2020-2021学年湖南省永州市高二（上）12月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省永州市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A=−2,−1,0,1,2，B=x|x2−x−2<0，则A∩B=( )
A.−1,1B.−1,0,1C.0,1D.0,1,2

2. 已知函数fx=ax2+x+a，命题p:∃x0∈R，fx0=0，若¬p为真命题，则实数a的取值范围是( )
A.−12,12B.−12,12
C.−∞,−12∪12,+∞D.−∞,−12∪12,+∞

3. 已知a=lg2π，b=lnπ，c=3−0.9，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
4. 在首项为1，公比不为1的等比数列an中，am=a1a2⋯a7，则m的值为( )
A.20B.22C.24D.28

5. 党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值GDPy（单位：万亿元）关于年份代号x的回归方程为y=6.60x+50.36(x=1，2，3，4，5，6，7)，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为( )

6. 若双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线与函数fx=−lnx+1的图象相切，则该双曲线离心率为( )
A.2B.3C.2D.5

7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C成等差数列，且直线ax+cy−8=0平分圆x2+y2−6x−4y=0的周长，则△ABC面积的最大值为( )
A.32B.3C.332D.233

8. 3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的．常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造．该技术在珠宝、鞋类、工业设计、建筑、工程和施工、汽车、航空航天、牙科和医疗产业、教育、地理信息系统、土木工程、枪支以及其他领域都有所应用．某校组织学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥的底面直径和高都等于22+1cm，打印所用原料密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取π≈3.14，参考数据：2+13≈14.07,2+12≈5.83，精确到0.1）( )

二、多选题

下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是( )
A.若两直线的斜率相等，则两直线平行
B.若x>5，则x>10
C.若ac=bc，则a=b
D.若sinα=sinβ，则α=β

已知方程x2+my2=2表示焦点在x轴上的圆锥曲线，则实数m的取值范围可以是( )
A.−∞,−1B.−∞,0C.1,+∞D.0,+∞

已知点P，Q分别是一个正方体的外接球和内切球上的动点，且P，Q之间距离的最大值为3+12，则( )
A.正方体的体积为1
B.正方体的内切球的体积为π6
C.正方体的外接球的表面积为6π
D.P，Q之间的距离最小值为3−12

将函数fx=2sin2x+φ0<φ<π2的图象向左平移π6个单位，得到偶函数gx的图象，下列结论中：
①gx的图象关于点π4,0对称；
②fx在−π6,π4上的值域为−1,3；
③fx的图象关于直线x=7π6对称；
④fx在区间π6,π2上单调递减．
其中正确的结论有( )
A.①B.②C.③D.④
三、填空题

已知sin(π6+α)=35，则cs(2π3−2α)=________.

某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，⋯，38，39．现要从中选出10个，利用下面的部分随机数表，从第一行第9列开始，由左至右依次读取，则选出来的第7个零件编号是________．
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179

在边长为a的等边△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，EF→=12DE→，则AF→⋅BE→的值为________.

设函数fx=lnx−ax+1−ax+2a−10四、解答题

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，现有下列四个条件：
①a=3；②b=2；③cs2A+csA=0；④a2+c2−b2=−233ac．
(1)③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；

(2)已知△ABC同时满足上述四个条件中的三个，请选择使△ABC有解的三个条件，求△ABC的面积．
注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分．

在正项等比数列an中，已知a4=16，a1，12a2的等差中项为14a3．
(1)求数列an的通项公式；

(2)设bn=2n−1an+lg2an，求数列bn的前n项和．

某质量检测部门为评估工厂某自动化设备生产零件T的性能情况，从该自动化设备生产零件T的流水线上随机抽取100件零件T为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值x¯=84.98，标准差s=2.2，用频率值作为概率的估计值．
(1)从该自动化设备加工的零件T中任意抽取一件，记其直径为d，根据下列不等式评估该自动化设备的性能：
①Px¯−s
(2)从样本中直径尺寸在x¯−2s,x¯+2s之外的零件T中随机抽取2件，求至少有1件直径尺寸在(x¯−3s,x¯+3s)之外的概率．

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=120∘，PA=PB，M为AB中点，设l为平面ABP与平面CDP的交线．

