2019-2020学年江苏省南京市浦口区第二十九中学天润城分校九上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年江苏省南京市浦口区第二十九中学天润城分校九上期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 一元二次方程 x2=1 的根是
A. x1=x2=1B. x1=x2=−1C. x1=−1，x2=1D. 无实数根

2. 已知 ⊙O 的半径为 5，点 A 与点 O 的距离为 3，则点 A 与 ⊙O 的位置关系是
A. 点 A 在 ⊙O 内B. 点 A 在 ⊙O 上
C. 点 A 在 ⊙O 外D. 不能确定

3. 有 15 位同学参加智力竞赛，已知他们的得分互不相同，取 8 位同学进入决赛，小明同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这 15 位同学的分数的
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 最高分数

4. 关于 x 的一元二次方程 x2−k+1x=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为
A. k>−1B. k<−1C. k≠−1D. k 为任意实数

5. 下列命题：
①长度相等的弧是等弧；
②半圆既包括圆弧又包括直径；
③相等的圆心角所对的弦相等；
④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形．
其中正确的命题共有
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

6. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4π，BC=3π，半径是 2 的 ⊙O 从与 AC 相切于点 D 的位置出发，在 △ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AC 相切于点 D 的位置，则 ⊙O 自转了
A. 2 周B. 3 周C. 4 周D. 5 周

二、填空题（共10小题；共50分）
7. 关于 x 的一元二次方程 4ax2+4x+1=0 有两相等实数根，则 a= ．

8. 在 ⊙O 中，弦 AB=8，直径 EF=10，则点 O 到弦 AB 的距离为 ．

9. 已知实数 x，y 满足 x2+x−y+2=0，则 x+y 的最小值为 ．

10. 一组数据：0，1，2，−1，3 的极差是 ．

11. 关于 x 的一元二次方程 x2−7x+2m=0 的一个根是另一个 2.5 倍，则 m 的值为 ．

12. 若一组数据 3，4，5，x，6 的平均数是 5，则这组数据的方差为 ．

13. 圆锥的侧面展开图的圆心角是 120∘，其底面圆的半径为 2 cm，则其侧面积为 ．

14. 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠AOC=108∘，则 ∠B 的度数为 ．

15. 如图，M0,−3，N0,−9，半径为 5 的 ⊙A 经过 M，N，则 A 点坐标为 ．

16. 如图，A，B，C，D 在 ⊙O 上，AB=BC=DA，AD，BC 的延长线交于点 P，且 ∠P=40∘，则弧 CD 的度数为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 解下列方程．
（1）x2−2x−8=0；
（2）3xx−1=−2x−1．

18. 小明家的鱼塘中养了同种的鱼 2000 条，现准备打捞出售．为估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞了 3 次，得到的数据如下表：
捕捞次序鱼的条数平均每条鱼的质量
（1）根据表中所给数据，计算这次捕捞的每条鱼的平均质量是多少?
（2）如果这 3 次捕捞的每条鱼的质量的平均数能反映鱼塘中这种鱼的基本情况，并且这些鱼不分大小，都按 7.5 元/千克的价格售出，那么小明家的收入大约有多少?

19. 为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，对两人进行了一次射击测试，两人 5 次打靶的成绩如下（单位：环）：
甲：8，7，10，7，8；
乙：9，5，10，9，7．
（1）请补充完整下面的成绩统计分析表：
平均数中位数极差方差甲8 31.2乙8 3.2
（2）如果你是教练，会选择谁参加射击比赛?请说明理由．

20. 已知：如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的点，且 AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．

21. 已知如图，E，F 分别在四边形 ABCD 边 AB，BC 上，在 CD 上求作一点 P，使 ∠EPF=∠BEF（不写作法，保留作图痕迹）．

22. 如图，大圆的弦 AB，AC 分别切小圆于点 M，N．
（1）求证：AB=AC；
（2）若 AB=8，求圆环的面积．

23. 商场某种商品平均每天可销售 80 件，每件盈利 60 元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价 x 元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 4950 元?

24. 已知 △ABC 的两边 AB，AC 是关于 x 的一元二次方程 x2−2k+3x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5．
（1）k 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形；
（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求出此时 △ABC 的周长．

25. 已知矩形 ABCD 中，AB=10，BC=4，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度沿 AB 方向向 B 运动，点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度沿 CD 方向向 D 运动，如果 P，Q 两点同时出发，问几秒后以 △BPQ 是直角三角形?

