2019-2020学年四川省成都十八中九年级（上）开学数学试卷

这是一份2019-2020学年四川省成都十八中九年级（上）开学数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如果m＜n＜0，那么下列结论错误的是（ ）
A．2m＞2nB．﹣m＞﹣nC．m+3＜n+3D．m﹣9＜n﹣9
2．（3分）下列式子从左边到右边是因式分解的是（ ）
A．x2+4x+3＝（x+2）2﹣1
B．ab﹣a+b﹣1＝a（b﹣1）+（b﹣1）
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1B．x（x﹣2）+（2﹣x）
C．x2﹣2x+1D．x2+2x+1
5．（3分）某同学画了一个一次函数y＝kx+a的图象，如图所示，可知不等式（ ）
A．x＜2B．x＞﹣3C．x＞2D．x＜﹣3
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
7．（3分）x2﹣5x+k可以分解为（x﹣2）（x﹣3），则k的值为（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
8．（3分）分式方程＝有增根，则m的值为（ ）
A．0和3B．1C．1和﹣2D．3
9．（3分）某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元，他又买了20斤，价格为每斤y元．后来他以每斤，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）
A．x＜yB．x＞yC．x≤yD．x≥y
10．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，垂足为D，交AC于点E，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．2.5B．1.5C．2D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）已知2x﹣y＝，xy＝2，则2x2y﹣xy2＝ ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（4，1）向左平移 单位得到点B（﹣1，1）．
13．（4分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜2，则a＝ ．
14．（4分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DF⊥BC于点F，且BC＝4，则△BCD的面积是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．分解因式：
（1）2x2y﹣4xy2+2y2．
（2）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）．
16．解方程：
（1）﹣1＝；
（2）＝﹣3．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）B（﹣6，0）C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的三角形△A'B'C'．
（2）如果将△ABC向下平移3个单位，向右平移3个单位．直接写出点B的对应点B1的坐标．
（3）如果将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点B的对应点B2的坐标．
19．某公司组织员工周末包车到都江堰旅游，公司距景点100千米，一部分员工乘慢车先行，另一部分员工城快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度速度的3倍
20．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上．
（1）如图1，F是线段AD上的一点，连接CF；
①求证：点F是AD的中点；
②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由，请求出相应的正确结论．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知，则A+B的值为 ．
22．（4分）已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是 ．
23．（4分）已知关于x的方程无解，则k的值为 ．
24．（4分）如图，△ABC中，AB＝BC＝a（a为常数），D是AC的中点，E是BC延长线上一点，DE⊥DF，过点C作CG⊥BE交DE于点G （用含a的代数式表示）
25．（4分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝2．对折长方形纸片ABCD，折痕为F；展平后再过点B折叠长方形纸片，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN＝60°；②AM＝1；③QN＝；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点．其中正确结论的有 个．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，要使（2）中所有方案获利相同，哪种方案对公司更有利？
27．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF．
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°
（3）运用（1）（2）解答中所累积的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），AB＝BC＝12，E是AB上一点，BE＝4，求GE的长．
28．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣6，6），以每秒1个单位长度沿x轴向点O运动，点Q从点O同时出发，规定点P到达点O时，点Q也停止运动，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D，连接PE，设点P运动的时间为t（s）（t＞0）．
