2020-2021学年江西省赣州市高二（下）期末考试数学（理）试卷 (1)北师大版

这是一份2020-2021学年江西省赣州市高二（下）期末考试数学（理）试卷 (1)北师大版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在复平面内，复数z=1−1i （i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 变量x，y的线性相关系数为r1，变量m，n的线性相关系数为r2，下列说法错误的是（ ）
A.若|r1|=0.96，则说明变量x，y之间线性相关性强
B.若r1>r2，则说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强
C.若0D.若r1=0，则说明变量x，y之间线性不相关

3. 若随机变量X的分布列如表，则E2X−1的值为（ ）
A.12B.1C.116D.83

4. 设fx=ex+ln2的导函数为f′x，则f′1的值为（ ）
A.0B.eC.e+12D.e2

5. 一个袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，若不放回地依次任取两个球，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，则在A发生的条件下B发生的概率为（ ）
A.13B.12C.34D.35

6. 已知复数z=a+bi可以写成z=|z|csθ+isinθ，这种形式称为复数的三角式．其中θ叫复数z的复角，θ∈[0,2π)．若复数z=1+3i，其共扼复数为z¯，则下列说法①复数z的虚部为3i；②|z|2=|z¯|2=z2；③z与z¯在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的复角为π3；其中正确的命题个数为（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个

7. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A.24B.48C.60D.72

8. 记x7=a0+a11+x+⋯+a71+x7，则a0+a1+a2+⋯+a6的值为（ ）
A.−1B.0C.1D.128

9. 对任意x∈0,π2，不等式sinx⋅fxA.fπ3<2fπ4B.fπ4<62fπ6
C.fπ4<2cs1⋅f1D.fπ3<2cs1⋅f1

10. 函数fx的图象如图所示，其导函数为f′x，则不等式x+2f′x>0的解集为（ ）

A.−∞,−2∪2,+∞B.−1,1
C.−2,−1∪1,+∞D.−∞,−2∪−1,1

11. 某次抽奖活动准备了8张奖券，其中标有“奖20元”、“奖10元”、“奖5元”各一张，另外五张均为“祝你好运”，现有4人来抽奖，每人抽两张，则不同的中奖情况有（ ）
A.24B.60C.420D.2520

12. 若不等式alnxx3+3x>2恰好有两个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A.(0,4ln2]B.(4ln2,40ln2]C.(4ln2,27ln3]D.(27ln3,40ln2]
二、填空题

设随机变量X∼N3,σ2，且PX>1=0.66，则PX>5=________．

定积分 −224−x2−sinx+x3dx的值是______.

多项式x+2y−15的展开式中，含x2y2的系数为________.

已知 f(x)=kex−x2(k∈R) ,下列结论正确的是________.
①当k=1时，f(x)≥0 恒成立；
②当k=2时，f(x)的零点为x0且−1③当k=2e时，x=1是f(x)的极值点；
④若f(x)有三个零点，则实数k的取值范围为(0,4e2).
三、解答题

曲线C1的参数方程是：x=22s，y=s2（s为参数），曲线C2的参数方程是：x=1−2t1+t，y=3t1+t（t为参数）．
(1)求曲线C1，C2的普通方程；

(2)求曲线C1与曲线C2所围成的封闭图形的面积．

根据教育部部署，我省从2021年秋季入学的高一新生起推进高考综合改革，将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一必考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选考一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选考两科．某中学为了在暑期招聘老师时考虑各学科所需老师数，模拟调查了高一年级2000名学生的选科意向，随机抽取了100人统计选考科目人数如下表：

(1)补全上表，根据表中数据计算判断是否有90%的把握认为“选考物理与性别有关”？

(2)将此样本的频率视为总体的概率，随机调查本校高一年级的3名学生．设这3人中选考物理的人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.