26. 如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，∠A=30∘，AC 的垂直平分线交 AC 边于点 D，交 AB 边于点 O，以点 O 为圆心，OB 的长为半径作圆，与 AB 边交于点 E．
（1）求证：AC 是 ⊙O 的切线；
（2）若点 P 为 ⊙O 上的动点（含点 E，B），连接 BD，BP，DP．
①当点 P 只在 BE 左侧半圆上时，如果 BC∥DP，求 ∠BDP 的度数；
②若 Q 是 BP 的中点，当 BE=4 时，直接写出 CQ 长度的最小值．
答案
第一部分
1. C【解析】x2=1，x=±1，即 x1=−1，x2=1．
2. A【解析】∵⊙O 的半径为 5，点 A 与点 O 的距离为 3，
即 A 与点 O 的距离小于圆的半径，
∴ 点 A 与 ⊙O 内．
3. C【解析】由于 15 个人中，第 8 名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数．
4. C【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−k+1x=0 有两个不相等的实数根，
∴−k+12−4×1×0>0，
∴k+12>0，解得 k≠−1．
5. B
【解析】完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，
∴ ①错误；
半圆包括圆弧，但不包括直径，
∴ ②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
∴ ③错误；
外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，
∴ ④正确．
6. C【解析】Rt△ABC 中，AC=4π，BC=3π，
∴AB=5π．
圆在三边运动自转周数：4π+3π+5π4π=3．
圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360∘，即一周．
可见，⊙O 自转了 3+1=4 周．
第二部分
7. 1
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 4ax2+4x+1=0 有两相等实数根，
∴4a≠0 且 Δ=42−4⋅4a⋅1=0，解得：a=1．
8. 3
【解析】如图：连接 OA，作 OC⊥AB 于 C，如图．
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=12AB=4，
在 Rt△AOC 中，OC=OA2−AC2=52−42=3，
即点 O 到弦 AB 的距离为 3．
9. 1
【解析】∵ 实数 x，y 满足 x2+x−y+2=0，
∴y=x2+x+2，
∴x+y=x2+2x+2=x+12+1，
∴x+y 的最小值为 1．
10. 4
【解析】由题意可知，极差为：3−−1=4．
11. 4
【解析】设另一个根为 x1，则其中一个根为 2.5x1．
∵ 关于 x 的一元二次方程是 x2−7x+2m=0，
∴x1+2.5x1=7，x1×2x1=2m，解得：x1=2，m=4．
12. 2
【解析】根据题意得 3+4+5+x+6=5×5，解得：x=7．
则这组数据为 3，4，5，7，6 的平均数为 5．
∴ 这组数据的为
s2=153−52+4−52+5−52+7−52+6−52=2.
13. 12π cm
【解析】∵ 底面圆的半径为 2 cm，
∴ 底面周长为 4π cm．
∴ 侧面展开扇形的弧长为 4π cm．
设扇形的半径为 r．
∵ 圆锥的侧面展开图的圆心角是 120∘，
∴120πr180=4π，解得：r=6．
∴ 侧面积为 12×4π×6=12π cm．
14. 108∘ 或 72∘
【解析】有两种情况：
①如图 1．
∵∠AOC=108∘，
∴∠ADC=72∘．
∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，
∴∠B+∠D=180∘．
∴∠B=108∘；
②如图 2，同理可得 ∠B=72∘．
综上：∠B=108∘ 或 72∘．
15. −4,−6
【解析】过 A 作 AB⊥NM 于 B，连接 AM．
∵AB 过 A，
∴MB=NB．
∵ 半径为 5 的 ⊙A 与 y 轴相交于 M0,−3，N0,−9，
∴MN=9−3=6，AM=5．
∴BM=BN=3，OB=3+3=6．
由勾股定理得：AB=52−32=4．
∴ 点 A 的坐标为 −4,−6．
16. 30∘
【解析】如图，连接 BD，AC．
∵AB=BC=AD，
∴AB=BC=AD．
∴∠ABD=∠ADB=∠BAC．
∵∠ADB=∠DCP+∠P=∠DBP+40∘，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘，
∴∠DBP+40∘+∠DBP+∠DBP+40∘+∠DBP+40∘=180∘．
解得 ∠DBP=15∘．
∴CD 的度数为 30∘．
第三部分
17. （1）
∵x+2x−4=0,∴x+2=0 或 x−4=0.
解得：
x=−2 或 x=4.
（2）
3xx−1+2x−1=0.x−13x+2=0.x−1=0 或 3x+2=0.∴x1=1,x2=−23.