（1）∠PBD的度数为 ，点D的坐标为 （用t表示）．
（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变
2019-2020学年四川省成都十八中九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如果m＜n＜0，那么下列结论错误的是（ ）
A．2m＞2nB．﹣m＞﹣nC．m+3＜n+3D．m﹣9＜n﹣9
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵m＜n，
∴2m＜2n，故本选项符合题意；
B．∵m＜n，
∴﹣m＞﹣n，故本选项不符合题意；
C．∵m＜n，
∴m+2＜n+3，故本选项不符合题意；
D．∵m＜n，
∴m﹣9＜n﹣8，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）下列式子从左边到右边是因式分解的是（ ）
A．x2+4x+3＝（x+2）2﹣1
B．ab﹣a+b﹣1＝a（b﹣1）+（b﹣1）
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左边到右边变形不是因式分解；
B．从左边到右边变形不是因式分解；
C．从左边到右边变形是整式乘法，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边变形是因式分解；
故选：D．
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
4．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1B．x（x﹣2）+（2﹣x）
C．x2﹣2x+1D．x2+2x+1
【分析】分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+6）（x﹣1），故A选项不合题意；
B、x（x﹣2）+（8﹣x）＝（x﹣2）（x﹣1）；
C、x4﹣2x+1＝（x﹣5）2，故C选项不合题意；
D、x2+5x+1＝（x+1）5，故D选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）某同学画了一个一次函数y＝kx+a的图象，如图所示，可知不等式（ ）
A．x＜2B．x＞﹣3C．x＞2D．x＜﹣3
【分析】直线y＝kx+a落在x则的下方的部分对应的x的值即为所求．
【解答】解：根据图象可知，不等式kx+a＜0的解集是x＜2．
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
故选：A．
7．（3分）x2﹣5x+k可以分解为（x﹣2）（x﹣3），则k的值为（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出k即可．
【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）
＝x5﹣3x﹣2x+8
＝x2﹣5x+5，
∵二次三项式x2﹣5x+k可分解为（x﹣8）（x﹣3），
∴k＝6，
故选：C．
8．（3分）分式方程＝有增根，则m的值为（ ）
A．0和3B．1C．1和﹣2D．3
【分析】根据分式方程有增根，得出x﹣1＝0，x+2＝0，再代入求出即可．
【解答】解：∵分式方程＝有增根，
∴x﹣1＝5，x+2＝0，
∴x7＝1，x2＝﹣7．
两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝m，
整理得，m＝x+3，
当x＝1时，代入得：m＝1+4＝3，
当x＝﹣2时，代入得：m＝﹣5+2＝0，
当m＝5时，方程为，此时方程无解，
所以m＝3，
故选：D．
9．（3分）某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元，他又买了20斤，价格为每斤y元．后来他以每斤，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）
A．x＜yB．x＞yC．x≤yD．x≥y
【分析】题目中的不等关系是：买黄瓜每斤平均价＞卖黄瓜每斤平均价．
【解答】解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是
以每斤元的价格卖完后
则＞
解之得，x＞y．
所以赔钱的原因是x＞y．
故选：B．
10．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，垂足为D，交AC于点E，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．2.5B．1.5C．2D．1
【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC＝CE；由等角对等边判定AE＝BE，则易求BD＝BE＝AE＝（AC﹣BC）．
【解答】解：如图，∵CD平分∠ACB，
∴BC＝CE．
又∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE．
∴BD＝BE＝（AC﹣BC）．
∵AC＝5，BC＝3，
∴BD＝（5﹣4）＝1．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）已知2x﹣y＝，xy＝2，则2x2y﹣xy2＝ ．
【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式，将已知代入求出即可．
【解答】解：∵2x﹣y＝，xy＝2，
∴2x2y﹣xy2＝xy（2x﹣y）＝2×＝．
故答案为：．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（4，1）向左平移 5个 单位得到点B（﹣1，1）．
【分析】根据点的坐标可得横坐标减少了5，因此是左移了5个单位．
【解答】解：∵点A（4，1），3），
