高中数学高考专区高考模拟当堂达标检测题

这是一份高中数学高考专区高考模拟当堂达标检测题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣2≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B等于（ ）
A．{0}B．{1}C．{2}D．{1，2}
2．（5分）设z＝+2i，则|z|＝（ ）
A．0B．C．1D．
3．（5分）已知a＝π0.2，b＝lgπ2，c＝cs2，则（ ）
A．c＜b＜aB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b
4．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则φ等于（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于（ ）
A．B．5C．6D．7
6．（5分）释迦塔全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县城西北佛宫寺内，俗称应县木塔，是中国现存最高最古老且唯一一座木构塔式建筑，全国重点文物保护单位，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为30°，则该正八棱锥的高和底面边长之比为（ ）
（参考数据：）
A．B．C．D．
7．（5分）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
9．（5分）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示），现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂“，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少需要“打水漂”的次数为（ ）（参考数据：取ln0.6≈﹣0.511，ln0.9≈﹣0.105）
A．4B．5C．6D．7
10．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（1﹣x）＝f（1+x），则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（x+2）＝f（x）
B．函数y＝f（x）的图象关于点（2，0）对称
C．函数y＝f（x+1）是奇函数
D．f（2﹣x）＝f（x﹣1）
11．（5分）在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M﹣PAD的外接球的表面积为（ ）
A．12πB．34πC．68πD．126π
12．（5分）已知函数f（x）＝，若不等式f（x）≤|x﹣k|对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[0，1）D．（﹣1，0]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（1﹣2x）5的展开式中，x3的系数为 ．
14．（5分）已知为单位向量，且＜＞＝，则＜，＞＝ ．
15．（5分）曲线f（x）＝（x3﹣mx）ex﹣1在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣4y﹣1＝0垂直，则该切线的方程为 ．
16．（5分）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①2π是f（x）的一个周期；
②f（x）在[0，2π]上有3个零点；
③f（x）的最大值为；
④f（x）在上是增函数．
三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．（12分）已知数列{an}为公差不为0的等差数列，且a2＝3，a1，a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an+2}的前n项和，，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）如图，平面ABCD⊥平面DBNM，且菱形ABCD与菱形DBNM全等，且∠MDB＝∠DAB，G为MC中点．
（Ⅰ）求证：平面GBD∥平面AMN；
（Ⅱ）求直线AD与平面AMN的所成角的正弦值．
19．（12分）5G网络（5GNetwrk）是第五代移动通信网络，与之前的四代移动网络相比较而言，5G网络在实际应用过程中表现出更加强大的功能，随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质（UHD）节目的时代正向我们走来．某机构调查了某营业厅30位用户的性别与升级5G套餐情况，得到的数据如表所示：
（1）请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关；
（2）若从这30名用户的男性用户中随机抽取2人参加优惠活动，记其中升级5G套餐用户的人数为X，求X的分布列和均值．
附：．
20．（12分）在直角坐标系xOy中已知F（1，0），动点P到直线x＝6的距离等于2|PF|+2，动点P的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知A（2，0），过点F的动直线l与曲线C交于B，D两点，记△AOB和△AOD的面积分别为S1和S2，求S1+S2的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝，
