黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学练习题

这是一份黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学练习题，共21页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若命题P：∃x0∈R，x02+2x0+3≤0，则命题P的否定￢P是（ ）
A．∀x∈R，x2+2x+3＞0B．∀x∈R，x2+2x+3≥0
C．∀x∈R，x2+2x+3＜0D．∀x∈R，x2+2x+3≤0
2．用反证法证明命题“若x2﹣（a+b）x+ab≠0，则x≠a且x≠b”时的假设为（ ）
A．x＝a且x＝bB．x＝a或x＝b
C．x≠a时x＝b，x≠b时x＝aD．以上都不对
3．函数f（x）＝x2csx的图象在点（π，f（π））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2πx+π2B．y＝2πx﹣3π2C．y＝﹣πxD．y＝πx﹣2π2
4．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，现将底与腰之比或腰与底之比为的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形．如图，△ABC，△BCD，△ADE都是黄金三角形，若AB＝2，则DE＝（ ）
A．B．C．2D．
5．椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为，则（ ）
A．椭圆C的短轴长为B．椭圆C的长轴长为4
C．椭圆C的焦距为4D．a＝4
6．若函数f（x）＝x2+x+alnx在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤3B．a＜3C．a≤﹣3D．a＜﹣3
7．已知双曲线的离心率为2，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
8．已知函数，则＝（ ）
A．B．C．D．
9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A（﹣1，0），点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，|PF|＝（ ）
A．1B．2C．D．4
10．已知椭圆＝1上一动点P，圆（x﹣1）2+y2＝上一动点Q，圆（x+1）2+y2＝上一动点R，则|PQ|+|PR|的最大值为（ ）
A．3B．5C．8D．9
11．如图，椭圆C的方程为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P、Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且PF1∥QF2，则|PF1|+|QF2|的取值范围为（ ）
A．[3，4]B．[3，4）C．[3，5）D．[3，5]
12．已知函数，若对任意不相等的，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，3]B．C．（﹣∞，4]D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数f（x）＝sin2x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（）＝ ．
14．曲线xy＝1与直线y＝x和y＝3所围成的平面图形的面积为 ．
15．牛顿迭代法（Newtn′smethd）是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，设r是f（x）＝0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线l，l与x轴的交点的横坐标，称x1是r的一次近似值，过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为（f'（x1）≠0），称x2是r的二次近似值．重复以上过程，得到r的近似值序列．
（1）请选出r的n+1次近似值与r的n次近似值的关系式 （请填正确的关系式序号）．
①； ②；③．
（2）若f（x）＝x2﹣3，取x0＝2作为r的初始近似值，试求f（x）＝0的正根的二次近似值 （请用分数作答）．
16．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O且斜率为正数的直线MN分别交双曲线的左、右两支于点N、M，记四边形F1NF2M的周长为T、面积为S．若|F1F2|＝2|OM|，且，则双曲线C的离心率为 ．
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18～22每小题10分，共70分）
17．（10分）已知p：＜1，q：x2﹣2x＜a2﹣1（a＞0）．
（1）当a＝2时，若p和q均为真命题，求x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
18．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个顶点重合，过点M（4，0）作倾斜角为60°的直线l与抛物线交于A、B两点．
（1）求抛物线方程；
（2）求△AOB的面积．
19．（12分）已知函数f（x）＝lnx．
（1）若f（x）在x＝t处的切线l过原点，求切线l的方程；
（2）令，求g（x）在上的最大值和最小值．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，CD⊥AD，BC∥AD，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．
