专题05 平抛运动规律的综合分析（解析版）

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A.tA∶tB＝1∶eq \r(2) B.tA∶tB＝1∶2
C.vA∶vB＝1∶eq \r(2) D.vA∶vB＝1∶2
【答案】A
【解析】竖直方向做自由落体运动，根据h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，故tA∶tB＝eq \r(h)∶eq \r(2h)＝1∶eq \r(2)，A正确，B错误；水平方向做匀速运动，根据x＝v0t知，水平位移x相等，则vA∶vB＝tB∶tA＝eq \r(2)∶1，故C、D错误。
2.(2021·山东潍坊市4月模拟)某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.第1次击中篮板时的速度小
B.两次击中篮板时的速度相等
C.球在空中运动过程第1次速度变化快
D.球在空中运动过程第2次速度变化快
【答案】A
【解析】将篮球的运动反过来看，则篮球两次做平抛运动，由于第1次平抛运动的高度更大，由h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，所以第1次运动的时间更长，由于两次的水平位移相等，则时间越长的水平初速度越小，故第1次击中篮板时的速度小，故A正确，B错误；球在空中运动过程速度变化快慢即为加速度，由于球只受重力作用，加速度为重力加速度，则两次速度变化快慢相同，故C、D错误。
3.(2021·山东济宁市高考模拟)如图所示，小球甲从A点水平抛出，小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时的速度大小相等，方向夹角为45°，已知A、C高度差为h，不计空气阻力，由以上条件可知B、A两点高度差为( )
A.eq \f(1,4)h B.eq \f(1,2)h
C.h D.2h
【答案】 C
【解析】小球甲做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，从A到C，由h＝eq \f(1,2)gt2可得
甲运动的时间为t甲＝eq \r(\f(2h,g))
竖直分速度vy＝gt甲＝eq \r(2gh)
据运动的合成与分解可知，甲在C点的速度
v甲＝eq \f(vy,cs 45°)＝2eq \r(gh)＝v乙
乙球做自由落体运动，下落高度h′＝eq \f(veq \\al(2,乙),2g)＝2h
A、B两点高度差为2h－h＝h，故C正确，A、B、D错误。
4.(2021·浙江金华十校4月模拟)如图所示，水平地面上固定有一个斜面，斜面倾角为θ，从斜面顶端向右平抛一个小球(可视为质点)，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，平抛的飞行时间为t0，现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，则平抛运动结束时，末速度方向与水平方向夹角的正切值tan α随初速度v变化的图象，以及平抛运动飞行时间t随初速度v变化的图象正确的是( )
【答案】 B
【解析】 当速度v＜v0，小球将落在斜面上，根据落在斜面上的小球的位移方向与水平方向夹角的正切值等于小球落在斜面上末速度方向与水平方向夹角正切值的一半可知，此时末速度方向与水平方向夹角的正切值tan α为定值，小球运动时间为tan α＝eq \f(gt,v)＝2tan θ
则t＝eq \f(vtan α,g)＝eq \f(v·2tan θ,g)
小球落在斜面上时α为定值，则此过程时间与速度v成正比，当速度v＞v0，小球将落到水平面，则有tan α＝eq \f(vy,v)＝eq \f(gt,v)，由于高度一定，则时间t为定值，则tan α与v成反比，故A、C、D错误，B正确。
5. (2021·1月江苏新高考适应性考试，5)某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的游泳池中。现制作一个为实际尺寸eq \f(1,16)的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,16)
【答案】 B
【解析】所以时间变为实际的eq \f(1,4)，则水流出的速度v＝eq \f(x,t)，由于水平位移变为实际的eq \f(1,16)，时间变为实际的eq \f(1,4)，则水流出的速度为实际的eq \f(1,4)，故选项B正确。
6. (2021·1月湖南普高校招生适应性考试，2)有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图所示。一个质量为m的小球以速度v从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)。不计空气阻力，从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是( )
A.小球下落时间与小球质量m有关
B.小球下落时间与小球初速度v有关
C.小球下落时间与水井井口直径d有关
D.小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关
【答案】 D
【解析】根据分运动的独立性，小球在竖直方向的运动为自由落体运动，由h＝eq \f(1,2)gt2知，小球下落时间仅与水井井口到水面高度差h有关，D项正确。
7.(2021·河南省实验中学砺锋培卓)如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力。则有( )
A.tan α＝2 B.tan α＝eq \f(1,2)
C.tan α＝eq \f(1,4) D.tan α＝1
【答案】 D
