2020-2021学年辽宁省沈阳市高二（上）12月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年辽宁省沈阳市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 圆x2+y2+4x−6y−3=0的圆心和半径长分别为（ ）
A.(4, −6)，16B.(2, −3)，4C.(−2, 3)，4D.(2, −3)，16

2. 已知圆C:x2+y2−2x−2y=0，则点P3,1在（ ）
A.圆内B.圆上C.圆外D.无法确定

3. 直线l:x+3y−4=0与圆C:x2+y2=4的位置关系是（ ）
A.相交过圆心B.相交不过圆心C.相切D.相离

4. 圆O1:x2+y2−2x=0和圆O2:x2+y2−4y=0的位置关系是( )
A.外离B.相交C.外切D.内切

5. 圆x2−4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条

6. 若点(1, −1)在圆x2+y2−x+y+m=0外，则m的取值范围是（ ）
A.m>0B.m<12C.0
7. 椭圆x2+y29=1的短轴长为（ ）
A.6B.3C.1D.2

8. 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A.2B.12C.4D.14

9. 曲线方程x2+(y+4)2+x2+(y−4)2=10的化简结果为（ ）
A.x225+y216=1B.y225+x216=1C.x225+y29=1D.y225+x29=1

10. 已知在 △ABC 中，点 A(−2,0)，点 B(2,0)，若 tan∠CAB⋅tan∠CBA=2 ，则点C的轨迹方程为( )
A.x24+y28=1B.x24+y28=1(x≠±2)
C.x24−y28=1D.x28+y24=1(x≠±2)

11. 如果方程x24−m+y2m−3=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A.(3,4)B.(72,+∞)C.(3,72)D.(72,4)

12. 若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→⋅FP→的最小值为（ ）
A.2−2B.12C.2+2D.1
二、填空题

如果x2+y2−2x+y+k=0是圆的方程，则实数k的取值范围是________.

若直线l:3x−y−6=0与圆x2+y2−2x−4y=0交于A，B两点，则|AB|=________．

若椭圆x2k+8+y29=1的离心率为12，则k的值为________．

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2−6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________.
三、解答题

求圆心在直线2x−y−3=0上，且过点A5,2和点B3,−2的圆的一般方程．

已知P是圆x2+y2=16上的动点，A(12, 0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程．

已知圆C1:x2+y2−10x−10y=0和圆C2:x2+y2+6x+2y−40=0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．

焦点在x轴上的椭圆的方程为x24+y2m=1，点P2,1在椭圆上．
(1)求m的值；

(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率．

已知椭圆M与椭圆N：x216+y212=1有相同的焦点，且椭圆M过点(−1,255)．
(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设椭圆M的焦点为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．

设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|．
(1)若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；