18. （1） 根据题意得：5×1.5+10×1.8+15×2.1÷30=1.9kg．
答：这次捕捞的每条鱼的平均质量是 1.9 kg．
（2） 1.9×2000=3800kg，3800×7.5=28500（元）．
答：小明家的收入大约有 28500 元．
19. （1） 8；9；5
【解析】甲的中位数是 8 环；
乙的中位数是 9 环；
乙的极差是：10−5=5．
（2） 选择甲参加射击比赛．
理由：由表格可知，甲和乙的平均数一样，但是甲的方差小，波动小，成绩比较稳定，故选择甲参加射击比赛．
20. ∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD．
∴弧AC=弧BD．
∴∠AOC=∠BOD．
21. 如图，∠EPF 即为所求．
由作图可知：∠TEF=∠TFE=∠BET．
∴∠ETF+∠BEF=180∘．
由圆内接四边形的性质可知：∠ETF+∠EPF=180∘，
∴∠EPF=∠BEF，即 ∠PEF 即为所求．
22. （1） 连接 OM，ON，OA．
∵AB，AC 分别切小圆于点 M，N，
∴AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AC．
∴AM=BM，AN=NC，
∴AB=AC．
（2） ∵ 弦 AB 切与小圆 ⊙O 相切于点 M，
∴OM⊥AB．
∴AM=BM=4．
∴ 在 Rt△AOM 中，OA2−OM2=AM2=16．
∴S圆环=πOA2−πOM2=πAM2=16π．
23. （1） 2x；60−x
【解析】由题意，可得商场日销售量增加 2x 件，每件商品盈利 60−x 元．
（2） 由题意得：
60−x80+2x=4950.
化简得：
x2−20x+75=0.
解得：
x1=5,x2=15.∵
该商场为了尽快减少库存，
∴x=5 舍去，
∴x=15．
答：每件商品降价 15 元时，商场日盈利可达到 4950 元．
24. （1） ∵△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，BC=5，
∴AB2+AC2=25．
∵AB，AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2−2k+3x+k2+3k+2=0 的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3，AB⋅AC=k2+3k+2，
∴AB2+AC2=AB+AC2−2AB⋅AC，
即 2k+32−2k2+3k+2=25，解得 k=2 或 −5（舍去负数）．
∴k=2．
（2） △ABC 是等腰三角形．
① AB=AC 时，Δ=b2−4ac=0，
2k+32−4k2+3k+2=0，方程无解，
∴k 不存在；
② AB=BC 时，可知 AB=BC=5，
根据韦达定理：AC+5=2k+3，5AC=k2+3k+2，解得：k=3 或 4．
当 k=3 时，AC=4，此时 △ABC 的周长为 5+5+4=14；
当 k=4 时，AC=6，此时 △ABC 的周长为 5+5+6=16．
∴ 当 k=3 或 4，△ABC 的周长为 14 或 16．
25. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=4，∠A=∠C=90∘，AB∥CD．
∴∠CQB=∠PBQ．
∵△BPQ 是直角三角形，
∴ ①如图 1，∠PQB=90∘ 时，
过 P 作 PE⊥CD 于 E，则 DE=AP，PE=AD=4，
∵∠PEQ=∠BQP=∠C=90∘，
∴∠EPQ+∠PQE=∠PQE+∠CQB=90∘．
∴∠EPQ=∠CQB．
∴△PQE∽△QBC．
∴PECa=EGBC．
∴42t=10−t−2t4，解得：t=2，t=43；
②如图 2，当 ∠BPQ=90∘ 时，
∴∠APQ=90∘，
∴ 四边形 APQD 和四边形 PBCQ 是矩形．
∴CQ=PB．
∴10−t=2t，解得：t=103．
综上所述，P，Q 两点同时出发，43 s 或 2 s 或 103 秒后以 △BPQ 是直角三角形．
26. （1） 如图 1 中，连接 OC．
∵∠ABC=90∘，∠A=30∘，
∴∠ACB=60∘．
∵OD 垂直平分线段 AC，
∴OA=OC．
∴∠A=∠OCA=30∘．
∴∠OCB=∠OCD=30∘．
∵∠ODC=∠OBC=90∘，OC=OC，
∴△ODC≌△OBCAAS．
∴OD=OB．
∴AC 是 ⊙O 的切线．
（2） ①如图 1 中．
∵DP∥BC，
∴∠PDB=∠DBC．
∵∠ABC=90∘，AD=DC，
∴BD=DC=AD．
∵∠DCB=60∘，
∴△BDC 是等边三角形．
∴∠DBC=60∘．
∴∠BDP=60∘．
② CQ 的最小值为 13−1．
【解析】②如图 2 中，连接 OP，取 OB 的中点 J，连接 JQ．
∵BE=4，
∴OB=OE=OD=OP=2，JO=JB=1．
∵∠OBC=90∘，∠OCB=30∘，
∴BC=3OB=23．
∴JC=BC2+BJ2=232+12=13．
∵QP=QB，JO=JB，
∴JQ=12OP=1．
∵CQ≥JC−JQ，
∴CQ≥13−1．
∴CQ 的最小值为 13−1．