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2020-2021学年山东省聊城市高三（上）期中考试数学试卷人教A版（2019）
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这是一份2020-2021学年山东省聊城市高三（上）期中考试数学试卷人教A版（2019），共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A=x|x−1>0，B=y|y=2x−1，则A∪B=( )
A.1,+∞B.−1,+∞C.−∞,−1D.−∞,1
2. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=1+ai2i为“等部复数”，则实数a的值为（ ）
A.−1B.0C.1D.2
3. 已知条件p:x2+x−2>0，条件q:xA.a≥1B.a≤1C.a≥−2 D.a≤−2
4. 已知函数y=fx的图象如图所示，则此函数可能是( )
A.fx=csx⋅lnxB.fx=csx⋅ln|x|
C.fx=−csx⋅ln|x|D.fx=|csxlnx|
5. 刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n很大时，用圆内接正n边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率π≈3.1416．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cs89∘的近似值为( )
6. 函数fx=sinωx+φω>0,|φ|<π2的图象如图所示，为了得到gx=sin3x−π4的图象，只需将fx的图象( )
A.向右平移π6个单位长度B.向左平移π6个单位长度
C.向右平移π2个单位长度D.向左平移π2个单位长度
7. 若函数fx为定义在R上的偶函数，且在0,+∞内是增函数，又f2=0，则不等式xfx−1>0的解集为( )
A.−∞,−2∪0,2B.−1,1∪3,+∞C.−1,0∪3,+∞D.−2,0∪2,+∞
8. 已知a，b∈R，ex≥ax+b对任意的x∈R恒成立，则ab的最大值为（ ）
A.1eB.1C.2D.e2
二、多选题
已知a,b∈R，下列说法正确的有（ ）
A.若a>b，则1a2<1b2B.若a>b，则a3>b3
C.若ab=1，则a+b≥2D.若a2+b2=1，则ab≤12
某大学进行强基计划招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：
则下面判断中一定正确的是（ ）
A.甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
B.乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
D.甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，丙同学更靠前
已知向量e1→，e2→是平面α内的一组基底向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当OP→=xe1→+ye2→时，则称有序实数对x,y为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为x1,y1，x2,y2，关于下列命题正确的是( )
A.线段A、B的中点的广义坐标为(x1+x22,y1+y22)
B.A、B两点间的距离为(x1−x2)2+(y1−y2)2
C.向量OA→平行于向量OB→的充要条件是x1y2=x2y1
D.向量OA→垂直于OB→的充要条件是x1x2+y1y2=0
已知△ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，csA−C=csB+12，延长BA至D．则下面结论正确的是（ ）
A.A=π6
B.B=π3
C.若CD=3，则△ACD周长的最大值为23+3
D.若BD=4，则△ACD面积的最大值为3
三、填空题
若曲线fx=xsinx在x=π2处的切线与直线ax−y+1=0平行，则实数a=________．
已知△ABC中，AC=1，BC=3，AB=2，点M是线段AB的中点，则CM→⋅CA→=________.
2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列an，己知a1=1，a2=2，且满足an+2−an=1−−1n，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有________.
设 fx=|lnx|,0四、解答题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acsB+csC=b+ccsA ，S△ABC=103.
(1)若△ABC还同时满足下列三个条件中的两个：①a=7，②b=10，③c=8，请指出这两个条件，并说明理由；
(2)若a=26，求△ABC的周长．
Sn为等差数列an的前n项和，且a1=2，S7=35，记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，lg99=1.
(1)求b1，b11，b101;
(2)求数列bn的前2020项和．
已知函数fx=lg33x+1+kxk∈R是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若不等式fx−12x−a≤0对x∈[0,+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数fx=2sinωx+φω>0,|φ|<π2的图像与直线y=2两相邻交点之间的距离为π，且图像关于x=π12对称．
(1)求y=fx的解析式；
(2)令函数gx=fx+1，且y=gx在0,a上恰有10个零点，求a的取值范围．
某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款智能手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本200万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本Px万元，且 Px=5x2+100x,0(1)求出2021年的利润y（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润=销售额−成本）；
(2)2021年年产量x（千部）为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
已知函数fx=ex−1−asinxa∈R.
(1)当a=1时，判断fx在0,+∞的单调性；
(2)当x∈0,π时，fx≥0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省聊城市高三（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
并集及其运算
【解析】
求出集合A，B，再利用集合的并集运算求解即可.
【解答】
解：∵ 集合A=x|x−1>0=x|x>1，
B=y|y=2x−1=y|y>−1，
∴ A∪B=−1,+∞ ．
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
先化简复数Z，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出a的值．
【解答】
解：z=1+ai2i=a2−i2，
∵ 复数z=1+ai2i为“等部复数”，
∴ a2=−12，即a=−1.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】
解：由x2+x−2>0得x>1或x<−2，
设A={x|x>1或x<−2}，B=x|x若p是q的必要不充分条件，
则a≤−2.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
先根据图象确定函数的奇偶性，再根据f(x)=4处的函数值确定正确答案.
【解答】
解：由图可看出，图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，
即f−x=fx，
A，f−x=cs−xln−x=csxln−x≠fx，
B， f−x=cs−xln−x=csxlnx=fx，
C，f−x=−cs−xln−x=−csxlnx=fx，
D，f−x=cs−xln−x=csxln−x≠fx，
∴ BC为偶函数，
从图可以看出当x=4时，fx>0，
∴ B，f4=cs4ln4<0，
C，f4=−cs4ln4>0，符合题意.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
三角形的面积公式
解三角形
【解析】
将一个单位圆分成360个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为1∘，由这360个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，能求出cs89∘的近似值．
【解答】
解：如图所示，画出半径为r的圆的内接正n边形，
当n=360时，每个等腰三角形的顶角360∘360=1∘ ，
则其面积为S=12r2sin1∘.