∴向左平移5个单位，
故答案为：5个．
13．（4分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜2，则a＝ ﹣1 ．
【分析】先解不等式组，用含a的代数式表示解集，然后根据题意列方程即可求得a值．
【解答】解：解不等式组得a＜x＜2
∵﹣1＜x＜4
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DF⊥BC于点F，且BC＝4，则△BCD的面积是 4 ．
【分析】根据角平分线的性质定理可得DF＝DE；最后根据三角形的面积＝底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，
∴DF＝DE＝2，
∴S△BCD＝•BC×DF＝
故答案为：4．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．分解因式：
（1）2x2y﹣4xy2+2y2．
（2）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）．
【分析】（1）直接提取公因式2y，分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式（x﹣y），进而分解因式得出答案．
【解答】解：（1）2x2y﹣8xy2+2y4
＝2y（x2﹣2xy+y）；
（2）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）
＝x（x﹣y）+y（x﹣y）
＝（x﹣y）（x+y）．
16．解方程：
（1）﹣1＝；
（2）＝﹣3．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x（x+2）﹣（x2﹣5）＝8，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝5，
所以：x＝2是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：1＝x﹣2﹣3（x﹣2），
解得得：x＝3，
检验：当x＝2时，x﹣2＝8，
所以：x＝2是增根，分式方程无解．
17．先化简，再求值：，其中．
【分析】先化简代数式，然后将x的值代入求值即可．
【解答】解：
＝•﹣
＝﹣
＝
＝﹣；
当x＝﹣时，
原式＝＝．
18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）B（﹣6，0）C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的三角形△A'B'C'．
（2）如果将△ABC向下平移3个单位，向右平移3个单位．直接写出点B的对应点B1的坐标．
（3）如果将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点B的对应点B2的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作．
（2）如图，△A1B1C5即为所求作．B1（﹣3，﹣2）．
（3）如图，△A2B2C3即为所求作，B2（0，﹣3）．
19．某公司组织员工周末包车到都江堰旅游，公司距景点100千米，一部分员工乘慢车先行，另一部分员工城快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度速度的3倍
【分析】本题需先根据题意设出未知数，再找出等量关系，列出方程即可求出答案．
【解答】解：设慢车到达景点所用的时间是x小时，根据题意得；
解得：x＝6.5，
经检验，x＝1.5是原方程的解．
答：慢车到达景点所用的时间是1.5小时．
20．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上．
（1）如图1，F是线段AD上的一点，连接CF；
①求证：点F是AD的中点；
②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由，请求出相应的正确结论．
【分析】（1）①如图1，由AF＝CF得到∠1＝∠2，则利用等角的余角相等可得∠3＝∠ADC，然后根据等腰三角形的判定定理得FD＝FC，易得AF＝FD；
②先利用等腰直角三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，则可证明△ADC≌△BEC得到AD＝BE，∠1＝∠CBE，由于AD＝2CF，∠1＝∠2，则BE＝2CF，再证明∠CBE+∠3＝90°，于是可判断CF⊥BE；
（2）延长CF到G使FG＝CF，连接AG、DG，如图2，易得四边形ACDG为平行四边形，则AG＝CD，AG∥CD，于是根据平行线的性质得∠GAC＝180°﹣∠ACD，所以CD＝CE＝AG，再根据旋转的性质得∠BCD＝α，所以∠BCE＝∠DCE+∠BCD＝90°+α＝90°+90°﹣∠ACD＝180°﹣∠ACD，得到∠GAC＝∠ECB，接着可证明△AGC≌△CEB，得到CG＝BE，∠2＝∠1，所以BE＝2CF，和前面一样可证得CF⊥BE．
【解答】（1）①证明：如图1，
∵AF＝CF，
∴∠1＝∠4，
∵∠1+∠ADC＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝∠ADC，
∴FD＝FC，
∴AF＝FD，
即点F是AD的中点；
②BE＝2CF，BE⊥CF
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，
在△ADC和△BEC中
，
∴△ADC≌△BEC，
∴AD＝BE，∠5＝∠CBE，
而AD＝2CF，∠1＝∠3，
∴BE＝2CF，
而∠2+∠6＝90°，
∴∠CBE+∠3＝90°，
∴CF⊥BE；
（2）仍然有BE＝2CF，BE⊥CF
延长CF到G使FG＝CF，连接AG，如图5，
∵AF＝DF，FG＝FC，
∴四边形ACDG为平行四边形，
∴AG＝CD，AG∥CD，
∴∠GAC+∠ACD＝180°，即∠GAC＝180°﹣∠ACD，
∴CD＝CE＝AG，
∵△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），
