2021年高考理科数学一轮复习：专题4.1 任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系 题型全归纳与高效训练突破

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TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 象限角与终边相同的角1
题型二 弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用3
题型三 任意角三角函数的定义及应用4
类型一 利用三角函数的定义求值4
类型二 判断三角函数值的符号6
类型三 以三角函数定义（三角函数线）为背景的创新题6
题型四 同角三角函数关系式的应用8
类型一 化简与求值8
类型二 sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα之间的关系问题9
类型三 sinα，csα的齐次式10
题型五 诱导公式的应用11
题型六 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用12
二、高效训练突破14
一、题型全归纳
题型一 象限角与终边相同的角
【题型要点】(1)终边在某直线上角的求法4步骤
①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
②按逆时针方向写出[0，2π]内的角；
③再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
④求并集化简集合．
(2)判断象限角的2种方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
(3)确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置3步骤
①用终边相同角的形式表示出角α的范围；
②再写出kα或eq \f(α,k)的范围；
③然后根据k的可能取值讨论确定kα或eq \f(α,k)的终边所在的位置．
【易错提醒】终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．
【例1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq \r(3)x上，则角α的取值集合是( )
A． B．
C．D．
【例2】给出下列四个命题：
①－eq \f(3π,4)是第二象限角；②eq \f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二 弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用
【题型要点】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【例1】已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )
A．2 B．1
C.eq \f(1,2) D．3
【例2】(2020·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．
题型三 任意角三角函数的定义及应用
类型一 利用三角函数的定义求值
【题型要点】用定义法求三角函数值的两种情况
①已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．
【例1】已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，求cs α，tan α的值．
【例2】(2020·白银摸底)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A(x,3)是角θ终边上一点且csθ＝－eq \f(\r(10),10)，则x＝( )
A．－3eq \r(3) B．3eq \r(3)
C．1 D．－1
类型二 判断三角函数值的符号
【题型要点】1.三角函数值符号的记忆口诀
一全正、二正弦、三正切、四余弦
2.判断三角函数值符号及角位置的方法
已知一角的三角函数值(sin α，cs α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【例3】．若sinθ·csθ<0，eq \f(tanθ,sinθ)>0，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【例4】(2020·江西九江一模)若sin x<0，且sin(cs x)>0，则角x是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
类型三 以三角函数定义（三角函数线）为背景的创新题
【题型要点】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤
①用边界值定出角的终边位置；
②根据不等式(组)定出角的范围；
③求交集，找单位圆中公共的部分；
④写出角的表达式．
【例5】如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(eq \r(2)，－eq \r(2))，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )

【例6】设a＝sin1，b＝cs1，c＝tan1，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b题型四 同角三角函数关系式的应用
类型一 化简与求值
【题型要点】1．应用同角三角函数关系式化简、求值的方法
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化.
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
【例1】(2020·唐山模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)，则csα＝( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
类型二 sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα之间的关系问题
【题型要点】sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα之间的关系问题
对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cs α＝t，则sin αcs α＝eq \f(t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
(1)方法：利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα可以知一求二．
(2)关注点：根据角α终边的位置确定sinα＋csα，sinα－csα的符号.
【例2】(2020·四川成都二诊)已知α为第二象限角，且sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，则cs α－sin α＝( )
A.eq \f(7,5) B．－eq \f(7,5)
C．±eq \f(7,5) D．－eq \f(1,5)
【例3】(2020·河南中原名校联盟联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cs θ是关于x的方程2x2＋x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cs θ＝( )
A.eq \f(\r(6),2) B．eq \f(\r(7),2)
C.eq \f(\r(5),2) D．1
类型三 sinα，csα的齐次式
【题型要点】．sinα，csα的齐次式的解法
(1)常见的结构
①sinα，csα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α)的问题常采用“切”代换法求解；
②sinα，csα的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
(2)巧用“1”的变换：1＝sin2α＋cs2α.
【例4】已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α的值是 ( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5)
C．－3 D．3
题型五 诱导公式的应用
【题型要点】(1)诱导公式的两个应用方向与原则
①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)应用诱导公式的基本流程
(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．
(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为eq \f(π,2)的整数倍，可考虑诱导公式.