又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，
所以360×12r2sin1∘≈πr2，
所以cs89∘≈π180≈0.01745.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得fx的解析式．再根据函数y=Asinωx+φ的图象变换规律，得出结论．
【解答】
解：根据图象可得：14⋅2πω=5π12−π4，
∴ ω=3.
∵ |φ|<π2，可得3×π4+φ=π，
∴ φ=π4，
∴ fx=sin3x+π4.
∵ gx=sin3x−π4=sin[3(x−π6)+π4]，
∴ 为了得到gx=sin3x−π4的图象，只需将fx的图象向右平移π6个单位长度.
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
由fx是定义在R上的偶函数，得fx在−∞,0上单调递减，结合函数简图可得xfx−1>0的等价不等式组，进而求出x的范围．
【解答】
解：∵fx是定义在R上的偶函数，在0,+∞上单调递增，且f2=0，
∴ fx在−∞,0上单调递减，且f−2=0，
∵xfx−1>0，
∴ ①x>0，fx−1>0，
即x>0，x−1>2，
∴ x>3；
②x<0，fx−1<0，
即 x<0，−2∴ −1∴ 不等式xfx−1>0的解集为−1,0∪3,+∞.
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
本题主要通过构造函数通过求导进行分类讨论分别使得每段上的最值恒满足条件，最后取最大值即可
【解答】
解：令fx=ex−ax−b, f′x=ex−a，
当a≤0时， fx在R上单调递增， fx≥0不恒成立；
当a>0时，易知fx在区间−∞,lna上递减，在区间lna,+∞上递增，于是
fxmin=flna=a−alna−b≥0，
⇒b≤a−alna⇒ab≤a2−a2lna，
令ℎa=a2−a2lna ，ℎ′a=a1−2lna，
易知ℎa在区间0,e上递增，在区间e,+∞上递减，
所以ℎamax=ℎe=e2，故ab的最大值为e2.
故选D.
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
基本不等式
不等式的概念与应用
不等式比较两数大小
【解析】
本题主要考查不等式的性质的运用，通过举例子以及函数单调性和基本不等式进行判断即可
【解答】
解：A、当a=1，b=−2时，已知1a2>1b2，故A错误；
B、y=x3在R上单调递增，所以由a>b可知a3>b3，故B正确；
C、a=−2，b=−12，a+b=−52<2，故C错误；
D、1=a2+b2≥2ab⇒ab≤12，故D正确.
故选BD.
【答案】
A,B,C
【考点】
进行简单的合情推理
分布的意义和作用
【解析】
【解答】
解：A，甲同学逻辑思维成绩排名比较靠前，总成绩排名比较靠后，说明甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前，故A正确；
B，乙同学的逻辑思维成绩排名比较靠后，总成绩排名比较靠前，说明乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前，故B正确；
C，逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故C正确；
D，无法判断甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名，故D错误.
故选ABC.
【答案】
A,C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的基本定理及其意义
平行向量的性质
【解析】
(x2−x1)2e1→2+(y2−y1)2e2→2+2(x2−x1)(y2−y1)e1→e2→
【解答】
解：因为点A、B的广义坐标分别为x1,y1，x2,y2，
所以OA→=x1e1→+y1e2→，OB→=x2e1→+y2e2→，
设线段AB的中点为M，
则AM→=12(OA→+OB→)=12(x1+x2)e1→+12(y1+y2)e2→，故A正确；
因为AB→=(x2−x1)e1→+(y2−y1)e2→，
所以A、B两点间的距离为(x2−x1)2e1→2+(y2−y1)2e2→2+2(x2−x1)(y2−y1)e1→e2→，
故B不一定正确；
由向量平行的充要条件得C正确；
OA→与OB→垂直，则OA→⋅OB→=0，所以x1x2e1→2+(x1y2+y1x2)e1→e2→+y1y2e2→2=0，因此D不一定正确.
故选AC．
【答案】
B,C,D
【考点】
等比中项
两角和与差的余弦公式
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
【解答】
解：由题意csA−C−csB=12，
所以csA−C+csA+C=12，
所以csAcsC=14.①
又因为a，b，c成等比数列，
所以b2=ac，
由正弦定理得：sin2B=sinAsinC，②
①−②得：14−sin2B=csAcsC−sinAsinC，
化简得：4cs2B+4csB−3=0，
解得：csB=12.
又0所以B=π3.
①+②得：csA−C=1，
即A−C=0，即A=C，
即三角形ABC为正三角形，A=B=C=π3，故A错误，B正确.
如图，
在△ACD中，由正弦定理得，
CDsin∠CAD=ACsinD=ADsin∠ACD=23，
∴AC=23sinD，
AD=23sin∠ACD=23sin(π3−∠D)，
AC+AD=23sinD+23sin(π3−∠D)
=23sin(D+π3)≤23,
△ACD的周长为AC+AD+CD，最大值为23+3，故C正确；
△ACD的面积S△ACD=12AC⋅AD⋅sin∠DAC
=12a(4−a)×32
=34a(4−a)，
=−34(a−2)2+3，
当a=2时，△ACD面积最大值为3，故D正确.
故选BCD．
三、填空题
【答案】
1
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
先求出曲线fx=xsinx在x=π2处的切线斜率为1，再利用两直线平行，两直线的斜率相等求出a即可.
【解答】
解：∵ 曲线fx=xsinx，
∴ f′x=sinx+xcsx，
∴ f′π2=sinπ2+π2csπ2=1，
∴ 曲线fx=xsinx在x=π2处的切线斜率为1，
∵ 直线ax−y+1=0的斜率为a，
∴ a=1.
故答案为：1.
【答案】
12
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
由题意得到AC→⋅BC→=0，再利用CM→⋅CA→=12CA→+CB→⋅CA→求解即可.
