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专题08 二次函数与菱形存在型问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版）
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这是一份专题08 二次函数与菱形存在型问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版），共47页。
【典例分析】
例1 如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（-4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．
（1）求直线AB和抛物线的解析式．
（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．
（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨
（1）设直线的解析式为y=kx+b，将A（-4，0），B（0，4）代入得到关于k、b的方程组，然后解得k、b的值即可；设抛物线的解析式为y=ax2+4，然后将点A的坐标代入求得a的值即可；
（2）过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．设点P（a， -+4），Q（a，a+4）．则PQ=--a，然后依据三角形的面积公式列出△ABP的面积与a的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；
（3）先根据题意画出图形，需要注意本题共有4种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及特殊锐角三角函数值求解即可．
满分解答
∴抛物线的解析式为y=-x2+4．
（2）如图1所示，过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．
（3）如图2所示：延长MN交x轴与点C．
∵MN∥OB，OB⊥OC，
∴MN⊥OC．[来源:Zxxk.Com]
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BA0=45°．
∵ON∥AB，
∴∠NOC=45°．
∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．
∴点N的坐标为（2，2）．
如图3所示：过点N作NC⊥y轴，垂足为C．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°．
∵ON∥AB，
∴∠NOC=45°．
∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．
∴点N的坐标为（-2，-2）．
如图4所示：连接MN交y轴与点C．
∵四边形BNOM为菱形，OB=4，
∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．
∴点的纵坐标为2．
∵将y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=-2，
∴点M的坐标为（-2，2）．
∴点N的坐标为（2，2）．
如图5所示：
∵四边形OBNM为菱形，
∴∠NBM=∠ABO=45°．
∴四边形OBNM为正方形．
∴点N的坐标为（-4，4）．
综上所述点N的坐标为（，）或（-，-）或（-4，4）或（2，2）．
考点：二次函数综合题．
例2如图，抛物线的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
思路点拨
（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可．
（2）分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；
（3）分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算
满分解答
（3）①CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P′，过点
P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，∴P′M′=P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，∵OC=OB，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，∴∠P′M′C=45°，设点P′（m，），在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，∵P′N′∥y轴，∴N′（m，﹣m+4），∴P′N′==，∴，∴m=0（舍）或m=，菱形CM′P′N′的边长为=．
②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，∵∠OCB=45°，∴∠NCQ=45°，∴∠PCQ=45°，∴∠CPQ=∠PCQ=45°，∴PQ=CQ，设点P（n，），∴CQ=n，OQ=n+2，∴，∴n=0（舍），∴此种情况不存在，∴菱形的边长为．
考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．压轴题．
例3如图，已知点A (2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上.
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.
思路点拨
（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值；（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形A A′B′B一定为平行四边形，若四边形A A′B′B为菱形，那么必须满足AB=BB′，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式；（3）易求得直线AB′的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到C点的坐标，进而可求出AB、BC、AC、B′C的长，在（2）题中已经证得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′对应，若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：①∠B′CD=∠ABC，此时△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此时△B′DC∽△ABC，根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的BD长，进而可求得D点的坐标．
满分解答
（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4，
∵A（2，4），B′（6，0），∴直线AB′：.
当x=4时，y=1，故C（4，1）. ∴AC=3，B′C=，BC=.
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C.
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：
①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：，即，∴B′D=3，此时D（3，0）；②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：即，∴，此时D（，0）.
综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（，0）．
考点：1.二次函数综合题；2.平移问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5. 菱形的性质；6.等腰三角形的性质；7.相似三角形的判定和性质；8.分类思想的应用．
例4如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于O点、A点，B为抛物线上一点，C为y轴上一点，连接BC，且BC//OA，已知点O（0，0），A（6，0），B（3，m），AB=.
（1）求B点坐标及抛物线的解析式.，
（2）M是CB上一点，过点M作y轴的平行线交抛物线于点E，求DE的最大值；
（3）坐标平面内是否存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点F坐标；若不存在，请说明理由.
思路点拨
（1）运用勾股定理求出m的值，根据题意得点B为抛物线的顶点，设设抛物线为，即可求解；
（2）可求，设E，则D（，故DE＝，从而可得结果；
（3）设F，根据菱形的判定分三种情况进行讨论计算即可得解.
满分解答
（1）如图，过点B作BG⊥OA于G，
（2）可求，设E，则D（，
∴DE＝，
∴当x=，DE最大=.
（3）设F，
①当CD为菱形对角线时， [来源:Z。xx。k.Com]
∵FD∥BC，
∴
∴
解得（舍去），.
②当BD为菱形对角线时，
∴
∴，（舍去）
③当BC为菱形对角线时，D、F均在BC的垂直平分线上，且FP=PD，
则，则D（，则PD=3，则，，。
综上所述，满足条件的F点共3个：，，。
例5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．
思路点拨
（1） 利用待定系数法，列方程求二次函数解析式
.(2)利用解析法，∠FAB=∠EDB， tan∠FAG=tan∠BDE，求出F点坐标.
(3)分类讨论，当MN在x轴上方时，在x轴下方时分别计算MN.
详解：
满分解答
(1)∵OB=OC=6，
∴B(6，0)，C(0，-6).
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为.
∵=，
∴点D的坐标为(2，-8).
(3)∵点P在x轴上，
∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0).
如图，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.
∵PQ=MN，
∴MT=2PT.
设TP=n，则MT=2n. ∴M(2+2n，n).
∵点M在抛物线上，
∴，即.
解得，(舍去).
∴MN=2MT=4n=.
当MN在x轴下方时，设TP=n，得M(2+2n，-n).
∵点M在抛物线上，
∴，
即.
解得，(舍去).
∴MN=2MT=4n=.
综上所述，菱形对角线MN的长为或.
点睛：
1.求二次函数的解析式
（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（）.列方程组求二次函数解析式.
(2)已知二次函数与x轴的两个交点(，利用双根式，y=（）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点,.
2.处理直角坐标系下，二次函数与几何图形问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，往往是解决问题的钥匙.
例6如图(1)，已知菱形的边长为，点在轴负半轴上，点在坐标原点，点的坐标为（，），抛物线顶点在边上，并经过边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）点关于直线的对称点是，求点到点的最短距离；
（3）如图（2）将菱形以每秒个单位长度的速度沿轴正方向匀速平移，过点作于点，交抛物线于点，连接、．设菱形平移的时间为秒（），问是否存在这样的，使与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
(1)分别求出AB中点的坐标，抛物线的顶点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
(2)；判断点C′在以M为圆心，长为半径的圆上；
(3)∠DEF＝90°，∠DAF＜90°，所以分两种情况讨论，利用相似三角形的对应比成比例列方程求解.
