2018-2019学年北师大附属实验中学八上期中数学试卷

这是一份2018-2019学年北师大附属实验中学八上期中数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在 9 月份的“学农”活动中，剪纸不仅是同学们最喜欢的一门课程，很多老师也和同学们一起学习剪纸这项最古老的民间艺术，下面是刘红老师的剪纸作品，其中是轴对称图形的为
A. B.
C. D.

2. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是
A. a+2a−2=a2−4B. x2+x−1=x−1x+2+1
C. a+ax+ay=ax+yD. a2b−ab2=aba−b

3. 点 A3,−1 关于 x 轴的对称点是
A. −1,3B. −3,−1C. 3,−1D. 3,1

4. 若分式 x−1x+2 的值为零，则 x 的值为
A. 0B. 1C. −2D. 1 或 −2

5. 在 △ABC 和 △AʹBʹCʹ 中，已知 ∠A=∠Aʹ，∠B=∠Bʹ，AC=AʹCʹ，那么 △ABC≌△AʹBʹCʹ 运用的判定方法是
A. SASB. AASC. ASAD. SSS

6. 下列命题中错误的是
A. 全等三角形的周长相等B. 全等三角形的对应角相等
C. 全等三角形的面积相等D. 面积相等的两个三角形全等

7. 等腰三角形的两边长分别为 6 cm 和 3 cm，则它的周长是
A. 15 cmB. 12 cmC. 15 cm 或 12 cmD. 以上都不正确

8. 如图，有三种卡片，分别是边长为 a 的正方形卡片 1 张，边长为 b 的正方形卡片 4 张和长度为 a，b 的长方形卡片 4 张，现使用这 9 张卡片拼成一个大的正方形，则这个大的正方形边长为
A. a+3bB. 2a+bC. a+2bD. 4ab

9. 如图，在 △ABC 中，BD=DA，将 △ABC 沿过 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上 F 处，若 ∠B=50∘，则 ∠EDF 的度数为
A. 50∘B. 45∘C. 40∘D. 35∘

10. 如图，AC=BD，∠ADB=∠BCA=90∘，AC 与 BD 交于点 E．有下列结论：
① △ABC≌△BAD；
② △ADE≌△BCE；
③点 E 在线段 AB 的垂直平分线上；
④ AC，BD 分别平分 ∠DAB 和 ∠CBA；
以上结论正确的个数有
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 因式分解：x2+2x= ．

12. 使分式 3a+4 有意义的 a 的取值范围是 ．

13. 如图，已知 AB⊥BD，ED∥AB，AB=ED，要使 △ABC≌△EDC，可补充的一个条件是： ．（答案不唯一，写一个即可）

14. 若点 2x+1,5 和 y,x−1 关于 y 轴对称，则 y= ．

15. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 35∘，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．

16. 如图，△ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，DE∥AB 交 AC 于点 E，若 DE=7，CE=6，则 AC 的长为 ．

17. 阅读下面的材料：
在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．
已知：直线和直线外的一点 P．
求作：过点 P 且与直线 l 垂直的直线 PQ，垂足为点 Q．
某同学的作图步骤如下：
请你根据该同学的作图方法完成以下的推理：
∵PA=PB，∠APQ=∠ ，
∴PQ⊥l，（依据： ）．

18. 若满足 ∠AOB=30∘，OA=4，AB=k 的 △AOB 的形状与大小是唯一的，则 k 的取值范围是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 分解因式：3a2−6a+3．

20. 分解因式：x3y2−16x3．

21. 计算：2a4b23c3÷6a3b215c2．

22. 已知：如图，点 A，E，F，C 在同一条直线上，DF=BE，∠B=∠D，AD∥BC，求证：AE=CF．

23. 先化简，再求值：x2−y2x2−2xy+y2⋅x−yy2−x2，其中 x=2017，y=2018．

24. “学农”期间，我们住在北京农学院，a，b 分别代表两条道路，点 M，N 分别代表宿舍楼和教学楼．为了便于杨枫老师快速便捷地协调指挥，现要建立联络站 O 点，使 O 点到两条道路的距离相等，且到宿舍楼和教学楼的距离也相等．请用直尺和圆规画出所有满足条件的 O 点位置，不写作法，保留作图痕迹．并指出杨枫老师应选择的联络站位置．

25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A−2,1，B−1,4，连接 AB．
（1）画线段 A1B1，使得线段 A1B1 与线段 AB 关于 y 轴对称，请写出 A1，B1 的坐标：A1 ，B1 ；
（2）点 P 是 y 轴上一个动点，请画出 P 点，使 PA+PB 最小；
（3）已知点 C 在坐标轴上，且满足 △ABC 是等腰 △ABC，则所有符合条件的 C 点有 个．

26. 如图，在 △ABC 中，∠A=100∘，∠ABC=40∘，BD 是 △ABC 的角平分线，延长 BD 至 E，使 DE=AD，连接 EC．
（1）直接写出 ∠CDE 的度数：∠CDE= ∘；
（2）猜想线段 BC 与 AB+CE 的数量关系为 ，并给出证明．