【解答】
解：在△ABC中，AC=1，BC=3，AB=2，
∵ AB2=AC2+BC2，
∴ AC⊥BC，
∴ AC→⋅BC→=0，
又点M是线段AB的中点，
∴ CM→=12CA→+CB→，
∴ CM→⋅CA→=12CA→+CB→⋅CA→
=12CA→2+12CA→⋅CB→
=12.
故答案为：12.
【答案】
255
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
【解答】
解：由于an+2−an=1−(−1)n，所以得 an+2−an=2(n为奇数),0(n为偶数),
即n为奇数时，an+2−an=2，n为偶数时，an+2=an，
所以a1，a3，…，a29构成公差为2的等差数列，
a2=a2=⋯=a30.
因为a1=1，a2=2，
所以a1+a2+a3+…+a29+a30=15×2+15+15×142×2=255．
故答案为：255.
【答案】
0【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
【解答】
解：函数f(x)=|lnx|，0据图易得0由题意得x1x2=1， x1+x4=x2+x3=6，
∴ x1+x2+x3+x4=12， x1=1x2.
则x12+x22+x32+x42
=x12+(6−x1)2+x22+(6−x2)2
=2(x1+x2)2−12(x1+x2)2−4+72
=2(x1+x2−3)2+50.
故答案为：0四、解答题
【答案】
解：(1)因为acsB+csC=b+ccsA ，
所以sinAcsB+csC=sinB+sinCcsA.，
所以sin(A−B)=sin(C−A).
又因为 A,B,C∈0,π，
所以A−B=C−A，即2A=B+C ，所以A=π3．
因为S△ABC=103，
所以S△ABC=12bcsinA−12bc×32=103，
所以bc=40 .
选条件①②；因为asinA=bsinB，所以732=10sinB，
所以sinB=537>1，这不可能，所以△ABC不能同时满足①②，
选条件②③，这与bc=40矛盾，所以△ABC不能同时满足②③，
选条件①③，因为a2=b2+c2−2bccsA，
所以72=b2+82−2×b×8×csπ3，
所以b=3或b=5，
又因为bc=40，所以b=5，所以△ABC同时满足①②．
(2)由262=b2+c2−2bccsπ3
=b+c2−3bc=b+c2−120 ，
所以b+c=12，
所以周长为12+26 .
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
（1）因为 acsB+csC=b+ccsA ，所以sinAcsB+csC=sinB+CcsA，又因为 A,B,C∈0,π，
，所以A−B=C−A．即2A=B+C ，所以A=π3．因为S△ABC=103，所以S△ABC=12bcsinA−12bc×32=103，所以bc=40 .
选条件①②；因为asinA=bsinB，所73−10sinB，所以sinB=537>1，这不可能，所以△ABC不能同时满足①③，
选条件②③，这与bc=40矛盾．所以△ABC不能同时满足②③，
选条件①③，因为a2=b2+c2−2bccsA，
所以72=b2+82−2×b×8×csπ3，所以b=3或b=5，又因为bc=40，所以b=5，所以△ABC同时满足①②．
（2）由262=b2+c2−2bcsπ3=b+c2−3bc=b+c2−120 ，
所以b+c=12，
所以周长为12+26 .
【解答】
解：(1)因为acsB+csC=b+ccsA ，
所以sinAcsB+csC=sinB+sinCcsA.，
所以sin(A−B)=sin(C−A).
又因为 A,B,C∈0,π，
所以A−B=C−A，即2A=B+C ，所以A=π3．
因为S△ABC=103，
所以S△ABC=12bcsinA−12bc×32=103，
所以bc=40 .
选条件①②；因为asinA=bsinB，所以732=10sinB，
所以sinB=537>1，这不可能，所以△ABC不能同时满足①②，
选条件②③，这与bc=40矛盾，所以△ABC不能同时满足②③，
选条件①③，因为a2=b2+c2−2bccsA，
所以72=b2+82−2×b×8×csπ3，
所以b=3或b=5，
又因为bc=40，所以b=5，所以△ABC同时满足①②．
(2)由262=b2+c2−2bccsπ3
=b+c2−3bc=b+c2−120 ，
所以b+c=12，
所以周长为12+26 .
【答案】
解：(1)由题意得，
S7=7a1+a72=7a4=35，
所以a4=5，
又因为a1=2，
所以d=1，
所以an=n+1，
所以bn=[lgn+1]，
所以b1=0，b11=1，b101=2 .
(2)bn=[lgn+1]，当an∈[2,10)时，bn=0；
当an∈[10,100)时，bn=1；
当an∈[100,1000) 时，bn=2；
当an∈[1000,2020]时，bn=3；
所以 T2020=0×8+1×90+2×900+3×1021=4953 .
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
数列的求和
【解析】
（1）由题意得，所以S7=7a1+a72=7a4=35，所以a4=5，又因为a1=2，所以d=1，所以an=n+1，
所以 bn=[lgn+1]，所以b1=0,b11=1,b101=2 .
【解答】
解：(1)由题意得，
S7=7a1+a72=7a4=35，
所以a4=5，
又因为a1=2，
所以d=1，
所以an=n+1，
所以bn=[lgn+1]，
所以b1=0，b11=1，b101=2 .
(2)bn=[lgn+1]，当an∈[2,10)时，bn=0；
当an∈[10,100)时，bn=1；
当an∈[100,1000) 时，bn=2；
当an∈[1000,2020]时，bn=3；
所以 T2020=0×8+1×90+2×900+3×1021=4953 .
【答案】
解：(1)因为y=f(x)是偶函数，所以∀x∈R，f−x=fx，
即lg3(3−x+1)−kx=lg3(3x+1)+kx对∀x∈R恒成立，
于是2kx=lg3(3−x+1)−lg3(3x+1)
=lg33−x+13x+1=lg33−x=−x恒成立，
而x不恒为零，所以k=−12 .