(1)判断直线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由；

(2)求证：平面PCD⊥平面PMD；

(3)若平面PAB⊥平面ABCD，且二面角B−AP−D的余弦值为55，求四棱锥P−ABCD的体积．

已知函数fx=x2−2mxlnx+12x2．
(1)当m=1时，求函数fx的极值点；

(2)若m>1e，讨论函数fx在[1,+∞)上的零点个数．

如图，已知椭圆C1:x24+y2=1，抛物线C2:y2=2pxp>0，过椭圆C1的左顶点A的直线l1交抛物线C2于B，C两点，且AC→=CB→．

(1)求证：点C在定直线上；

(2)若直线l2过点C，交椭圆C1于M，N两点，交x轴于点Q，且|CA|=|CQ|，当△BMN的面积最大时，求抛物线C2的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省永州市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，集合A=−2,−1,0,1,2，B=x|−1则A∩B=0,1．
故选C．
2.
【答案】
D
【考点】
一元二次方程的根的分布与系数的关系
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为命题p:∃x0∈R，fx0=0，p为假命题，
所以∀x∈R，fx≠0恒成立，即函数fx与x轴无交点，
所以a<0,1−4a2<0，或a>0,1−4a2<0， 解得a<−12或a>12.
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为c=3−0.9<1，b=lnπ>1，
所以c因为b=1lgπe，a=1lgπ2，
又0所以a>b，
则c故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a1=1，am=qm−1=q1+2+⋯+6，q≠1，
m−1=1+2+⋯+6=21，
故m=22．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，到2035年底对应的年份代号为23.
由回归方程y=6.60x+50.36，
可得我国国内生产总值约为6.60×23+50.36=202.16（万亿元）.
又202.1614.4≈14.04，
所以到2035年底我国人均国内生产总值约为14.04万元．
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题易知切点为原点，又fx=−lnx+1的导函数f′x=−1x+1，
故f′0=−10+1=−1，−ba=−1，ba=1，
又c2−a2a2=1，则e=2.
故选A．
7.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
等差中项
基本不等式在最值问题中的应用
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为在△ABC中，角A，B，C成等差数列，
所以B=π3.
因为圆x2+y2−6x−4y=0的圆心为3,2，
所以3a+2c=8，
则8=3a+2c≥26ac，即ac≤83，
当且仅当3a=2c=4，即a=43，c=2时，等号成立，
所以S△ABC=12acsinB≤12×83×32=233，
所以△ABC面积的最大值为233．
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，设被挖去的正方体的棱长为xcm，
由（半）轴截面中的直角三角形相似，即△PBF相似于△HBC，
由HC=2+1，HB=22+1，HG=PF=2x2，HP=x，
则PFHC=PBHB，得 2x22+1=22+1−x22+1 ，解得x=2，
则该模型的体积为
V≈13×3.14×2+12×22+1−23≈21.45(cm3)，
所以制作该模型所需材料质量约为m=Vρ≈21.45×1≈21.5(g).
故选A．
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据充分必要条件的意义即可判断出结论．
【解答】
解：A，两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，两直线平行，若斜率存在，则两直线斜率相等，若斜率不存在，则不能说明两直线的斜率相等，故p是q的充分条件，A不符合题意；
B，若x>5，则x>10，p推不出q，如6>5，但6<10，
反之若x>10，则能推出x>5，故p是q的必要条件，B符合题意；
C，若ac=bc，则a=b，p推不出q，如c=0，a=1，b=2时，
ac=bc，但a≠b，反之若a=b，则ac=bc一定成立，
故p是q的必要条件，C符合题意；
