2020-2021学年四川省资阳市高一（上）期末数学试卷人教新课标A版

这是一份2020-2021学年四川省资阳市高一（上）期末数学试卷人教新课标A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合，则A∪B＝（ ）
A.[−1, +∞)B.[−1, 1]C.(−1, +∞)D.(−1, 1]

2. 已知幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图象过点，则α＝（ ）
A.B.C.D.

3. 已知f(x+2)＝2x−2，且f(a)＝4，则a＝（ ）
A.10B.6C.5D.3

4. 已知，则sin2x的值为（ ）
A.B.C.D.

5. 方程2x+x＝4的根所在的区间为（ ）
A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)

6. 若扇形的弧长是3πcm，面积是6πcm2，则该扇形圆心角的弧度数θ＝（ ）
A.B.C.D.

7. 已知函数f(x)的定义域为[−2, 1]，则函数y＝的定义域为（ ）
A.[0, 1]B.[0, 1)C.(0, 1]D.(0, 1)

8. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

9. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到曲线C；再将曲线C向右平移个单位
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到曲线C；再将曲线C向左平移个单位
C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到曲线C；再将曲线C向左平移个单位
D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到曲线C；再将曲线C向右平移个单位

10. 函数y＝sin2x−csx的最大值为（ ）
A.B.C.1D.

11. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，f(0)=2，则f(10)=( )
A.−4B.−2C.2D.4

12. 已知函数(t∈R)，若函数f(x)恰有2个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A.(2, 4]B.(5, +∞)C.(−∞, 4]∪(5, +∞)D.(2, 4]∪(5, +∞)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

+lg4+lg25＝________．

已知，且，则tan2α＝________．

已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围为________．

已知函数(ω>0)在内恰有两个最小值点，则ω的取值范围是________．
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

已知全集U＝R，集合A＝{x|a（1）若a＝1，求(∁UA)∩B；

（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．

已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝43x上．
（1）求2sin(π+α)+cs(−α)cs(α−π2)−sin(3π2+α)的值；

（2）若α,β∈(0,π2)，且cs(α+β)＝−55，求tanβ的值．

已知．
（1）求f(x)图象的对称轴方程；

（2）若存在x0∈[0, π]，使f(x0)≤t+2，求实数t的取值范围．

已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x<0时，f(x)为二次函数且f(−3)＝f(−1)＝3，f(−4)＝0．
（1）求函数f(x)在R上的解析式；

（2）若函数f(x)在区间[lg2m, 2]上单调递减，求实数m的取值范围．

已知函数(m∈R)的图象关于坐标原点对称．
（1）求m的值及f(x)的定义域；

（2）若函数h(x)＝f(x)−ln(x+tanα)（其中，k∈Z)在区间[2, 3]上有零点，求α的取值范围．

已知对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，记函数g(x)＝lg2x的反函数为y＝f(x)．
（1）若函数g(mx2+2x+1)的定义域为R，求实数m的取值范围；