(2)若cs∠AF2B=35，求椭圆E的离心率．
参考答案与试题解析
2020-2021学年辽宁省沈阳市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
圆的一般方程
【解析】
将圆的方程配方成标准形式，结合圆心和半径的公式，即可得到本题答案．
【解答】
解：将圆x2+y2+4x−6y−3=0的方程化成标准形式，得(x+2)2+(y−3)2=16，
∴ 圆x2+y2+4x−6y−3=0的圆心为C(−2, 3)，半径r=4.
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
把圆的一般式化为标准式，求出圆心和半径，再求出点P3,1到圆心的距离，然后和半径比较即可得答案．
【解答】
解：∵ 圆C:x2+y2−2x−2y=0，
即x−12+y−12=2，
∴ 圆C的圆心为1,1，半径为2，
则点P3,1到圆心的距离为3−12+0=2>2，
∴ 点P3,1在圆外．
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
求出圆心(0, 0)到直线l:x+3y−4=0的距离d正好等于半径，可得直线和圆相切．
【解答】
解：由于圆心(0, 0)到直线l:x+3y−4=0的距离为d=|0+0−4|1+3=2=r（半径），
故直线和圆相切.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．
【解答】
解：圆O1:x2+y2−2x=0，
即(x−1)2+y2=1，圆心是O1(1, 0)，半径是r1=1，
圆O2:x2+y2−4y=0，
即x2+(y−2)2=4，圆心是O2(0, 2)，半径是r2=2，
∵ |O1O2|=5，
故|r1−r2|<|O1O2|<|r1+r2|，
∴ 两圆的位置关系是相交．
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】
根据题意，把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆x2−4x+y2=0，即(x−2)2+y2=4，
其圆心坐标为(2, 0)，半径为2，
圆x2+y2+4x+3=0，即圆(x+2)2+y2=1，
其圆心坐标为(−2, 0)，半径为1，
则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，
因为4>3，
所以两圆的位置关系是外离，
故两圆的公切线共有4条.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
根据圆的标准方程，求出圆心和半径，再根据点(1, −1)到圆心的距离大于半径，求得m的取值范围．
【解答】
解：圆x2+y2−x+y+m=0，即 (x−12)2+(y+12)2=12−m，
表示以(12, −12)为圆心，半径等于12−m的圆．
由于点(1, −1)在圆外，可得点(1, −1)到圆心的距离大于半径，
即 (1−12)2+(−1+12)2>12−m，求得 0故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
直接由标准方程，得到b=1，即可得出答案.
【解答】
解：∵ x2+y29=1，
∴ a2=9，b2=1，则b=1，
则短轴长为2b=2.
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
将椭圆的方程变形为标准形式，利用长轴长是短轴长的两倍建立关于m的方程即可求出m的值．
【解答】
解：方程x2+my2=1变为x2+y21m=1，
∵ 焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，
∴ 1m=2，解得m=14.
故选D.
9.
【答案】
D
【考点】
椭圆的标准方程
轨迹方程
【解析】
解：方程x2+(y+4)2+x2+(y−4)2=10表示(x,y)与(0,4)，(0,−4)两点的距离和为10，大于两点的距离，
所以点的轨迹是以(0,4)，(0,−4)为焦点的椭圆，且a=5，c=4，可得结论.
