2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市香坊区哈尔滨德强学校八下期中数学试卷

这是一份2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市香坊区哈尔滨德强学校八下期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是
A. x2−4=0B. x=1x
C. x2+3x−2y=0D. x2+2=x−1x+2

2. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是
A. 32，42，52B. 13，5，12C. 13，14，15D. 312，412，512

3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等
C. 对角线互相平分D. 对角相等

4. 下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是
A. B.
C. D.

5. 关于 x 一元二次方程 x2−kx−6=0 的根的情况为
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定根的情况

6. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=8，AB=10，D，E 分别为 AC，AB 中点，连接 DE，则 DE 长为
A. 4B. 3C. 8D. 5

7. 如图，在 A 处测得点 P 在北偏东 60∘ 方向上，在 B 处测得点 P 在北偏东 30∘ 方向上，若 AB=2 米，则点 P 到直线 AB 距离 PC 为
A. 3 米B. 3 米C. 2 米D. 1 米

8. 如图，在矩形 ABCD 中，AE 平分 ∠BAD 交 BC 于点 E，ED=5，EC=3，则矩形的周长为
A. 18B. 20C. 22D. 24

9. 下列命题正确的是
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C. 平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和
D. 有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形

10. 如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 为 CD 上一动点，连接 AE 交 BD 于 F，过 F 作 FH⊥AE 于 F，过 H 作 HG⊥BD 于 G．则下列结论：
① AF=FH；
② ∠HAE=45∘；
③ BD=2FG；
④ △CEH 的周长为 8．
其中正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 函数 y=x−1 中自变量 x 的取值范围是 ．

12. 在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，如果 ∠B=50∘，则 ∠D= ．

13. 若关于 x 的一元二次方程 m−1x2+x+m2−1=0 有一个根为 0，则 m 的值为

14. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6 ，边 AB 的长是方程 x2−7x+12=0 的一个根，则菱形 ABCD 的周长为 ．

15. 某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加 44%，则这两年平均绿地面积的增长率为 ．

16. 如图，将两条宽度为 3 的直尺重叠在一起，使 ∠ABC=60∘，则四边形 ABCD 的面积是 ．

17. 如图，将正方形 ABCD 沿 FG 折叠，点 A 恰好落在 BC 上的点 E 处，若 BE=2，CE=4，则折痕 FG 的长度为 ．

18. 如图，在正方形 ABCD 中，AC=62，E 是 BC 边的中点，F 是 AB 边上一动点，则 FB+FE 的最小值为 ．

19. 在平行四边形 ABCD 中，AB=10，BC 边上的高为 6，AC=35，则平行四边形 ABCD 的面积为 ．

20. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，D 为 AB 边上一点（BD
三、解答题（共7小题；共91分）
21. 解下列方程．
（1）3x−12=23x−1．
（2）3x2−23x+1=0．

22. 方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，请分别画出符合要求的图形．要求：所画图形的各顶点必须与方格纸中的小正方形的顶点重合．
（1）画一个面积为 10 的等腰直角三角形；
（2）画一个周长为 20，面积为 15 的菱形．

23. 将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、 2 列，两边各加一条竖直线记成 acbd，定义 acbd=ad−bc，上述记号就叫做 2 阶行列式．
（1）若 2x1493x=0，求 x 的值．
（2）若 x+1x−11−xx+1=6，求 x 的值．

24. 已知，在 △ABC 中，AB=AC，点 D 、点 O 分别为 BC，AC 的中点，AE∥BC．
（1）如图 1，求证：四边形 ADCE 是矩形；
（2）如图 2，若点 F 是 CE 上一动点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形 ABDF 面积相等的三角形和四边形．

25. 某商场经销一种成本为每千克 40 元的水产品，经市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售单价每涨价 1 元，月销售量就减少 10 千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．
（1）当销售单价定为每千克 55 元，计算月销售量和月销售利润；
（2）商场计划在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少?

