2020-2021学年江西省赣州市高二（下）期末考数数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省赣州市高二（下）期末考数数学（文）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知i为虚数单位，则复数z=2+i1−i在复平面上对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 设集合P=x|x2−2x−3≤0， Q=y|y=x−2，则P∩Q=（ ）
A.2,3B.0,3C.[3,+∞)D.⌀

3. 命题“∀x>1， xx−1>0”的否定是（ ）
A.∀x≤1，xx−1≤0B.∀x>1， xx−1≤0
C.∃x≤1， xx−1≤0D.∃x>1 ，xx−1≤0

4. “|x−1|<2”是“x2−x−6<0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 已知a=lg30.6，b=30.1，c=ln2，则( )
A.b
6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a、b分别为6、2，则输出的n=（ ）

A.3B.4C.5D.6

7. 甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试．根据平时训练的经验，甲、乙．丙三人能达标的概率分别为p，23，35，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为45，则p等于( )
A.13B.23C.14D.34

8. 已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料．由下表可得线性回归方程y=bx+0.08，若规定当维修费用y>10时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为( )
A.7B.8C.9D.10

9. 函数y=ln|x|+csx的大致图象是( )
A.B.
C.D.

10. 若函数fx=xx−c2在x=1处有极大值，则常数c为( )

A.1B.3C.1或3D.−1或−3

11. 已知fx是定义在R上周期为2的函数，当x∈−1,1时， fx=2x2．若关于x的函数gx=fx+lgax有唯一零点，则实数a的取值范围是( )
A.12,1∪1,2B.33,11,+∞C.0,33∪1,+∞D.33,1∪1,3

12. 已知e为自然对数的底数，fx是可导函数．对于任意的x∈R，f′x−fx<0恒成立，且f0=1 ，则( )
A.f(2)>e2，f(2021)B.f(2)e2020f(1)
C.f(2)>e2，f(2021)>e2020f(1)
D.f(2)二、填空题

函数fx=x−4ex在x=0处的切线方程为________.

已知x，y是0,2上的两个随机数，则x，y满足y≥2−x2的概率为________.

已知函数fx=xex，则函数fx的最小值为________.

在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线x+y−4=0上的动点，则|MA|+|MB|的最小值为________.
三、解答题

已知k∈R，设p:∀x∈1,2,k+1x−2>0恒成立，命题q:∀x∈R，使得x2+kx+1≥0.
(1)若p∧q是真命题，求k的取值范围；

(2)若p∧¬q为假， p∨¬q为真，求k的取值范围．

我国武汉在2019年的12月份开始出现不明原因的肺炎，在2020年的2月份命名为新型冠状病毒肺炎，新型冠状病毒传染性较强．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．
一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如表表格：

（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数x¯（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人，得到如表列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

(3)以(2)中40名患者的潜伏期≤6天的频率代替该地区1名患者的潜伏期≤6天的概率，每名患者的潜伏期是否≤6天相互独立．从这40名患者中按潜伏期时间分层抽样抽出5人，再从这5人中随机挑选出2人，求至少有1人是潜伏期大于6天的概率．
附：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．

已知函数fx=mx2−2mx+nm>0在区间12,3上有最大值3和最小值−1.
(1)求实数m,n的值；

(2)设ℎx=fxx，若不等式ℎ5x−k⋅5x≥0在x∈[−1,0）上恒成立，求实数k的取值范围．

在极坐标系xOy中，已知曲线C1的极坐标方程为ρsinθ+π6=2，曲线C2的极坐标方程为ρ21+3sin2θ=7．以坐标原点为极点，极轴为x轴正半轴建立直角标系．
(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程；

(2)在极坐标系中，射线θ=π3与曲线C1交于点M，射线θ=π6与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）.