∴∠BCD＝α，
∴∠BCE＝∠DCE+∠BCD＝90°+α＝90°+90°﹣∠ACD＝180°﹣∠ACD，
∴∠GAC＝∠ECB，
在△AGC和△CEB中
，
∴△AGC≌△CEB，
∴CG＝BE，∠2＝∠6，
∴BE＝2CF，
而∠2+∠BCF＝90°，
∴∠BCF+∠8＝90°，
∴CF⊥BE．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知，则A+B的值为 1 ．
【分析】将等式的右边通分，化简，与等式的左边对照，得到关于A，B的方程组，求出A，B，再求A+B即可．
【解答】解：∵＝＝＝，
∴，
∴，
∴A+B＝﹣5+2＝1．
故答案为：4．
22．（4分）已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是 m＞﹣6且m≠﹣4 ．
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
【解答】解：解关于x的方程得x＝m+6，
∵x﹣2≠3，解得x≠2，
∵方程的解是正数，
∴m+6＞2且m+6≠2，
解这个不等式得m＞﹣2且m≠﹣4．
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣6．
23．（4分）已知关于x的方程无解，则k的值为 ﹣0.5或或 ．
【分析】先解分式方程，再让方程的解为增根，或者分式方程去分母之后的整式方程无解，要注意增根有很多个．
【解答】解：去分母，得：k（x﹣2）+（k+1）（x+6）＝1﹣k，
化简得：（2k+8）x＝﹣k﹣1，
（1）2k+3＝0即：k＝﹣0.3时，方程无解，
∴k＝﹣0.5时，分式方程无解，
（2）当k≠﹣3.5时，x＝，
∵分式方程无解，
∴＝2或，
解得：k＝或k＝，
综上所述：k＝﹣0.5或或k＝．
故答案为：﹣0.5或或k＝．
24．（4分）如图，△ABC中，AB＝BC＝a（a为常数），D是AC的中点，E是BC延长线上一点，DE⊥DF，过点C作CG⊥BE交DE于点G a2 （用含a的代数式表示）
【分析】连接BD，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝CD，
∠FBD＝∠GCD＝45°，根据等角的余角相等可得∠BDF＝∠CDG，根据ASA证明△BDF≌△CDG，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：连接BD，
∵△ABC中，AB＝BC＝a（a为常数），D是AC的中点，
∴BD＝CD，∠FBD＝∠FCD＝45°，
∵CG⊥BE，
∴∠FBD＝∠GCD＝45°，
∵DE⊥DF，
∴∠BDF＝∠CDG，
在△BDF与△CDG中，
，
∴△BDF≌△CDG，
∴四边形DFCG的面积＝三角形CDF的面积+三角形CDG的面积＝三角形CDF的面积+三角形BDF的面积═三角形BCD的面积＝×三角形ABC的面积＝a2．
故答案为：a2．
25．（4分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝2．对折长方形纸片ABCD，折痕为F；展平后再过点B折叠长方形纸片，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN＝60°；②AM＝1；③QN＝；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点．其中正确结论的有 3 个．
【分析】先证明BN＝2BE，推出∠ENB＝30°，再利用翻折不变性以及直角三角形、等边三角形的性质一一判断即可．
【解答】解：在Rt△BEN中，∵BN＝AB＝2BE，
∴∠ENB＝30°，
∴∠ABN＝60°，故①正确，
∴∠ABM＝∠NBM＝∠NBG＝30°，
∴AM＝AB•tan30°＝，故②错误，
∵∠AMB＝∠BMN＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠GBM＝∠AMB＝60°，
∴∠MBG＝∠BMG＝∠BGM＝60°，
∴△BMG为等边三角形，故④正确．
∴BG＝BM＝2AM＝，
∵EF∥BC∥AD，AE＝BE，
∴BQ＝QM，MN＝NG，
∴QN是△BMG的中位线，
∴QN＝BG＝．
连接PE．∵BH＝BE＝1，
∴E、H关于BM对称，
∴PE＝PH，
∴PH+PN＝PE+PN，
∴E、P、N共线时，最小值＝EN＝，
故答案为：3．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，要使（2）中所有方案获利相同，哪种方案对公司更有利？
【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量．
（2）关系式为：4.8≤甲种电脑总价+乙种电脑总价≤5．
（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；对公司更有利，因为甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，所以要多进乙．
【解答】解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价m元．则：
．
解得：m＝4000．
经检验，m＝4000是原方程的根且符合题意．
所以甲种电脑今年每台售价4000元；
（2）设购进甲种电脑x台．则：
48000≤3500x+3000（15﹣x）≤50000．
解得：6≤x≤10．
因为x的正整数解为6，8，8，9，10；
（3）设总获利为W元．则：
W＝（4000﹣3500）x+（3800﹣3000﹣a）（15﹣x）＝（a﹣300）x+12000﹣15a．
当a＝300时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买甲种电脑3台．
27．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF．
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°