在极坐标系中，O为极点，直线l的方程为2ρcsθ−3ρsinθ−2=0，直线l与极轴交于点E，且动点F满足|EF|=1，若点F的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)A，B是曲线C上的两动点，且∠AOB=π6，求|OA|−3|OB|的最小值．

已知函数fx=x3−ax2−b2x+1.
(1)函数fx在点1,f1处的切线方程是2x−y=0，求a，b的值；

(2)当b=0时，fx在区间0,1上的最小值为ga，求ga的解析式．

“赣南脐橙名扬天下”，每年脐橙成熟的季节，各大销售商，线上线下发挥各自优势销售脐橙．某电商统计了2016至2020这五年的销售情况（将2016年视为第一年），如下表：

(1)若每年的销量y与年份x具有较强线性相关性，求y关于x的线性回归方程，并估计今年（2021年）能销售出多少千斤？

(2)根据目前树上的挂果形势，今年的脐橙又将是一个丰收年，该电商为了吸引新老客户，打算在脐橙开采时实施一元一份的“秒杀”抢购活动（每人只有一次机会），每份n斤（n∈N，n≥2）．现有甲、乙两人将参加这一抢购活动，若他们抢购成功的概率分为p，q，当p=7sinπn4n−πn2，q=sinπn4n记两人共抢购到X斤，求X的数学期望EX，当EX取最大值时n的值．
附：回归方程y=bx+a，其中b=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2．

已知函数fx=alnx−12x2+2x+3a．
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若0参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
根据题意利用复数的运算可得复数z，进而利用复数的几何意义即可求得结果.
【解答】
解：z=1−1i=1−−ii×(−i)=1+i，
因此复数z对应的点为(1,1)，位于第一象限.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
相关系数
变量间的相关关系
线性相关关系的判断
【解析】
根据线性相关系数的正负判断两变量正负相关性，
根据线性相关系数的绝对值大小判断两变量相关性的强弱．
【解答】
解：A，相关系数的绝对值越接近1．说明线性相关性越强， 说法正确；
B，r1>r2不能判断线性相关性强弱，如：r1=0.1，r2=−0.3，则r2相关性强，说法错误；
C，若0D，若r1=0，则说明变量x，y之间线性不相关，说法正确．
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
通过分布列的性质求出a，然后求解期望即可．
【解答】
解：由题可得：13+a+16=1，解得a=12，
∴ E(X)=1×13+2×12+3×16=116，
∴ E2X−1=2E(X)−1=2×116−1=83．
故选D．
4.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
【解析】
先利用导数公式求导，即可得解
【解答】
解：∵ fx=ex+ln2，
∴ f′x=ex⋅12x，
∴ f′1=e×12=e2.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
先求各事件概率再利用条件概率公式求解即可．
【解答】
解：设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，
PA=25 ，PAB=25×34=310，
则在A发生的条件下B发生的概率为
PB|A=PABPA=34．
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
复数的模
命题的真假判断与应用
共轭复数
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
利用复数的定义结合运算法则逐项求解即可
【解答】
解：复数z=1+3i，则虚部为3，故①错误；
z¯=1−3i，
|z|2=|z¯|2=4，z2=−2+23i，故②错误；
∵ z与z¯在复平面上对应点分别为1,3，1,−3，两点关于实轴对称，故③正确；
1+3i=212+32i，可得复角为π3，故④正确.
∴ 正确命题的个数为2.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
排列、组合的应用
分步乘法计数原理
【解析】
用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．
【解答】
解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，
共有3种排法；
然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，
共有A44=24种排法，
根据分步乘法计数原理得，
由1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72(个)．
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
利用赋值法结合进行求解即可.
【解答】
解：x7=a0+a11+x+⋯+a71+x7，
令x=0，
可得a0+a1+a2+⋯+a7=07=0，
又[(1+x)−1)7=a0+a11+x+⋯+a71+x7，
∴ a7=C70(−1)0=1，
∴ a0+a1+a2+⋯+a6=0−1=−1.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
构造函数gx=fxcsx ，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，然后利用单调性进行判断即可．
【解答】
解：构造函数gx=fx⋅csx，
则g′x=csx⋅f′x−sinx⋅fx，
∵ sinx⋅fx∴ g′x=csx⋅f′x−sinx⋅fx>0，
即gx在x∈0,π2上为增函数，
∴ gπ4即fπ4⋅csπ4∴ fπ4<2cs1⋅f1.
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
其他不等式的解法
利用导数研究函数的单调性
函数的图象
【解析】
根据函数f(x)的图象，求出函数的单调区间，然后得到f′(x)>0及f′(x)<0时x的范围，进而解不等式组即可得到结果.
【解答】
解：根据函数f(x)的图象，
f(x)在(−∞,−1)单调递增，在(−1,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，
故在(−∞,−1)，(1,+∞)时，f′(x)>0，
在(−1,1)时，f′(x)<0，
由(x+2)f′(x)>0，得x+2>0，f′(x)>0或x+2<0，f′(x)<0，
解得−21.
故选C.
11.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
分类加法计数原理
【解析】
由题意，对其进行分情况进行讨论，进而即可求解.
【解答】
解：已知含有中奖的奖券共有3张，
当这3张奖券被3个人获得，共有A43=24种情况；
当这3张奖券有1人获得2张，1人获得1张，共有C32A42=36种情况，
则不同的中奖情况共有24+36=60种.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
其他不等式的解法
【解析】