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：a＝1时，f（x）+g（x）﹣（1+）lnx＞e．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t是参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cs（）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45°的直线，设该直线与直线l交于点B，求|AB|的最值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+m|+|x﹣n|．
（1）若m+n＝0，且不等式f（x）＞6的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}，求mn的值；
（2）若m，n均为正实数，且，求证：．
2021年山西省晋中市祁县中学高考数学模拟试卷（理科）（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣2≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B等于（ ）
A．{0}B．{1}C．{2}D．{1，2}
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|x≥2}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝{2}．
故选：C．
2．（5分）设z＝+2i，则|z|＝（ ）
A．0B．C．1D．
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．
【解答】解：z＝+2i＝+2i＝﹣i+2i＝i，
则|z|＝1．
故选：C．
3．（5分）已知a＝π0.2，b＝lgπ2，c＝cs2，则（ ）
A．c＜b＜aB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【分析】由π0.2＞1，0＜lgπ2＜1，cs2＜0，即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵π0.2＞π0＝1，0＝lgπ1＜lgπ2＜lgππ＝1，cs2＜0，
∴c＜b＜a．
故选：A．
4．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则φ等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得cs[2x+（2φ﹣）]＝cs（2x+），由此求得φ的值．
【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝sin（2x+2φ）＝cs（2x+2φ﹣）的图象，
由已知可得，平移后得到函数的图象，
由题意知，cs[2x+（2φ﹣）]＝cs（2x+），
∴，则，
又，所以．
故选：C．
5．（5分）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于（ ）
A．B．5C．6D．7
【分析】连接BD，在△BCD中利用BC＝CD∠BCD＝120°求得BD，进而利用三角形面积公式求得三角形BCD的面积．在△ABD中，依题意求得∠ABD＝90°进而利用两直角边求得三角形的面积，最后相加即可．
【解答】解：连接BD，在△BCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，
∴∠CBD＝30°，BD＝2，
S△BCD＝×2×2×sin120°＝．
在△ABD中，∠ABD＝120°﹣30°＝90°，
AB＝4，BD＝2，
∴S△ABD＝AB•BD＝×4×2＝4，
∴四边形ABCD的面积是5．
故选：B．
6．（5分）释迦塔全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县城西北佛宫寺内，俗称应县木塔，是中国现存最高最古老且唯一一座木构塔式建筑，全国重点文物保护单位，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为30°，则该正八棱锥的高和底面边长之比为（ ）
（参考数据：）
A．B．C．D．
【分析】画出几何体的直观图，利用侧面与底面所成角以及底面多边形的边角关系，转化求解即可．
【解答】解：如图所示：
点P是正八棱锥的顶点，点O是底面的中心，AB是底面的一条边，M是AB的中点，
根据题意知∠BOM＝22.5°，
因为，
设AB＝a，则，
又因为二面角P﹣AB﹣O的大小为30°，
即∠PMO＝30°，
所以，
即正八棱锥的高和底面边长之比为．
故选：D．
7．（5分）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】基本事件总数n＝15×15×15＝3375，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率．
【解答】解：第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，
其中有5项成果均属于芯片领域，
现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，
基本事件总数n＝15×15×15＝3375，
至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，
则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率P＝1﹣＝．
故选：D．
8．（5分）已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】设双曲线的半焦距为c，利用题设条件分别求出A、B的坐标，再利用得到a与c的关系式，求出离心率．
【解答】解：如右图所示，设双曲线的半焦距为c，渐近线方程为：y＝±，
则点F（c，0），A（c，），设点B（x0，﹣），∵BF∥OA，
∴KOA＝KBF，即＝，解得：x0＝，∵，
