264+y216=1共焦点，且以y=±3x为渐近线，求此双曲线的标准方程．

已知a→=(x, 4, 1)，b→=(−2, y, −1)，c→=(3, −2, z)，a→ // b→，b→⊥c→，求：
(1)a→，b→，c→；

(2)a→+c→与b→+c→夹角的余弦值．

已知直线l经过两条直线2x−y−3=0和4x−3y−5=0的交点，且与直线x+y−2=0垂直．
（1）求直线l的方程；

（2）若圆C的圆心为点(3, 0)，直线l被该圆所截得的弦长为22，求圆C的标准方程．

已知抛物线C:y2＝2px(p>0)上的点M(1, m)到其焦点F的距离为2．
（1）求C的方程；并求其焦点坐标；

（2）过点(2, 0)且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，求弦AB的长．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD // 平面MAC，PA＝PD=6，AB＝4．

（1）求证：M为PB的中点；

（2）求二面角B−PD−A的大小；

（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

已知F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，P是椭圆E上的点，且PF2⊥x轴，PF1→⋅PF2→=116a2．直线l经过F1，与椭圆E交于A，B两点，F2与A，B两点构成△ABF2．
（1）求椭圆E的离心率；

（2）设△F1PF2的周长为2+3，求△ABF2的面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省德州某校高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
把直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率公式求出直线的倾斜角．
【解答】
由直线3x−3y−5=0得，y=33x−53，
∴ 斜率k=33，∴ 直线的倾斜角为π6，
2.
【答案】
D
【考点】
抛物线的求解
【解析】
先把抛物线化为标准方程为x2=12y，再求准线．
【解答】
解：∵ 抛物线的标准方程为x2=12y，
∴ p=14，开口朝上，
∴ 准线方程为y=−18，
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
空间向量的数量积运算
【解析】
根据(a→−c→)⋅b→=2，求出n的值，从而求出b→，根据向量数量积的运算求出a→与b→的夹角的余弦值即可．
【解答】
由题意得：a→−c→=(2, −2, −2)，
则(a→−c→)⋅b→=−4−2−2n=2，解得：n=−4，
即b→=(−2, 1, −4)，而|a→|=10，|b→|=21，a→⋅b→=−10，
则cs=|a→|⋅|b→|˙=−1010×21=−21021，
4.
【答案】
B
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
设y轴与平面α所成的角的大小为θ，由在y轴上的单位向量和平面α的一个法向量，利用向量法能求出结果．
【解答】
解：设y轴与平面α所成的角的大小为θ，
∵ 在y轴上的单位向量j→=(0, 1, 0)，平面α的一个法向量n→=(1, −1, 0)，
∴ sinθ=|cs|=|−11⋅2|=22，
∴ θ=π4．
故选：B．
5.
【答案】
A
【考点】
抛物线的性质
【解析】
本题根据题意建立一个平面直角坐标系，然后根据桥形的特点写出对应的抛物线方程，再将已知点(a2,−h)代入抛物线方程解出p的值，而桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p．
【解答】
根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
该抛物线方程可写为x2＝−2py(p>0)．
∵ 该抛物线经过点(a2,−h)，代入抛物线方程可得
a24=2hp，
解得p=a28h．
∴ 桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a28h．
6.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|＝43，即可求得结论．
【解答】
设等轴双曲线C的方程为x2−y2＝λ．（1）
∵ 抛物线y2＝16x，2p＝16，p＝8，∴ p2=4．
∴ 抛物线的准线方程为x＝−4．
设等轴双曲线与抛物线的准线x＝−4的两个交点A(−4, y)，B(−4, −y)(y>0)，
则|AB|＝|y−(−y)|＝2y＝43，
∴ y＝23．
将x＝−4，y＝23代入（1），得(−4)2−(23)2＝λ，
∴ λ＝4
∴ 等轴双曲线C的方程为x2−y2＝4，即x24−y24=1，
∴ C的实轴长为4．
故选：A．
7.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
取AC中点F，连接DE，EF，可得AD // EF，则异面直线AD与BE所成角为∠FEB，设三棱柱各棱长为2，求解三角形得答案．
【解答】
取AC中点F，连接DE，EF，
∵ D，E分别为棱A1B1，B1C1的中点，
∴ DE // A1C1 // AC，DE=12A1C1=12AC．
∴ DE // AF且DE＝AF，则四边形ADEF为平行四边形，则AD // EF．
∴ 异面直线AD与BE所成角为∠FEB，连接BF．
设三棱柱各棱长为2，则EF＝BE=5，BF=3．
在三角形BEF中，由余弦定理可得cs∠FEB=5+5−32×5×5=710，
即异面直线AD与BE所成角的余弦值为710．
8.
【答案】
C
【考点】
圆的切线方程
【解析】