已知函数f(x)=|x+1|+|2x−2|(x∈R)，记f(x)的最小值为m．
(1)求不等式fx≥4的解集；

(2)若实数a、b满足a>0，b>0，a+b=m，求a2a+1+b2b+1的最小值．

已知函数fx=−x2+x+5ex.
(1)求函数fx的单调区间；

(2)已知函数Fx=fx−ax+2x2−9exa∈R，若x0是Fx的极大值点，求Fx0的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高二（下）期末考数数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【解答】
解：∵ 复数z=2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+32i
∴ z在复平面上对应的点位于第一象限.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
先求出集合P，Q，再利用集合的交集运算求解即可.
【解答】
解：集合P=x|x2−2x−3≤0={x|−1≤x≤3}，
Q=y|y=x−2={y≥0}，
则P∩Q= 0,3 .
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题，即可得到命题的否定.
【解答】
解：命题“∀x>1， xx−1>0”是全称命题，
其否定是∃x>1 ，xx−1≤0.
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由|x−1|<2可得−1由x2−x−6<0可得−2由于{x|−1∴ “|x−1|<2”是“x2−x−6<0”的充分不必要条件.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
由题意，结合对数函数、指数函数的单调性进行求解即可.
【解答】
解：已知lg30.630=1，0=ln1因为a=lg30.6，b=30.1，c=ln2，
所以a<0故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
模拟程序，一直循环到满足a＜b即可得解.
【解答】
解：输入a＝6，b＝2，
当n＝1时，a＝9，b＝4，满足进行循环的条件，
当n＝2时，a=272，b＝8，满足进行循环的条件，
当n＝3时，a=814，b＝16，满足进行循环的条件，
当n＝4时，a=2438，b＝32，不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4.
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
对立事件的概率公式及运用
【解析】
由题意，三人中有人达标但没有完全达标的对立事件是“三人都达标或全部都没达到”由此即可求出所求概率.
【解答】
解：因为三人中有人达标但没有完全达标的对立事件是“三人都达标或全部都没达到”，
而甲，乙，丙三人能达标的概率分别为p，23，35，
三人中有人达标但没有全部达标的概率为45，
则23×35p+13×25(1−p)=1−45，
解得p=14.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
回归分析的初步应用
【解析】
将x,y平均值代入回归方程，求出回归方程式，解不等式即可得出结论.
【解答】
解：x¯=4，y¯=5，
将(4,5)代入线性回归方程中，可得4b+0.08=5，
∴b=1.23，
则y=1.23x+0.08,
由于1.23x+0.08≤10，
得x最大整数为8.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：因为f(x)=y=ln|x|+csx，
所以f−x=ln|−x|+cs−x=ln|x|+csx=fx，
所以函数fx为偶函数，故排除选项BD；
又f2π=ln|2π|+cs2π>0，故排除选项A.
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
求出函数的导数，再令导数为零，求出c的值，再进行检验，把不满足的值舍去即可.
【解答】
解：f(x)=x3−2cx2+c2x，
对函数进行求导，可得f′(x)=3x2−4cx+c2，
当x=1时，则有f′(1)=3−4c+c2=0，
解得c=1或c=3，
当c=1时，导数值在x=1左侧为负数，右侧为正数，即取得极小值，不符合题意，
当c=3时，导数值在x=1左侧为正数，右侧为负数，即取得极大值，符合题意.
故选B.
11.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
根的存在性及根的个数判断
【解析】
根据条件作出函数fx的图象，即函数y=fx的图象与函数y=lg1ax的图象仅有一个交点，分0<1a<1和1a>1，两种情况讨论即可得出答案．
【解答】
解：由fx是定义在R上周期为2的函数，
当x∈−1,1时， fx=2x2 ，
作出函数fx的图象，如图，
函数gx=fx+lgax有唯一零点,
即方程fx=−lgax=lg1ax有唯一解．
即函数y=fx的图象与函数y=lg1ax的图象仅有一个交点，