【解析】运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平位移为2L，则有L＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \r(\f(2L,g))。运动员通过最高点时的速度为v＝eq \f(2L,t)＝eq \r(2gL)，则有tan α＝eq \f(gt,v)＝1，故D正确，A、B、C错误。
8.(2021·山东滨州第二次模拟)如图所示为一网球发球机，可以将网球以不同的水平速度射出，打到竖直墙上。O、A、B是竖直墙上三点，O与出射点处于同一水平线上，A、B两点分别为两次试验时击中的点，OA＝h1，OB＝h2，出射点到O点的距离为L，当地重力加速度为g，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是( )
A.出射速度足够大，网球可以击中O点
B.发球间隔时间足够短，两个网球在下落过程中可相遇
C.击中A点的网球的初速度大小为Leq \r(\f(2h1,g))
D.网球击中B点时速度大小为eq \r(\f(L2g,2h2)＋2gh2)
【答案】 D
【解析】 网球做平抛运动，不论出射速度多大，竖直方向的位移也不为零，所以网球不能击中O点，故A错误；发球间隔时间足够短，但两个网球的水平位移不相等，竖直位移不相等，所以两个网球在下落过程中不可能相遇，故B错误；对于击中A点的网球，根据平抛运动的规律可得L＝v0At1，h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，解得击中A点的网球的初速度大小为v0A＝Leq \r(\f(g,2h1))，故C错误；网球击中B点时，据平抛运动的规律可得L＝v0Bt2，h2＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，解得击中B点的网球的初速度大小为v0B＝Leq \r(\f(g,2h2))，网球击中B点时速度大小为vB＝eq \r(veq \\al(2,0B)＋2gh2)＝eq \r(\f(L2g,2h2)＋2gh2)，故D正确。
9. (多选) (2021·河北石家庄市二模)如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为eq \f(\r(3)v0,g)
B.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为eq \f(\r(3)v0,3g)
C.小球抛出时距斜面底端的高度为eq \f(5veq \\al(2,0),g)
D.小球抛出时距斜面底端的高度为eq \f(5veq \\al(2,0),2g)
【答案】 AD
【解析】设小球恰好垂直打到斜面上的时间为t，根据几何关系可得
tan 60°＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)
解得t＝eq \f(\r(3)v0,g)，故A正确，B错误；
小球垂直打到斜面上，根据平抛运动规律，则有
x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2
小球落在斜面上，根据几何关系得
tan 30°＝eq \f(h－y,x)
将t＝eq \f(\r(3)v0,g)代入，联立解得h＝eq \f(5veq \\al(2,0),2g)，故C错误，D正确。
10.(2021·陕西渭南市教学质量检测)如图所示，A点为倾角为30°的斜面底部，在A点的正上方某高度P点以初速度v0平抛一小球，小球打在斜面上B点，C为AB的中点。在P点将小球平抛的初速变为v时，小球恰好打在C点，则有( )
A.v＜eq \f(v0,2) B.v＝eq \f(v0,2)
C.v0＞v＞eq \f(v0,2) D.v＝eq \f(\r(3)v0,2)
【答案】 A
【解析】 过B点作一水平线，过C点作水平线的垂线交于M点，由几何关系可知，M点即为QB的中点，如果平抛运动的初速度为原来的一半，则轨迹交于M点，由于平抛运动的轨迹越往下则往竖直方向偏，所以落在斜面上C点的平抛运动轨迹与QB交于N点，则水平位移比轨迹交于M点的更小，即v＜eq \f(v0,2)，故A正确。
11. (多选)(2021·山东济宁市第一次模拟)如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.初速度越大，小球运动时间越长
B.初速度不同，小球运动时间可能相同
C.小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向
D.小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向
【答案】 BD
【解析】 平抛运动的时间由高度决定，与水平初速度无关，初速度大时，与半圆接触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大，故A错误；初速度不同的小球下落的高度可能相等，如碰撞点关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点，运动的时间相等，故B正确；若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形轨道，即速度方向沿半径方向，则速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向夹角的2倍，因为同一位置速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，两者相互矛盾，则小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误，D正确。