【例1】(2020·安徽六校教育研究会联考)若＝eq \f(\r(5),5)，那么的值为( )
A.eq \f(2\r(5),5) B．－eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(\r(5),5) D．－eq \f(\r(5),5)
【例2】．若，则的值为________．
题型六 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【题型要点】同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法
(1)使用诱导公式把求解的三角函数式化为只含一个角的三角函数式．
(2)使用同角三角函数的基本关系式求解该三角函数式的值，求解中注意公式的准确性．
【例1】(2020·武威六中第一次阶段性检测)已知.
(1)化简f(α)；
(2)若－eq \f(π,3)<α【例2】．(2020·江西吉安期末)已知tan(－2 019π＋θ)＝－2，则( )
A．－2 B．eq \f(2\r(3)＋1,5)
C.eq \f(2\r(3)＋3,5) D．eq \f(3,5)
二、高效训练突破
一、选择题
1．若角α的终边经过点P(1，eq \r(3))，则cs α＋tan α的值为( )
A.eq \f(1＋2\r(3),2) B．eq \f(－1＋\r(3),2)
C.eq \f(1＋\r(3),2) D．eq \f(－1＋2\r(3),2)
2．点P(cs2019°，sin2019°)所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3.(2020·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－eq \f(1,3)，则＝( )
A．2eq \r(2) B．－2eq \r(2)
C.eq \f(\r(2),4) D．±2eq \r(2)
3.计算：sineq \f(11π,6)＋cseq \f(10π,3)＝( )
A．－1 B．1
C．0 D.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)
4．已知sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，|θ|A．－eq \f(π,6) B．－eq \f(π,3)
C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
5.已知角α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq \f(sin θ,|sin θ|)＋eq \f(cs θ,|cs θ|)＋eq \f(tan θ,|tan θ|)的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
6.(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)若，且α是第三象限角，则＝( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5)
C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
7．已知tan(π－α)＝－eq \f(2,3)，且α∈，则eq \f(cs（－α）＋3sin（π＋α）,cs（π－α）＋9sin α)＝( )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,7)
C.eq \f(1,5) D．eq \f(3,7)
8．已知2θ是第一象限的角，且sin4θ＋cs4θ＝eq \f(5,9)，那么tanθ＝( )
A.eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(\r(2),2)
C.eq \r(2) D．－eq \r(2)
9．(2020·广州模拟)当θ为第二象限角，且时，eq \f(\r(1－sinθ),cs\f(θ,2)－sin\f(θ,2))的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
10．(2020·沈阳摸底)若eq \f(1＋csα,sinα)＝2，则csα－3sinα＝( )
A．－3 B．3
C．－eq \f(9,5) D.eq \f(9,5)
11．(2020·东北三省三校模拟)已知，则( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(\r(2),3)
二、填空题
1.已知角α的终边经过点P(x，－eq \r(2))(x≠0)，且csα＝eq \f(\r(3),6)x，则sinα＋eq \f(1,tanα)的值是________．
2.已知圆O与直线l′相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l′向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．
3.已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则sin(α－15°)＋cs(105°－α)的值是________．
4.已知点P(sin θ，cs θ)是角α终边上的一点，其中θ＝eq \f(2π,3)，则与角α终边相同的最小正角为________．
5.若3sin α＋cs α＝0，则eq \f(1,cs2α＋2sin αcs α)的值为________．
6.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 019)的值为________．
7.(2020·惠州模拟)已知tan α＝eq \f(1,2)，且α∈(π，eq \f(3π,2))，则cs(α－eq \f(π,2))＝________．
8.若|sin θ|＋|cs θ|＝eq \f(2\r(3),3)，则sin4θ＋cs4θ＝________．
9.(2020·襄阳模拟)已知，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(4π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6))))＝________．
三、解答题
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－eq \f(4,5)，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
2.已知sinα＝eq \f(2\r(5),5)，求tan(α＋π)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)))的值．
3.是否存在α∈，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cs，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．