D，若sinα=sinβ，则α=β，p推不出q，由于α，β可以互补，也可以终边相同，
反之若α=β，则sinα=sinβ一定成立，故p是q的必要条件，D符合题意，
综上可知B，C，D中p是q的必要条件．
故选BCD.
【答案】
A,B,C
【考点】
椭圆的定义
双曲线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意该方程可化简为x22+y22m=1，
若该方程为椭圆，则0<2m<2，解得m>1；
若该方程为双曲线，则2m<0，解得m<0，
综上m的取值范围为1,+∞或−∞,0．
故选ABC．
【答案】
A,B,D
【考点】
球的表面积和体积
多面体的内切球问题
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设正方体的棱长为a，
则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即32a，
内切球半径为棱长的一半，即a2.
因为点P，Q分别为外接球和内切球上的动点，
所以PQmax=32a+a2=3+12a=3+12，
解得a=1，
所以正方体体积为1，A正确；
内切球体积为4π3×R3=4π3×(12)3=π6，B正确；
正方体外接球表面积为4π×322=3π，C不正确；
PQmin=32a−a2=3−12，D正确．
故选ABD．
【答案】
A,C,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将函数fx=2sin2x+φ的图象向左平移π6个单位，
得到函数gx=2sin2x+π6+φ=2sin2x+π3+φ，
gx为偶函数，所以π3+φ=kπ+π2，k∈Z.
因为0<φ<π2，所以φ=π6，
gx=2cs2x，fx=2sin2x+π6，
①gπ4=2csπ2=0，故正确；
②因为x∈−π6,π4，2x+π6∈−π6,2π3，
所以fx=2sin2x+π6∈−1,2，故错误；
③f7π6=2sin2×7π6+π6=2，故正确；
④由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z，
fx在π6,π2上单调递减，故正确．
故选ACD．
三、填空题
【答案】
−725
【考点】
运用诱导公式化简求值
二倍角的余弦公式
【解析】
利用倍角公式、诱导公式即可得出．
【解答】
解：sin(π6+α)=35，
则cs(2π3−2α)=2cs2(π3−α)−1
=2sin2(π6+α)−1=2×(35)2−1=−725．
故答案为：−725．
【答案】
10
【考点】
简单随机抽样
随机数的含义与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：从题中给的随机数表第一行第9列开始从左往右开始读取，
重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为：
36，33，26，16，11，14，10．
第7个零件编号是10.
故答案为：10.
【答案】
a216
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量数乘的运算及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为AF→=AD→+DF→
=−12BA→+32DE→
=−12BA→+34BC→−BA→
=−54BA→+34BC→，
所以AF→⋅BE→=−54BA→+34BC→⋅12BC→
=−58BA→×BC→+38|BC→|2
=a216．
故答案为：a216．
【答案】
12
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：记fx=lnx−ax+1−ax+2a−1，f1=0，
f′x=1x−a−1−ax2=−ax2−x+1−ax2
=−x−1ax−1−ax2，
令f′x=0，得x1=1和x2=1−aa，
(1)当a=12时，此时1−aa=1，此时f′x≤0，即有fx单调递减，
故x∈0,1时，fx>0；x∈1,+∞时，fx<0．满足题意；
(2)当0从而x∈1,x2时，f′x>0，即fx单调递增，
而f1=0，故可知对x∈1,x2时，均有fx>f1=0．不合题意；
(3)当12x2，x∈x2,1时，fx单调递增，
而f1=0，故可知对于任意x∈x2,1时，均有fx综上:a=12．
故答案为：12．
四、解答题
【答案】
解：(1)由条件③得，2cs2A+csA−1=0，
解得csA=12或 csA=−1（舍去）.
因为A∈0,π，
所以A=π3 .
由条件④得，csB=a2+c2−b22ac
=−233ac×12ac=−33．
因为csB=−33< −12=cs2π3，B∈0,π.
所以2π3所以A+B>π3+2π3=π，与A＋B＜π矛盾，
