专题07 动点折叠类问题中落点“有迹性”问题探究（教师版）学案

这是一份专题07 动点折叠类问题中落点“有迹性”问题探究（教师版）学案，共16页。学案主要包含了基础知识点综述，精品例题解析等内容，欢迎下载使用。

动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.
实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.
要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.
存在性问题
主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.
解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论.
落点“有迹性”问题
该类问题是题目中给了旋转或翻折条件，落点落在某条直线、射线、弧线或图形的边上，求未知线段的长度.
解题思路：借助圆规，以不动线段为切入点，作出图形，进而利用等腰三角形性质、勾股定理、三角函数、相似三角形等知识求解.
我们选取部分真题及模考题，逐一分析此类题目的解题思路与方法，希望能带给各位老师及同学一些帮助.
二、精品例题解析
题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题
例1.（2019•金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为 .

【分析】分三种情况讨论：
①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’N=M’O，
设∠ONM=x°，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30°，进而利用三角函数求得ON的长；
②当M’N=ON时，作出图形，得到∠ONM’度数，利用三角函数求解；
③当M’O=ON=OM=，此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.
【答案】1或3.
【解析】解：由△ONM’为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’N=M’O，如图所示，
设∠ONM’=x°，则∠OM’M=∠OMM’ =2x°,
∵∠AOB=90°，
∴x+2x=90，解得：x=30，
在Rt△NOM中，ON=；
②当M’N=ON时，如下图所示，

由①知：∠NOM’=30°，
过M’作M’H⊥OA于H，
∴HM’=,
在Rt△HNM’中，NM’=，
即ON=1；
③当M’O=ON=OM=，
此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.
故答案为：1或3.
例2.（2019春·包河区校级月考）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B=.
【分析】由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF，
△BDE是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当DE=BD时，设∠B=x°，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=45；
②当BD=BE时，作出图形，设∠B=x°，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=30；
③当BE=DE时，得∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.
【答案】45°或30°.
【解析】解：
由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF，∠CDF=∠CFD=45°，
∴∠FDB=135°，
△BDE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：
①当DE=BD时，见下图
设∠B=x°，
则∠DEB=x，∠EDB=180°－2x，
由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，
∴180－2x+90－x =135，解得：x=45，
即∠B=45°；
②当BD=BE时，如下图所示，
设∠B=x°，
则∠EDB= ，
由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，
∴+90－x =135，解得：x=30，
即∠B=30°；
③当BE=DE时，得∠B=∠EDB，
∴∠FDB=∠FDE+∠EDB=∠A+∠B=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.
故答案为：45°或30°.
例3．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=a. 连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B’落在矩形ABCD的边上，则a的值为
【分析】由题意知，B的落点B’只能落在矩形ABCD的边AD或CD上，因此要分两种情况讨论；先确定落点B’位置，再确定折痕，借助图形利用全等三角形及相似三角形（一线三直角模型）来达到解决问题的目的.
【答案】45°或30°.
【解析】解：
（1）当点B’落在边AD上时，如下图所示，
由题意知：
四边形ABEB’为正方形，BE=AB=1，
即，
∴a=；
（2）当点B’落在边CD上时，如下图所示，
由题意知：
△ADB’∽△ECB’，
∴,
即：，
解得：DB’=，B’C=,
∴a=
故答案为：或.
例4．（2019•卧龙区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB’E. 点B’恰好落在射线CD上，则BE的长为.

【分析】首先作出射线CD，以A为圆心以AB为半径画弧，弧与射线CD的交点即为B’的位置，再作出∠BAB’的平分线，即为折痕；然后根据勾股定理等知识求解.
【答案】或15.
【解析】解：（1）当B’落在线段CD上时，如下图所示，
由折叠知：AB’=AB=5，AD=3，
∴在Rt△ADB’中，由勾股定理得：DB’=4，
∴B’C=1，
设BE=x，则CE=3－x，
在Rt△B’CE中，由勾股定理得：，
解得：x=，即BE=；
（2）当B’落在线段CD延长线时，如下图所示，
由折叠知：AB’=5，AD=3，由勾股定理得：B’D=4，
∴B’C=9，
设BE=x，则B’E=x，EC=x－3，
在Rt△B’EC中，由勾股定理得：
，
解得：x=15，即BE=15；
故答案为：或15.
例5. 如图，在等边△ABC中，AB=，点D在边AB上，且AD=2，点E是BC边上一动点，将∠B沿DE折叠，当点B的对应点B’落在△ABC的边上时，BE的长为.
【分析】首先根据题意确定出落点B’的位置，再确定折痕，求得BE.确定落点的方法，以D为圆心，以DB长为半径画弧，与△ABC的边的交点即为B’位置，如下图所示.
【答案】或6-2.
【解析】解：（1）当点B’在BC边上时，如下图所示，
由题意知：BD=DB’=，∠B=60°，
∴△BDB’是等边三角形，DE⊥BB’，
∴BE=BD=；
（2）当点B’在AC边上时，如下图所示，
过D作DF⊥AC于F，
∵∠A=60°，AD=2，
∴DF= ,
又DB’=DB=2=2DF，
∴∠DB’F=30°，
∴∠EB’C=30°，
则EC= EB’，
∴BE+EC=2+2，
即BE+BE=2+2，
解得：BE=6-2；
故答案为：或6-2.
例6. 如图，在等腰直角△ABC中，AB=BC=3，点P在边AB上，且BP=1，点Q为边AC上的任意一点（不与A、C重合），将△APQ沿PQ折叠，当点A的对应点A’落在△ABC的边上时，AQ的长为
【分析】首先根据题意确定出落点A’的位置，再确定折痕PQ的位置，利用勾股定理、三角函数等求得AQ. 确定落点的方法，以P为圆心，以AP长为半径画弧，与△ABC的边的交点即为A’位置，如下图所示.
【答案】或.
【解析】解：（1）当点A’落在边AC上时，如下图所示，
∵AB=BC=3，∠B=90°，BP=1
∴∠A=∠C=45°，AP=2
由折叠知：∠APQ=∠QPA’=45°，
∴AQ=PQ= ;
（2）当点A’落在边BC上时，如下图所示，
由题意知：BP=1，A’P=AP=2，
∴∠PA’B=30°，
∴∠BPA’=∠APQ=∠QPA’=60°，
过Q作QH⊥AP于H，
设AH=QH=x，则PH=，
∴x+=2，解得：x=，
∴AQ=;
故答案为：或.
例7．（2018•红旗区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，点P是射线BC上一动点，连接AP，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B’落在线段BC的垂直平分线上时，则BP的长等于