26. 已知正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为边 AB，BC 上的点，连接 CE，DF 相交于点 G，CE=DF．
（1）如图 1，求证：DF⊥CE；
（2）如图 2，连接 BD，取 BD 的中点 O，连接 OE，OF，EF，求证：△OEF 为等腰直角三角形；
（3）如图 3，在（2）的条件下，将 △CBE 和 △DCF 分别沿 CB，DC 翻折到 △CBM 和 △DCN 的位置，连接 OM，ON，MN，若 AE=2BE，ON=34，求 EG 的长．

27. 已知，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB∥DC，点 E 在 BC 延长线上，连接 DE，∠A+∠E=180∘．
（1）如图 1，求证：CD=DE；
（2）如图 2，过点 C 作 BE 的垂线，交 AD 于点 F，请直接写出 BE，AF，DF 之间的数量关系 ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，∠ABC 的平分线，交 CD 于 G，交 CF 于 H，连接 FG，若 ∠FGH=45∘，DF=8，CH=9，求 BE 的长．
答案
第一部分
1. A【解析】A．该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
B．x=1x，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C．x2+3x−2y=0，含有两个未知数，故不是一元二次方程，故本选项错误；
D．x2+2=x−1x+2，方程整理后是一元一次方程，故本选项错误；
故选：A．
2. B【解析】A、因为 32=9，42=16，52=25，92+162≠252，不能构成直角三角形，此选项错误；
B、因为 52+122=132，能构成直角三角形，此选项正确；
C、因为 132+142≠152，不能构成直角三角形，此选项错误．
D、因为 3122+4122≠5122，不能构成直角三角形，此选项错误．
故选：B．
3. B【解析】矩形的性质有：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．
4. D
5. A
【解析】∵Δ=−k2−4×1×−6=k2+24>0，
∴ 一元二次方程 x2−kx−6=0 有两个不相等的实数．
6. B【解析】∵∠C=90∘，AC=8，AB=10，
∴BC=AB2−AC2=6，
∵D，E 分别为 AC，AB 中点，
∴DE=12BC=3，
故选：B．
7. B【解析】设点 P 到直线 AB 距离 PC 为 x 米，
在 Rt△APC 中，AC=PCtan∠PAC=3x，
在 Rt△BPC 中，BC=PCtan∠PBC=33x，
由题意得，3x−33x=2，
解得，x=3（米）．
8. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠C=90∘，AB=CD，AD∥BC．
∵ED=5，EC=3，
∴DC2=DE2−CE2=25−9，
∴DC=4，AB=4．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE．
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=4，矩形的周长 =24+3+4=22．
9. C【解析】A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故选项A错误；
B．两条对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项B错误；
C．如图，作 AE⊥BC 于点 E，DF⊥BC 交 BC 的延长线于 F，
则 ∠AEB=∠DFC=90∘．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF．
在 Rt△ACE 和 Rt△BDF 中，由勾股定理得，
AC2=AE2+EC2=AE2+BC−BE2，BD2=DF2+BF2=DF2+BC+CF2=AE2+BC+BE2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2AE2+BE2+2BC2．
又 ∵AE2+BE2=AB2，
故 AC2+BD2=2AB2+BC2；
即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和，正确；
D．有两条对角线平分一组对角的四边形是菱形，故选项D错误．
故答案为：C．
10. D
【解析】①连接 FC，延长 HF 交 AD 于点 L．
∵BD 为正方形 ABCD 的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45∘．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90∘，
∴∠LHC+∠DAF=90∘．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC．
∴FH=AF．
② ∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45∘．