③④两个条件不能同时成立．
(2)因为△ABC同时满足上述四个条件中的三个，且不能同时满足③④，
所以满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．
若选择组合①②③：
由(1)可知，A=π3.
由正弦定理得，asinA=bsinB，
所以332=2sinB，
解得sinB=1.
因为B∈0,π，
所以B=π2，即△ABC为直角三角形，
所以c= 22−32=1，
所以△ABC的面积S=12×1×3=32．
若选择组合①②④：
由(1)可知，csB=−33.
由余弦定理得，b2=a2+c2−2accsB，即c2+2c=1，
解得c=2−1.
因为B∈0,π，
所以sinB=1−cs2B=1−332=63，
所以△ABC的面积S=12acsinB
=12×3×2−1×63=2−22．
【考点】
余弦定理
二倍角的余弦公式
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由条件③得，2cs2A+csA−1=0，
解得csA=12或 csA=−1（舍去）.
因为A∈0,π，
所以A=π3 .
由条件④得，csB=a2+c2−b22ac
=−233ac×12ac=−33．
因为csB=−33< −12=cs2π3，B∈0,π.
所以2π3所以A+B>π3+2π3=π，与A＋B＜π矛盾，
③④两个条件不能同时成立．
(2)因为△ABC同时满足上述四个条件中的三个，且不能同时满足③④，
所以满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．
若选择组合①②③：
由(1)可知，A=π3.
由正弦定理得，asinA=bsinB，
所以332=2sinB，
解得sinB=1.
因为B∈0,π，
所以B=π2，即△ABC为直角三角形，
所以c= 22−32=1，
所以△ABC的面积S=12×1×3=32．
若选择组合①②④：
由(1)可知，csB=−33.
由余弦定理得，b2=a2+c2−2accsB，即c2+2c=1，
解得c=2−1.
因为B∈0,π，
所以sinB=1−cs2B=1−332=63，
所以△ABC的面积S=12acsinB
=12×3×2−1×63=2−22．
【答案】
解：(1)设正项等比数列的公比为q(q>0)，
由题意知，a1+12a2=12a3，所以a1q2−q−2=0，a1>0，
则q2−q−2=0，q>0，则q=2，
又a4=16，则a1=2，
所以an=2n．
(2)由题意得bn=2n−112n+n，
令cn=2n−112n，其前n项和为Pn，
则Pn=1×12+3×122+⋯+2n−1⋅12n，
12Pn=1×122+3×123+⋯
+2n−3⋅12n+2n−1⋅12n+1，
两式相减得：
12Pn=12+2[(12)2+(12)3+⋯+(12)n]−(2n−1)⋅(12)n+1
=12+2⋅141−12n−11−12−2n−1⋅12n+1
=32−12n−1−2n−1⋅12n+1，
所以Pn=3−2n+312n，
而1+2+⋯+n=nn+12，
所以数列{bn}的前n项和Tn=3−2n+312n+nn+12．
【考点】
等比数列的通项公式
等差中项
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设正项等比数列的公比为q(q>0)，
由题意知，a1+12a2=12a3，所以a1q2−q−2=0，a1>0，
则q2−q−2=0，q>0，则q=2，
又a4=16，则a1=2，
所以an=2n．
(2)由题意得bn=2n−112n+n，
令cn=2n−112n，其前n项和为Pn，
则Pn=1×12+3×122+⋯+2n−1⋅12n，
12Pn=1×122+3×123+⋯
+2n−3⋅12n+2n−1⋅12n+1，
两式相减得：
12Pn=12+2[(12)2+(12)3+⋯+(12)n]−(2n−1)⋅(12)n+1
=12+2⋅141−12n−11−12−2n−1⋅12n+1
=32−12n−1−2n−1⋅12n+1，
所以Pn=3−2n+312n，
而1+2+⋯+n=nn+12，
所以数列{bn}的前n项和Tn=3−2n+312n+nn+12．
【答案】
解：(1)由题意得，x¯−s=82.78，x¯+s=87.18，
x¯−2s=80.58，x¯+2s=89.38，
x¯−3s=78.38，x¯+3s=91.58.
由图表知，Px¯−s0.68，
P(x¯−2s)P(x¯−3s)所以该自动化设备的等级为B．
(2)直径尺寸在(x¯−2s,x¯+2s)之外的零件共5件，
分别记为A，B，C，a，b，
其中a，b为直径尺寸在a¯−3s,x¯+3之外的零件.
从5件零件中随意抽取2件，所有情况：
{A,B}，{A,C}，{A,a}，{A,b}，{B,C}，
{B,a}，{B,b}，{C,a}，{C,b}，{a,b}，共10种，