由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P到圆的距离最小，求出圆心到直线x+y−3＝0的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．
【解答】
∵ 圆C:x2+y2＝4，
∴ 圆心C(0, 0)，半径r＝2．
由题意可知，
点P到圆C:x2+y2＝4的切线长最小时，
CP⊥直线x+y−3＝0．
∵ 圆心到直线的距离d=32，
∴ 切线长的最小值为：92−4=22．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分
【答案】
B,C
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
由题意得，“切割型直线”即点M(5, 0)到直线的距离小于或等于4．求出点M到各条直线的距离，可得答案．
【解答】
解：要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点P使|PM|=4，
即点M(5, 0)到直线的距离小于或等于4．
点M(5, 0)到直线y=x+1，即直线x−y+1=0的距离为
d=|5−0+1|2=32>4，不满足条件；
点M(5, 0)到直线y=2的距离为2<4，故满足条件；
点M(5, 0)到直线y=43x，即直线4x−3y=0的距离为
d=|4×5−0|42+32=4，故满足条件；
点M(5, 0)到直线y=2x+1，即直线2x−y+1=0的距离为
d=|2×5−0+1|22+(−1)2=1155>4，故不满足条件.
故选BC.
【答案】
A,C,D
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
命题的真假判断与应用
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择．
【解答】
对于A：若向量a→，b→与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，则a→ // b→；故A正确；
对于B：若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，c→⊥b→，则a→与c→不确定；故B错误；
对于C：若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，则A，B，C三点不共线，且OD→=13OA→+13OB→+13OC→，
由空间向量基本定理得到A，B，C，D四点共面；故C正确；
对于D：若向量a→+b→，b→+c→，a→+c→，是空间一组基底，
则空间任何一个向量d→，存在唯一的实数组(x, y, z)，
d→=x(a→+b→)+y(b→+c→)+z(a→+c→=(x+z)a→+(x+y)b→+(y+z)c→，
则a→，b→，c→也是空间的一组基底；故D正确；
【答案】
A,C
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
【解析】
根据条件可求出双曲线C的方程，再逐一排除即可．
【解答】
解：设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1，
根据条件可知ba=33，所以方程可化为x23b2−y2b2=1，
将点(3, 2)代入得b2=1，所以a2=3，
所以双曲线C的方程为x23−y2=1，故A对；
离心率e=ca=a2+b2a2=3+13=233，故B错；
双曲线C的焦点为(2, 0)，(−2, 0)，
将x=2代入得y=e0−1=0，所以C对；
联立x23−y2=1，x−2y−1=0， 整理得y2−22y+2=0，
则Δ=8−8=0，故只有一个公共点，故D错.
故选AC.
【答案】
B,C
【考点】
二面角的平面角及求法
点、线、面间的距离计算
直线与平面垂直
直线与平面所成的角
【解析】
A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP=OC=3．可得PC与平面BCD所成的角为∠PCO，
当PC=3时∠PCO=60∘>45∘，即可判断；
B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB⊂平面PBQ PB⊥CD，即可判断；
C，当二面角P−BD−C的大小为90∘时，平面PBD⊥平面BCD，即可得△POC为等腰直角三角形，即可判断；
D，若B到平面PDC的距离为3，则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．
【解答】
选项A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP=OC=3．
由题可知，△ABD和△BCD均为等边三角形，
由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，
当PC=3时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO=60∘>45∘，即选项A错误；
选项B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，有PQ⊥平面BCD，BQ⊥CD，∴ PQ⊥CD，
又BQ∩PQ=Q，BQ、PQ⊂平面PBQ，∴ CD⊥平面PBQ，
∵ PB⊂平面PBQ，∴ PB⊥CD，即选项B正确；
选项C，当二面角P−BD−C的大小为90∘时，平面PBD⊥平面BCD，
∵ PB=PD，∴ OP⊥BD，
∵ 平面PBD∩平面BCD=BD，∴ OP⊥平面BCD，∴ OP⊥OC，
又OP=OC=3，∴ △POC为等腰直角三角形，
∴ PC=2OP=6，即选项C正确；
选项D，∵ 点B到PD的距离为3，点B到CD的距离为3，
∴ 若B到平面PDC的距离为3，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，