（1）E为PD的中点，证明AE与平面PCD垂直；
（2）点F在PC上，且，求二面角F﹣AE﹣P的正弦值．
21．（12分）已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A是椭圆C与x轴正半轴的交点，点M，N在椭圆C上且不同于点A，若直线AM、AN的斜率分别是kAM、kAN，且kAM•kAN＝9，求直线MN所过定点的坐标．
22．（12分）已知函数．
（1）k为正实数，若f（x）≥kx在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（2）证明：当x＞0时，有成立．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．若命题P：∃x0∈R，x02+2x0+3≤0，则命题P的否定￢P是（ ）
A．∀x∈R，x2+2x+3＞0B．∀x∈R，x2+2x+3≥0
C．∀x∈R，x2+2x+3＜0D．∀x∈R，x2+2x+3≤0
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，若命题P：∃x0∈R，x02+2x0+3≤0，则命题P的否定￢P是：∀x∈R，x2+2x+3＞0．
故选：A．
2．用反证法证明命题“若x2﹣（a+b）x+ab≠0，则x≠a且x≠b”时的假设为（ ）
A．x＝a且x＝bB．x＝a或x＝b
C．x≠a时x＝b，x≠b时x＝aD．以上都不对
解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，
而要证命题的否定为“x＝a或x＝b”，
故选：B．
3．函数f（x）＝x2csx的图象在点（π，f（π））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2πx+π2B．y＝2πx﹣3π2C．y＝﹣πxD．y＝πx﹣2π2
解：∵f（x）＝x2csx，
∴f′（x）＝2xcsx﹣x2sinx，
则f′（π）＝﹣2π，又f（π）＝﹣π2，
∴函数f（x）＝x2csx的图象在点（π，f（π））处的切线方程为y+π2＝﹣2π（x﹣π），
即y＝﹣2πx+π2，
故选：A．
4．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，现将底与腰之比或腰与底之比为的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形．如图，△ABC，△BCD，△ADE都是黄金三角形，若AB＝2，则DE＝（ ）
A．B．C．2D．
解：由题意＝，即BC＝﹣1，
∵＝，
∴DC＝2，
由题意黄金三角形它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形，
可知∠A＝36°，△ABC等腰三角形，
∴∠CBD＝108°，△BCD等腰三角形，
则∠BCD＝36°，
那么∠ECD＝72°，
∵△ADE都是黄金三角形，
∴∠ECD＝72°，
则DC＝DE，
所以DE＝2．
故选：C．
5．椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为，则（ ）
A．椭圆C的短轴长为B．椭圆C的长轴长为4
C．椭圆C的焦距为4D．a＝4
解：由椭圆的性质可知，椭圆C的短轴长为，椭圆的离心率，
则a2＝4，即a＝2，c2＝a2﹣3＝1，
所以椭圆C的长轴长2a＝4，椭圆C的焦距2c＝2，2b＝2，
所以A，C，D错误，B正确，
故选：B．
6．若函数f（x）＝x2+x+alnx在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤3B．a＜3C．a≤﹣3D．a＜﹣3
解：∵函数f（x）＝x2+x+alnx在（0，1）上单调递减，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＝2x+1+≤0，
即a≤﹣2x2﹣x在x∈（0，1）时恒成立，
令g（x）＝﹣2x2﹣x，开口向下，对称轴为x＝﹣，
∴在g（x）在（0，1）上是减函数
∴g（x）＞g（1）＝﹣3，
∴a≤﹣3，
故选：C．
7．已知双曲线的离心率为2，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
解：双曲线的离心率为2，
可得＝2，即：c2＝4a2，解得a＝b，
双曲线的渐近线方程为：y＝±x，
点（4，0）到C的渐近线的距离为：＝2．
故选：D．
8．已知函数，则＝（ ）
A．B．C．D．
解：根据函数的关系式，
整理得该函数的关系式为以（1，0）为圆心，1为半径的上半圆．
如图所示：
故表示扇形AOB的面积和△ABC的面积和，
由于BC＝，AB＝1，
所以，
所以．
故选：A．
9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A（﹣1，0），点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，|PF|＝（ ）
A．1B．2C．D．4
解：抛物线的准线方程为x＝﹣1．
设P到准线的距离为|PQ|，则|PQ|＝|PF|．
∴＝sin∠PAQ．
∴当PA与抛物线y2＝4x相切时，∠PAQ最小，即取得最小值．
设过A点的直线y＝kx+k与抛物线相切（k≠0），代入抛物线方程得
k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，
∴△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0，解得k＝±1．
即x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，把x＝1代入y2＝4x得y＝±2．
∴P（1，2）或P（1，﹣2）．
∴|PF|＝2．
故选：B．