（3）运用（1）（2）解答中所累积的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），AB＝BC＝12，E是AB上一点，BE＝4，求GE的长．
【分析】（1）由SAS证明△CBE≌△CDF，即可得出结论；
（2）由（1）知，△CBE≌△CDF，得CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，再证△ECG≌△FCG（SAS），即可得出结论；
（3）过C作CD⊥AG，交AG的延长线于D，证四边形ABCD是正方形，设GD＝x，则GE＝4+x，AG＝12﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理得出方程，求出x＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠CDF＝90°，
在△CBE和△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE＝CF；
（2）解：GE＝BE+GD成立，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
由（1）知，△CBE≌△CDF，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，
∴∠DCF+∠ECD＝∠BCE+∠ECD＝∠BCD＝90°，
即∠ECF＝90°，
又∵∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°，
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE＝GF，
∵GF＝DF+GD，DF＝BE，
∴GE＝DF+GD＝BE+GD；
（3）解：过C作CD⊥AG，交AG的延长线于D
则∠CDA＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝12，
∵BE＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝8，
由（2）得：GE＝BE+GD，
设GD＝x，则GE＝8+x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：AE2+AG2＝GE5，
即82+（12﹣x）5＝（4+x）2，
解得：x＝7，
∴GE＝4+6＝10．
28．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣6，6），以每秒1个单位长度沿x轴向点O运动，点Q从点O同时出发，规定点P到达点O时，点Q也停止运动，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D，连接PE，设点P运动的时间为t（s）（t＞0）．
（1）∠PBD的度数为 45° ，点D的坐标为 （t，t） （用t表示）．
（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变
【分析】（1）先将两动点的路程表示出来：AP＝OQ＝t，证明△BAP≌△PQD，得等腰直角△BPD，得出∠PBD＝∠PDB＝45°，及点D的坐标；
（2）分三种情况讨论：①若PB＝PE，得∠BPE＝90°，则Q与O重合，不成立；
②若EB＝EP，则△POE≌△ECB，得BC＝OE，则点E与点C重合（EC＝0），点P与点O重合（PO＝0），则t＝6；
③若BP＝BE，延长OA到F，使得AF＝CE，连接BF，如图2，证明△BAP≌△BCE和△FBP≌△EBP，用t表示PE的长，然后列方程求出t的值；
（3）把PE转化为AP和CE的和，则△POE的周长就变成了正方形两边的和，则为12．
【解答】（1）由题意得：AP＝OQ＝1×t＝t，
∴AO＝PQ，
∵四边形OABC是正方形，
∴AO＝AB＝BC＝OC，
∴AB＝PQ，
∵DP⊥BP，
∴∠BPD＝90°，
∴∠BPA＝90°﹣∠DPQ＝∠PDQ，
∵∠BAO＝∠PQD＝90°，AB＝PQ，
∴△BAP≌△PQD（AAS），
∴AP＝DQ，BP＝PD，
∴∠PBD＝∠PDB＝45°，
∵AP＝t，
∴DQ＝t，
∴点D坐标为（t，t），
故答案为：45°，（t；
（2）分三种情况：
①若PB＝PE，则∠PBE＝∠PEB＝45°，
∴∠BPE＝90°，
∵∠BPD＝90°，
∴∠BPE＝∠BPD，
∴点E与点D重合，
∵BD交y轴于E点，
∴点Q与点O重合，
与条件“DQ∥y轴”矛盾，
∴这种情况不成立；
②若EB＝EP，则∠PBE＝∠BPE＝45°，
∴∠BEP＝90°，
∴∠PEO＝90°﹣∠BEC＝∠EBC，
∵∠BCE＝∠EOP＝90°，EB＝EP，
∴△POE≌△ECB（AAS），
∴OE＝BC，OP＝EC，
∴OE＝OC，
∴点E与点C重合（EC＝0），
∴点P与点O重合（PO＝5），
∵B（﹣6，6），
∴AO＝CO＝4，
此时t＝AP＝AO＝6；
③如图2，若BP＝BE，
∵AB＝BC，
∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL），
∴AP＝CE，
∵AP＝t，
∴CE＝t，
∴PO＝EO＝2﹣t，
∵∠POE＝90°，
∴PE＝＝（6﹣t），
延长OA到F，使得AF＝CE，
∵AB＝BC，∠BAF＝∠BCE＝90°，
∴△FAB≌△ECB（SAS），
∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC，
∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠EBC＝45°，
∴∠FBP＝∠FBA+∠ABP＝∠EBC+∠ABP＝45°，
∴∠FBP＝∠EBP，
∵PB＝PB，BF＝BE，
∴△FBP≌△EBP（SAS），
∴FP＝EP，
∴EP＝FP＝FA+AP＝CE+AP，
∴EP＝t+t＝2t，
∴（6﹣t）＝2t，
∴t＝2﹣6，
∴当t＝2或6﹣5时；
（3）△POE的周长是定值，该定值是12
∵EP＝CE+AP，
∴△POE的周长＝OP+PE+OE，
＝OP+AP+CE+OE，
＝AO+CO，
＝6+6
＝12，
∴△POE的周长是定值，该定值是12．