【解答】
解： alnxx3+3x>2，x>0，
∴alnx+3x2>2x3，
设fx=alnx，gx=2x3−3x2，
则g′x=6x2−6x=6xx−1，
令g′x>0，得x>1，
令g′(x)<0，得0 ∴gx在1,+∞上单调递增，在0,1上单调递减，
∴gxmin=g1=−1，且g0=g32=0，
如图所示，
当a≤0时， fx>gx至多有一个整数解；
当a>0时， fx>g(x)在区间(0,+∞)内恰好有两个整数解，
只需f(2)>g(2)，f3≤g3即aln2>4，aln3≤27，
∴ 4ln2故选C．
二、填空题
【答案】
0.34
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
随机变量C服从正态分布N3,σ2，得到曲线关于x=3对称，根据曲线的对称性得到结果．
【解答】
解：随机变量X服从正态分布N3,σ2，
∴ 曲线关于x=3对称，
∵ PX>1=0.66，
∴ P1∴ PX>5=0.5−0.16=0.34．
故答案为：0.34．
【答案】
2π
【考点】
定积分
定积分的简单应用
【解析】
根据定积分的定义，几何意义和公式计算即可得解.
【解答】
解：−22(4−x2−sinx+x3)dx
=−224−x2dx+−22−sinx+x3dx
=π2×22+(csx+14x4)|−22
=2π+cs2+4−cs2+4
=2π.
故答案为：2π.
【答案】
−120
【考点】
二项式定理的应用
二项式系数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，x+2y−15的展开式中含x2y2的项为：
C52x2×C322y2×C11×−1=−120x2y2，
所以所求系数为−120．
故答案为：−120．
【答案】
②④
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当k=1 时，f(x)=ex−x2，f(−1)=1e−1<0 ，故①错误；
当k=2 时，f(x)=2ex−x2，f′(x)=2(ex−x)，
令g(x)=ex−x，g′(x)=ex−1，
令g′(x)=0 ，解得 x=0，
故g(x) 在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
故g(x)≥g(0)=1 ，故f(x) 在R上单调递增.
因为f(−1)=2e−1=2−ee<0，f(−12)=2e−14=8−e4e>0，
由函数零点存在性定理知，存在x0∈(−1,−12) ，使得 f(x0)=0 ，故②正确；
当k=2e时，f(x)=2e⋅ex−x2，f′(x)=2(ex−1−x)，f′(1)=0 ，
令ℎ(x)=ex−1−x，ℎ′(x)=ex−1−1，
令ℎ′(x)=0，解得x=1，
故ℎ(x)在(−∞,1) 上单调递减，在(1,+∞) 上单调递增，
故ℎ(x)≥ℎ(1)=0， 故x=1不是f(x)的极值点，故③错误；
f(x)有三个零点等价于方程kex−x2=0有三个根，即方程k=x2ex 有三个根，
令 F(x)=x2ex，F′(x)=2x−x2ex，
故F(x)在 (−∞,0) 上单调递减，在 (0,2) 上单调递增，在 (2,+∞) 上单调递减，
且F(0)=0，F(2)=4e2，大致图象如图所示，
故k的取值范围为(0,4e2)，④正确.
故答案为：②④.
三、解答题
【答案】
解：(1)曲线C1的普通方程是：y=2x2，
曲线C2中两式相加得：x+y=1．
因为x=1−2t1+t=−2+31+t，
所以x≠−2．
故曲线C2的普通方程是：x+y=1x≠−2．
(2)由x+y=1，y=2x2，
解得两曲线的交点分别是：A−1,2，B12,12，
所以围成的面积是：−1121−x−2x2dx=x−12x2−23x3|−112=98．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
直线的参数方程
抛物线的参数方程