（2）若不等式对任意x∈(lg23, +∞)恒成立，求实数b的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省资阳市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
A
【考点】
并集及其运算
【解析】
可求出集合B，然后进行并集的运算即可．
【解答】
∵ A＝{x|−1≤x≤1}，B＝{x|x>−5}，
∴ A∪B＝[−1, +∞)．
2.
【答案】
B
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
根据幂函数的图象过点(4，）列方程求出α的值，写出f(x)的解析式，再求m的值．
【解答】
幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图象过点(4，），
则4α＝，
解得：α＝-，
3.
【答案】
C
【考点】
求函数的值
函数的求值
【解析】
设x+2＝t，则x＝t−2，f(t)＝2(t−2)−2＝2t−6，从而f(a)＝2a−6＝4，由此能求出a的值．
【解答】
∵ f(x+2)＝2x−3，且f(a)＝4，
∴ 设x+2＝t，则x＝t−7，
f(t)＝2(t−2)−5＝2t−6，
∴ f(a)＝7a−6＝4，
解得a＝8．
4.
【答案】
C
【考点】
二倍角的三角函数
同角三角函数间的基本关系
【解析】
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．
【解答】
∵ ，
∴ 两边平方，可得：4−2sinxcsx＝1−sin4x＝，
∴ 解得：sin7x＝．
5.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
令f(x)＝2x+x−4在R上单调递增，再利用函数零点存在定理即可判断出零点所在区间．
【解答】
令f(x)＝2x+x−4在R上单调递增．
f(1)＝3+1−4＝−8<0，f(2)＝4+6−4＝2>5，
∴ f(1)⋅f(2)<0，
∴ 函数f(x)的零点所在区间(1, 4)．
故选：B．
6.
【答案】
D
【考点】
弧长公式
扇形面积公式
【解析】
先由弧长公式求出扇形半径，然后结合弧长公式可求．
【解答】
由题意得，S＝＝，
故r＝3cm，
所以＝．
7.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数f(x)的定义域以及对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】
由题意得：，
解得：58.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
直接利用指数函数与对数函数的性质与特殊值0，1，2进行比较即可．
【解答】
因为1＝lg273，
所以c>a>b．
9.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由题意利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
【解答】
只需将函数的图象横坐标缩短到原来的）的图象；
再将曲线C向右平移个单位的图象，
10.
【答案】
D
【考点】
三角函数的最值
【解析】
利用同角三角函数的基本关系将函数转化为y＝−cs2x−csx+1，令t＝csx，t∈[−1, 1]，由二次函数的性质即可求得最大值．
【解答】
函数y＝sin2x−csx＝−cs2x−csx+2，
令t＝csx，t∈[−1，
则y＝−t2−t+7＝−(t+）​8+，t∈[−6，
所以当t＝时，函数取得最大值为．
11.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
函数奇偶性的性质
函数的周期性
【解析】
根据题意，分析可得f(x)是周期为2的周期函数，则有f(10)＝f(0)，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，
又由f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)，
即f(x−1)=f(1−x)=f(1+x)，
所以f(x)=f(2+x)，
则函数f(x)是周期为2的周期函数，
故f(10)=f(0)=2.
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
画出函数的大致图象，平移直线x＝t，二次函数要直线左边的，另一段要直线右边的，结合图象即可得到结论．
【解答】
因为函数(t∈R)，
若函数f(x)恰有2个零点，