10．已知椭圆＝1上一动点P，圆（x﹣1）2+y2＝上一动点Q，圆（x+1）2+y2＝上一动点R，则|PQ|+|PR|的最大值为（ ）
A．3B．5C．8D．9
解：椭圆＝1的两焦点为（﹣1，0），（1，0），
恰为两圆（x﹣1）2+y2＝和（x+1）2+y2＝的圆心坐标．半径分别为：，．
设椭圆左右焦点为F1，F2，
由三角形两边之差小于第三边知：|PR|最小为|PF1|﹣，最大为|PF1|+，
同理：|PQ|最小为|PF2|﹣，最大为|PF2|+，
∴|PQ|+|PR|的最大为|PF1|+|PF2|+＝2×2+1＝5，
故|PQ|+|PR|的最大值为5，
故选：B．
11．如图，椭圆C的方程为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P、Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且PF1∥QF2，则|PF1|+|QF2|的取值范围为（ ）
A．[3，4]B．[3，4）C．[3，5）D．[3，5]
解：如图所示：
延长PF1，QF2分别于椭圆相交于点M，N，
由椭圆的对称性可知|PF1|＝|NF2|，|MF1|＝|QF2|，设点P的坐标为（x1，y1），M（x2，y2），
则点Q的坐标为（﹣x2，y2），
①若直线PF1的斜率不存在，则点P，Q的坐标分别为（﹣1，），（1，），
有|PF1|+|QF2|＝3，
②若直线PF1的斜率存在，设直线PF1的方程为y＝k（x+1）（k≠0），
联立方程，消去y可得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
则x，x，
又|PF＝＝|，
所以|MF，所以|PF1|+|QF2|＝4+＝4﹣＝3+∈（3，4），
综上：|PF1|+|QF2|的取值范围为[3，4），
故选：B．
12．已知函数，若对任意不相等的，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，3]B．C．（﹣∞，4]D．
解：对任意不相等的，恒成立，
则m（x1+x2）＜，即m＜恒成立，
令g（）＝f（x）＝＝（1+ln），x∈（0，e2]，
则g（x）＝x+xlnx，x≥e4，
∴g′（x）＝+lnx≥g′（e4）＝，
又＝表示曲线y＝g（x）在[e4，+∞）上不同的两点割线的斜率的绝对值，
则＞，
则k≤，即k的范围（﹣∞，]，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数f（x）＝sin2x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（）＝ 1 ．
解：∵f（x）＝sin2x，
∴f′（x）＝2cs2x，
∴f′（）＝2cs＝1，
故答案为：1．
14．曲线xy＝1与直线y＝x和y＝3所围成的平面图形的面积为 4﹣ln3 ．
解：根据利用定积分的几何意义，得：
由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积：
S＝（3﹣）dx+＝（3x﹣lnx）﹣2＝3﹣1﹣ln3+2＝4﹣ln3．
故答案为：4﹣ln3
15．牛顿迭代法（Newtn′smethd）是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，设r是f（x）＝0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线l，l与x轴的交点的横坐标，称x1是r的一次近似值，过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为（f'（x1）≠0），称x2是r的二次近似值．重复以上过程，得到r的近似值序列．
（1）请选出r的n+1次近似值与r的n次近似值的关系式 ② （请填正确的关系式序号）．
①； ②；③．
（2）若f（x）＝x2﹣3，取x0＝2作为r的初始近似值，试求f（x）＝0的正根的二次近似值 （请用分数作答）．
解：（1）由，，
推得r的n+1次近似值与r的n次近似值的关系式为xn+1＝xn﹣，
即为xn＝xn﹣1﹣（n≥2）；
（2）f′（x）＝2x，xn+1＝xn﹣＝xn﹣＝xn+，
x0＝2时，x1＝x0+＝1+＝，
x2＝x1+＝×+＝，
故答案为：②，．
16．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O且斜率为正数的直线MN分别交双曲线的左、右两支于点N、M，记四边形F1NF2M的周长为T、面积为S．若|F1F2|＝2|OM|，且，则双曲线C的离心率为 ．
解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O且斜率为正数的直线MN分别交双曲线的左、右两支于点N，M，记四边形F1NF2M的周长为T、面积为S，若|F1F2|＝2|OM|，所以四边形是矩形，设MF1＝n，MF2＝m，
可得，并且c2＝a2+b2，
解得n＝a+2b，m＝2b﹣a，代入n2+m2＝4c2，
可得4c2＝5a2，e＝＞1，
解得e＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18～22每小题10分，共70分）
17．（10分）已知p：＜1，q：x2﹣2x＜a2﹣1（a＞0）．
（1）当a＝2时，若p和q均为真命题，求x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
解：因为，所以0≤lg2（x﹣1）＜1，解得2≤x＜3．
因为x2﹣2x＜a2﹣1，所以x2﹣2x+1﹣a2＜0，解得1﹣a＜x＜1+a．
（1）当a＝2时，q：﹣1＜x＜3，
因为p和q均为真命题，解得2≤x＜3，
故x的取值范围为[2，3）．
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以[2，3）⫋（1﹣a，1+a），