满分解答
(1)由题意得AB的中点坐标为(，0)，抛物线的顶点坐标为(0，3)，分别代入y＝ax2＋b，得，解得.
[来源:+网]
∴这条抛物线的函数解析式为.
(3)如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，BE＝3，BC＝，
∴，
∴∠C＝60°，∠CBE＝30°。∴EC＝BC＝，DE＝.
又∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠C＝180°得∠ADC＝180°－60°＝120°，
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角，而∠DAF＜60°，
∴∠ADF＝90°或∠AFD＝90°.
点睛：理解点C关于直线y＝kx＋3的对称点C′时，根据中心对称的性质可知直线y＝kx＋3与y轴的交点(0，3)是CC′的中点，即点C′在以(0，3)为圆心，为半径的圆上，且当点A，C′，M在一条直线上时，AC′最小，最小值为AM－MC′.
【变式训练】
1．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0）是轴上一点，以OA为对角线作菱形OBAC，使得60°，现将抛物线沿直线OC平移到，则当抛物线与菱形的AB边有公共点时，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可得：
故选D。
2．直线与轴交于点A，与直线交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动，若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
将C(0,0)代入y=(x−h)²− h得：h²−h=0,解得： =0(舍去), = .
如图2所示：当抛物线经过点B时。
将B(−2,1)代入y=(x−h)²− h得：(−2−h)²− h=1,整理得：2h²+7h+6=0,解得：
=−2, =− (舍去).
综上所述,h的范围是−2≤h≤.
故选A.
3．如图1，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=2BD，点P是 AO上一个动点，过点P 作AC的垂线交菱形的边于M，N两点．设AP＝x，△OMN的面积为y，表示y与x的函数关系大致如图2所示的抛物线．
（1）图2所示抛物线的顶点坐标为（ ， ） ；
（2）菱形ABCD的周长为 ．
【答案】（，）；2
【解析】
试题分析：根据二次函数图形得出抛物线的顶点坐标；根据函数图形可得AO=1，根据AC=2BD可得DO=，则根据Rt△AOD的勾股定理可得AD=，则菱形的周长为：4×=2．
考点：二次函数的应用．
4．二次函数的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形（其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y轴上，相邻的菱形在y轴上有一个公共点），则第2017个菱形的周长=_____________．
【答案】8068
【解析】试题解析：设第一个菱形边长为b，
则第一个菱形在x轴正向与函数交点为 (因为其边长与x轴夹角为)
代入
得b=1；
设第二个菱形边长为c,则其边长与函数交点为代入函数表达式得c=2，
同理得第三个菱形边长为3，第n个菱形边长为n，故第2017个菱形边长为2017，
∴其周长为：
故答案为：
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的三个顶点A，B，D均在抛物线y=ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为__．
【答案】（4，3）
【解析】分析：本题根据菱形的性质和抛物线的对称性得出即可.
解析：因为菱形ABCD的对角线互相垂直平分，A是抛物线的顶点，所以点B与点D关于对称轴对称，因为点B是抛物线与y轴的交点，所以B（0，3）,因为对称轴为直线x=2.所以点D的坐标为（4，3）.
故答案为（4，3）.
6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=﹣（x﹣2）2+k过点A．
（1）求k的值；
（2）若把抛物线y=﹣（x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．
【答案】（1）（2）当m=5时，点B在平移后的抛物线上；当m=9时，点B不在平移后的抛物线上．
【解析】
试题分析：（1）将点A的坐标代入二次函数解析式中，可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）设AB与y轴交于点D，结合勾股定理以及菱形的性质找出点B、C的坐标，根据二次函数的解析式求出该抛物线与x轴的交点坐标，再根据平移的性质找出平移后过C点的二次函数的解析式，代入B点的坐标来验证其是否在平移后的函数图象上即可得出结论..
试题解析：（1）∵经过点A（3，4），
∴，解得：；
（2）如图所示，设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，AD=3，OD=4，．
【考点】二次函数图象与几何变换；菱形的性质．
7．如图,已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线y=mx2+2mx+n上．
B
A
O
1
1
－1
－1
x
y
（1）求m、n值；
（2）向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形为菱形,求平移后抛物线的表达式；
（3）试求出菱形的对称中心点M的坐标．
【答案】（1）（2）（3）（2，2）
【解析】解：（1）根据题意，得：…2分
解之 ……………3分
（2）四边形为菱形，
则A A′=B′B= AB=5； ………4分
∵=； ……………………5分
∴ 向右平移5个单位的抛物线解析式为
； …………………………7分[来源:]
（1）本题需先根据题意把A （-2，4）和点B （1，0）代入抛物线y=mx2+2mx+n中，解出m、n的值即可．
（2）本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式．
（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A′、B′的坐标，再过点A′作A′H⊥x轴，得出BH和A′H的值，再设菱形AA′B′B的中心点M，作MG⊥x轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标
8．如图1，抛物线，其中，点A（-2，m）在该抛物线上，过点A作直线l∥x轴，与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C.
（1）求m的值.
（2）当a=2时，求点B的坐标.
（3）如图2，以OB为对角线作菱形OPBQ，顶点P在直线l上，顶点Q在x轴上.
①若PB=2AP，求a的值.
②菱形OPBQ的面积的最小值是 .
【答案】（1）当x=-2时，y=4a-4（a-1）=4（2）点B的坐标为（1,4）（3）① ②菱形的最小面积=16
【解析】（1）把x=-2代入抛物线即可得到y的值；（2）先求出抛物线表达式，然后求出x的解；（3）利用抛物线的对称轴即可求出点B的坐标和a的值以及菱形OPBQ的面积的最小值.