27. 如图，在等边 △ABC 中，点 P，Q 在边 BC 上，并且满足 BP=CQ，作点 Q 关于直线 AC 的对称点 M，连接 AP，AQ，AM，CM，PM，线段 PM，AC 交于点 N，
（1）当 ∠BAP=15∘ 时，∠QAM= ∘；
（2）求证：AP=PM；
（3）若 AB=4，当点 P 在边 BC 上运动时，则线段 CN 的最大值为 ．

四、填空题（共1小题；共5分）
28. 在学习整式除法一章，佩奇发现：
x−yx+y=x2−y2，
x−yx2+xy+y2=x3−y3，
x−yx3+x2y+xy2+y3=x4−y4，
x−yx4+x3y+x2y2+xy3+y4=x5−y5，
⋯⋯
（1）借助佩奇发现的等式，不完全归纳 x−yxn−1+xn−2y+⋯+xyn−2+yn−1= ；
（2）利用（1）中的规律，因式分解 x7−1= ；
（3）运用新知：计算 1+5+52+53+⋯+510= ．

五、解答题（共2小题；共26分）
29. 如图，直线 l 是直角 △ABC 的斜边 BC 的垂直平分线，点 Aʹ 与 A 关于直线 l 对称，连接 AʹB，AʹC，由轴对称的性质不难得到 AʹB 与 AC 的交点 M 在直线 l 上，点 P 是直线 AʹB 上一点，过点 P 作 PD∥AʹC 交 BC 于点 D，过点 D 作 DQ⊥AC 于点 Q．
（1）若 ∠ABC=65∘，则 ∠ACAʹ= ∘；
（2）如图，当点 P 与点 M 重合时，求证：DP+DQ=AB；
（3）①如图，当点 P 在线段 AʹB 上（不含端点）时，线段 DP，DQ，AB 的数量关系是 ；
②当点 P 在线段 AʹB 的延长线上时，线段 DP，DQ，AB 的数量关系是 ．

30. （1）已知 △ABC 中，∠A=90∘，∠B=67.5∘，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）．
（2）已知 △ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求 ∠ABC 与 ∠C 之间的所有可能的关系（直接写出所有答案即可）．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. D
4. B
5. B
6. D
7. A
8. C
9. A
10. C
第二部分
11. xx+2
12. a≠−4
13. ∠A=∠E 或 ∠ACB=∠ECD 或 BC=DC 或 AC=AE（答案不唯一）
14. −13
15. 55∘ 或 125∘
16. 13
17. BPQ，等腰三角形三线合一（简称“三线合一”或完整语言叙述均可）
18. k=2 或 k≥4
第三部分
19. 3a2−6a+3=3a2−2a+1=3a−12.
20. x3y2−16x3=x3y2−16=x3y+4y−4.
21. 2a4b23c3÷6a3b215c2=2a4b23c3⋅15c26a3b2=5a3c.
22. 因为 AD∥BC，
所以 ∠A=∠C，
在 △ADF 和 △CBE 中，
∠A=∠C,∠B=∠D,DF=BE,
所以 △ADF≌△CBEAAS，
所以 AF=CE，
所以 AF−EF=CE−EF，即 AE=CF．
23. 原式=x2−y2x−y2⋅x−yy2−x2=−1x−y.
当 x=2017，y=2018 时，
原式=−12017−2018=1.
24. 作两条公路的夹角平分线及其垂线，作线段 MN 的垂直平分线，交于两点，选择距离较近的点．
25. （1） 画图．
2,1；1,4
（2） 做出点 P．
（3） 7
26. （1） 60
（2） BC=AB+CE
证：截取 BF=BA，连 DF，
证明 △BAD≌△BFDSAS，
可证 DF=DE，∠CDF=∠CDE=60∘，
可证 △CDF≌△CDESAS，
所以 CE=CF，
所以 BC=AB+CE．
27. （1） 30
（2） 可证 AP=AQ，∠BAP=∠QAC，
可证 AQ=AM 即 AP=AM，
∠PAM=∠BAC=60∘，
所以得等边 △APM，
所以 AP=PM．
（3） 1
第四部分
28. xn−yn，x−1x6+x5+x4+x3+x2+x+1，511−14
第五部分
29. （1） 40
（2） 法 1：面积法
先证明 AʹC⊥MB，DP⊥AʹB，再证明 MB=MC，
利用 S△DMB+S△DMC=S△MBC，
可证 DP+DQ=AB．
【解析】法 2：截长补短
过点 C 作 CH⊥MD，
利用 ∠MBC=∠MCB，可证 △CDQ≌△CDHAAS，从而 DQ=DH，
利用矩形 AʹMHC，可证 CAʹ=PH=DP+DQ，
而 AB=CAʹ，
所以 DP+DQ=AB．
（3） DP+DQ=AB；DQ−DP=AB
30. （1） 两种方法．
（2） ∠ABC=90∘ 或 ∠ABC=3∠C 或 ∠ABC=135∘−34∠C 或 ∠ABC=180∘−3∠C．