(2)因为不等式fx−12x−a≤0对x∈[0,+∞)恒成立，
即 a≥lg3(3x+1)−x在区间[0,+∞)上恒成立，
令g(x)=lg3(3x+1)−x=lg31+13x ，
因为1<1+13x≤2，所以gx=lg31+13x≤lg32，所以a≥lg32，
所以a的取值范围是[lg32,+∞) .
【考点】
函数恒成立问题
偶函数
【解析】
（1）因为y=f(x)偶函数，所以∀x∈R,f−x=fx，
即lg3(3−x+1)−kx=lg(3x+1)=lg33−x+13x+1=lg33−x=−x对∀x∈R恒成立．
是2kx=lg3(3−x+1)−lg(3x+1)=lg33−x+13x+1=lg33−x=−x恒成立，
而x不恒为零，所以k=−12 .
（2）因为不等式fx−12x−a≤0对x∈[0,+∞)恒成立，
即 a≥lg3(3x+1)−x在区间[0,+∞)恒成立，
令g(x)=lg3(3x+1)−x=lg31+13x ，
因为1<1+13x≤2，所以gx=lg81+13x≤lg32，所以a≥lg32，
所以ａ的取值范围是[lg32,+∞) .
【解答】
解：(1)因为y=f(x)是偶函数，所以∀x∈R，f−x=fx，
即lg3(3−x+1)−kx=lg3(3x+1)+kx对∀x∈R恒成立，
于是2kx=lg3(3−x+1)−lg3(3x+1)
=lg33−x+13x+1=lg33−x=−x恒成立，
而x不恒为零，所以k=−12 .
(2)因为不等式fx−12x−a≤0对x∈[0,+∞)恒成立，
即 a≥lg3(3x+1)−x在区间[0,+∞)上恒成立，
令g(x)=lg3(3x+1)−x=lg31+13x ，
因为1<1+13x≤2，所以gx=lg31+13x≤lg32，所以a≥lg32，
所以a的取值范围是[lg32,+∞) .
【答案】
解：(1)由已知可得T=π，2πω=π，
∴ ω=2，
又fx的图象关于x=π12对称，
所以2×π12+φ=kπ+π2,k∈Z，
∵ −π2<φ<π2，∴ φ=π3 .
所以fx=2sin2x+π3 .
(2)令gx=0，
求得sin2x+π3=−12，
要使y=gx在[0,a]上恰有10个零点，
则5×2π−π6≤2a+π3<5×2π+π+π6，
解得19π4≤a<65π12 . 所以a的取值范围是19π4,65π12 .
【考点】
正弦函数的周期性
正弦函数的对称性
函数的零点与方程根的关系
正弦函数的定义域和值域
【解析】
【解答】
解：(1)由已知可得T=π，2πω=π，
∴ ω=2，
又fx的图象关于x=π12对称，
所以2×π12+φ=kπ+π2,k∈Z，
∵ −π2<φ<π2，∴ φ=π3 .
所以fx=2sin2x+π3 .
(2)令gx=0，
求得sin2x+π3=−12，
要使y=gx在[0,a]上恰有10个零点，
则5×2π−π6≤2a+π3<5×2π+π+π6，
解得19π4≤a<65π12 . 所以a的取值范围是19π4,65π12 .
【答案】
解：(1)当0y=500x−(5x2+100x)−200=−5x2+400x−200，
当50≤x≤100时，
y＝500x−501x+8100x−10380−200
=−x+8100x+10180，
∴y=−5x2+400x−200,0(2)若0若50≤x≤100，y=−x+8100x+10180≤10180−28100=10000，
当且仅当x=8100x时，即x=90时，ymax=10000万元，
∴2021年年产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润是10000万元．
【考点】
分段函数的应用
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)当0y=500x−(5x2+100x)−200=−5x2+400x−200，
当50≤x≤100时，
y＝500x−501x+8100x−10380−200
=−x+8100x+10180，
∴y=−5x2+400x−200,0(2)若0若50≤x≤100，y=−x+8100x+10180≤10180−28100=10000，
当且仅当x=8100x时，即x=90时，ymax=10000万元，
∴2021年年产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润是10000万元．
【答案】
解：(1)当a=1时，f(x)=ex−1−sinx，
所以f′(x)=ex−csx，
当x∈(0,+∞)时，ex−1>0，csx≤1，
所以f′(x)>0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)因为f(x)=ex−1−asinx(a∈R)，
所以f′(x)=ex−acsx，
设ℎ(x)=f′(x)，ℎ′(x)=ex+asinx，
当a≤0时，即−a≥0时，
因为x∈[0,π]，sinx≥0，
所以−asinx≥0，
而ex−1≥0，
所以ex−1−asinx≥0，即f(x)≥0恒成立．
当0所以f′(x)在[0,π]上递增，而f′(0)=1−a≥0，
所以f′(x)≥f′(0)=0，
所以f(x)在[0,π]上递增，
即f(x)≥f(0)=0成立，
当a≥1时，ℎ′(x)=ex+asinx≥0，
所以f′(x)在[0,π]上递增，而f′(0)=1−a<0，f′π2=eπ2>0，
所以存在x0∈[0,π]，有f′x0=0，
当0当x00，f(x)单调递增，
所以当x=x0时，f(x)取得最小值，最小值为fx0，
而fx0综上：实数a的取值范围是(−∞,1]．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
【解答】
解：(1)当a=1时，f(x)=ex−1−sinx，
所以f′(x)=ex−csx，
当x∈(0,+∞)时，ex−1>0，csx≤1，
所以f′(x)>0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)因为f(x)=ex−1−asinx(a∈R)，
所以f′(x)=ex−acsx，
设ℎ(x)=f′(x)，ℎ′(x)=ex+asinx，
当a≤0时，即−a≥0时，
因为x∈[0,π]，sinx≥0，
所以−asinx≥0，
而ex−1≥0，
所以ex−1−asinx≥0，即f(x)≥0恒成立．
当0所以f′(x)在[0,π]上递增，而f′(0)=1−a≥0，
所以f′(x)≥f′(0)=0，
所以f(x)在[0,π]上递增，
即f(x)≥f(0)=0成立，
当a≥1时，ℎ′(x)=ex+asinx≥0，
所以f′(x)在[0,π]上递增，而f′(0)=1−a<0，f′π2=eπ2>0，
所以存在x0∈[0,π]，有f′x0=0，
当0当x00，f(x)单调递增，
所以当x=x0时，f(x)取得最小值，最小值为fx0，
而fx0综上：实数a的取值范围是(−∞,1]．
1. 已知集合A=x|x−1>0，B=y|y=2x−1，则A∪B=( )
A.1,+∞B.−1,+∞C.−∞,−1D.−∞,1
2. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=1+ai2i为“等部复数”，则实数a的值为（ ）
A.−1B.0C.1D.2
3. 已知条件p:x2+x−2>0，条件q:x
4. 已知函数y=fx的图象如图所示，则此函数可能是( )
A.fx=csx⋅lnxB.fx=csx⋅ln|x|
C.fx=−csx⋅ln|x|D.fx=|csxlnx|
5. 刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n很大时，用圆内接正n边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率π≈3.1416．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cs89∘的近似值为( )