当0<1a<1 ，即a>1时，如图显然满足，
当1a>1 ，即0由于函数y=lg1ax的图象恒过1,0,
要使函数y=fx的图象与函数y=lg1ax的图象仅有一个交点则lg1a3>2 ，
解得33综上所述：满足条件的实数4的取值范围是(33,1)∪1,+∞.
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数单调性的性质
【解析】
结合选项，构造新函数，求导后利用题中条件，得到函数单调递减，可知答案.
【解答】
解：构造函数F(x)=f(x)ex，
则F′(x)=exf′(x)−exf(x)e2x=f′(x)−f(x)ex<0，
可得F(x)在R上单调递减.
结合F(0)=1，可知F(2)所以f(2)故选D.
二、填空题
【答案】
3x+y+4=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式方程得出切线方程即可．
【解答】
解：因为fx=x−4ex，
所以f′x=ex+x−4ex=x−3ex ，
则切线斜率为：f′0=−3，
又因为f0=−4，
由点斜式知切线方程为：y−−4=−3x−0 ，即3x+y+4=0.
故答案为3x+y+4=0．
【答案】
1−π8
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
以面积为测度，确定x,y所表示的平面区域，求出y≥2−x2在正方形内的区域的面积，即可求概率．
【解答】
解：如图所示，
正方形的面积为S=2×2=4，
非阴影部分的面积为S′=14×π×(2)2=π2，
如图阴影部分是x、y的取值范围，
所以x，y满足y≥2−x2的概率为4−π24=1−π8．
故答案为：1−π8．
【答案】
−1e
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
利用导数研究函数gx的单调性即可得出极值与最值．
【解答】
解：fx=xex，f′x=ex+xex=x+1ex，
令f′x=0，得x=−1；
令f′x>0，得x>−1；
令f′x<0，得x<−1．
所以函数fx的单调递增区间是−1,+∞，单调递减区间是−∞,−1，
则当x=−1时，函数fx取得极小值即最小值f−1=−1e．
故答案为：−1e．
【答案】
4
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设A在y轴上，B在x轴上，且A 0，y0，
易得点A关于直线x+y−4=0对称的点的坐标为A′ 4−y0，4，
当M，A′,B共线，且垂直于x轴时，|MA|+|MB|取得最小值4.
此时B 4−y0，0，
根据|AB|=3，
可求得y0=2±22.
故答案为：4．
三、解答题
【答案】
解：(1)若p为真，即p:∀x∈1,2,k+1x−2>0恒成立，
可得k+1×1−2>02k+1−2>0，
解得k>1，
若q为真，即q:∀x∈R，使得x2+kx+1≥0，
则Δ=k2−4≤0，解得−2≤k≤2.
若p∧q是真命题，则p,q为真，可得k>1−2≤k≤2，
所以1所以k的取值范围(1,2].
(2)因为p∧¬q为假， p∨¬q为真，
所以p,¬q一真一假，
即p,q同真同假，
当p,q都真时，由(1)知1当p,q都假时， k<−2，
综上可得1故k的取值范围为k|1【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)若p为真，即p:∀x∈1,2,k+1x−2>0恒成立，
可得k+1×1−2>02k+1−2>0，
解得k>1，
若q为真，即q:∀x∈R，使得x2+kx+1≥0，
则Δ=k2−4≤0，解得−2≤k≤2.
若p∧q是真命题，则p,q为真，可得k>1−2≤k≤2，
所以1所以k的取值范围(1,2].
(2)因为p∧¬q为假， p∨¬q为真，
所以p,¬q一真一假，
即p,q同真同假，
当p,q都真时，由(1)知1当p,q都假时， k<−2，
综上可得1故k的取值范围为k|1【答案】
解：(1)x¯=1200×(1×17+3×41+5×62+7×50+9×26+11×3+13×1)＝5.4（天）.
(2)根据题意，补充完整的列联表如下：
则：K2=40×(15×11−9×5)224×16×20×20=3.75，
经查表，得K2=3.75<3.841，
所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.
(3)因为2440×5=3．
所以由分层抽样知，5人中有潜伏期小于或等于6天的3人．
潜伏期大于6天的2人．
潜伏期大于6天的2人记为A、B，
潜伏期小于或等于6天的3人记为a，b，c．
从这5人中抽取2人的情况分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共有10种．
其中至少有一人是潜伏期大于6天的种数是7种，分别是
AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc．
故至少有1人是潜伏期大于6天的概率是710.
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】