③连接 AC 交 BD 于点 O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90∘，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．
④连接 EM，延长 AD 至点 M，使 AD=DM，
过点 C 作 CI∥HL，则：LI=HC，
∵HL⊥AE，CI∥HL，
∴AE⊥CI，
∴∠DIC+∠EAD=90∘，
∵∠EAD+∠AED=90∘，
∴∠DIC=∠AED，
∵ED⊥AM，AD=DM，
∴EA=EM，
∴∠AED=∠MED，
∴∠DIC=∠DEM，
∴∠CIM=∠CEM，
∵CM=MC，∠ECM=∠CMI=45∘，
∴△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH 的周长为 8，为定值．
故①②③④结论都正确．
第二部分
11. x≥1
【解析】根据题意得：x−1≥0，
解得：x≥1．
12. 50∘
【解析】在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可得四边形 ABCD 为平行四边形，根据平行四边形的对角相等即可得 ∠B=∠D=50∘．
13. −1
【解析】把 x=0 代入 m−1x2+x+m2−1=0 得 m2−1=0，解得 m=±1，
而 m−1≠0，
所以 m=−1．
14. 16
15. 20%
【解析】设这两年平均每年的绿地增长率为 x，根据题意得，
1+x2=1+44%，
解得 x1=−2.2（舍去），x2=0.2．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率为 20%．
故答案为 20%．
16. 63
【解析】纸条的对边平行，即 AB∥CD，AD∥BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵ 两张纸条的宽度都是 3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形，即四边形 ABCD 是菱形．
如图，过 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，
∵∠ABC=60∘，
∴∠BAE=90∘−60∘=30∘，
∴AB=2BE，
在 △ABE 中，AB2=BE2+AE2，
即 AB2=14AB2+32，
解得 AB=23，
∴S四边形ABCD=BC⋅AE=23×3=63．
17. 210
【解析】过 G 作 GM⊥AB 于 M，连接 AE，
则 MG=AD=AB，
∵ 将正方形 ABCD 的一角折向边 CD，使点 A 与 CB 上一点 E 重合，
∴AE⊥GF，
∴∠FAE+∠AFG=∠AFG+∠MGF，
∴∠BAE=∠MGF，
在 △ABE 与 △MGF 中，
∠B=∠GMF,AB=GM,∠MGF=∠BAM,
∴△ABE≌△GMF，
∴MF=BE=2，
∵MG=AD=BC=6，
∴FG=FM2+MG2=210．
18. 35
【解析】连接 BD，ED 交 AC 于 O，F，连接 BF，
此时 EF+BF=EF+FD=ED 的值最小．
在正方形 ABCD 中，AC=62，
∴BC=CD=6，
∵E 是 BC 边的中点，
∴CE=3．
在 Rt△CDE 中，根据勾股定理可得 DE=CE2+CD2=6+36=35．
∴FB+FE 的最小值为 35．
故答案为：35．
19. 66
【解析】如图．
∵AE⊥BC，
在 Rt△ABE 中，
∵AB=10，AE=6，
∴BE=AB2−AE2=8，
在 Rt△AEC 中，
∵AC=35，AE=6，
∴CE=AC2−AE2=3，
∴BC=BE+CE=11，
∴ 平行四边形 ABCD 的面积 =11×6=66．
20. 10
【解析】延长 BC 到 G，使 BG=AD，连接 DG，EG，
∵∠ABC=90∘，AE⊥AB，
∴∠EAD=∠DBG=90∘，
∴∠EAD+∠DBG=180∘，∠AED+∠ADE=90∘，
∴AE∥BG，
∵AE=BD，AD=BG，
∴△AED≌△BDGSAS，
∴DE=DG，∠AED=∠BDG，
∴∠ADE+∠BDG=90∘，
∴∠EDG=180∘−90∘=90∘，
∴△DEG 是等腰直角三角形，
∴∠DEG=45∘，
∵∠AFE=45∘，
∴∠AFE=∠FEG，
∴AC∥EG，
∴ 四边形 ACGE 是平行四边形，
∴AE=CG，
∵AE=BD，
∴BD=CG，
∵AD=35，
∴BG=35，
设 BD=x，则 BC=35−x，
在 Rt△BCD 中，
∵CD=5，
∴CD2=BD2+BC2，即 52=x2+35−x2，
解得，x1=25，x2=5，
当 x=25 时，即 BD=25, 此时 BC=5，BD>BC，不合题意，
∴x=5，即 BD=5，BC=25，
∴AB=AD+BD=45，
在直角三角形 ABC 中，AC=AB2+BC2=80+20=10．
第三部分
21. （1）
3x−12=23x−1.3x−12−23x−1=0.3x−13x−1−2=0.3x−13x−3=0.∴3x−1=0,3x−3=0.
解得，
x1=13,x2=1.
（2）
3x2−23x+1=0.
这里