定积分在求面积中的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)曲线C1的普通方程是：y=2x2，
曲线C2中两式相加得：x+y=1．
因为x=1−2t1+t=−2+31+t，
所以x≠−2．
故曲线C2的普通方程是：x+y=1x≠−2．
(2)由x+y=1，y=2x2，
解得两曲线的交点分别是：A−1,2，B12,12，
所以围成的面积是：−1121−x−2x2dx=x−12x2−23x3|−112=98．
【答案】
解：(1)补全表格如图：
根据表中数据得：
K2=10045×15−25×15270×30×60×40≈1.786，
因为1.786<2.706，
所以没有90%的把握认为“选考物理与性别有关”．
(2)由题意可知，学生选考物理的概率为710，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
PX=0=C3071003103=271000，
PX=1=C3171013102=1891000，
PX=2=C3271023101=4411000，
PX=3=C3371033100=3431000．
所以X的分布列为
EX=0×271000+1×1891000+2×4411000+3×3431000=2110．
【考点】
独立性检验
两点分布二项分布超几何分布的期望与方差
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)补全表格如图：
根据表中数据得：
K2=10045×15−25×15270×30×60×40≈1.786，
因为1.786<2.706，
所以没有90%的把握认为“选考物理与性别有关”．
(2)由题意可知，学生选考物理的概率为710，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
PX=0=C3071003103=271000，
PX=1=C3171013102=1891000，
PX=2=C3271023101=4411000，
PX=3=C3371033100=3431000．
所以X的分布列为
EX=0×271000+1×1891000+2×4411000+3×3431000=2110．
【答案】
解：(1)令θ=0得ρ=1，
所以点E的直角坐标为E1,0.
因为|EF|=1，
所以点F的轨迹曲线C为以E为圆心，半径为1的圆，
其极坐标方程为ρ=2csθ.
(2)设Aρ1,θ，Bρ2,θ−π6，θ∈−π3,π2，
|OA|=ρ1=2csθ，|OB|=ρ2=2csθ−π6，
|OA|−3|OB|=2csθ−23csθ−π6
=2csθ−3csθ−3sinθ
=−csθ−3sinθ
=−2sinθ+π6，
所以当θ=π3时，|OA|−3|OB|有最小值，最小值为−2.
【考点】
圆的极坐标方程
轨迹方程
两角和与差的正弦公式
两角和与差的余弦公式
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)令θ=0得ρ=1，
所以点E的直角坐标为E1,0.
因为|EF|=1，
所以点F的轨迹曲线C为以E为圆心，半径为1的圆，
其极坐标方程为ρ=2csθ.
(2)设Aρ1,θ，Bρ2,θ−π6，θ∈−π3,π2，
|OA|=ρ1=2csθ，|OB|=ρ2=2csθ−π6，
|OA|−3|OB|=2csθ−23csθ−π6
=2csθ−3csθ−3sinθ
=−csθ−3sinθ
=−2sinθ+π6，
所以当θ=π3时，|OA|−3|OB|有最小值，最小值为−2.
【答案】
解：(1)∵ fx=x3−ax2−b2x+1，
∴ f′x=3x2−2ax−b2．
∵ 函数fx在点1,f1处切线方程是2x−y=0，
则有f′1=3−2a−b2=2,f1=1−a−b2+1=2,
解得a=1,b=−2.
(2)由上可知，b=0时，
∴ f′x=3x2−2ax=x3x−2a．
令f′x=0得，x1=0，x2=2a3．
①当2a3≤0即a≤0时，有f′x≥0在0,1上恒成立，