6. 函数fx=sinωx+φω>0,|φ|<π2的图象如图所示，为了得到gx=sin3x−π4的图象，只需将fx的图象( )
A.向右平移π6个单位长度B.向左平移π6个单位长度
C.向右平移π2个单位长度D.向左平移π2个单位长度
7. 若函数fx为定义在R上的偶函数，且在0,+∞内是增函数，又f2=0，则不等式xfx−1>0的解集为( )
A.−∞,−2∪0,2B.−1,1∪3,+∞C.−1,0∪3,+∞D.−2,0∪2,+∞
8. 已知a，b∈R，ex≥ax+b对任意的x∈R恒成立，则ab的最大值为（ ）
A.1eB.1C.2D.e2
二、多选题
已知a,b∈R，下列说法正确的有（ ）
A.若a>b，则1a2<1b2B.若a>b，则a3>b3
C.若ab=1，则a+b≥2D.若a2+b2=1，则ab≤12
某大学进行强基计划招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：
则下面判断中一定正确的是（ ）
A.甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
B.乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
D.甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，丙同学更靠前
已知向量e1→，e2→是平面α内的一组基底向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当OP→=xe1→+ye2→时，则称有序实数对x,y为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为x1,y1，x2,y2，关于下列命题正确的是( )
A.线段A、B的中点的广义坐标为(x1+x22,y1+y22)
B.A、B两点间的距离为(x1−x2)2+(y1−y2)2
C.向量OA→平行于向量OB→的充要条件是x1y2=x2y1
D.向量OA→垂直于OB→的充要条件是x1x2+y1y2=0
已知△ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，csA−C=csB+12，延长BA至D．则下面结论正确的是（ ）
A.A=π6
B.B=π3
C.若CD=3，则△ACD周长的最大值为23+3
D.若BD=4，则△ACD面积的最大值为3
三、填空题
若曲线fx=xsinx在x=π2处的切线与直线ax−y+1=0平行，则实数a=________．
已知△ABC中，AC=1，BC=3，AB=2，点M是线段AB的中点，则CM→⋅CA→=________.
2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列an，己知a1=1，a2=2，且满足an+2−an=1−−1n，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有________.
设 fx=|lnx|,0
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acsB+csC=b+ccsA ，S△ABC=103.
(1)若△ABC还同时满足下列三个条件中的两个：①a=7，②b=10，③c=8，请指出这两个条件，并说明理由；
(2)若a=26，求△ABC的周长．
Sn为等差数列an的前n项和，且a1=2，S7=35，记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，lg99=1.
(1)求b1，b11，b101;
(2)求数列bn的前2020项和．
已知函数fx=lg33x+1+kxk∈R是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若不等式fx−12x−a≤0对x∈[0,+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数fx=2sinωx+φω>0,|φ|<π2的图像与直线y=2两相邻交点之间的距离为π，且图像关于x=π12对称．
(1)求y=fx的解析式；
(2)令函数gx=fx+1，且y=gx在0,a上恰有10个零点，求a的取值范围．
某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款智能手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本200万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本Px万元，且 Px=5x2+100x,0
(2)2021年年产量x（千部）为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
已知函数fx=ex−1−asinxa∈R.
(1)当a=1时，判断fx在0,+∞的单调性；
(2)当x∈0,π时，fx≥0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省聊城市高三（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
并集及其运算
【解析】
求出集合A，B，再利用集合的并集运算求解即可.
【解答】
解：∵ 集合A=x|x−1>0=x|x>1，
B=y|y=2x−1=y|y>−1，
∴ A∪B=−1,+∞ ．
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
先化简复数Z，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出a的值．
【解答】
解：z=1+ai2i=a2−i2，
∵ 复数z=1+ai2i为“等部复数”，
∴ a2=−12，即a=−1.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】
解：由x2+x−2>0得x>1或x<−2，
设A={x|x>1或x<−2}，B=x|x
则a≤−2.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
先根据图象确定函数的奇偶性，再根据f(x)=4处的函数值确定正确答案.
【解答】
解：由图可看出，图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，
即f−x=fx，
A，f−x=cs−xln−x=csxln−x≠fx，
B， f−x=cs−xln−x=csxlnx=fx，
C，f−x=−cs−xln−x=−csxlnx=fx，
D，f−x=cs−xln−x=csxln−x≠fx，
∴ BC为偶函数，
从图可以看出当x=4时，fx>0，
∴ B，f4=cs4ln4<0，
C，f4=−cs4ln4>0，符合题意.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
三角形的面积公式
解三角形
【解析】
将一个单位圆分成360个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为1∘，由这360个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，能求出cs89∘的近似值．
【解答】
解：如图所示，画出半径为r的圆的内接正n边形，
当n=360时，每个等腰三角形的顶角360∘360=1∘ ，
则其面积为S=12r2sin1∘.