又∵，∴﹣+＝0，即a2＝3b2．∵c2＝a2+b2，∴a2＝3（c2﹣a2）
即3c2＝4a2，所以离心率e＝＝．
故选：A．
9．（5分）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示），现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂“，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少需要“打水漂”的次数为（ ）（参考数据：取ln0.6≈﹣0.511，ln0.9≈﹣0.105）
A．4B．5C．6D．7
【分析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则，由于100×0.90n﹣1＜60，可得0.90n﹣1＜0.6，再结合对数公式，即可求解．
【解答】解：设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，
则，
∵100×0.90n﹣1＜60，
∴0.90n﹣1＜0.6，则（n﹣1）ln0.90＜ln0.6，即，解得n＞5.87，
故至少需要“打水漂”的次数为6．
故选：C．
10．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（1﹣x）＝f（1+x），则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（x+2）＝f（x）
B．函数y＝f（x）的图象关于点（2，0）对称
C．函数y＝f（x+1）是奇函数
D．f（2﹣x）＝f（x﹣1）
【分析】利用函数的性质，即可得出答案．
【解答】解：在f（1﹣x）＝f（1+x）中，
把x换成1+x，得f（1﹣（1+x））＝f（1+（1+x）），即f（x+2）＝f（﹣x），故A错误；
把x换成1﹣x，得f（1﹣（1﹣x））＝f（1+（1﹣x）），即f（x）＝f（2﹣x），故D错误；
根据f（﹣x）+f（x）＝0，得f（x+2）+f（2﹣x）＝0，
在y＝f（x）的图象上任取一点P（2+x，y），则y＝f（x+2）＝﹣f（2﹣x），
即点P′（2﹣x，﹣y）在y＝f（x）的图象上，
而点P（2+x，y）和点P′（2﹣x，﹣y）关于（2，0）对称，
所以由点P的任意性，知函数y＝f（x）的图象关于点（2，0）对称，故B正确；
因为f（1﹣x）＝f（1+x），即f（﹣x+1）＝f（x+1），
所以y＝f（x+1）是偶函数，故C不正确，
故选：B．
11．（5分）在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M﹣PAD的外接球的表面积为（ ）
A．12πB．34πC．68πD．126π
【分析】由题知MP⊥平面PAD，设底面△APD的外心为O1，则球心O在过O1且垂直于平面APD的直线上，且OO1＝，在△OPO1中利用勾股定理求球的半径R．
【解答】解：由题意可知，MP⊥PA，MP⊥PD．
且PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以MP⊥平面PAD．
设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得，
即，所以r＝4．
设三棱锥M﹣PAD的外接球的半径为R，
则，所以外接球的表面积为4πR2＝68π．
故选：C．
12．（5分）已知函数f（x）＝，若不等式f（x）≤|x﹣k|对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[0，1）D．（﹣1，0]
【分析】作出y＝f（x）的图象，由题意可得y＝f（x）的图象不在y＝|x﹣k|的图象的上方，讨论k≤0，k＞0，结合平移和导数的几何意义，计算可得所求范围．
【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，
由不等式f（x）≤|x﹣k|对任意的x∈R恒成立，可得y＝f（x）的图象不在y＝|x﹣k|的图象的上方，
且y＝|x﹣k|的图象关于直线x＝k对称，当k≤0时，满足题意；
当y＝|x﹣k|的图象与y＝f（x）的图象相切，即有y＝x﹣k为切线，设切点为（m，n），
可得切线的斜率为＝1，则m＝1，n＝lnm＝0，k＝1，
则0＜k≤1时，也满足题意．
综上可得，k的范围是（﹣∞，1]．
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（1﹣2x）5的展开式中，x3的系数为 ﹣80 ．
【分析】由题意利用二项展开式的展开式的通项公式，求得展开式中x3的系数．
【解答】解：（1﹣2x）5的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣2x）r，令r＝3，可得•（﹣2）3＝﹣80，
故答案为：﹣80．
14．（5分）已知为单位向量，且＜＞＝，则＜，＞＝ ．
【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得•和||的值，进而由向量夹角公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，为单位向量，且＜＞＝，
则，
又由＝，则有，
故．
又，则；
故答案为：．
15．（5分）曲线f（x）＝（x3﹣mx）ex﹣1在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣4y﹣1＝0垂直，则该切线的方程为 4x+y﹣1＝0 ．
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，解得m，求得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：f（x）＝（x3﹣mx）ex﹣1的导数为f'（x）＝（x3+3x2﹣mx﹣m）ex﹣1，