则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
【答案】
−9或11
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
由圆x2+y2−6x−8y−m=0，求出圆心和半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m的值即可．
【解答】
圆x2+y2−6x−8y−m=0的圆心为(3, 4)，半径r＝25+m，
若两圆外切，则25+m+1＝5，解得m=−9，
若两圆内切，则25+m−1＝5，解得m=11．
【答案】
{m|1【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以y2的分母要大于x2的分母，并且这两个分母都是正数，由此建立关于m的不等式，解之即得m的取值范围．
【解答】
解：∵ 方程x2|m|−1+y22−m=1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴ 2−m>|m|−1>0，解之得：1故答案为：{m|1【答案】
π2,12
【考点】
直线与平面所成的角
异面直线及其所成的角
【解析】
易知B1C1⊥EF，AB1⊥EF，可推出EF⊥平面AB1C1，故EF⊥AC1，从而得EF与直线AC1所成角；
取B1D1的中点O，连接OA1、OB，由A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，推出A1O⊥平面BDD1B1，由EF // A1B，知A1B与面BDD1B1所成角即为所求，也就是∠A1BO，在Rt△A1BO中，sin∠A1BO=A1OA1B，从而得解．
【解答】
由正方体的性质知，B1C1⊥平面ABB1A1，∴ B1C1⊥EF，
连接AB1、A1B，
∵ 四边形ABB1A1为正方形，∴ AB1⊥A1B，
∵ E，F分别是AA1，AB的中点，
∴ EF // A1B，∴ AB1⊥EF，
又B1C1∩AB1=B1，B1C1、AB1⊂平面AB1C1，
∴ EF⊥平面AB1C1，∴ EF⊥AC1，
即EF与直线AC1所成角的大小为π2．
取B1D1的中点O，连接OA1、OB，则A1O⊥B1D1，
∵ BB1⊥平面A1B1C1D1，∴ BB1⊥A1O，
∵ B1D1∩BB1=B1，B1D1、BB1⊂平面BDD1B1，
∴ A1O⊥平面BDD1B1，
∵ EF // A1B，∴ EF与面BDD1B1所成角也为A1B与面BDD1B1所成角，即∠A1BO，
在Rt△A1BO中，sin∠A1BO=A1OA1B=12，
∴ EF与面BDD1B1所成角的正弦值为12．
【答案】
[2, +∞)
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
若过点F且倾斜角为60∘的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【解答】
解：已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，
若过点F且倾斜角为2π3的直线与双曲线的左支有且只有一个交点，
则 −ba≤tan2π3，
∴ ba≥3，
离心率e2=c2a2=a2+b2a2≥4，
∴ e≥2，
故答案为：[2, +∞)．
四、解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
直线x−2y−4=0与坐标轴的交点分别为(4, 0)，(0, −2)，
若焦点为(4, 0)，可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，由p2=4，即p=8，
抛物线的方程为y2=16x；
若焦点为(0, −2)，可设抛物线的方程为x2=−2py(p>0)，由−p2=−2，即p=4，
抛物线的方程为x2=−8y，
综上可得，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=−8y；
椭圆x264+y216=1的焦点为(±43, 0)，
设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，则a2+b2=48，
由渐近线y=±3x，可得ba=3，
解得a=23，b=6，
可得双曲线的方程为x212−y236=1．
【考点】
圆锥曲线的综合问题
抛物线的标准方程
【解析】
（1）求得直线x−2y−4=0与坐标轴的交点，可得抛物线的焦点，运用待定系数法，求得抛物线的方程；
（2）求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，结合渐近线方程，可得a，b的方程，解方程可得所求双曲线的方程．
【解答】
直线x−2y−4=0与坐标轴的交点分别为(4, 0)，(0, −2)，
若焦点为(4, 0)，可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，由p2=4，即p=8，
抛物线的方程为y2=16x；
若焦点为(0, −2)，可设抛物线的方程为x2=−2py(p>0)，由−p2=−2，即p=4，
抛物线的方程为x2=−8y，
综上可得，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=−8y；
椭圆x264+y216=1的焦点为(±43, 0)，
设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，则a2+b2=48，
由渐近线y=±3x，可得ba=3，
解得a=23，b=6，
可得双曲线的方程为x212−y236=1．
【答案】
解：(1)∵ a→ // b→，
∴ −x2=4y=−11，解得x=2，y=−4，
故a→=(2, 4, 1)，b→=(−2, −4, −1)，
又∵ b→⊥c→，
∴ b→⋅c→=0，即−6+8−z=0，解得z=2，
故c→=(3, −2, 2).