即fx在0,1上是增函数，
∴ ga=f0=1．
②当0<2a3<1即0在2a3,1上f′x>0，
即fx在0,2a3上是减函数，在2a3,1上是增函数，
∴ ga=f2a3=−4a327+1．
③当2a3≥1即a≥32时，有f′x≤0在0,1上恒成立，
即fx在0,1上是减函数，
∴ ga=f1=2−a．
∴ fx在区间0,1上的最小值ga的解析式为
ga=1,a∈−∞,0,−4a327+1,a∈0,32,−a+2,a∈32,+∞.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ fx=x3−ax2−b2x+1，
∴ f′x=3x2−2ax−b2．
∵ 函数fx在点1,f1处切线方程是2x−y=0，
则有f′1=3−2a−b2=2,f1=1−a−b2+1=2,
解得a=1,b=−2.
(2)由上可知，b=0时，
∴ f′x=3x2−2ax=x3x−2a．
令f′x=0得，x1=0，x2=2a3．
①当2a3≤0即a≤0时，有f′x≥0在0,1上恒成立，
即fx在0,1上是增函数，
∴ ga=f0=1．
②当0<2a3<1即0在2a3,1上f′x>0，
即fx在0,2a3上是减函数，在2a3,1上是增函数，
∴ ga=f2a3=−4a327+1．
③当2a3≥1即a≥32时，有f′x≤0在0,1上恒成立，
即fx在0,1上是减函数，
∴ ga=f1=2−a．
∴ fx在区间0,1上的最小值ga的解析式为
ga=1,a∈−∞,0,−4a327+1,a∈0,32,−a+2,a∈32,+∞.
【答案】
解：(1)x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=5+7+8.5+9.5+105=8，
b=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2=6+1+0+1.5+44+1+0+1+4=12.510=1.25，
a=8−1.25×3=4.25，
所以y关于x的线性回归方程为y=1.25x+4.25，
当x=6时，y=11.75，
估计今年（2021年）能销售出11.75千斤．
(2)X的所有可能取值为0，n，2n，
PX=0=1−p1−q，
PX=n=1−pq+p1−q，
PX=2n=pq，
所以EX=n1−pq+p1−q+2npq=np+q
=n7sinπn4n−πn2+sinπn4n=2sinπn−πn．
令t=πn，t∈0,π2，
ft=2sint−t得f′t=2cst−1，
令f′t=2cst−1=0得t=π3，
所以有f′t在0,π3大于零，在π3,π2小于零，
即有ft在0,π3上是增函数，在π3,π2是减函数，
所以ft的最大值为fπ3=3−π3．
即当n=3时，E(X)的最大值为3−π3．
【考点】
求解线性回归方程
利用导数研究函数的最值
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=5+7+8.5+9.5+105=8，
b=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2=6+1+0+1.5+44+1+0+1+4=12.510=1.25，
a=8−1.25×3=4.25，
所以y关于x的线性回归方程为y=1.25x+4.25，
当x=6时，y=11.75，
估计今年（2021年）能销售出11.75千斤．
(2)X的所有可能取值为0，n，2n，
PX=0=1−p1−q，
PX=n=1−pq+p1−q，
PX=2n=pq，
所以EX=n1−pq+p1−q+2npq=np+q
=n7sinπn4n−πn2+sinπn4n=2sinπn−πn．
令t=πn，t∈0,π2，
ft=2sint−t得f′t=2cst−1，
令f′t=2cst−1=0得t=π3，
所以有f′t在0,π3大于零，在π3,π2小于零，
即有ft在0,π3上是增函数，在π3,π2是减函数，
所以ft的最大值为fπ3=3−π3．