其中至少有1件直径尺寸在(x¯−3s,x¯+3s)之外的所有情况：
{A,a}，{A,b}，{B,a}，{B,b}，{C,a}，{C,b}，{a,b}，共7种，
记至少有1件直径尺寸在(x¯−3s,x¯+3s)之外为事件Y,
则P(Y)=710．
【考点】
正态分布的密度曲线
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得，x¯−s=82.78，x¯+s=87.18，
x¯−2s=80.58，x¯+2s=89.38，
x¯−3s=78.38，x¯+3s=91.58.
由图表知，Px¯−s0.68，
P(x¯−2s)P(x¯−3s)所以该自动化设备的等级为B．
(2)直径尺寸在(x¯−2s,x¯+2s)之外的零件共5件，
分别记为A，B，C，a，b，
其中a，b为直径尺寸在a¯−3s,x¯+3之外的零件.
从5件零件中随意抽取2件，所有情况：
{A,B}，{A,C}，{A,a}，{A,b}，{B,C}，
{B,a}，{B,b}，{C,a}，{C,b}，{a,b}，共10种，
其中至少有1件直径尺寸在(x¯−3s,x¯+3s)之外的所有情况：
{A,a}，{A,b}，{B,a}，{B,b}，{C,a}，{C,b}，{a,b}，共7种，
记至少有1件直径尺寸在(x¯−3s,x¯+3s)之外为事件Y,
则P(Y)=710．
【答案】
(1)解：直线l与平面ABCD平行．
理由如下：
由已知，AB//CD，AB⊄平面CDP，CD⊂平面CDP，
则AB//平面CDP，
又l为平面ABP与平面CDP的交线，AB⊂平面ABP，
则 l//AB，进而l//平面ABCD．
(2)证明：连接BD，∵ 菱形ABCD中，∠BAD=π3，
∴ △ABD为等边三角形，又M为BC中点，∴ DM⊥AB，
又PA=PB，则PM⊥AB，
又DM∩PM=M，
∴ AB⊥平面PMD.
又AB//CD，
∴ CD⊥平面PMD，又CD⊂平面PCD，
∴ 平面PCD⊥平面PMD．
(3)解：∵ 平面PAB⊥平面ABCD，
且交线为AB，PM⊥AB，PM⊂平面PAB，
∴ PM⊥平面ABCD，
以M为原点，MB，MD，MP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图
设PM=a，则P0,0,a，A−1,0,0，D0,3,0，
则AD→=1,3,0，AP→=1,0,a，
设平面ADP的一个法向量为n→=x,y,z，
则AD→⋅n→=0,AP→⋅n→=0,即x+3y=0x+az=0,’可取n→=3a,−a,−3，
又平面PAB的法向量可取m→=0,1,0，
由题意得|cs⟨m→,n→⟩|=|m→⋅n→||m→||n→|=a4a2+3=55，
解得a=3，即PM=3，
又菱形ABCD的面积为AB×DM=23，
∴ 四棱锥P−ABCD的体积为
V=13×SABCD×PM=13×23×3=2.
【考点】
直线与平面平行的判定
平面与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：直线l与平面ABCD平行．
理由如下：
由已知，AB//CD，AB⊄平面CDP，CD⊂平面CDP，
则AB//平面CDP，
又l为平面ABP与平面CDP的交线，AB⊂平面ABP，
则 l//AB，进而l//平面ABCD．
(2)证明：连接BD，∵ 菱形ABCD中，∠BAD=π3，
∴ △ABD为等边三角形，又M为BC中点，∴ DM⊥AB，
又PA=PB，则PM⊥AB，
又DM∩PM=M，
∴ AB⊥平面PMD.
又AB//CD，
∴ CD⊥平面PMD，又CD⊂平面PCD，
∴ 平面PCD⊥平面PMD．
(3)解：∵ 平面PAB⊥平面ABCD，
且交线为AB，PM⊥AB，PM⊂平面PAB，
∴ PM⊥平面ABCD，
以M为原点，MB，MD，MP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图
设PM=a，则P0,0,a，A−1,0,0，D0,3,0，
则AD→=1,3,0，AP→=1,0,a，
设平面ADP的一个法向量为n→=x,y,z，
则AD→⋅n→=0,AP→⋅n→=0,即x+3y=0x+az=0,’可取n→=3a,−a,−3，
又平面PAB的法向量可取m→=0,1,0，
由题意得|cs⟨m→,n→⟩|=|m→⋅n→||m→||n→|=a4a2+3=55，
解得a=3，即PM=3，
又菱形ABCD的面积为AB×DM=23，
∴ 四棱锥P−ABCD的体积为
V=13×SABCD×PM=13×23×3=2.
【答案】
解：(1)当m=1时，fx=x2−2xlnx+12x2，x>0，
则f′x=2x−2lnx+x−2+x
=2x−1lnx+1.
当00，即f′x>0；
当1e当x>1时，x−1lnx+1>0，即f′x>0，
故函数fx的极小值点为1，极大值点为1e．
(2)f′(x)=(2x−2m)lnx+x−2m+x