(2)由(1)可得a→+c→=(5, 2, 3)，b→+c→=(1, −6, 1)，
设向量a→+c→与b→+c→所成的角为θ，
则csθ=5−12+338⋅38=−219.
【考点】
向量语言表述线线的垂直、平行关系
空间向量运算的坐标表示
空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】
（1）由向量的平行和垂直可得关于xyz的关系式，解之即可得向量坐标；
（2）由（1）可得向量a→+c→与b→+c→的坐标，进而由夹角公式可得结论．
【解答】
解：(1)∵ a→ // b→，
∴ −x2=4y=−11，解得x=2，y=−4，
故a→=(2, 4, 1)，b→=(−2, −4, −1)，
又∵ b→⊥c→，
∴ b→⋅c→=0，即−6+8−z=0，解得z=2，
故c→=(3, −2, 2).
(2)由(1)可得a→+c→=(5, 2, 3)，b→+c→=(1, −6, 1)，
设向量a→+c→与b→+c→所成的角为θ，
则csθ=5−12+338⋅38=−219.
【答案】
由题意知2x−y−3＝04x−3y−5＝0，解得x＝2y＝1，
∴ 直线2x−y−3=0和4x−3y−5=0的交点为(2, 1)；
设直线l的斜率为k，∵ l与直线x+y−2=0垂直，∴ k=1；
∴ 直线l的方程为y−1=(x−2)，
化为一般形式为x−y−1=0；
设圆C的半径为r，则圆心为C(3, 0)到直线l的距离为
d=|3−0−1|1+1=2，
由垂径定理得r2=d2+(|AB|2)2=(2)2+(222)2=4，
解得r=2，
∴ 圆C的标准方程为(x−3)2+y2=4．
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
【解析】
（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线l的方程；
（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．
【解答】
由题意知2x−y−3＝04x−3y−5＝0，解得x＝2y＝1，
∴ 直线2x−y−3=0和4x−3y−5=0的交点为(2, 1)；
设直线l的斜率为k，∵ l与直线x+y−2=0垂直，∴ k=1；
∴ 直线l的方程为y−1=(x−2)，
化为一般形式为x−y−1=0；
设圆C的半径为r，则圆心为C(3, 0)到直线l的距离为
d=|3−0−1|1+1=2，
由垂径定理得r2=d2+(|AB|2)2=(2)2+(222)2=4，
解得r=2，
∴ 圆C的标准方程为(x−3)2+y2=4．
【答案】
由抛物线的方程可得其准线方程为x=−p2，
由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以1−(−p2)＝2，解得p＝2，
所以抛物线的方程为：y2＝4x，焦点F(1, 0)．
由题意可得直线l的方程为：y＝x−2，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由y2=4xy=x−2 ，整理可得：x2−8x+4＝0，x1+x2＝8，x1x2＝4，
所以弦长|AB|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=1+1⋅82−4×4=46，
所以弦AB的长为46．
【考点】
直线与抛物线的位置关系
抛物线的性质
【解析】
（1）由抛物线的方程可得其准线方程，再由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，起床p的值，进而求出抛物线的方程及焦点坐标；
（2）由题意可得直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由弦长公式可得弦AB的值．
【解答】
由抛物线的方程可得其准线方程为x=−p2，
由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以1−(−p2)＝2，解得p＝2，
所以抛物线的方程为：y2＝4x，焦点F(1, 0)．
由题意可得直线l的方程为：y＝x−2，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由y2=4xy=x−2 ，整理可得：x2−8x+4＝0，x1+x2＝8，x1x2＝4，
所以弦长|AB|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=1+1⋅82−4×4=46，
所以弦AB的长为46．
【答案】
证明：如图，设AC∩BD＝O，
∵ ABCD为正方形，∴ O为BD的中点，连接OM，
∵ PD // 平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC＝OM，
∴ PD // OM，则BOBD=BMBP，即M为PB的中点；
取AD中点G，
∵ PA＝PD，∴ PG⊥AD，
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴ PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG // DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由PA＝PD=6，AB＝4，得D(2, 0, 0)，A(−2, 0, 0)，P(0, 0, 2)，C(2, 4, 0)，B(−2, 4, 0)，M(−1, 2, 22)，
DP→=(−2,0,2)，DB→=(−4,4,0)．
设平面PBD的一个法向量为m→=(x,y,z)，
则由m→⋅DP→=0m→⋅DB→=0 ，得−2x+2z=0−4x+4y=0 ，取z=2，得m→=(1,1,2)．
取平面PAD的一个法向量为n→=(0,1,0)．
∴ cs=m→⋅n→|m→||n→|=12×1=12．
∴ 二面角B−PD−A的大小为60∘；