【分析】线段BC的垂直平分线为一条直线，此题应先确定B’位置，再确定折痕，求解. 确定落点的方法：作出线段BC的垂直平分线MN，以A为圆心，以AB为半径画弧，弧与直线MN的交点即为点B’的位置.如下图所示，
【答案】或10.
【解析】解：由图可知点B’落点有两个位置符合要求，
（1）点B’落在靠下位置时，如下图所示，
过A作AH⊥MN于H，设MN与BC交于点G，
易知：
AH=BG=4，AB’=AB=5，
∴由勾股定理得：B’H=3，
∴GH=AB=5，B’G=2
设BP=x，则B’P=x，PG=4－x，
在Rt△PB’G中，由勾股定理得：，
解得：，即BP=;
（2）点B’落在靠上位置时，如下图所示，
过A作AH⊥MN于H，
∵AB=AB’=5，AH=4，GH=5,
∴B’H=3，B’G=8，
设BP=x，则B’P=x，PG=x－4，
在Rt△PGB’中，由勾股定理得：
，
解得：，即BP=10;
故答案为：或10.
例8. 矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3，将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在的直线交矩形两边于点E、F，则EF长为.
【分析】矩形边上存在两个点使得DP=3，此题有两种不同情况，即P在AD上或CD上. 依据题意画出图形，借助勾股定理等知识求解.
【答案】6或.
【解析】（1）当P点在边CD上时，如下图所示，
由题意知：四边形BEPF是正方形，
可得：EF=BE=6；
（2）当点P在边AD上时，如下图所示，
过F作FH⊥AB于H，
设AE=x, 则BE=PE=9－x，
在Rt△AEP中，由勾股定理，得：
，解得：x=4，
即AE=4，BE=PE=5，
设FC=y，则DF=9－x，
在Rt△PDF和Rt△BFC中，由勾股定理得：
，解得：x=3，
即FC=BH=3，
∴EH=2，FH=6，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF=，
故答案为：6或.
例9. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为 ．
【分析】矩形对角线有两条，故此题分两种情况讨论，以D为圆心，以AD长为半径画弧，弧与对角线交点即为A’，在画出折痕求解即可.
【答案】.
【解析】解：（1）点A落在矩形对角线BD上，如下图所示，
∵AB＝4，BC＝3，
由勾股定理得：BD＝5，
由折叠得：AD＝A′D＝3，AP＝A′P，∠A＝∠PA′D＝90°，
∴BA′＝2，
设AP＝x，则BP＝4﹣x，
BP2＝BA′2+PA′2，
即（4﹣x）2＝x2+22，
解得：x＝；
（2）点A落在矩形对角线AC上，如下图所示，
根据折叠的性质可知DP⊥AC，
∴△DAP∽△ABC，
得：AP＝．
故答案为：．
例10．（2019•三门峡二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为 ．
【答案】或
【解答】解：由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE，
由题意知：∠BC′E＝90°，
BC＝12，BE＝2CE，
得：BE＝8，C′E＝CE＝4，
在Rt△BC′E中，∠C′BE＝30°，
（1）当点C′在BC的上方时，
过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，
EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，
∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，
∠BEC′＝60°，
由折叠的性质得，∠C′EF＝′CEF，
∴∠C′EF＝∠CEF＝60°，
∵AD∥BC
∴∠HFE＝∠CEF＝60°，
∴△EFH是等边三角形，
∴在Rt△EFG中，EG＝6，
∴GF＝2，AF═8+2；
②当点C′在BC的下方时，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，
可得，四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，
∴AF＝BG，FG＝AB＝6，∠FEH＝60°，
在Rt△EFG中，GE＝2，
∵BE＝8，
∴BG＝8﹣2，AF＝8﹣2，
故答案为：或．