解：（1）当x=-2时，
（2）当a=2时，抛物线表达式为
当y=4时，，
解得
把-2舍去，点B的坐标为（1,4）
（3）①当点P在线段AB上时，设CP=x，则AP=2+x,BP=OP=4+2x
在Rt△OCP中，，
解得
∴CP=0，CB=PB=4，点B的坐标是（4,4）
“点睛”本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是由点A与点B关于对称轴对称求出a的值，会运用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，抛物线C1：y=﹣（x+3）2与x，y轴分别相交于点A，B，将抛物线C1沿对称轴向上平移，记平移后的抛物线为C2，抛物线C2的顶点是D，与y轴交于点C，射线DC与x轴相交于点E，
（1）求A，B点的坐标；
（2）当CE：CD=1：2时，求此时抛物线C2的顶点坐标；
（3）若四边形ABCD是菱形．
①此时抛物线C2的解析式；
②点F在抛物线C2的对称轴上，且点F在第三象限，点M在抛物线C2上，点P是坐标平面内一点，是否存在以A，F，P，M为顶点的四边形与菱形ABCD相似，并且这个菱形以A为顶点的角是钝角，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）A（﹣3，0），B（0，﹣4）；（2）（3，2）（3，6）（3）①②，，
【解析】
试题分析：（1）利用坐标轴上点的特点，确定出点A，B的坐标；
（2）根据锐角三角函数的意义，和抛物线的平移，得到比例式，求出即可；
（3）①由点的移动情况判断出抛物线的移动情况；
②设出点的坐标，M（3+3a，4a），表示出F（3，﹣5a）．根据点在抛物线上，求出a，从而得到F的坐标．
（2）由（1）得：OA=3，OB=4，
∴tan∠OBA=．[来源:]
由题意得AB∥CD，∠EDA=∠OBA，
∴．
①当点C在y轴负半轴时，
由CE：CD=1：2，
∴OE=EA=1.5，AD=2，
∴D（3，2）；
②当点C在y轴正半轴时，
由CE：CD=1：2，
∴OE：OA=1：2，
∴AE=4.5，
∴AD=6，
∴D（3，6）．
当AF=AP时，
∴设M（3+3a，﹣a），F（3，﹣5a）．
把M点坐标代入，
可得a1=﹣1 （舍去），，
．
以AF为边在对称轴左侧作菱形时，点F坐标不变．
II：以AF为对角线作菱形时，
由菱形的对角线性质可知，
在AF右侧作∠FAP=∠FAM，
∴∠PAF=∠GAF=∠BAD，
菱形的轴对称性可得P点也在抛物线C2 上．
设M（3+3a，﹣a），F（3，﹣2a），
∴，
∴．
当点M在AF左侧时，F点坐标不变．
当点M在AF左侧时，F点坐标不变．
综上所述：，，
考点：1、抛物线的性质，2、菱形的性质，3、锐角三角函数
10．如图，抛物线与坐标轴相交于、、三点，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．
（1）直接写出、、的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形．
【答案】、、；直线x=1；（1，-）；不是菱形.
【解析】
试题分析：根据二次函数得出点的坐标；根据抛物线对称轴和顶点坐标的求法得出答案；设P(x，0)，根据PD∥AC得出PD的长度，从而得到△PCD的面积，根据二次函数性质求出面积的最大值，根据最大值得出PA、PD的长度，从而判定PA是否等于PD.
试题解析：（1）、、
（2）抛物线的对称轴是直线 顶点坐标是（1，-）
（3）设（），
因为，所以，解得
到的距离（即到的距离）
的面积
，面积的最大值为
的面积取最大值时，，，
因为，所以以、为邻边的平行四边形不是菱形
考点：二次函数的性质.
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴负半轴上；
（1）求证：4a+b=0；
（2）若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由；
（3）若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）DE与圆A相切；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由题意可知（4，0），由抛物线经过点O可求得c=0，将c=0，x=4，y=0代入抛物线的解析式可证得：4a+b=0；
（2）如图1所示：由菱形的性质可知：DN=NB，DN⊥AN，由OM=AD=AB，可证明AD=AB=DB，由AE=2可知AE=EB，由等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥DE，从而可证明DE与圆A相切；
（3）如图2所示．设点P的坐标为（2，m）．由题意可知点E的坐标为（﹣2，2），设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），将x=2代入得y=﹣4a即m=﹣4a．由∠OPM为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知﹣4a＜﹣2、﹣4a＞﹣4，从而可求得a的取值范围．
（2）DE与圆A相切．
理由：如图1所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴DN=NB，DN⊥AN．
∵∠AOD=∠AON=∠DNA=90°，
∴四边形OAND为矩形．
∴OA=DN=2．
∴DB=OM=4．
∵OM=AD=AB，
∴AD=AB=DB．
∵AE为圆A的半径，
∴AE=EB=2．
∵AD=DB，AE=EB．
∴AE⊥DE．
∴DE与圆A相切．
（3）如图2所示．
设点P的坐标为（2，m）．
∵OM为圆A的直径，
∴∠OEM=90°．
∵AE=2，OA=2，
∴点E的坐标为（﹣2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），将x=2代入得y=﹣4a．
∴m=﹣4a．
∵∠OPM为锐角，
∴点P在点E的下方．
∴﹣4a＜﹣2．
解得：a＞．
在Rt△AOD中，OD==2．
∴AC=4．
∵点P在菱形的内部，
∴点P在点C的上方．
∴﹣4a＞﹣4．
解得：a＜．
∴a的取值范围是．
考点：二次函数综合题．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．
（1）求b、c的值；
（2）若只沿y轴上下平移该抛物线后与y轴的交点为A1，顶点为M1，且四边形AMM1A1是菱形，写出平移后抛物线的表达式．
【答案】（1）b=﹣4，c=3；（2）y=x2﹣4x+3+2或y=x2﹣4x+3﹣2．
【解析】
【分析】
（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值；（2）把解析式化成顶点式，求得顶点M的坐标，根据A、M的坐标，易求得AM的长；根据平移的性质知：若四边形A A′B′B为菱形，那么必须满足AA1=AM，由此可确定平移的距离，根据“上加下减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．
【详解】
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质，注意第（2）问有上移和下移两种情况．
13．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．
【答案】解：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）。
设抛物线的函数表达式为，
将A（1，0）代入得：，解得。
∴抛物线的函数表达式为，即。
（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．
由（1）抛物线解析式为，A（1，0），B（3，0），
∴C（0，3）。
∴。
∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴PA=PB。∴PA+PC=PB+PC。此时，PB+PC=BC。
∴点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC。
∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=。
（3）（2，﹣1）。
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0），所以设抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可求得h，得到抛物线的函数表达式。
（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可。
（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线的顶点坐标，即（2，﹣1）。
14．如图，的顶点坐标分别为，，，把沿直线翻折，点的对应点为，抛物线经过点，顶点在直线上．
证明四边形是菱形，并求点的坐标；
求抛物线的对称轴和函数表达式；
在抛物线上是否存在点，使得与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析，点的坐标是；（2）对称轴为直线，抛物线的函数表达式为；存在．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质可得，根据菱形的判定和性质可得点的坐标；
（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设的坐标为，直线的解析式为，根据待定系数法可求的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（3）分点在的上面和点在的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点的坐标.
【详解】
证明：∵，，，
∴，，
∴，
由翻折可得，，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴点的坐标是；
存在．
理由如下：由题意可知，在抛物线上，且到，所在直线距离相等，所以在二次函数与、所在的直线的夹角平分线的交点上，而、所在的直线的夹角平分线有两条：一条是所在的直线，解析式为，另外一条是过且与平行的直线，解析式为，
联立，
解得：（舍）或，
联立，
解得：（舍）或
所以当与的面积相等，点的坐标为，．
【点睛】
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质，菱形的判定和性质，对称轴公式，待定系数法的运用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的运用.