=2(x−m)(lnx+1)，x∈[1,+∞).
①当1e即fxmin=f(1)=12，则函数fx的零点个数为0；
②当m>1时，函数fx在[1,m)上单调递减，在m,+∞上单调递增，
则fxmin=fm=m2−2m2lnm+12m2
=m221−2lnm.
当10，则函数fx在[1,+∞)上的零点个数为0；
当m=e时，fxmin=0，则函数fx在[1,+∞)上的零点个数为1；
当m>e时，fxmin<0，则函数fx在[1,+∞)上的零点个数为2.
综上，当1e当m=e时，函数fx在[1,+∞)上的零点个数为1；
当m>e时，函数fx在[1,+∞)上的零点个数为2.
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当m=1时，fx=x2−2xlnx+12x2，x>0，
则f′x=2x−2lnx+x−2+x
=2x−1lnx+1.
当00，即f′x>0；
当1e当x>1时，x−1lnx+1>0，即f′x>0，
故函数fx的极小值点为1，极大值点为1e．
(2)f′(x)=(2x−2m)lnx+x−2m+x
=2(x−m)(lnx+1)，x∈[1,+∞).
①当1e即fxmin=f(1)=12，则函数fx的零点个数为0；
②当m>1时，函数fx在[1,m)上单调递减，在m,+∞上单调递增，
则fxmin=fm=m2−2m2lnm+12m2
=m221−2lnm.
当10，则函数fx在[1,+∞)上的零点个数为0；
当m=e时，fxmin=0，则函数fx在[1,+∞)上的零点个数为1；
当m>e时，fxmin<0，则函数fx在[1,+∞)上的零点个数为2.
综上，当1e当m=e时，函数fx在[1,+∞)上的零点个数为1；
当m>e时，函数fx在[1,+∞)上的零点个数为2.
【答案】
(1)证明：因为过点A−2,0的直线l1交抛物线于B，C两点，
则直线l1的斜率存在且不为0，设l1:x=my−2，Bx1，y1，Cx2，y2，
由x=my−2，y2=2px,有y2−2pmy+4p=0，
Δ>0，且y1+y2=2pm，y1y2=4p，
因AC→=CB→，则点C是AB的中点，有y1=2y2，
可得y2=2pm3，2pm2=9，
进而可得x2=my2−2=2pm23−2=1，即点C在定直线x=1上．
(2)解：由|CA|=|CQ|，
知l1的倾斜角和直线l2的倾斜角互补，
则l1与l2的斜率满足k1=−k2，
可设l2的方程为x=−my−2pm3+1，
即x=−my+4，设Mx3,y3，Nx4,y4，
由x=−my+4，x24+y2=1， 有m2+4y2−8my+12=0，
Δ=−8m2−4m2+4×12>0，m2>12，
y3+y4=8mm2+4，y3y4=12m2+4，
因点C是AB的中点，则S△BMN=S△AMN，
点A到l2的距离d=61+m2，
|MN|=1+m2|y3−y4|=41+m2m2−12m2+4，
S△AMN=12|MN|d=12m2−12m2+42，
令m2−12=t>0，
S△AMN=12tt+162=121t+256t+32≤32，
当且仅当t=16，m2=28时等号成立，此时p=956，
抛物线方程为y2=928x.
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为过点A−2,0的直线l1交抛物线于B，C两点，
则直线l1的斜率存在且不为0，设l1:x=my−2，Bx1，y1，Cx2，y2，
由x=my−2，y2=2px,有y2−2pmy+4p=0，
Δ>0，且y1+y2=2pm，y1y2=4p，
因AC→=CB→，则点C是AB的中点，有y1=2y2，
可得y2=2pm3，2pm2=9，
进而可得x2=my2−2=2pm23−2=1，即点C在定直线x=1上．
(2)解：由|CA|=|CQ|，
知l1的倾斜角和直线l2的倾斜角互补，
则l1与l2的斜率满足k1=−k2，
可设l2的方程为x=−my−2pm3+1，
即x=−my+4，设Mx3,y3，Nx4,y4，
由x=−my+4，x24+y2=1， 有m2+4y2−8my+12=0，
Δ=−8m2−4m2+4×12>0，m2>12，
y3+y4=8mm2+4，y3y4=12m2+4，
因点C是AB的中点，则S△BMN=S△AMN，
点A到l2的距离d=61+m2，
|MN|=1+m2|y3−y4|=41+m2m2−12m2+4，
S△AMN=12|MN|d=12m2−12m2+42，
令m2−12=t>0，
S△AMN=12tt+162=121t+256t+32≤32，
当且仅当t=16，m2=28时等号成立，此时p=956，
抛物线方程为y2=928x.直径（单位：mm）
78
79
81
82
83
84
85
件数
1
1
3
5
6
19
33
直径（单位：mm）
86
87
88
89
90
91
93
件数
18
4
4
3
1
1
1