则f'（1）＝4﹣2m，所以切线的斜率k1＝4﹣2m．
直线x﹣4y﹣1＝0的斜率．
因为两直线相互垂直，所以，
解得m＝4，
则k1＝f'（1）＝﹣4．
所以f（x）＝（x3﹣4x）ex﹣1，
则f（1）＝﹣3，
故该切线的方程为y+3＝﹣4（x﹣1），
即4x+y﹣1＝0．
故答案为：4x+y﹣1＝0．
16．（5分）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是 ①②③ ．（填序号）
①2π是f（x）的一个周期；
②f（x）在[0，2π]上有3个零点；
③f（x）的最大值为；
④f（x）在上是增函数．
【分析】对于①，分别分析y＝sinx的最小正周期与的最小正周期，可判断①的正误；
对于②，令f（x）＝0，可求得x＝0或x＝π或x＝2π，从而可判断②的正误；
对于③④，求得f′（x），在一个周期[0，2π]上，令f′（x）＞0确定增区间，f′（x）＜0确定减区间，从而确定其极大值，进一步判断③④的正误．
【解答】解：y＝sinx的最小正周期是2π，的最小正周期是，
所以的最小正周期是2π，故①正确；
当时，
sinx+sinxcsx＝0，即sinx（1+csx）＝0，
即sinx＝0或1+csx＝0，解得x＝0或x＝π或x＝2π，
所以f（x）在[0，2π]上有3个零点，故②正确；
，
则f′（x）＝csx+cs2x﹣sin2x＝2cs2x+csx﹣1，
令f′（x）＝0，解得或csx＝﹣1，
当或时，，
此时f′（x）＞0，则f（x）在上单调递增，
当时，，此时f′（x）≤0，
但不恒为0，则f（x）在上单调递减，
则当时，函数f（x）取得最大值，
为，
故③正确，④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．（12分）已知数列{an}为公差不为0的等差数列，且a2＝3，a1，a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an+2}的前n项和，，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】本题第（1）题设等差数列{an}的公差为d（d≠0），然后根据题干列出方程组，解出a1与d的值，即可得到数列{an}的通项公式；第（2）题根据第（1）题的结果依次计算出数列{an+2}的通项公式，然后根据利用等差数列的求和公式可得Sn的表达式，再计算出数列{bn}的通项公式，根据通项公式的特点进行裂项，再求前n项和Tn时可以相消即可得到结果．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则
，解得．
∴数列{an}的通项公式为an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．
（2）由（1），可得an+2＝2n+1，n∈N*．
∴Sn＝（a1+2）+（a2+2）+（a3+2）+…+（an﹣1+2）+（an+2）
＝3+5+7+…+（2n﹣1）+（2n+1）
＝．
∴＝＝＝，
∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn﹣1+bn
＝
＝
＝．
18．（12分）如图，平面ABCD⊥平面DBNM，且菱形ABCD与菱形DBNM全等，且∠MDB＝∠DAB，G为MC中点．
（Ⅰ）求证：平面GBD∥平面AMN；
（Ⅱ）求直线AD与平面AMN的所成角的正弦值．
【分析】（I）连接AC，交DB于E，连接GE，易知GE∥AM，故GE∥平面AMN；由BD∥MN，可推出BE∥平面AMN，再根据面面平行的判定定理即可得证；
（II）连接ME，由菱形的性质可证得ME⊥BD，而AC⊥BD，故BD⊥平面AMC，从而得平面GBD⊥平面AMC；过C作CF⊥GE，则CF⊥平面GBD，连接BF，由AD∥BC，平面GBE∥平面AMN，可推出∠CBF即为所求，最后由sin∠CBF＝即可得解．
【解答】（I）证明：连接AC，交DB于E，连接GE，则点E为AC的中点，
∵G为MC中点，∴GE∥AM，
∵GE⊄平面AMN，AM⊂平面AMN，∴GE∥平面AMN，
又BD∥MN，BD⊄平面AMN，MN⊂平面AMN，∴BE∥平面AMN，
∵BE∩GE＝E，BE、GE⊂平面GBD，
∴平面GBD∥平面AMN．
（II）解：连接ME，
∵菱形ABCD与菱形DBNM全等，且∠MDB＝∠DAB，
∴AD＝AB＝BD，DM＝BD＝MB，
∴ME⊥BD，
又AC⊥BD，且AC∩ME＝E，
∴BD⊥平面AMC，
∵BD⊂平面GBD，
∴平面GBD⊥平面AMC．
过C作CF⊥GE，
∵平面GBD∩平面AMC＝GE，
∴CF⊥平面GBD，
连接BF，由于AD∥BC，故∠CBF即为直线AD与平面GBD所成角，
由（I）知，平面GBE∥平面AMN，故∠CBF即为直线AD与平面AMN所成角．
∵AD＝AB＝BD，∴∠DAB＝60°，
在Rt△MAE中，ME＝AE，∴∠MAE＝45°，∴∠GEC＝45°
∴，
又在Rt△BCE，∠EBC＝60°，∴，
∴，
∴．
故直线AD与平面AMN所成角的正弦值为．
19．（12分）5G网络（5GNetwrk）是第五代移动通信网络，与之前的四代移动网络相比较而言，5G网络在实际应用过程中表现出更加强大的功能，随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质（UHD）节目的时代正向我们走来．某机构调查了某营业厅30位用户的性别与升级5G套餐情况，得到的数据如表所示：
（1）请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关；
（2）若从这30名用户的男性用户中随机抽取2人参加优惠活动，记其中升级5G套餐用户的人数为X，求X的分布列和均值．
附：．
【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
（2）依题意可知，X的可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）依题意，完善表格如下：