15．如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（- ，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜ 3 ）
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）
【答案】（1）y=－x2＋3（2）①存在，t=1②
【解析】解：（1）由题意得AB的中点坐标为（－3 ，0），CD的中点坐标为（0，3），
分别代入y=ax2+b，得，解得， 。
∴这条抛物线的函数解析式为y=－x2＋3。
（2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC= ，
∴ 。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC=BC=，DE=。
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。
（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。
②
（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。
（2）①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：
（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。
（II）若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。
（III）∠DAF≠90°，此时t不存在。
②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：
16．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，作菱形BDEC，使其对角线在坐标轴上，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向上平移n个单位，使其顶点在菱形BDEC内（不含菱形的边），求n的取值范围；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，并说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）；（3）m=4时，四边形CQMD是平行四边形，理由详见解析.[来源:Zxxk.Com]
【解析】
试题分析：（1）由待定系数法即可求得．
（2）先求得直线BC的解析式和抛物线的顶点坐标G（3，﹣），然后把x=3代入直线BC的解析式即可求得F的坐标，进而求得E的坐标即可求得n的取值．
（3）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；
（2）设抛物线的顶点为G，过G点作x轴的垂线交BD于E，交BC于F，
由抛物线的解析式y=x2﹣x﹣4可知C（0，﹣4）
设直线BC的解析式为y=k1x+b1，
∵B（8，0），C（0，﹣4），则，
解得k1=，b1=﹣4．
故直线BC的解析式为y=x﹣4．
（3）∵C（0，﹣4）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则，
解得k=﹣，b=4．
∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m， m2﹣m﹣4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（﹣m+4）﹣（ m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．
化简得：m2﹣4m=0，
解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．
考点：1.待定系数法求函数解析式；2.平行四边形判定
17．已知抛物线m的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数的解析式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C（点B在点C的左侧），若△ABC为等边三角形．
①求m的值；
②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使得以点P、C、B、D为顶点构成的四边形是菱形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2-2x+1．（2）m=3．存在使四边形CBDP为菱形的点P，坐标为（1，-3）．
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线的顶点坐标及函数经过点（0，1），利用待定系数法求解即可．
（2）①先写出平移后的函数解析式，然后得出A、B、C三点的坐标，过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC为等边三角形，可得出关于m的方程，解出即可；
②求出点D坐标，分两种情况进行讨论，①PD为对角线，②PD为边，根据菱形的性质求解即可．
试题解析：（1）由题意可得：
解得：
∴抛物线对应的函数的解析式为y=x2-2x+1．
（2）①如图1：
将y=x2-2x+1向下平移m个单位得：y=x2-2x+1-m=（x-1）2-m，
可知A（1，-m），B（1-，0），C（1+，0），BC=2．
过点A作AH⊥BC于H，
∵由△ABC为等边三角形，
∴BH=HC=BC，∠CAH=30°，
∴AH=，即
由m＞0，
解得：m=3．
②在抛物线上存在点P，能使四边形CBDP为菱形．理由如下：
∵点D与点A关于x轴对称，
∴D（1，3），
情况一：如图2，
考点：二次函数综合题．
18．如图12，已知抛物线过点，，过定点的直线与抛物线交于，两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在抛物线上运动时，判断线段与的数量关系(、、)，并证明你的判断；
(3)为轴上一点，以为顶点的四边形是菱形，设点，求自然数的值；
(4)若，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，求出点的坐标及的最大面积，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2+1；（2）BF=BC，理由详见解析；（3）6；（4）当t=2时，S△QBF有最大值，最大值为+1，此时Q点坐标为（2，2）．
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）设B（x， x2+1），而F（0，2），利用两点间的距离公式得到BF2=x2+（x2+1﹣2）2=，再利用配方法可得到BF=x2+1，由于BC=x2+1，所以BF=BC；（3）如图1，利用菱形的性质得到CB=CF=PF，加上CB=FB，则可判断△BCF为等边三角形，所以∠BCF=60°，则∠OCF=30°，于是可计算出CF=4，所以PF=CF=4，从而得到自然数m的值为6；（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，先解方程组得B（1+，3+），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），则EQ=﹣t2+t+1，则S△QBF=S△EQF+S△EQB=•（1+）•EQ=•（1+）•）（﹣t2+t+1），然后根据二次函数的性质解决问题．
试题解析：
（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，
所以抛物线解析式为y=x2+1；
（2）BF=BC．
理由如下：
设B（x， x2+1），而F（0，2），
∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，
∴BF=x2+1，
∵BC⊥x轴，
∴BC=x2+1，
∴BF=BC；
（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，
当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，
解方程组 得 或，则B（1+，3+），
设Q（t， t2+1），则E（t，t+2），
∴EQ=t+2﹣（t2+1）=﹣t2+t+1，
∴S△QBF=S△EQF+S△EQB=•（1+）•EQ=•（1+））（﹣t2+t+1）=﹣（t﹣2）2++1，
当t=2时，S△QBF有最大值，最大值为+1，此时Q点坐标为（2，2）．
考点：二次函数综合题.
19．已知抛物线的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数的解析式；
（2）将该抛物线向下平移m(m>0)个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形．
①求m的值；
②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）; （2）①m=3;②不存在这样的点P,理由见解析.
【解析】试题分析：（1）根据抛物线的顶点坐标及函数经过点（0，1），利用待定系数法求解即可．
（2）①先写出平移后的函数解析式，然后得出A、B、C三点的坐标，过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC为等边三角形，可得出关于m的方程，解出即可；
②求出点D坐标，分两种情况进行讨论，①PD为对角线，②PD为边，根据菱形的性质求解即可．
试题解析：
（1）由题意可得， 解得
∴抛物线对应的函数的解析式为．
（2）①将向下平移m个单位得： -m= ，可知A(1，-m)，B(1-，0)，C(1+，0)，BC=2．
由△ABC为等边三角形，得，由m＞0，解得m=3．
②不存在这样的点P．
∵点D与点A关于x轴对称，∴D（1，3）．
由①得BC=2．
要使四边形CBDP为菱形，需DP∥BC，DP=BC．
由题意，知点P的横坐标为1+2，
当x=1+2时，
-m==，
故不存在这样的点P．
点睛：本题属于二次函数的综合题，属于综合性较强的题目，应理清思路，对每一个知识点都应熟练掌握并能灵活运用，求出二次函数的解析式是解此题的关键，应熟练掌握三点式和顶点式求抛物线解析式的方法，二次函数的平移通常指的是图象的平移，应注意总结平移的规律.