故25，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
5
【考点】
对数的运算性质
【解析】
直接利用指数和对数的运算性质求解即可．
【解答】
原式＝．
【答案】
-
【考点】
二倍角的三角函数
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角公式，求得tan2α的值．
【解答】
∵ ，且，∴ csα＝-，
∴ tanα＝＝3＝-，
【答案】
【考点】
函数单调性的性质与判断
分段函数的应用
【解析】
由题意分类讨论得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围．
【解答】
指数函数单调递减，则0二次函数在[4, +∞)上单调递减，解得：，
且当x＝8时：a1≥−12+4a×1，解得：，
综上可得，实数a的取值范围是 ．
【答案】
【考点】
正弦函数的图象
【解析】
先作出函数(ω>0)的图象，然后结合图象在内恰有两个最小值点，建立关系式解之即可．
【解答】
作出函数(ω>0)的图象，
＝，，
要使在内恰有两个最小值点，
所以，解得，即．
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【答案】
a＝1时，全集U＝R，B＝{x|−1∴ ∁UA＝{x|x≤1或x>3}，
(∁UA)∩B＝{x|−4∵ 集合A＝{x|a∴ A⊆B，
∴ ，解得−5≤a<1．
∴ 实数a的取值范围是[−1, 7)．
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）a＝1时，求出集合A，从而得到∁UA，进而能求出(∁UA)∩B．
（2）推民出A⊆B，从而，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】
a＝1时，全集U＝R，B＝{x|−1∴ ∁UA＝{x|x≤1或x>3}，
(∁UA)∩B＝{x|−4∵ 集合A＝{x|a∴ A⊆B，
∴ ，解得−5≤a<1．
∴ 实数a的取值范围是[−1, 7)．
【答案】
由题意得，tanα=43，
2sin(π+α)+cs(−α)cs(α−π2)−sin(3π2+α)=−2sinα+csαsinα+csα=1−2tanαtanα+1=−57，
若α,β∈(0,π2)，且cs(α+β)＝−55，tanα=43，
则sinα＝45，csα＝35，sin(α+β)=255，
所以sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−sinαcs(α+β)，
=255×35−(−55)×45=255，
csβ＝55
故tanβ=sinβcsβ=2．
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
（1）由题意得，tanα=43，然后结合诱导公式及同角基本关系进行化简，代入可求，
（2）由已知可求sinα，csα，sin(α+β)，然后利用sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−sinαcs(α+β)，代入可求，再有同角基本关系可求．
【解答】
由题意得，tanα=43，
2sin(π+α)+cs(−α)cs(α−π2)−sin(3π2+α)=−2sinα+csαsinα+csα=1−2tanαtanα+1=−57，
若α,β∈(0,π2)，且cs(α+β)＝−55，tanα=43，
则sinα＝45，csα＝35，sin(α+β)=255，
所以sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−sinαcs(α+β)，
=255×35−(−55)×45=255，
csβ＝55
故tanβ=sinβcsβ=2．
【答案】
＝-sin6x＝cs(2x+），
令2x+＝kπ，k∈Z，
f(x)图象的对称轴方程x＝，k∈Z，
若存在x0∈[0, π]6)≤t+2，
则f(x)min≤t+2，
由x∈[3, π]得2x+]，
根据余弦函数的性质可得，当2x+，即x＝时，
所以−1≤t+2，
故t≥−3．
【考点】
正弦函数的奇偶性和对称性
两角和与差的三角函数
【解析】
（1）先利用二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合余弦函数的对称性可求，
（2）问题转化为f(x)max≤t+2，然后结合余弦函数的性质可求．
【解答】
＝-sin6x＝cs(2x+），
令2x+＝kπ，k∈Z，
f(x)图象的对称轴方程x＝，k∈Z，
若存在x0∈[0, π]6)≤t+2，
则f(x)min≤t+2，