CM→=(−3,−2,22)，平面BDP的一个法向量为m→=(1,1,2)．
∴ 直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cs|＝|CM→⋅m→|CM→||m→||＝|−29+4+12×1|=269．
【考点】
直线与平面所成的角
二面角的平面角及求法
【解析】
（1）设AC∩BD＝O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM // PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B−PD−A的大小；
（3）求出CM→的坐标，由CM→与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【解答】
证明：如图，设AC∩BD＝O，
∵ ABCD为正方形，∴ O为BD的中点，连接OM，
∵ PD // 平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC＝OM，
∴ PD // OM，则BOBD=BMBP，即M为PB的中点；
取AD中点G，
∵ PA＝PD，∴ PG⊥AD，
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴ PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG // DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由PA＝PD=6，AB＝4，得D(2, 0, 0)，A(−2, 0, 0)，P(0, 0, 2)，C(2, 4, 0)，B(−2, 4, 0)，M(−1, 2, 22)，
DP→=(−2,0,2)，DB→=(−4,4,0)．
设平面PBD的一个法向量为m→=(x,y,z)，
则由m→⋅DP→=0m→⋅DB→=0 ，得−2x+2z=0−4x+4y=0 ，取z=2，得m→=(1,1,2)．
取平面PAD的一个法向量为n→=(0,1,0)．
∴ cs=m→⋅n→|m→||n→|=12×1=12．
∴ 二面角B−PD−A的大小为60∘；
CM→=(−3,−2,22)，平面BDP的一个法向量为m→=(1,1,2)．
∴ 直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cs|＝|CM→⋅m→|CM→||m→||＝|−29+4+12×1|=269．
【答案】
解：（1）由题意可得F1(−c, 0)，F2(c, 0)，
设点P在第一象限，令x=c，可得y=±b1−c2a2=±b2a，
则P(c,b2a)，PF1→=(−2c,−b2a)，PF2→=(0,−b2a)，
可得PF1→⋅PF2→=b4a2=116a2，
则a2=4b2=4(a2−c2)，可得3a2=4c2，即c=32a，
即有离心率e=ca=32；
（2）由（1）可得2c=3a，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，
△F1PF2的周长为2a+2c=2+3，
解得a=1，c=32，则b=a2−c2=12，
可得椭圆方程为x2+4y2=1，
由题知直线斜率不为0，设直线方程为x=ty−32，
由x=ty−32x2+4y2=1，得4(t2+4)y2−43ty−1=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
即有y1+y2=3tt2+4，y1y2=−14(t2+4)，
|y1−y2|=(y1+y2)2−4y1y2=3t2(4+t2)2+14+t2=4(1+t2)(4+t2)2，
则S△ABF2=c|y1−y2|=3t2+1(t2+4)2=31(t2+1)+9t2+1+6≤3112=12，
“=”成立时t2=2，即t=±2，
则△ABF2的面积的最大值为12．
【考点】
椭圆的定义
【解析】
（1）设出两焦点的坐标，由x=c代入椭圆方程，可得P的坐标，求得向量PF1→，PF2→的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得a=2b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；
（2）运用椭圆的定义，结合离心率，可得a，b，进而得到椭圆方程，设出直线AB的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，可得三角形ABF2的面积的最大值．
【解答】
解：（1）由题意可得F1(−c, 0)，F2(c, 0)，
设点P在第一象限，令x=c，可得y=±b1−c2a2=±b2a，
则P(c,b2a)，PF1→=(−2c,−b2a)，PF2→=(0,−b2a)，
可得PF1→⋅PF2→=b4a2=116a2，
则a2=4b2=4(a2−c2)，可得3a2=4c2，即c=32a，
即有离心率e=ca=32；
（2）由（1）可得2c=3a，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，
△F1PF2的周长为2a+2c=2+3，
解得a=1，c=32，则b=a2−c2=12，
可得椭圆方程为x2+4y2=1，
由题知直线斜率不为0，设直线方程为x=ty−32，
由x=ty−32x2+4y2=1，得4(t2+4)y2−43ty−1=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
即有y1+y2=3tt2+4，y1y2=−14(t2+4)，
|y1−y2|=(y1+y2)2−4y1y2=3t2(4+t2)2+14+t2=4(1+t2)(4+t2)2，
则S△ABF2=c|y1−y2|=3t2+1(t2+4)2=31(t2+1)+9t2+1+6≤3112=12，
“=”成立时t2=2，即t=±2，
则△ABF2的面积的最大值为12．