20．如图，已知点A (0，4) 和点B (3，0)都在抛物线上．
（1）求、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为D，点B的对应点为C，若四边形A BCD为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AC的交点为点E，试在轴上找点F，使得以点C、E、F为顶点的三角形与△ ABE相似。
【答案】(1)（2）y=(x-4)2+(3) (3,0)，(4,0)
【解析】
(1)由---------1分，得---------2分
(2) ∵四边形ABCD为菱形,AB=5 ∴AD=5---------1分
∴y=m(x+1-5)2+n-m =(x-4)2+---------2分
（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值．
（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形一定为平行四边形，若四边形为菱形，那么必须满足AB=AD，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．
（3）易求得直线AC的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到E点的坐标，进而可求EC、AE的长；所以以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似，可分两种情况考虑：①，②,根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的CF长，进而可求得F点的坐标
【典例分析】
例1 如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（-4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．
（1）求直线AB和抛物线的解析式．
（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．
（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨
（1）设直线的解析式为y=kx+b，将A（-4，0），B（0，4）代入得到关于k、b的方程组，然后解得k、b的值即可；设抛物线的解析式为y=ax2+4，然后将点A的坐标代入求得a的值即可；
（2）过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．设点P（a， -+4），Q（a，a+4）．则PQ=--a，然后依据三角形的面积公式列出△ABP的面积与a的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；
（3）先根据题意画出图形，需要注意本题共有4种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及特殊锐角三角函数值求解即可．
满分解答
∴抛物线的解析式为y=-x2+4．
（2）如图1所示，过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．
（3）如图2所示：延长MN交x轴与点C．
∵MN∥OB，OB⊥OC，
∴MN⊥OC．[来源:Zxxk.Com]
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BA0=45°．
∵ON∥AB，
∴∠NOC=45°．
∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．
∴点N的坐标为（2，2）．
如图3所示：过点N作NC⊥y轴，垂足为C．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°．
∵ON∥AB，
∴∠NOC=45°．
∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．
∴点N的坐标为（-2，-2）．
如图4所示：连接MN交y轴与点C．
∵四边形BNOM为菱形，OB=4，
∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．
∴点的纵坐标为2．
∵将y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=-2，
∴点M的坐标为（-2，2）．
∴点N的坐标为（2，2）．
如图5所示：
∵四边形OBNM为菱形，
∴∠NBM=∠ABO=45°．
∴四边形OBNM为正方形．
∴点N的坐标为（-4，4）．
综上所述点N的坐标为（，）或（-，-）或（-4，4）或（2，2）．
考点：二次函数综合题．
例2如图，抛物线的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
思路点拨
（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可．
（2）分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；
（3）分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算
满分解答
（3）①CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P′，过点
P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，∴P′M′=P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，∵OC=OB，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，∴∠P′M′C=45°，设点P′（m，），在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，∵P′N′∥y轴，∴N′（m，﹣m+4），∴P′N′==，∴，∴m=0（舍）或m=，菱形CM′P′N′的边长为=．
②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，∵∠OCB=45°，∴∠NCQ=45°，∴∠PCQ=45°，∴∠CPQ=∠PCQ=45°，∴PQ=CQ，设点P（n，），∴CQ=n，OQ=n+2，∴，∴n=0（舍），∴此种情况不存在，∴菱形的边长为．
考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．压轴题．
例3如图，已知点A (2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上.
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.
思路点拨
（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值；（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形A A′B′B一定为平行四边形，若四边形A A′B′B为菱形，那么必须满足AB=BB′，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式；（3）易求得直线AB′的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到C点的坐标，进而可求出AB、BC、AC、B′C的长，在（2）题中已经证得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′对应，若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：①∠B′CD=∠ABC，此时△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此时△B′DC∽△ABC，根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的BD长，进而可求得D点的坐标．
满分解答
（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4，
∵A（2，4），B′（6，0），∴直线AB′：.
当x=4时，y=1，故C（4，1）. ∴AC=3，B′C=，BC=.
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C.
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：
①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：，即，∴B′D=3，此时D（3，0）；②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：即，∴，此时D（，0）.
综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（，0）．
考点：1.二次函数综合题；2.平移问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5. 菱形的性质；6.等腰三角形的性质；7.相似三角形的判定和性质；8.分类思想的应用．
例4如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于O点、A点，B为抛物线上一点，C为y轴上一点，连接BC，且BC//OA，已知点O（0，0），A（6，0），B（3，m），AB=.
（1）求B点坐标及抛物线的解析式.，
（2）M是CB上一点，过点M作y轴的平行线交抛物线于点E，求DE的最大值；
（3）坐标平面内是否存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点F坐标；若不存在，请说明理由.
思路点拨
（1）运用勾股定理求出m的值，根据题意得点B为抛物线的顶点，设设抛物线为，即可求解；
（2）可求，设E，则D（，故DE＝，从而可得结果；
（3）设F，根据菱形的判定分三种情况进行讨论计算即可得解.
满分解答
（1）如图，过点B作BG⊥OA于G，
（2）可求，设E，则D（，
∴DE＝，
∴当x=，DE最大=.
（3）设F，
①当CD为菱形对角线时， [来源:Z。xx。k.Com]
∵FD∥BC，
∴
∴
解得（舍去），.
②当BD为菱形对角线时，
∴
∴，（舍去）
③当BC为菱形对角线时，D、F均在BC的垂直平分线上，且FP=PD，
则，则D（，则PD=3，则，，。
综上所述，满足条件的F点共3个：，，。
例5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．
思路点拨
（1） 利用待定系数法，列方程求二次函数解析式
.(2)利用解析法，∠FAB=∠EDB， tan∠FAG=tan∠BDE，求出F点坐标.
(3)分类讨论，当MN在x轴上方时，在x轴下方时分别计算MN.
详解：
满分解答
(1)∵OB=OC=6，
∴B(6，0)，C(0，-6).
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为.
∵=，
∴点D的坐标为(2，-8).
(3)∵点P在x轴上，
∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0).
如图，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.
∵PQ=MN，
∴MT=2PT.
设TP=n，则MT=2n. ∴M(2+2n，n).
∵点M在抛物线上，
∴，即.
解得，(舍去).
∴MN=2MT=4n=.
当MN在x轴下方时，设TP=n，得M(2+2n，-n).
∵点M在抛物线上，
∴，
即.
解得，(舍去).
∴MN=2MT=4n=.
综上所述，菱形对角线MN的长为或.
点睛：
1.求二次函数的解析式
（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（）.列方程组求二次函数解析式.
(2)已知二次函数与x轴的两个交点(，利用双根式，y=（）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点,.
2.处理直角坐标系下，二次函数与几何图形问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，往往是解决问题的钥匙.
例6如图(1)，已知菱形的边长为，点在轴负半轴上，点在坐标原点，点的坐标为（，），抛物线顶点在边上，并经过边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）点关于直线的对称点是，求点到点的最短距离；
（3）如图（2）将菱形以每秒个单位长度的速度沿轴正方向匀速平移，过点作于点，交抛物线于点，连接、．设菱形平移的时间为秒（），问是否存在这样的，使与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
(1)分别求出AB中点的坐标，抛物线的顶点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
(2)；判断点C′在以M为圆心，长为半径的圆上；
(3)∠DEF＝90°，∠DAF＜90°，所以分两种情况讨论，利用相似三角形的对应比成比例列方程求解.