12.(2021·福建泉州市第一次质量检测)某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸。圆心为O的圆弧槽BCD上开有小孔P，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上( )
A.位于B点时，只要弹丸射出速度合适就能过关
B.只要高于B点，弹丸射出速度合适都能过关
C.只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关
D.有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关
【答案】 C
【解析】根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可知，位于B点时，不管速度多大，弹丸都不可能沿OP方向从P点射出，故A错误；若弹射器高于B点，如图所示，根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可得EN＝eq \f(1,2)R(1＋cs α)，则竖直位移PN＝EN·tan α＝eq \f(1,2)R(1＋cs α)tan α，弹射器离B点的高度为y＝PN－Rsin α＝eq \f(1,2)R(tan α－sin α)，所以只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关，故B、D错误，C正确。
13. (多选)(2021·1月广东学业水平选择考适应性测试，8)如图所示，排球比赛中运动员将排球从M点水平击出，排球飞到P点时，被对方运动员击出，球又斜向上飞出后落到M点正下方的N点，N点与P点等高，轨迹的最高点Q与M等高，不计空气阻力，下列说法正确的有( )
A.排球两次飞行过程中加速度相同
B.排球两次飞行过程中重力对排球做的功相等
C.排球离开M点的速率比经过Q点的速率大
D.排球到达P点时的速率比离开P点时的速率大
【答案】 ACD
【解析】 排球在空中的抛体运动只受重力而做匀变速曲线运动，加速度均为重力加速度g，故A正确；设排球的抛体高度为h，第一次从M到P，重力做正功为WG＝mgh，第二次做斜上抛运动从P到Q到N点，重力做功为零，即两次飞行过程重力对球做功不相等，故B错误；排球从M到P和从Q到N都是平抛运动，在M、Q点均只有水平方向的速度，高度h相同，由h＝eq \f(1,2)gt2知运动时间t相同，但xMP>xQN，由x＝v0t可知离开M点的速率大于经过Q点的速率，故C正确；将排球从P到Q的斜上抛运动由逆向思维法可看成从Q到P的平抛运动，则由M到P和Q到P的平抛运动比较，运动高度相同，则运动时间相同，竖直分速度vy一样，但M到P的水平位移大，则水平速度v0较大，由v＝eq \r(veq \\al(2,0)＋veq \\al(2,y))，可知从M到P的末速度大小大于从P到Q的初速度大小，故D正确。
14. (2021·四川宜宾市第二次诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则( )
A.两小球同时落到D点
B.两小球初速度大小之比为eq \r(6)∶3
C.两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D.两小球落到D点时的瞬时速率之比为eq \r(2)∶1
【答案】 B
【解析】 由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，选项A错误；设圆弧形槽半径为R，对从A点抛出的小球，R＝v1tA，tA＝eq \r(\f(2R,g))，则v1＝Req \r(\f(g,2R))＝eq \r(\f(1,2)gR)，对从C点抛出的小球，Rsin 60°＝v2tC，tC＝eq \r(\f(（R－Rcs 60°）×2,g))＝eq \r(\f(R,g))，则v2＝eq \f(\r(3)R,2)eq \r(\f(g,R))＝eq \r(\f(3,4)gR)，v1∶v2＝eq \r(6)∶3，选项B正确；设在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝eq \f(v0,vy)，由v1∶v2＝eq \r(6)∶3和vy1∶vy2＝tA∶tC＝eq \r(2)∶1知tan θ1≠tan θ2，选项C错误；设A、C两点抛出球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝eq \r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,y1))＝eq \r(\f(5,2)gR)，vC＝eq \r(veq \\al(2,2)＋veq \\al(2,y2))＝eq \r(\f(7,4)gR)，则vA∶vC＝eq \r(10)∶eq \r(7)，选项D错误。
15.(2021·浙江嘉兴一中高三期末)如图所示，O为斜面的底端，在O点正上方的A、B两点分别以初速度vA、vB正对斜面水平抛出两个小球，结果两个小球都垂直击中斜面，击中的位置分别为P、Q(图中未标出)．OB＝AB，空气阻力忽略不计，则( )
A．OP＝eq \r(2)OQ B．OP＝4OQ
C．vA＝eq \r(2)vB D．vA＝vB
【答案】C
【解析】 设初速度为v0，高度为h，从抛出到击中斜面所用时间为t，斜面倾角为θ，垂直击中斜面，则gttan θ＝v0
得t＝eq \f(v0,gtan θ)，由h＝eq \f(1,2)gt2＋v0ttan θ＝eq \f(v\\al(02),2gtan2θ)＋eq \f(v\\al(02),g)，得h与v02成正比，根据OA＝2OB得vA2＝2vB2，
则vA＝eq \r(2)vB，故C正确，D错误．