又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，
所以360×12r2sin1∘≈πr2，
所以cs89∘≈π180≈0.01745.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得fx的解析式．再根据函数y=Asinωx+φ的图象变换规律，得出结论．
【解答】
解：根据图象可得：14⋅2πω=5π12−π4，
∴ ω=3.
∵ |φ|<π2，可得3×π4+φ=π，
∴ φ=π4，
∴ fx=sin3x+π4.
∵ gx=sin3x−π4=sin[3(x−π6)+π4]，
∴ 为了得到gx=sin3x−π4的图象，只需将fx的图象向右平移π6个单位长度.
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
由fx是定义在R上的偶函数，得fx在−∞,0上单调递减，结合函数简图可得xfx−1>0的等价不等式组，进而求出x的范围．
【解答】
解：∵fx是定义在R上的偶函数，在0,+∞上单调递增，且f2=0，
∴ fx在−∞,0上单调递减，且f−2=0，
∵xfx−1>0，
∴ ①x>0，fx−1>0，
即x>0，x−1>2，
∴ x>3；
②x<0，fx−1<0，
即 x<0，−2
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
本题主要通过构造函数通过求导进行分类讨论分别使得每段上的最值恒满足条件，最后取最大值即可
【解答】
解：令fx=ex−ax−b, f′x=ex−a，
当a≤0时， fx在R上单调递增， fx≥0不恒成立；
当a>0时，易知fx在区间−∞,lna上递减，在区间lna,+∞上递增，于是
fxmin=flna=a−alna−b≥0，
⇒b≤a−alna⇒ab≤a2−a2lna，
令ℎa=a2−a2lna ，ℎ′a=a1−2lna，
易知ℎa在区间0,e上递增，在区间e,+∞上递减，
所以ℎamax=ℎe=e2，故ab的最大值为e2.
故选D.
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
基本不等式
不等式的概念与应用
不等式比较两数大小
【解析】
本题主要考查不等式的性质的运用，通过举例子以及函数单调性和基本不等式进行判断即可
【解答】
解：A、当a=1，b=−2时，已知1a2>1b2，故A错误；
B、y=x3在R上单调递增，所以由a>b可知a3>b3，故B正确；
C、a=−2，b=−12，a+b=−52<2，故C错误；
D、1=a2+b2≥2ab⇒ab≤12，故D正确.
故选BD.
【答案】
A,B,C
【考点】
进行简单的合情推理
分布的意义和作用
【解析】
【解答】
解：A，甲同学逻辑思维成绩排名比较靠前，总成绩排名比较靠后，说明甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前，故A正确；
B，乙同学的逻辑思维成绩排名比较靠后，总成绩排名比较靠前，说明乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前，故B正确；
C，逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故C正确；
D，无法判断甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名，故D错误.
故选ABC.
【答案】
A,C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的基本定理及其意义
平行向量的性质
【解析】
(x2−x1)2e1→2+(y2−y1)2e2→2+2(x2−x1)(y2−y1)e1→e2→
【解答】
解：因为点A、B的广义坐标分别为x1,y1，x2,y2，
所以OA→=x1e1→+y1e2→，OB→=x2e1→+y2e2→，
设线段AB的中点为M，
则AM→=12(OA→+OB→)=12(x1+x2)e1→+12(y1+y2)e2→，故A正确；
因为AB→=(x2−x1)e1→+(y2−y1)e2→，
所以A、B两点间的距离为(x2−x1)2e1→2+(y2−y1)2e2→2+2(x2−x1)(y2−y1)e1→e2→，
故B不一定正确；
由向量平行的充要条件得C正确；
OA→与OB→垂直，则OA→⋅OB→=0，所以x1x2e1→2+(x1y2+y1x2)e1→e2→+y1y2e2→2=0，因此D不一定正确.
故选AC．
【答案】
B,C,D
【考点】
等比中项
两角和与差的余弦公式
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
【解答】
解：由题意csA−C−csB=12，
所以csA−C+csA+C=12，
所以csAcsC=14.①
又因为a，b，c成等比数列，
所以b2=ac，
由正弦定理得：sin2B=sinAsinC，②
①−②得：14−sin2B=csAcsC−sinAsinC，
化简得：4cs2B+4csB−3=0，
解得：csB=12.
又0
①+②得：csA−C=1，
即A−C=0，即A=C，
即三角形ABC为正三角形，A=B=C=π3，故A错误，B正确.
如图，
在△ACD中，由正弦定理得，
CDsin∠CAD=ACsinD=ADsin∠ACD=23，
∴AC=23sinD，
AD=23sin∠ACD=23sin(π3−∠D)，
AC+AD=23sinD+23sin(π3−∠D)
=23sin(D+π3)≤23,
△ACD的周长为AC+AD+CD，最大值为23+3，故C正确；
△ACD的面积S△ACD=12AC⋅AD⋅sin∠DAC
=12a(4−a)×32
=34a(4−a)，
=−34(a−2)2+3，
当a=2时，△ACD面积最大值为3，故D正确.
故选BCD．
三、填空题
【答案】
1
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
先求出曲线fx=xsinx在x=π2处的切线斜率为1，再利用两直线平行，两直线的斜率相等求出a即可.
【解答】
解：∵ 曲线fx=xsinx，
∴ f′x=sinx+xcsx，
∴ f′π2=sinπ2+π2csπ2=1，
∴ 曲线fx=xsinx在x=π2处的切线斜率为1，
∵ 直线ax−y+1=0的斜率为a，
∴ a=1.
故答案为：1.
【答案】
12
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
由题意得到AC→⋅BC→=0，再利用CM→⋅CA→=12CA→+CB→⋅CA→求解即可.