满分解答
(1)由题意得AB的中点坐标为(，0)，抛物线的顶点坐标为(0，3)，分别代入y＝ax2＋b，得，解得.
[来源:+网]
∴这条抛物线的函数解析式为.
(3)如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，BE＝3，BC＝，
∴，
∴∠C＝60°，∠CBE＝30°。∴EC＝BC＝，DE＝.
又∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠C＝180°得∠ADC＝180°－60°＝120°，
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角，而∠DAF＜60°，
∴∠ADF＝90°或∠AFD＝90°.
点睛：理解点C关于直线y＝kx＋3的对称点C′时，根据中心对称的性质可知直线y＝kx＋3与y轴的交点(0，3)是CC′的中点，即点C′在以(0，3)为圆心，为半径的圆上，且当点A，C′，M在一条直线上时，AC′最小，最小值为AM－MC′.
【变式训练】
1．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0）是轴上一点，以OA为对角线作菱形OBAC，使得60°，现将抛物线沿直线OC平移到，则当抛物线与菱形的AB边有公共点时，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可得：
故选D。
2．直线与轴交于点A，与直线交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动，若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
将C(0,0)代入y=(x−h)²− h得：h²−h=0,解得： =0(舍去), = .
如图2所示：当抛物线经过点B时。
将B(−2,1)代入y=(x−h)²− h得：(−2−h)²− h=1,整理得：2h²+7h+6=0,解得：
=−2, =− (舍去).
综上所述,h的范围是−2≤h≤.
故选A.
3．如图1，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=2BD，点P是 AO上一个动点，过点P 作AC的垂线交菱形的边于M，N两点．设AP＝x，△OMN的面积为y，表示y与x的函数关系大致如图2所示的抛物线．
（1）图2所示抛物线的顶点坐标为（ ， ） ；
（2）菱形ABCD的周长为 ．
【答案】（，）；2
【解析】
试题分析：根据二次函数图形得出抛物线的顶点坐标；根据函数图形可得AO=1，根据AC=2BD可得DO=，则根据Rt△AOD的勾股定理可得AD=，则菱形的周长为：4×=2．
考点：二次函数的应用．
4．二次函数的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形（其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y轴上，相邻的菱形在y轴上有一个公共点），则第2017个菱形的周长=_____________．
【答案】8068
【解析】试题解析：设第一个菱形边长为b，
则第一个菱形在x轴正向与函数交点为 (因为其边长与x轴夹角为)
代入
得b=1；
设第二个菱形边长为c,则其边长与函数交点为代入函数表达式得c=2，
同理得第三个菱形边长为3，第n个菱形边长为n，故第2017个菱形边长为2017，
∴其周长为：
故答案为：
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的三个顶点A，B，D均在抛物线y=ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为__．
【答案】（4，3）
【解析】分析：本题根据菱形的性质和抛物线的对称性得出即可.
解析：因为菱形ABCD的对角线互相垂直平分，A是抛物线的顶点，所以点B与点D关于对称轴对称，因为点B是抛物线与y轴的交点，所以B（0，3）,因为对称轴为直线x=2.所以点D的坐标为（4，3）.
故答案为（4，3）.
6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=﹣（x﹣2）2+k过点A．
（1）求k的值；
（2）若把抛物线y=﹣（x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．
【答案】（1）（2）当m=5时，点B在平移后的抛物线上；当m=9时，点B不在平移后的抛物线上．
【解析】
试题分析：（1）将点A的坐标代入二次函数解析式中，可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）设AB与y轴交于点D，结合勾股定理以及菱形的性质找出点B、C的坐标，根据二次函数的解析式求出该抛物线与x轴的交点坐标，再根据平移的性质找出平移后过C点的二次函数的解析式，代入B点的坐标来验证其是否在平移后的函数图象上即可得出结论..
试题解析：（1）∵经过点A（3，4），
∴，解得：；
（2）如图所示，设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，AD=3，OD=4，．
【考点】二次函数图象与几何变换；菱形的性质．
7．如图,已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线y=mx2+2mx+n上．
B
A
O
1
1
－1
－1
x
y
（1）求m、n值；
（2）向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形为菱形,求平移后抛物线的表达式；
（3）试求出菱形的对称中心点M的坐标．
【答案】（1）（2）（3）（2，2）
【解析】解：（1）根据题意，得：…2分
解之 ……………3分
（2）四边形为菱形，
则A A′=B′B= AB=5； ………4分
∵=； ……………………5分
∴ 向右平移5个单位的抛物线解析式为
； …………………………7分[来源:]
（1）本题需先根据题意把A （-2，4）和点B （1，0）代入抛物线y=mx2+2mx+n中，解出m、n的值即可．
（2）本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式．
（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A′、B′的坐标，再过点A′作A′H⊥x轴，得出BH和A′H的值，再设菱形AA′B′B的中心点M，作MG⊥x轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标
8．如图1，抛物线，其中，点A（-2，m）在该抛物线上，过点A作直线l∥x轴，与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C.
（1）求m的值.
（2）当a=2时，求点B的坐标.
（3）如图2，以OB为对角线作菱形OPBQ，顶点P在直线l上，顶点Q在x轴上.
①若PB=2AP，求a的值.
②菱形OPBQ的面积的最小值是 .
【答案】（1）当x=-2时，y=4a-4（a-1）=4（2）点B的坐标为（1,4）（3）① ②菱形的最小面积=16
【解析】（1）把x=-2代入抛物线即可得到y的值；（2）先求出抛物线表达式，然后求出x的解；（3）利用抛物线的对称轴即可求出点B的坐标和a的值以及菱形OPBQ的面积的最小值.