由OP＝eq \f(vAt,cs θ)＝eq \f(v\\al(A2),gsin θ)，OQ＝eq \f(vBt,cs θ)＝eq \f(v\\al(B2),gsin θ)，
故OP＝2OQ，故A、B错误．
二、非选择题
16．(2021·黑龙江大庆实验中学开学考试)在做“研究平抛物体的运动”实验时，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求：
(1)将你认为正确的选项前面的字母填在横线上________。
A.通过调节使斜槽的末端保持水平
B.每次释放小球的位置必须不同
C.每次必须由静止释放小球
D.用铅笔记录小球位置时，每次必须严格地等距离下降
E.小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相触
F.将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
(2)如图所示为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5 cm，如果取g＝10 m/s2，那么
①照相机的闪光频率是__________ Hz；
②小球经过B点时的速度大小是__________ m/s。
【答案】 (1)ACE (2)①10 ②2.5
【解析】 (1)调节使斜槽末端保持水平，是为了保证小球做平抛运动，故A正确；要画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得相同的初速度，故B错误，C正确；平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，在相同时间里，位移越来越大，因此木条(或凹槽)下降的距离不应是等距的，故D错误；平抛运动的物体在同一竖直面内运动，固定白纸的木板必须调节成竖直，小球运动时不应与木板上的白纸相接触，以免有阻力的影响，故E正确；球经过不同高度的位置记录在纸上后，取下纸，用平滑的曲线把各点连接起来，故F错误。
(2)①从图中看出，A、B、C 3个点间的水平位移均相等，x＝3L，因此这3个点是等时间间隔点。竖直方向两段相邻位移之差是个定值，即Δy＝gT2＝2L
解得T＝eq \r(\f(2L,g))＝eq \r(\f(2×0.05,10)) s＝0.1 s
则闪光频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,0.1) Hz＝10 Hz
②小球运动中水平分速度的大小
vx＝eq \f(3L,T)＝eq \f(0.15,0.1) m/s＝1.5 m/s
小球经过B点的竖直分速度
vyB＝eq \f(8L,2T)＝eq \f(8×0.05,2×0.1) m/s＝2 m/s
则经过B点的速度
vB＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,yB))＝eq \r(2.25＋4) m/s＝2.5 m/s
17.(2021·江西南昌重点中学联考)如图所示，倾角为θ＝37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg、带有凹槽的小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以初速度v0水平抛出，经过t＝0.4 s，小球恰好沿垂直斜面方向落入正在上滑的小滑块凹槽中．sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，求：
(1)小球水平抛出的初速度大小v0；
(2)小滑块的初速度大小v.
【答案】 (1)3 m/s (2)5.35 m/s
【解析】 (1)小球做平抛运动，根据平抛运动规律有vy＝gt
vx＝v0
小球沿垂直斜面方向落入槽内，则eq \f(vx,vy)＝tan θ
联立并代入数据解得v0＝3 m/s.
(2)小滑块沿斜面做匀减速直线运动，设加速度大小为a，沿斜面上滑位移为x时小球垂直斜面方向落入槽内，有mgsin θ＋μmgcs θ＝ma
x＝vt－eq \f(1,2)at2
xcs θ＝v0t
联立并代入数据解得v＝5.35 m/s.
18. (2021·福建南平市第一次质检)如图所示为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图．参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是段水平跑道．选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上水平跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.
(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳到水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间．
【答案】 (1)eq \f(3,2)eq \r(10) m/s (2)0.6 s
【解析】 (1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳到水平跑道上，则
水平方向有hsin 60°≤v0t，
竖直方向有hcs 60°＝eq \f(1,2)gt2
解得v0≥eq \f(3,2)eq \r(10) m/s.
故v0的最小值为eq \f(3,2)eq \r(10) m/s.
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1该选手下降高度为y＝eq \f(1,2)gt2
水平前进距离x＝v1t
又x2＋y2＝h2，解得t＝0.6 s.