由x∈[3, π]得2x+]，
根据余弦函数的性质可得，当2x+，即x＝时，
所以−1≤t+2，
故t≥−3．
【答案】
当x<0时，设f(x)＝ax2+bx+c(a≠4)，
∵ f(−3)＝f(−1)＝2，f(−4)＝0，
∴ ，解得，
∴ f(x)＝−x2−7x，
当x>0时，−x<0，
∴ f(−x)＝−(−x)3+4x＝−x2+3x，
又∵ 函数f(x)是在R上的奇函数，
∴ f(−x)＝−f(x)，
∴ f(x)＝x2−4x，
又f(0)＝6，
∴ 函数f(x)在R上的解析式为：f(x)＝．
函数f(x)的大致图象，
【考点】
二次函数的性质
二次函数的图象
【解析】
（1）先利用待定系数法求出当x<0时函数f(x)的解析式，再利用函数的奇偶性求出当x>0时的解析式，从而得到函数f(x)在R上的解析式．
（2）画出函数f(x)的大致图象，根据图象得到−2≤lg2m<2，进而解出m的取值范围．
【解答】
当x<0时，设f(x)＝ax2+bx+c(a≠4)，
∵ f(−3)＝f(−1)＝2，f(−4)＝0，
∴ ，解得，
∴ f(x)＝−x2−7x，
当x>0时，−x<0，
∴ f(−x)＝−(−x)3+4x＝−x2+3x，
又∵ 函数f(x)是在R上的奇函数，
∴ f(−x)＝−f(x)，
∴ f(x)＝x2−4x，
又f(0)＝6，
∴ 函数f(x)在R上的解析式为：f(x)＝．
函数f(x)的大致图象，
【答案】
因为函数(m∈R)的图象关于坐标原点对称，
故函数f(x)为奇函数，
所以f(−x)＝−f(x)，即恒成立，
所以恒成立，即，
整理可得(m4−1)x2＝6恒成立，故m2−1＝3，解得m＝±1，
当m＝1时，不成立，
故m＝−1，
此时，
令，解得x<−1或x>2，
故f(x)的定义域为(−∞, −1)∪(1；
h(x)＝f(x)−ln(x+tanα)＝，
令t＝tanα，则x+t>0，
故h(x)＝，
h′(x)＝，
因为，
所以h′(x)<0，
故函数h(x)为单调递减函数，
因为h(x)在[4, 3]上有零点，
则有，即，
解得−1≤t≤1，
所以−7≤tanα≤1，
解得α∈，
所以α的取值范围是．
【考点】
函数的定义域及其求法
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）利用图象关于原点对称，得到函数f(x)为奇函数，利用奇函数的定义求出m的值，再利用对数的真数大于零，列出不等式，求解即可．
（2）求导研究函数h(x)的单调性，然后利用零点的存在性定理将问题转化为，再利用正切函数的性质求解不等式即可．
【解答】
因为函数(m∈R)的图象关于坐标原点对称，
故函数f(x)为奇函数，
所以f(−x)＝−f(x)，即恒成立，
所以恒成立，即，
整理可得(m4−1)x2＝6恒成立，故m2−1＝3，解得m＝±1，
当m＝1时，不成立，
故m＝−1，
此时，
令，解得x<−1或x>2，
故f(x)的定义域为(−∞, −1)∪(1；
h(x)＝f(x)−ln(x+tanα)＝，
令t＝tanα，则x+t>0，
故h(x)＝，
h′(x)＝，
因为，
所以h′(x)<0，
故函数h(x)为单调递减函数，
因为h(x)在[4, 3]上有零点，
则有，即，
解得−1≤t≤1，
所以−7≤tanα≤1，
解得α∈，
所以α的取值范围是．
【答案】
∵ g(mx2+2x+5)的定义域为R，∴ mx2+2x+6>0 在R上恒成立
m>0 且82−4×m×3<0 解之得 故，+∞)．
由题意得：f(x)＝2x，化简不等式 ⇔
⇔(2x)5−b×2x+(b+1)>4⇔(2x+1)（8x−(b+1)）>0
⇔5x−(b+1)>0⇔6x>b+1，
分情况讨论：①当 b+1≤2 即 b≤−1 时，x∈R，
②当 b+1>6 即 b>−1 时，2x>b+3⇔⇔x>lg2(b+7)，
∴ 只要 lg2(b+1)由①②得：实数b的取值范围为(−∞, 2)．
【考点】
反函数
函数恒成立问题
【解析】
（1）对数函数定义域为x>0，由函数g(mx2+2x+1)的定义域为R得，mx2+2x+1>0在R上恒成立，从而m>0且△<0，解不等式组求实数m的取值范围．
（2）对不等式等解变形，分情况讨论实数b的取值范围．
【解答】
∵ g(mx2+2x+5)的定义域为R，∴ mx2+2x+6>0 在R上恒成立
m>0 且82−4×m×3<0 解之得 故，+∞)．
由题意得：f(x)＝2x，化简不等式 ⇔
⇔(2x)5−b×2x+(b+1)>4⇔(2x+1)（8x−(b+1)）>0
⇔5x−(b+1)>0⇔6x>b+1，
分情况讨论：①当 b+1≤2 即 b≤−1 时，x∈R，
②当 b+1>6 即 b>−1 时，2x>b+3⇔⇔x>lg2(b+7)，
∴ 只要 lg2(b+1)由①②得：实数b的取值范围为(−∞, 2)．