【解答】
解：(1)x¯=1200×(1×17+3×41+5×62+7×50+9×26+11×3+13×1)＝5.4（天）.
(2)根据题意，补充完整的列联表如下：
则：K2=40×(15×11−9×5)224×16×20×20=3.75，
经查表，得K2=3.75<3.841，
所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.
(3)因为2440×5=3．
所以由分层抽样知，5人中有潜伏期小于或等于6天的3人．
潜伏期大于6天的2人．
潜伏期大于6天的2人记为A、B，
潜伏期小于或等于6天的3人记为a，b，c．
从这5人中抽取2人的情况分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共有10种．
其中至少有一人是潜伏期大于6天的种数是7种，分别是
AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc．
故至少有1人是潜伏期大于6天的概率是710.
【答案】
解：(1)因为fx=mx2−2mx+n的对称轴是x=1，
又因为m>0，
所以fx在12,1上单调递减，在1,3上单调递增，
所以x=1时，fx取最小值−1，
x=3时，fx取最大值3，
即m−n=13m+n=3,
解得m=1n=0.
(2)因为ℎx=fxx=x−2，
所以ℎ5x−k⋅5x=5x−2−k⋅5x≥0，
所以1−k⋅5x−2≥0，
所以k≤1−25x,
令gx=1−25x，易得gx是增函数，
故gxmin=g−1=−9，
所以k≤−9.
【考点】
二次函数的性质
二次函数在闭区间上的最值
不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为fx=mx2−2mx+n的对称轴是x=1，
又因为m>0，
所以fx在12,1上单调递减，在1,3上单调递增，
所以x=1时，fx取最小值−1，
x=3时，fx取最大值3，
即m−n=13m+n=3,
解得m=1n=0.
(2)因为ℎx=fxx=x−2，
所以ℎ5x−k⋅5x=5x−2−k⋅5x≥0，
所以1−k⋅5x−2≥0，
所以k≤1−25x,
令gx=1−25x，易得gx是增函数，
故gxmin=g−1=−9，
所以k≤−9.
【答案】
解：(1)由题意：曲线C1:x+3y=4，
曲线C2:x27+4y27=1.
(2)联立 ρsinθ+π6=2θ=π3⇒ρ=2θ=π3，
联立 ρ21+3sin2θ=7θ=π6⇒ρ=2θ=π6,
故S△MON=12|OM||ON|sin∠MON
=12×2×2×sinπ3−π6=1.
【考点】
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆的极坐标方程
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意：曲线C1:x+3y=4，
曲线C2:x27+4y27=1.
(2)联立 ρsinθ+π6=2θ=π3⇒ρ=2θ=π3，
联立 ρ21+3sin2θ=7θ=π6⇒ρ=2θ=π6,
故S△MON=12|OM||ON|sin∠MON
=12×2×2×sinπ3−π6=1.
【答案】
解∶(1)fx=|x+1|+|2x−2|=3x−1,x≥1,3−x,−1当x≥1时，3x−1≥4,x≥53,
当−1当x≤−1时，1−3x≥4,x≤−1,
∴不等式fx≥4的解集为 x|x≤−1或x≥53}.
(2)由(1)可得f(x)在x=1处取得最小值，
∴ a+b=m=2，
∴ a2a+1+b2b+1=14[(a+1)+(b+1)](a2a+1+b2b+1)
=14[a2+b2+(b+1)a2a+1+(a+1)b2b+1]≥14(a2+b2+2ab)=14(a+b)2=1；
当且仅当a+b=2(b+1)a2a+1=(a+1)b2b+1 ，即a=1b=1 时，有最小值1．
【考点】
绝对值不等式
函数的最值及其几何意义
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】