【解答】
解：在△ABC中，AC=1，BC=3，AB=2，
∵ AB2=AC2+BC2，
∴ AC⊥BC，
∴ AC→⋅BC→=0，
又点M是线段AB的中点，
∴ CM→=12CA→+CB→，
∴ CM→⋅CA→=12CA→+CB→⋅CA→
=12CA→2+12CA→⋅CB→
=12.
故答案为：12.
【答案】
255
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
【解答】
解：由于an+2−an=1−(−1)n，所以得 an+2−an=2(n为奇数),0(n为偶数),
即n为奇数时，an+2−an=2，n为偶数时，an+2=an，
所以a1，a3，…，a29构成公差为2的等差数列，
a2=a2=⋯=a30.
因为a1=1，a2=2，
所以a1+a2+a3+…+a29+a30=15×2+15+15×142×2=255．
故答案为：255.
【答案】
0
函数的零点与方程根的关系
【解析】
【解答】
解：函数f(x)=|lnx|，0
∴ x1+x2+x3+x4=12， x1=1x2.
则x12+x22+x32+x42
=x12+(6−x1)2+x22+(6−x2)2
=2(x1+x2)2−12(x1+x2)2−4+72
=2(x1+x2−3)2+50.
故答案为：0
【答案】
解：(1)因为acsB+csC=b+ccsA ，
所以sinAcsB+csC=sinB+sinCcsA.，
所以sin(A−B)=sin(C−A).
又因为 A,B,C∈0,π，
所以A−B=C−A，即2A=B+C ，所以A=π3．
因为S△ABC=103，
所以S△ABC=12bcsinA−12bc×32=103，
所以bc=40 .
选条件①②；因为asinA=bsinB，所以732=10sinB，
所以sinB=537>1，这不可能，所以△ABC不能同时满足①②，
选条件②③，这与bc=40矛盾，所以△ABC不能同时满足②③，
选条件①③，因为a2=b2+c2−2bccsA，
所以72=b2+82−2×b×8×csπ3，
所以b=3或b=5，
又因为bc=40，所以b=5，所以△ABC同时满足①②．
(2)由262=b2+c2−2bccsπ3
=b+c2−3bc=b+c2−120 ，
所以b+c=12，
所以周长为12+26 .
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
（1）因为 acsB+csC=b+ccsA ，所以sinAcsB+csC=sinB+CcsA，又因为 A,B,C∈0,π，
，所以A−B=C−A．即2A=B+C ，所以A=π3．因为S△ABC=103，所以S△ABC=12bcsinA−12bc×32=103，所以bc=40 .
选条件①②；因为asinA=bsinB，所73−10sinB，所以sinB=537>1，这不可能，所以△ABC不能同时满足①③，
选条件②③，这与bc=40矛盾．所以△ABC不能同时满足②③，
选条件①③，因为a2=b2+c2−2bccsA，
所以72=b2+82−2×b×8×csπ3，所以b=3或b=5，又因为bc=40，所以b=5，所以△ABC同时满足①②．
（2）由262=b2+c2−2bcsπ3=b+c2−3bc=b+c2−120 ，
所以b+c=12，
所以周长为12+26 .
【解答】
解：(1)因为acsB+csC=b+ccsA ，
所以sinAcsB+csC=sinB+sinCcsA.，
所以sin(A−B)=sin(C−A).
又因为 A,B,C∈0,π，
所以A−B=C−A，即2A=B+C ，所以A=π3．
因为S△ABC=103，
所以S△ABC=12bcsinA−12bc×32=103，
所以bc=40 .
选条件①②；因为asinA=bsinB，所以732=10sinB，
所以sinB=537>1，这不可能，所以△ABC不能同时满足①②，
选条件②③，这与bc=40矛盾，所以△ABC不能同时满足②③，
选条件①③，因为a2=b2+c2−2bccsA，
所以72=b2+82−2×b×8×csπ3，
所以b=3或b=5，
又因为bc=40，所以b=5，所以△ABC同时满足①②．
(2)由262=b2+c2−2bccsπ3
=b+c2−3bc=b+c2−120 ，
所以b+c=12，
所以周长为12+26 .
【答案】
解：(1)由题意得，
S7=7a1+a72=7a4=35，
所以a4=5，
又因为a1=2，
所以d=1，
所以an=n+1，
所以bn=[lgn+1]，
所以b1=0，b11=1，b101=2 .
(2)bn=[lgn+1]，当an∈[2,10)时，bn=0；
当an∈[10,100)时，bn=1；
当an∈[100,1000) 时，bn=2；
当an∈[1000,2020]时，bn=3；
所以 T2020=0×8+1×90+2×900+3×1021=4953 .
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
数列的求和
【解析】
（1）由题意得，所以S7=7a1+a72=7a4=35，所以a4=5，又因为a1=2，所以d=1，所以an=n+1，
所以 bn=[lgn+1]，所以b1=0,b11=1,b101=2 .
【解答】
解：(1)由题意得，
S7=7a1+a72=7a4=35，
所以a4=5，
又因为a1=2，
所以d=1，
所以an=n+1，
所以bn=[lgn+1]，
所以b1=0，b11=1，b101=2 .
(2)bn=[lgn+1]，当an∈[2,10)时，bn=0；
当an∈[10,100)时，bn=1；
当an∈[100,1000) 时，bn=2；
当an∈[1000,2020]时，bn=3；
所以 T2020=0×8+1×90+2×900+3×1021=4953 .
【答案】
解：(1)因为y=f(x)是偶函数，所以∀x∈R，f−x=fx，
即lg3(3−x+1)−kx=lg3(3x+1)+kx对∀x∈R恒成立，
于是2kx=lg3(3−x+1)−lg3(3x+1)
=lg33−x+13x+1=lg33−x=−x恒成立，
而x不恒为零，所以k=−12 .
