三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编之专题16数系的扩充与复数的引入（解析版）

专题16  数系的扩充与复数的引入

1．【2021·浙江高考真题】已知，，(i为虚数单位)，则（    ）

A． B．1 C． D．3

【答案】C

【分析】

首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.

【详解】

，

利用复数相等的充分必要条件可得：.

故选：C.

2．【2021·全国高考真题】复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】

利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.

【详解】

，所以该复数对应的点为，

该点在第一象限，

故选：A.

3．【2021·北京高考真题】在复平面内，复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由题意可得：.

故选：D.

4．【2021·全国高考真题】已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.

【详解】

因为，故，故

故选：C.

5．【2021·全国高考真题（理）】设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.

【详解】

设，则，则，

所以，，解得，因此，.

故选：C.

6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z=1+i，则|z2–2z|=

A．0  B．1 

C．   D．2

【答案】D

【解析】由题意可得：，则.

故.

故选：D．

【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.

7．【2020年高考全国III卷理数】复数的虚部是

A．   B． 

C．  D．

【答案】D

【解析】因为，

所以复数的虚部为.

故选：D．

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.

8．【2020年新高考全国Ⅰ】

A．1  B．−1

C．i  D．−i

【答案】D

【解析】

故选：D

【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.

9．【2020年高考北京】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，.故选：B．

【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．【2019年高考北京卷理数】已知复数，则

A．           B．

C．            D．

【答案】D

【解析】由题，则，故选D．

11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

A．        B．

C．        D．

【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案为C．

【答案】C

【解析】由题可得则．故选C．

12．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设z=–3+2i，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

【答案】C

【解析】由得则对应的点（-3，-2）位于第三象限．故选C．

13．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】若，则z=

A．           B．

C．           D．

【答案】D

【解析】．故选D．

【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．

14．【2020年高考全国II卷理数】设复数，满足，，则=__________．

【答案】

【解析】方法一：设，，

，

，又，所以，，

.

故答案为：.

方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,

由已知,

∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解.

15．【2020年高考江苏】已知是虚数单位，则复数的实部是   ▲    ．

【答案】3

【解析】∵复数，∴，

∴复数的实部为3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．

16．【2020年高考天津】是虚数单位，复数_________．

【答案】

【解析】.

故答案为：.

【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.

17．【2019年高考天津卷理数】是虚数单位，则的值为______________．

【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．

【答案】

【解析】．

18．【2019年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则=______________．

【分析】本题先计算，而后求其模．或直接利用模的性质计算． 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．

【答案】

【解析】由题可得．

19．【2019年高考江苏卷】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是______________．

【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值．

【答案】

【解析】，

令，解得．

【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．