【解答】
解∶(1)fx=|x+1|+|2x−2|=3x−1,x≥1,3−x,−1当x≥1时，3x−1≥4,x≥53,
当−1当x≤−1时，1−3x≥4,x≤−1,
∴不等式fx≥4的解集为 x|x≤−1或x≥53}.
(2)由(1)可得f(x)在x=1处取得最小值，
∴ a+b=m=2，
∴ a2a+1+b2b+1=14[(a+1)+(b+1)](a2a+1+b2b+1)
=14[a2+b2+(b+1)a2a+1+(a+1)b2b+1]≥14(a2+b2+2ab)=14(a+b)2=1；
当且仅当a+b=2(b+1)a2a+1=(a+1)b2b+1 ，即a=1b=1 时，有最小值1．
【答案】
解：(1)记fx=−x2+x+5e−x，定义域为R，
则f′x=x+1x−4e−x，
由f′x>0得增区间−∞,−1和4,+∞;f′x<0得减区间−1,4，
所以fx在区间−1,4上单调递减，在−∞,−1和4,+∞上单调递增.
(2)由题意知Fx=fx−ax+2x2−9e−x=x2+x−4e−x−ax，
所以F′x=−x2+x+5e−x−a,
而fx=−x2+x+5e−x在区间−1,4上单调递减．
若x0是Fx的极大值点，则−1且a=−x02+x0+5e−x，
所以Fx0=x02+x0−4e−x−ax0
=x03−4x0−4e−x0，
记ℎx=x3−4x−4e−x，
则ℎ′x=−xe−xx+1⋅x−4，
所以ℎ(x)在区间−1,0上单调递减，在区间0,4上单调递增，
且ℎ(0)=−4, ℎ−1=−e, ℎ4=44e4，
所以当x∈−1,4时，−4≤ℎx<44e4，
所以−4≤Fx0<44ex
即Fx0的取值范围为[−4，44e4）.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)记fx=−x2+x+5e−x，定义域为R，
则f′x=x+1x−4e−x，
由f′x>0得增区间−∞,−1和4,+∞;f′x<0得减区间−1,4，
所以fx在区间−1,4上单调递减，在−∞,−1和4,+∞上单调递增.
(2)由题意知Fx=fx−ax+2x2−9e−x=x2+x−4e−x−ax，
所以F′x=−x2+x+5e−x−a,
而fx=−x2+x+5e−x在区间−1,4上单调递减．
若x0是Fx的极大值点，则−1且a=−x02+x0+5e−x，
所以Fx0=x02+x0−4e−x−ax0
=x03−4x0−4e−x0，
记ℎx=x3−4x−4e−x，
则ℎ′x=−xe−xx+1⋅x−4，
所以ℎ(x)在区间−1,0上单调递减，在区间0,4上单调递增，
且ℎ(0)=−4, ℎ−1=−e, ℎ4=44e4，
所以当x∈−1,4时，−4≤ℎx<44e4，
所以−4≤Fx0<44ex
即Fx0的取值范围为[−4，44e4）.x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
潜伏期（单位：天）
[0, 2]
(2, 4]
(4, 6]
(6, 8]
(8, 10]
(10, 12]
(12, 14]
人数
17
41
62
50
26
3
1
潜伏期≤6天
潜伏期>6天
总计
50岁以上（含50岁）
20
50岁以下
9
总计
40
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
k0
3.841
5.024
6.635
潜伏期≤6天
潜伏期>6天
总计
50岁以上（含50岁）
15
5
20
50岁以下
9
11
20
总计
24
16
40
潜伏期≤6天
潜伏期>6天
总计
50岁以上（含50岁）
15
5
20
50岁以下
9
11
20
总计
24
16
40