(2)因为不等式fx−12x−a≤0对x∈[0,+∞)恒成立，
即 a≥lg3(3x+1)−x在区间[0,+∞)上恒成立，
令g(x)=lg3(3x+1)−x=lg31+13x ，
因为1<1+13x≤2，所以gx=lg31+13x≤lg32，所以a≥lg32，
所以a的取值范围是[lg32,+∞) .
【考点】
函数恒成立问题
偶函数
【解析】
（1）因为y=f(x)偶函数，所以∀x∈R,f−x=fx，
即lg3(3−x+1)−kx=lg(3x+1)=lg33−x+13x+1=lg33−x=−x对∀x∈R恒成立．
是2kx=lg3(3−x+1)−lg(3x+1)=lg33−x+13x+1=lg33−x=−x恒成立，
而x不恒为零，所以k=−12 .
（2）因为不等式fx−12x−a≤0对x∈[0,+∞)恒成立，
即 a≥lg3(3x+1)−x在区间[0,+∞)恒成立，
令g(x)=lg3(3x+1)−x=lg31+13x ，
因为1<1+13x≤2，所以gx=lg81+13x≤lg32，所以a≥lg32，
所以ａ的取值范围是[lg32,+∞) .
【解答】
解：(1)因为y=f(x)是偶函数，所以∀x∈R，f−x=fx，
即lg3(3−x+1)−kx=lg3(3x+1)+kx对∀x∈R恒成立，
于是2kx=lg3(3−x+1)−lg3(3x+1)
=lg33−x+13x+1=lg33−x=−x恒成立，
而x不恒为零，所以k=−12 .
(2)因为不等式fx−12x−a≤0对x∈[0,+∞)恒成立，
即 a≥lg3(3x+1)−x在区间[0,+∞)上恒成立，
令g(x)=lg3(3x+1)−x=lg31+13x ，
因为1<1+13x≤2，所以gx=lg31+13x≤lg32，所以a≥lg32，
所以a的取值范围是[lg32,+∞) .
【答案】
解：(1)由已知可得T=π，2πω=π，
∴ ω=2，
又fx的图象关于x=π12对称，
所以2×π12+φ=kπ+π2,k∈Z，
∵ −π2<φ<π2，∴ φ=π3 .
所以fx=2sin2x+π3 .
(2)令gx=0，
求得sin2x+π3=−12，
要使y=gx在[0,a]上恰有10个零点，
则5×2π−π6≤2a+π3<5×2π+π+π6，
解得19π4≤a<65π12 . 所以a的取值范围是19π4,65π12 .
【考点】
正弦函数的周期性
正弦函数的对称性
函数的零点与方程根的关系
正弦函数的定义域和值域
【解析】
【解答】
解：(1)由已知可得T=π，2πω=π，
∴ ω=2，
又fx的图象关于x=π12对称，
所以2×π12+φ=kπ+π2,k∈Z，
∵ −π2<φ<π2，∴ φ=π3 .
所以fx=2sin2x+π3 .
(2)令gx=0，
求得sin2x+π3=−12，
要使y=gx在[0,a]上恰有10个零点，
则5×2π−π6≤2a+π3<5×2π+π+π6，
解得19π4≤a<65π12 . 所以a的取值范围是19π4,65π12 .
【答案】
解：(1)当0
当50≤x≤100时，
y＝500x−501x+8100x−10380−200
=−x+8100x+10180，
∴y=−5x2+400x−200,0
当且仅当x=8100x时，即x=90时，ymax=10000万元，
∴2021年年产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润是10000万元．
【考点】
分段函数的应用
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)当0
当50≤x≤100时，
y＝500x−501x+8100x−10380−200
=−x+8100x+10180，
∴y=−5x2+400x−200,0
当且仅当x=8100x时，即x=90时，ymax=10000万元，
∴2021年年产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润是10000万元．
【答案】
解：(1)当a=1时，f(x)=ex−1−sinx，
所以f′(x)=ex−csx，
当x∈(0,+∞)时，ex−1>0，csx≤1，
所以f′(x)>0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)因为f(x)=ex−1−asinx(a∈R)，
所以f′(x)=ex−acsx，
设ℎ(x)=f′(x)，ℎ′(x)=ex+asinx，
当a≤0时，即−a≥0时，
因为x∈[0,π]，sinx≥0，
所以−asinx≥0，
而ex−1≥0，
所以ex−1−asinx≥0，即f(x)≥0恒成立．
当0
所以f′(x)≥f′(0)=0，
所以f(x)在[0,π]上递增，
即f(x)≥f(0)=0成立，
当a≥1时，ℎ′(x)=ex+asinx≥0，
所以f′(x)在[0,π]上递增，而f′(0)=1−a<0，f′π2=eπ2>0，
所以存在x0∈[0,π]，有f′x0=0，
当0
所以当x=x0时，f(x)取得最小值，最小值为fx0，
而fx0
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
【解答】
解：(1)当a=1时，f(x)=ex−1−sinx，
所以f′(x)=ex−csx，
当x∈(0,+∞)时，ex−1>0，csx≤1，
所以f′(x)>0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)因为f(x)=ex−1−asinx(a∈R)，
所以f′(x)=ex−acsx，
设ℎ(x)=f′(x)，ℎ′(x)=ex+asinx，
当a≤0时，即−a≥0时，
因为x∈[0,π]，sinx≥0，
所以−asinx≥0，
而ex−1≥0，
所以ex−1−asinx≥0，即f(x)≥0恒成立．
当0
所以f′(x)≥f′(0)=0，
所以f(x)在[0,π]上递增，
即f(x)≥f(0)=0成立，
当a≥1时，ℎ′(x)=ex+asinx≥0，
所以f′(x)在[0,π]上递增，而f′(0)=1−a<0，f′π2=eπ2>0，
所以存在x0∈[0,π]，有f′x0=0，
当0
所以当x=x0时，f(x)取得最小值，最小值为fx0，
而fx0
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