解：（1）当x=-2时，
（2）当a=2时，抛物线表达式为
当y=4时，，
解得
把-2舍去，点B的坐标为（1,4）
（3）①当点P在线段AB上时，设CP=x，则AP=2+x,BP=OP=4+2x
在Rt△OCP中，，
解得
∴CP=0，CB=PB=4，点B的坐标是（4,4）
“点睛”本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是由点A与点B关于对称轴对称求出a的值，会运用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，抛物线C1：y=﹣（x+3）2与x，y轴分别相交于点A，B，将抛物线C1沿对称轴向上平移，记平移后的抛物线为C2，抛物线C2的顶点是D，与y轴交于点C，射线DC与x轴相交于点E，
（1）求A，B点的坐标；
（2）当CE：CD=1：2时，求此时抛物线C2的顶点坐标；
（3）若四边形ABCD是菱形．
①此时抛物线C2的解析式；
②点F在抛物线C2的对称轴上，且点F在第三象限，点M在抛物线C2上，点P是坐标平面内一点，是否存在以A，F，P，M为顶点的四边形与菱形ABCD相似，并且这个菱形以A为顶点的角是钝角，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）A（﹣3，0），B（0，﹣4）；（2）（3，2）（3，6）（3）①②，，
【解析】
试题分析：（1）利用坐标轴上点的特点，确定出点A，B的坐标；
（2）根据锐角三角函数的意义，和抛物线的平移，得到比例式，求出即可；
（3）①由点的移动情况判断出抛物线的移动情况；
②设出点的坐标，M（3+3a，4a），表示出F（3，﹣5a）．根据点在抛物线上，求出a，从而得到F的坐标．
（2）由（1）得：OA=3，OB=4，
∴tan∠OBA=．[来源:]
由题意得AB∥CD，∠EDA=∠OBA，
∴．
①当点C在y轴负半轴时，
由CE：CD=1：2，
∴OE=EA=1.5，AD=2，
∴D（3，2）；
②当点C在y轴正半轴时，
由CE：CD=1：2，
∴OE：OA=1：2，
∴AE=4.5，
∴AD=6，
∴D（3，6）．
当AF=AP时，
∴设M（3+3a，﹣a），F（3，﹣5a）．
把M点坐标代入，
可得a1=﹣1 （舍去），，
．
以AF为边在对称轴左侧作菱形时，点F坐标不变．
II：以AF为对角线作菱形时，
由菱形的对角线性质可知，
在AF右侧作∠FAP=∠FAM，
∴∠PAF=∠GAF=∠BAD，
菱形的轴对称性可得P点也在抛物线C2 上．
设M（3+3a，﹣a），F（3，﹣2a），
∴，
∴．
当点M在AF左侧时，F点坐标不变．
当点M在AF左侧时，F点坐标不变．
综上所述：，，
考点：1、抛物线的性质，2、菱形的性质，3、锐角三角函数
10．如图，抛物线与坐标轴相交于、、三点，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．
（1）直接写出、、的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形．
【答案】、、；直线x=1；（1，-）；不是菱形.
【解析】
试题分析：根据二次函数得出点的坐标；根据抛物线对称轴和顶点坐标的求法得出答案；设P(x，0)，根据PD∥AC得出PD的长度，从而得到△PCD的面积，根据二次函数性质求出面积的最大值，根据最大值得出PA、PD的长度，从而判定PA是否等于PD.
试题解析：（1）、、
（2）抛物线的对称轴是直线 顶点坐标是（1，-）
（3）设（），
因为，所以，解得
到的距离（即到的距离）
的面积
，面积的最大值为
的面积取最大值时，，，
因为，所以以、为邻边的平行四边形不是菱形
考点：二次函数的性质.
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴负半轴上；
（1）求证：4a+b=0；
（2）若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由；
（3）若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）DE与圆A相切；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由题意可知（4，0），由抛物线经过点O可求得c=0，将c=0，x=4，y=0代入抛物线的解析式可证得：4a+b=0；
（2）如图1所示：由菱形的性质可知：DN=NB，DN⊥AN，由OM=AD=AB，可证明AD=AB=DB，由AE=2可知AE=EB，由等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥DE，从而可证明DE与圆A相切；
（3）如图2所示．设点P的坐标为（2，m）．由题意可知点E的坐标为（﹣2，2），设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），将x=2代入得y=﹣4a即m=﹣4a．由∠OPM为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知﹣4a＜﹣2、﹣4a＞﹣4，从而可求得a的取值范围．
（2）DE与圆A相切．
理由：如图1所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴DN=NB，DN⊥AN．
∵∠AOD=∠AON=∠DNA=90°，
∴四边形OAND为矩形．
∴OA=DN=2．
∴DB=OM=4．
∵OM=AD=AB，
∴AD=AB=DB．
∵AE为圆A的半径，
∴AE=EB=2．
∵AD=DB，AE=EB．
∴AE⊥DE．
∴DE与圆A相切．
（3）如图2所示．
设点P的坐标为（2，m）．
∵OM为圆A的直径，
∴∠OEM=90°．
∵AE=2，OA=2，
∴点E的坐标为（﹣2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），将x=2代入得y=﹣4a．
∴m=﹣4a．
∵∠OPM为锐角，
∴点P在点E的下方．
∴﹣4a＜﹣2．
解得：a＞．
在Rt△AOD中，OD==2．
∴AC=4．
∵点P在菱形的内部，
∴点P在点C的上方．
∴﹣4a＞﹣4．
解得：a＜．
∴a的取值范围是．
考点：二次函数综合题．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．
（1）求b、c的值；
（2）若只沿y轴上下平移该抛物线后与y轴的交点为A1，顶点为M1，且四边形AMM1A1是菱形，写出平移后抛物线的表达式．
【答案】（1）b=﹣4，c=3；（2）y=x2﹣4x+3+2或y=x2﹣4x+3﹣2．
【解析】
【分析】
（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值；（2）把解析式化成顶点式，求得顶点M的坐标，根据A、M的坐标，易求得AM的长；根据平移的性质知：若四边形A A′B′B为菱形，那么必须满足AA1=AM，由此可确定平移的距离，根据“上加下减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．
【详解】
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质，注意第（2）问有上移和下移两种情况．
13．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．
【答案】解：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）。
设抛物线的函数表达式为，
将A（1，0）代入得：，解得。
∴抛物线的函数表达式为，即。
（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．
由（1）抛物线解析式为，A（1，0），B（3，0），
∴C（0，3）。
∴。
∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴PA=PB。∴PA+PC=PB+PC。此时，PB+PC=BC。
∴点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC。
∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=。
（3）（2，﹣1）。
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0），所以设抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可求得h，得到抛物线的函数表达式。
（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可。
（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线的顶点坐标，即（2，﹣1）。
14．如图，的顶点坐标分别为，，，把沿直线翻折，点的对应点为，抛物线经过点，顶点在直线上．
证明四边形是菱形，并求点的坐标；
求抛物线的对称轴和函数表达式；
在抛物线上是否存在点，使得与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析，点的坐标是；（2）对称轴为直线，抛物线的函数表达式为；存在．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质可得，根据菱形的判定和性质可得点的坐标；
（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设的坐标为，直线的解析式为，根据待定系数法可求的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（3）分点在的上面和点在的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点的坐标.
【详解】
证明：∵，，，
∴，，
∴，
由翻折可得，，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴点的坐标是；
存在．
理由如下：由题意可知，在抛物线上，且到，所在直线距离相等，所以在二次函数与、所在的直线的夹角平分线的交点上，而、所在的直线的夹角平分线有两条：一条是所在的直线，解析式为，另外一条是过且与平行的直线，解析式为，
联立，
解得：（舍）或，
联立，
解得：（舍）或
所以当与的面积相等，点的坐标为，．
【点睛】
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质，菱形的判定和性质，对称轴公式，待定系数法的运用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的运用.