∵，
∴故有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关．
（2）依题意可知，X的可能取值为0，1，2，
，，，
故X的分布列：
∴．
20．（12分）在直角坐标系xOy中已知F（1，0），动点P到直线x＝6的距离等于2|PF|+2，动点P的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知A（2，0），过点F的动直线l与曲线C交于B，D两点，记△AOB和△AOD的面积分别为S1和S2，求S1+S2的最大值．
【分析】（1）设点P（x，y），直接把题意翻译成关于x，y的方程，化简即可得曲线C的方程；
（2）将直线l与曲线C联立，表示出S1+S2，再利用基本不等式即可求得S1+S2的最大值．
【解答】解：（1）设点P（x，y），则，
整理得3x2+4y2＝12，即．
故动点P的轨迹C的方程为．
（2）由题意可知直线l的斜率不为0，则可设直线l的方程为x＝my+1，
联立，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
所以，，
则，
故．
设，则m2＝t2﹣1，则．
因为t≥1，所以（当且仅当t＝1时，等号成立），
故，即S1+S2的最大值为3．
21．（12分）已知函数f（x）＝，
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：a＝1时，f（x）+g（x）﹣（1+）lnx＞e．
【分析】（1）f（x）＝+alnx，（x∈（0，+∞））．f′（x）＝﹣+＝．对a分类讨论即可得出函数点单调性．
（2）a＝1时，f（x）+g（x）﹣（1+）lnx＞e．即：+﹣lnx﹣e＞0⇔ex﹣ex+1＞．x∈（0，+∞）．令F（x）＝ex﹣ex+1，G（x）＝，分别研究其单调性即可得出．
【解答】（1）解：f（x）＝+alnx，（x∈（0，+∞））．
f′（x）＝﹣+＝．
a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．
a＞0时，f′（x）＝．可得函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（2）证明：a＝1时，f（x）+g（x）﹣（1+）lnx＞e．
即：+﹣lnx﹣e＞0⇔ex﹣ex+1＞．x∈（0，+∞）．
令F（x）＝ex﹣ex+1，F′（x）＝ex﹣e，x∈（0，1）时，F′（x）＝ex﹣e，x∈（0，1）时，F′（x）＜0，此时函数F（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，此时函数F（x）单调递增．
可得x＝1时，函数F（x）取得极小值即最小值，F（1）＝1．
令G（x）＝，G′（x）＝，可得x＝e时，函数G（x）取得最大值，G（e）＝1．
1与e不同时取得，因此F（x）＞G（x），即ex﹣ex+1＞．x∈（0，+∞）．
故原不等式成立．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t是参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cs（）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45°的直线，设该直线与直线l交于点B，求|AB|的最值．
【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和关系式的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t是参数），转换为直线l的普通方程x+y﹣6＝0．
曲线C的极坐标方程为ρ＝2cs（）．转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，转换为参数方程为
曲线C的参数方程（θ为参数）；
（Ⅱ）过点A作AH垂直l于H，如图所示：
则|AB|＝，
所以圆心（1，1）到直线x+y﹣6＝0的距离d＝，
所以点A到直线l的最小距离|AH|＝d＝，最大距离为|AH|＝，
所以由|AB|＝，解得\AB|的最大值为6，最小值为2．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+m|+|x﹣n|．
（1）若m+n＝0，且不等式f（x）＞6的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}，求mn的值；
（2）若m，n均为正实数，且，求证：．
【分析】（1）由m+n＝0，可得n＝﹣m，从而将f（x）中的n消去，然后根据绝对值不等式的解法，写出不等式f（x）＞6的解集，与已知解集对照，即可求解．
（2）由于m，n均为正实数，可得f（x）＝|x+m|+|x﹣n|≥|（x+m）﹣（x﹣n）|＝m+n，再结合基本不等式的公式，即可求证．
【解答】（1）解：∵m+n＝0，
∴f（x）＝2|x+m|，
不等式f（x）＞6即|x+m|＞3，解得x＞3﹣m或x＜﹣3﹣m，
因此3﹣m＝1且﹣3﹣m＝﹣5，解得m＝2，
故m＝2，n＝﹣2，从而mn＝﹣4．
（2）证明：∵m，n均为正实数，
∴f（x）＝|x+m|+|x﹣n|≥|（x+m）﹣（x﹣n）|＝m+n，
而＝，当且仅当，即m＝2n时取等号，
故．
不升级5G
升级5G
总计
男性用户
7
13
女性用户
14
总计
30
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不升级5G
升级5G
总计
男性用户
7
13
女性用户
14
总计
30
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不升级5G
升级5G
总计
男性用户
6
7
13
女性用户
14
3
17
总计
20
10
30
X
0
1
2
P