即当n=3时，E(X)的最大值为3−π3．
【答案】
(1)解：函数定义域为x>0，
f′x=ax−x+2=−x2+2x+ax，
令−x2+2x+a=0，所以Δ=4+4a.
①当a≤−1时，f′x≤0恒成立，fx在0,+∞上单调递减；
②当a>−1时，方程有两根：x1=1−1+a，x2=1+1+a，
若a≥0，x1<0，x2>0，fx在0,1+1+a上单调递增，
在1+1+a,+∞上单调递减；
若−1fx在0,1−1+a，1+1+a,+∞上单调递减，
fx在1−1+a,1+1+a上单调递增.
综上所述：①当a≤−1时，fx在0,+∞上单调递减；
②当−1fx在1−1+a,1+1+a上单调递增；
③当a≥0时，fx在0,1+1+a上单调递增，在1+1+a,+∞上单调递减.
(2)证明：由已知得需证alnx+3因为a>0，x>0，所以exx>0，
当lnx+3≤0时，不等式显然成立；
当lnx+3>0时，alnx+3<14lnx+3，
所以只需证14lnx+3即证14xlnx+3令gx=14xlnx+3，则g′x=−lnx−24x2，
令g′x=0，则x=e−2，
所以x∈0,e−2，g′x>0，x∈e−2,+∞，g′x<0，
gx在0,e−2为增函数，在e−2,+∞为减函数，
所以gxmax=ge−2=e24，
令ℎx=exx2，ℎ′x=exx−2x3，
则x∈0,2时，ℎ′x<0，x∈2,+∞时，ℎ′x>0，
所以ℎx在0,2上为减函数，在2,+∞上为增函数，
ℎxmin=ℎ2=e24，
所以gxmax≤ℎxmin，但两边取等的条件不相等，即证得alnx+3所以fx【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
1
1
【解答】
(1)解：函数定义域为x>0，
f′x=ax−x+2=−x2+2x+ax，
令−x2+2x+a=0，所以Δ=4+4a.
①当a≤−1时，f′x≤0恒成立，fx在0,+∞上单调递减；
②当a>−1时，方程有两根：x1=1−1+a，x2=1+1+a，
若a≥0，x1<0，x2>0，fx在0,1+1+a上单调递增，
在1+1+a,+∞上单调递减；
若−1fx在0,1−1+a，1+1+a,+∞上单调递减，
fx在1−1+a,1+1+a上单调递增.
综上所述：①当a≤−1时，fx在0,+∞上单调递减；
②当−1fx在1−1+a,1+1+a上单调递增；
③当a≥0时，fx在0,1+1+a上单调递增，在1+1+a,+∞上单调递减.
(2)证明：由已知得需证alnx+3因为a>0，x>0，所以exx>0，
当lnx+3≤0时，不等式显然成立；
当lnx+3>0时，alnx+3<14lnx+3，
所以只需证14lnx+3即证14xlnx+3令gx=14xlnx+3，则g′x=−lnx−24x2，
令g′x=0，则x=e−2，
所以x∈0,e−2，g′x>0，x∈e−2,+∞，g′x<0，
gx在0,e−2为增函数，在e−2,+∞为减函数，
所以gxmax=ge−2=e24，
令ℎx=exx2，ℎ′x=exx−2x3，
则x∈0,2时，ℎ′x<0，x∈2,+∞时，ℎ′x>0，
所以ℎx在0,2上为减函数，在2,+∞上为增函数，
ℎxmin=ℎ2=e24，
所以gxmax≤ℎxmin，但两边取等的条件不相等，即证得alnx+3所以fx1
2
3
p
13
a
16
选考物理
选考历史
共计
男生
45
60
女生
共计
30
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
年份x
1
2
3
4
5
销量y（千斤）
5
7
8.5
9.5
10
选考物理
选考历史
共计
男生
45
15
60
女生
25
15
40
共计
70
30
100
X
0
1
2
3
P
271000
1891000
4411000
3431000
选考物理
选考历史
共计
男生
45
15
60
女生
25
15
40
共计
70
30
100
X
0
1
2
3
P
271000
1891000
4411000
3431000