【解答】
解：方程x2+(y+4)2+x2+(y−4)2=10表示(x,y)与(0,4)，(0,−4)两点的距离和为10，大于两点的距离，
所以点的轨迹是以(0,4)，(0,−4)为焦点的椭圆，
且a=5，c=4，
所以b=3.
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为 tan∠CAB⋅tan∠CBA=2 ，
所以直线AC与直线BC的斜率之积为−2，
设点C的坐标为(x,y)(x≠±2) ,
yx+2⋅yx−2=−2 ，
化简得 x24+y28=1，
所以点C的轨迹方程为 x24+y28=1(x≠±2).
故选B.
11.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】
进而根据焦点在y轴推断出4−m>0，m−3>0并且m−3>4−m，求得m的范围．
【解答】
解：由题意可得：方程x24−m+y2m−3=1表示焦点在y轴上的椭圆，
所以4−m>0，m−3>0,
并且m−3>4−m，
解得：72故选D．
12.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
设P(x, y)，根据点的坐标求出OP→⋅FP→=12x2−x+1，所以求关于x的二次函数的最小值即可．
【解答】
解：设P(x, y)，F(1, 0)，
∴ OP→=(x, y)，FP→=(x−1, y)，
∴ OP→⋅FP→
=x(x−1)+y2=x2−x+1−x22
=x22−x+1≥12，
∴ OP→⋅FP→的最小值为12．
故选B.
二、填空题
【答案】
−∞,54
【考点】
二元二次方程表示圆的条件
圆的标准方程
【解析】
将圆化成标准方程，半径的平方为正数，即可得到答案.
【解答】
解：将方程x2+y2−2x+y+k=0，
配方得：(x−1)2+(y+12)2=1+14−k=54−k，
∵ 方程x2+y2−2x+y+k=0表示圆，
∴ 54−k>0，解得k<54.
故答案为：−∞,54.
【答案】
10
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
由直线与圆相交的性质可知，(AB2)2=r2−d2，要求AB，只要求解圆心到直线3x−y−6=0的距离d即可．
【解答】
解：由题意圆x2+y2−2x−4y=0可得，圆心(1, 2)，半径r=5，
圆心到直线3x−y−6=0的距离：
d=|3×1−2−6|32+(−1)2=102，
则由圆的性质可得，(AB2)2=r2−d2=5−104=52，
即AB=10．
故答案为：10．
【答案】
4或−54
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
若焦点在x轴上，则k+8−9k+8=12，若焦点在y轴上，则9−(k+8)3=12，由此能求出答案．
【解答】
解：若焦点在x轴上，
则k+8−9k+8=12，
解得k=4．
若焦点在y轴上，
则9−(k+8)3=12，
解得k=−54．
故答案为：4或−54．
【答案】
(−5, 0)
【考点】
圆的一般方程
椭圆的标准方程
【解析】
由圆方程得到圆心坐标，从而得椭圆一个焦点为F(3, 0)，所以c=3，结合b=4可计算出a=b2+c2=5，可得椭圆的左顶点坐标．
【解答】
解：∵ 圆x2+y2−6x+8=0的圆心为(3, 0)，
∴ 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(3, 0)，得c=3，
又∵ 短轴长为2b=8，得b=4，
∴ a=b2+c2=5，可得椭圆的左顶点为(−5, 0).
故答案为：(−5, 0).
三、解答题
【答案】
解：∵ 圆心在直线2x−y−3=0上，
∴ 可设圆心坐标为a,2a−3，半径为rr>0，
则圆的方程为x−a2+y−2a+32=r2,
把点A5,2和点B3,−2的坐标代入方程，
得5−a2+2−2a+32=r2，①
3−a2+−2−2a+32=r2，②
由①②可得a=2，r2=10,
故所求圆的方程为x−22+y−12=10,
即x2+y2−4x−2y=5.
【考点】
圆的标准方程
【解析】