∴，解得a≥2．
故a的取值范围为[2，+∞）
18．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个顶点重合，过点M（4，0）作倾斜角为60°的直线l与抛物线交于A、B两点．
（1）求抛物线方程；
（2）求△AOB的面积．
解：（1）由双曲线的右顶点为（1，0），
即可得抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），
所以抛物线的方程为y2＝4x．
（2）由题意可得直线l的方程：，
将直线与抛物线联立，整理可得3x2﹣28x+48＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
所以，x1x2＝16，∴，
原点到直线l的距离，
所以．
19．（12分）已知函数f（x）＝lnx．
（1）若f（x）在x＝t处的切线l过原点，求切线l的方程；
（2）令，求g（x）在上的最大值和最小值．
解：（1）设切线的方程为y＝kx，，则，x＝t，
则f（t）＝lnt，
切线方程为，
，lnt﹣1＝0，则t＝e，
∴切线l的方程为．
（2），
当时，g'（x）＞0，函数是增函数；
当e＜x＜e4时，g'（x）＜0，函数是减函数；
所以最大值，
∵，，
因为，
所以最小值．
g（x）在上的最大值和最小值分别为：；．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，CD⊥AD，BC∥AD，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．
（1）E为PD的中点，证明AE与平面PCD垂直；
（2）点F在PC上，且，求二面角F﹣AE﹣P的正弦值．
【解答】（1）证明：∵AP＝AD＝2，E为PD的中点
∴△APD为等腰三角形，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，CD⊥AE，
∵AE⊥PD，AE⊥CD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PDC，AD⊂平面PDC，
∴AE⊥平面PCD．
（2）解：因为PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，
所以PA、AD、CD两两垂直，
以A点为原点，AD为y轴，AP为z轴，过A做平面ABCD内CD的平行线，交BC于点H，AH为x轴，建立如图所示空间直角坐标系．
因为PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，
所以A（0，0，0），B（2，﹣1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
因为E为PD的中点，点F在PC上，且，所以E（0，1，1），．
设平面AEF的一个法向量为，
则，即，取b＝1，则a＝1，c＝﹣1，得．
又平面AEP的一个法向量为，所以．
所以二面角F﹣AE﹣P的正弦值为．
21．（12分）已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A是椭圆C与x轴正半轴的交点，点M，N在椭圆C上且不同于点A，若直线AM、AN的斜率分别是kAM、kAN，且kAM•kAN＝9，求直线MN所过定点的坐标．
解：（1）由题意知：，
即，
又∵，∴椭圆方程可化为：，
又∵椭圆过点，∴，
解得：a2＝3，
∴椭圆C的标准方程为：；
（2）方法一：如图所示：
直线AM，AN的斜率一定存在且不为0，
设lAM：y＝k（x﹣1），
又∵kAM⋅kAN＝9，∴lAN：，
联立，
即（k2+3）x2﹣2k2x+k2﹣3＝0，△＝（﹣2k2）2﹣4（k2+3）（k2﹣3）＝36＞0，
∴，
又∵xA＝1，∴，代入y＝k（x﹣1），
得：，∴，
用代换k，即得，
∴，
∴lMN：，
即，∴直线MN恒过定点（2，0）．
方法二：过MN两点作直线MN，
直线MN的斜率不存在时，kAM⋅kAN＜0，
直线MN的斜率为0时，kAM⋅kAN＝3，
故直线MN的斜率存在且不为0，
设直线MN为y＝kx+m，
联立直线MN和椭圆方程得，
即（k2+3）x2﹣2kmx+m2﹣3＝0，
得：，
所以，
又∵kAM⋅kAN＝9，
∴＝9，
∴m2+3mk+2k2＝0，
得m＝﹣k或m＝﹣2k，
m＝﹣k时，直线MN：y＝kx+m过（1，0）为点A，舍；
m＝﹣2k时，直线MN：y＝kx+m过（2，0），
所以直线MN过定点（2，0）．
22．（12分）已知函数．
（1）k为正实数，若f（x）≥kx在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（2）证明：当x＞0时，有成立．
解：（1）令F（x）＝f（x）﹣kx＝ex﹣1﹣kx，
则F′（x）＝ex﹣1﹣k，是增函数，
令F′（x）＞0时，解得：x＞lnk+1，
令F′（x）＜0，解得：0＜x＜lnk+1，
故F（x）在（0，lnk+1）递减，在（lnk+1，+∞）递增，
故F（x）min＝F（lnk+1）＝k﹣klnk﹣k＝﹣klnk≥0，
而k＞0，故lnk≤0，解得：k≤1，
所以k的取值范围为（0，1]．
（2）证明：对x的取值范围分类讨论：
①0＜x＜1时，e﹣1＜ex﹣1＜1，lnx＜0，所以ex﹣1⋅lnx＞lnx，
有，
令，则，
所以g（x）在（0，1）上单调递减，
所以，
即，
故0＜x＜1时，不等式成立．
②x≥1时，由（1）中结论，ex﹣1≥x在x∈[1，+∞）上恒成立，
而此时lnx≥0，于是有，
要证成立，可证其加强条件：，
即证在x≥1时成立，
令，
则，
所以m（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由于，因此，所以，
所以，
即，即，
所以，
故x≥1时，命题成立．
综上，当x＞0时，有成立．