专题07 等腰三角形综合题模型解题-决胜中考数学之模型解题高分攻略（教师版）学案

解题模型一  等边三角形共顶点

针对训练

1.（2017•恩施）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．

【答案】证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°.

∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD.

在△ACE和△BCD中，，

∴△ACE≌△BCD（SAS）.

∴∠CAE=∠CBD.

∵∠APC=∠BPO，

∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．  @

解题模型二  等腰直角三角形共顶点

针对训练

2．（2018•东营）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：

①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 

【答案】A

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

3．（2017•哈尔滨）已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．

（1）如图1，求证：AE=BD；[来源:Z_xx_k.Com]

（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．

【答案】（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，

∠ACB=∠DCE=90°，

∴AC=BC，DC=EC.

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD.

∴∠BCD=∠ACE.

在△ACE与△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS）.

∴AE=BD.

（2）由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，

∴∠DOM=90°.

∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，

∴△EMC≌△BCN（ASA）.

∴CM=CN，

∴DM=AN.

∴△AON≌△DOM（AAS）.

∵DE=AB，AO=DO，[来源:]

∴△AOB≌△DOE（HL）.  #

∠ACB=∠DCE=90°，

【点睛】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定条件，本题属于基础题型．

解题模型三  等腰三角形共顶点

针对训练

4．（2018•河南）（1）问题发现

如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：

①的值为　1　；

②∠AMB的度数为　40°　．

（2）类比探究

如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

【答案】（1）①1；②40°（2）=，∠CAO=∠DBO.

在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°.

（3）AC的长为3或2．  @

（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长．

故答案为：①1；②40°.

（2）类比探究

如图2，=，∠AMB=90°，理由是：

Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，

∴.

同理得：，

∴.

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠BOD.

∴△AOC∽△BOD.[来源:Zxxk.Com]

∴=，∠CAO=∠DBO.

在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°.

（3）拓展延伸

[来源:Z。X。X。K][来源:]

【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．