a=3,b=−23,c=1.∴Δ=b2−4ac=−232−4×3×1=0.∴x=23±02×3=33.∴x1=x2=33.
22. （1） 如图 1 中，平行四边形 ABCD 即为所求．
（2） 如图 2 中，菱形 ABCD 即为所求．
23. （1） 由题意可得：6x2−49=0，
∴6x2=49，
x2=496，
∴x1=766，x2=−766．
（2） 由题意可得：x+12−x−11−x=6，
整理得，x2=2，
解得，x1=2，x2=−2．
24. （1） ∵ 点 D 、点 O 别是 BC，AC 的中点，
∴OD∥AB，
∴DE∥AB，
又 ∵AE∥BD，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形，
∵ 点 D 是 BC 的中点，
∴AE 平行且等于 DC，
∴ 四边形 AECD 是平行四边形，
∵AB=AC，D 为 BC 的中点，
∴AD⊥BC，
∴ 四边形 ADCE 是矩形；
（2） 四边形 ABDF 面积 =S△ABC=S四边形ABDE=S矩形ADCE．
【解析】∵ 四边形 ADCE 是矩形，
∴AD∥CE，
∴S△ADC=S△ADF=S△AED，
∴ 四边形 ABDF 面积 =S△ABC=S四边形ABDE=S矩形ADCE．
25. （1） 月销售量为：500−5×10=450（千克），
月利润为：55−40×450=6750（元）．
（2） 设单价应定为 x 元，
得：x−40500−10x−50=8000，
解得：x1=60，x2=80．
当 x=60 时，月销售成本为 16000 元，不合题意舍去．
∴x=80．
答：销售单价应定为 80 元/千克．
26. （1） 如图 1 中，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠DCF=90∘，
∵DE=CE，
∴Rt△CBE≌△Rt△DCFHL，
∴BE=CF，∠ECB=∠CDF，
∵∠ECB+∠DCE=90∘，
∴∠CDF+∠DCE=90∘，
∴∠CGD=90∘，
∴EC⊥DF．
（2） 如图 2 中，连接 OC．
∵CB=CD，∠BCD=90∘，OB=OD，
∴OC=OB=OD，OC⊥BD，
∴∠OCB=45∘，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABD=45∘，
∴∠OBE=∠OCF，
∵BE=CF，OB=OC，
∴△OBE≌△OCFSAS，
∴OE=OF，∠BOE=∠COF，
∴∠EOF=∠BOC=90∘，
∴△EOF 是等腰直角三角形．
（3） 如图 3 中，连接 OC．
设 BE=a，则 BM=EB=CF=CN=a，AE=2a，BC=AB=3a．
∵BE=BM，CF=CN，BE=CF，
∴BM=CN，
∵OB=OC，∠OBM=∠OCN=135∘，BM=CN，
∴△OBM≌△OCNSAS，
∴∠BOM=∠COM，
∴∠MON=∠BOC=90∘，
∴△MON 是等腰直角三角形，
∵OM=ON=34，
∴MN=217，
在 Rt△MBN 中，a2+16a2=68，
∴a=2（负根已经舍弃），
BE=2，BC=6，EC=210，
∵△CGF∽△CBE，
∴CGCB=CFCE，
∴CG6=2210，
∴CG=3105，
∴EG=EC−CG=210−3105=7105．
27. （1） ∵AD∥BC，AB∥DC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，
∵∠A+∠E=180∘，∠BCD+∠DCE=180∘，
∴∠DCE=∠E，
∴CD=DE．
（2） 如图 2，过点 D 作 DN⊥BE 于 N，
∵CF⊥BE，
∴∠DNC=∠BCF=90∘，
∴FC∥DN，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴ 四边形 CFDN 是矩形，
∴FD=CN，
∵CD=DE，DN⊥CE，
∴CN=NE=FD，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=AF+FD，
∴BE=AF+3DF．
（3） 如图 3，过点 B 作 BM⊥AD 于点 M，延长 FM 至 K，使 KM=HC．连接 BK，
∵ 平行四边形 ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABG=∠BGC，
∵BG 平分 ∠ABC，
∴ 设 ∠ABG=∠CBG=∠BGC=α，
∴BC=CG，
∵∠FGH=45∘，
∴∠FGC=45∘+α，
∵∠BCF=90∘，
∴∠BHC=∠FHG=90∘−α，
∴∠HFG=45∘+α=∠FGC，
∴FC=CG=BC，
∵BM⊥AD，
∴∠MBC=90∘=∠FCE=∠MFC，
∴ 四边形 BCFM 是矩形，
∵BC=FC，
∴ 四边形 BCFM 是正方形，
∴BM=MF=BC=AD，
∴MA=DF=8，
∵∠KMB=∠BCH=90∘，KM=CH，
∴△BMK≌△BCH，
∴KM=CH=9，∠KBM=∠CBH=α，∠K=∠BHC=90∘−α，
∵∠MBC=90∘，
∴∠MBA=90∘−2α，
∴∠KBA=90∘−α=∠K，
∴AB=AK=8+9=17，
在 Rt△ABM 中，∠BMA=90∘，BM=AB2−AM2=15，
∴AD=BC=BM=15，
∴AF=AD−DF=15−8=7，
∴BE=AF+3DF=7+3×8=31．