【解答】
解：∵ 圆心在直线2x−y−3=0上，
∴ 可设圆心坐标为a,2a−3，半径为rr>0，
则圆的方程为x−a2+y−2a+32=r2,
把点A5,2和点B3,−2的坐标代入方程，
得5−a2+2−2a+32=r2，①
3−a2+−2−2a+32=r2，②
由①②可得a=2，r2=10,
故所求圆的方程为x−22+y−12=10,
即x2+y2−4x−2y=5.
【答案】
解：设M(x, y)，则P(2x−12, 2y).
∵ P在圆上运动，
∴ (2x−12)2+(2y)2=16，即(x−6)2+y2=4，
∴ 线段PA的中点M的轨迹方程为(x−6)2+y2=4.
【考点】
轨迹方程
【解析】
设出点M是PA中点的坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，根据P在圆上，得到轨迹方程．
【解答】
解：设M(x, y)，则P(2x−12, 2y).
∵ P在圆上运动，
∴ (2x−12)2+(2y)2=16，即(x−6)2+y2=4，
∴ 线段PA的中点M的轨迹方程为(x−6)2+y2=4.
【答案】
解：联立方程，可得x2+y2−10x−10y=0，x2+y2+6x+2y−40=0，
解得x=−2，y=6或x=4，y=−2，
∴ 两个圆的交点是A(−2, 6)，B(4, −2)，
∴ |AB|=(4+2)2+(−2−6)2=10．
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
两点间的距离公式
【解析】
联立方程，求得两个圆的交点，利用两点间的距离公式，可得结论．
【解答】
解：联立方程，可得x2+y2−10x−10y=0，x2+y2+6x+2y−40=0，
解得x=−2，y=6或x=4，y=−2，
∴ 两个圆的交点是A(−2, 6)，B(4, −2)，
∴ |AB|=(4+2)2+(−2−6)2=10．
【答案】
解：1由题意，点P2,1在椭圆上，
代入得(2)24+12m=1，解得m=2.
2由1知，椭圆方程为x24+y22=1，
则a=2,b=2,c=2,
椭圆的长轴长2a=4，
短轴长2b=22，
焦距2c=22，
离心率e=ca=22.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
解：1由题意，点P2,1在椭圆上，
代入得24+12m=1，解得m=2.
2由1知，椭圆方程为x24+y22=1，
则a=2,b=2,c=2,
椭圆的长轴长2a=4；
短轴长2b=22；
焦距2c=22；
离心率e=ca=22.
【解答】
解：1由题意，点P2,1在椭圆上，
代入得(2)24+12m=1，解得m=2.
2由1知，椭圆方程为x24+y22=1，
则a=2,b=2,c=2,
椭圆的长轴长2a=4，
短轴长2b=22，
焦距2c=22，
离心率e=ca=22.
【答案】
解：(1)椭圆N的焦点为(−2,0),(2,0)，
设M方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
焦距为2c，
则c=2，a2−b2=c2，1a2+45b2=1，
∴ a2=5，b2=1，
∴ 椭圆M的标准方程为x25+y2=1.
(2)F1(−2,0)，F2(2,0)，
设P(x0,y0)，
则△PF1F2的面积为12×4×|y0|=2|y0|=1，
则y0=±12，
又x025+y02=1，
∴ x02=154，x0=±152，
∴ P点有4个，坐标为(±152,12)，(±152,−12).
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)椭圆N的焦点为(−2,0),(2,0)，
设M方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
焦距为2c，
则c=2，a2−b2=c2，1a2+45b2=1，
∴ a2=5，b2=1，
∴ 椭圆M的标准方程为x25+y2=1.
(2)F1(−2,0)，F2(2,0)，
设P(x0,y0)，
则△PF1F2的面积为12×4×|y0|=2|y0|=1，
则y0=±12，
又x025+y02=1，
∴ x02=154，x0=±152，
∴ P点有4个，坐标为(±152,12)，(±152,−12).
【答案】
解：(1)∵ |AB|=4，|AF1|=3|F1B|，
∴ |AF1|=3，|F1B|=1，
∵ △ABF2的周长为16，
∴ 4a=16，
∴ |AF1|+|AF2|=2a=8，
∴ |AF2|=5；
(2)设|F1B|=k(k>0)，则|AF1|=3k，|AB|=4k，
∴ |AF2|=2a−3k，|BF2|=2a−k
∵ cs∠AF2B=35，
在△ABF2中，由余弦定理得
|AB|2=|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cs∠AF2B，
∴ (4k)2=(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，
化简可得(a+k)(a−3k)=0，而a+k>0，故a=3k，
∴ |AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，
∴ |BF2|2=|AF2|2+|AB|2，
∴ AF1⊥AF2，
∴ △AF1F2是等腰直角三角形，
∴ c=22a，
∴ e=ca=22．
【考点】
椭圆中的平面几何问题
椭圆的离心率
椭圆的定义
余弦定理
【解析】
（1）利用|AB|=4，△ABF2的周长为16，|AF1|=3|F1B|，结合椭圆的定义，即可求|AF2|；
（2）设|F1B|=k(k>0)，则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cs∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．
【解答】
解：(1)∵ |AB|=4，|AF1|=3|F1B|，
∴ |AF1|=3，|F1B|=1，
∵ △ABF2的周长为16，
∴ 4a=16，
∴ |AF1|+|AF2|=2a=8，
∴ |AF2|=5；
(2)设|F1B|=k(k>0)，则|AF1|=3k，|AB|=4k，
∴ |AF2|=2a−3k，|BF2|=2a−k
∵ cs∠AF2B=35，
在△ABF2中，由余弦定理得
|AB|2=|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cs∠AF2B，
∴ (4k)2=(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，
化简可得(a+k)(a−3k)=0，而a+k>0，故a=3k，
∴ |AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，
∴ |BF2|2=|AF2|2+|AB|2，
∴ AF1⊥AF2，
∴ △AF1F2是等腰直角三角形，
∴ c=22a，
∴ e=ca=22．