15．如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（- ，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜ 3 ）
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）
【答案】（1）y=－x2＋3（2）①存在，t=1②
【解析】解：（1）由题意得AB的中点坐标为（－3 ，0），CD的中点坐标为（0，3），
分别代入y=ax2+b，得，解得， 。
∴这条抛物线的函数解析式为y=－x2＋3。
（2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC= ，
∴ 。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC=BC=，DE=。
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。
（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。
②
（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。
（2）①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：
（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。
（II）若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。
（III）∠DAF≠90°，此时t不存在。
②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：
16．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，作菱形BDEC，使其对角线在坐标轴上，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向上平移n个单位，使其顶点在菱形BDEC内（不含菱形的边），求n的取值范围；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，并说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）；（3）m=4时，四边形CQMD是平行四边形，理由详见解析.[来源:Zxxk.Com]
【解析】
试题分析：（1）由待定系数法即可求得．
（2）先求得直线BC的解析式和抛物线的顶点坐标G（3，﹣），然后把x=3代入直线BC的解析式即可求得F的坐标，进而求得E的坐标即可求得n的取值．
（3）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；
（2）设抛物线的顶点为G，过G点作x轴的垂线交BD于E，交BC于F，
由抛物线的解析式y=x2﹣x﹣4可知C（0，﹣4）
设直线BC的解析式为y=k1x+b1，
∵B（8，0），C（0，﹣4），则，
解得k1=，b1=﹣4．
故直线BC的解析式为y=x﹣4．
（3）∵C（0，﹣4）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则，
解得k=﹣，b=4．
∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m， m2﹣m﹣4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（﹣m+4）﹣（ m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．
化简得：m2﹣4m=0，
解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．
考点：1.待定系数法求函数解析式；2.平行四边形判定
17．已知抛物线m的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数的解析式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C（点B在点C的左侧），若△ABC为等边三角形．
①求m的值；
②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使得以点P、C、B、D为顶点构成的四边形是菱形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2-2x+1．（2）m=3．存在使四边形CBDP为菱形的点P，坐标为（1，-3）．
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线的顶点坐标及函数经过点（0，1），利用待定系数法求解即可．
（2）①先写出平移后的函数解析式，然后得出A、B、C三点的坐标，过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC为等边三角形，可得出关于m的方程，解出即可；
②求出点D坐标，分两种情况进行讨论，①PD为对角线，②PD为边，根据菱形的性质求解即可．
试题解析：（1）由题意可得：
解得：
∴抛物线对应的函数的解析式为y=x2-2x+1．
（2）①如图1：
将y=x2-2x+1向下平移m个单位得：y=x2-2x+1-m=（x-1）2-m，
可知A（1，-m），B（1-，0），C（1+，0），BC=2．
过点A作AH⊥BC于H，
∵由△ABC为等边三角形，
∴BH=HC=BC，∠CAH=30°，
∴AH=，即
由m＞0，
解得：m=3．
②在抛物线上存在点P，能使四边形CBDP为菱形．理由如下：
∵点D与点A关于x轴对称，
∴D（1，3），
情况一：如图2，
考点：二次函数综合题．
18．如图12，已知抛物线过点，，过定点的直线与抛物线交于，两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在抛物线上运动时，判断线段与的数量关系(、、)，并证明你的判断；
(3)为轴上一点，以为顶点的四边形是菱形，设点，求自然数的值；
(4)若，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，求出点的坐标及的最大面积，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2+1；（2）BF=BC，理由详见解析；（3）6；（4）当t=2时，S△QBF有最大值，最大值为+1，此时Q点坐标为（2，2）．
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）设B（x， x2+1），而F（0，2），利用两点间的距离公式得到BF2=x2+（x2+1﹣2）2=，再利用配方法可得到BF=x2+1，由于BC=x2+1，所以BF=BC；（3）如图1，利用菱形的性质得到CB=CF=PF，加上CB=FB，则可判断△BCF为等边三角形，所以∠BCF=60°，则∠OCF=30°，于是可计算出CF=4，所以PF=CF=4，从而得到自然数m的值为6；（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，先解方程组得B（1+，3+），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），则EQ=﹣t2+t+1，则S△QBF=S△EQF+S△EQB=•（1+）•EQ=•（1+）•）（﹣t2+t+1），然后根据二次函数的性质解决问题．
试题解析：
（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，
所以抛物线解析式为y=x2+1；
（2）BF=BC．
理由如下：
设B（x， x2+1），而F（0，2），
∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，
∴BF=x2+1，
∵BC⊥x轴，
∴BC=x2+1，
∴BF=BC；
（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，
当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，
解方程组 得 或，则B（1+，3+），
设Q（t， t2+1），则E（t，t+2），
∴EQ=t+2﹣（t2+1）=﹣t2+t+1，
∴S△QBF=S△EQF+S△EQB=•（1+）•EQ=•（1+））（﹣t2+t+1）=﹣（t﹣2）2++1，
当t=2时，S△QBF有最大值，最大值为+1，此时Q点坐标为（2，2）．
考点：二次函数综合题.
19．已知抛物线的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数的解析式；
（2）将该抛物线向下平移m(m>0)个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形．
①求m的值；
②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）; （2）①m=3;②不存在这样的点P,理由见解析.
【解析】试题分析：（1）根据抛物线的顶点坐标及函数经过点（0，1），利用待定系数法求解即可．
（2）①先写出平移后的函数解析式，然后得出A、B、C三点的坐标，过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC为等边三角形，可得出关于m的方程，解出即可；
②求出点D坐标，分两种情况进行讨论，①PD为对角线，②PD为边，根据菱形的性质求解即可．
试题解析：
（1）由题意可得， 解得
∴抛物线对应的函数的解析式为．
（2）①将向下平移m个单位得： -m= ，可知A(1，-m)，B(1-，0)，C(1+，0)，BC=2．
由△ABC为等边三角形，得，由m＞0，解得m=3．
②不存在这样的点P．
∵点D与点A关于x轴对称，∴D（1，3）．
由①得BC=2．
要使四边形CBDP为菱形，需DP∥BC，DP=BC．
由题意，知点P的横坐标为1+2，
当x=1+2时，
-m==，
故不存在这样的点P．
点睛：本题属于二次函数的综合题，属于综合性较强的题目，应理清思路，对每一个知识点都应熟练掌握并能灵活运用，求出二次函数的解析式是解此题的关键，应熟练掌握三点式和顶点式求抛物线解析式的方法，二次函数的平移通常指的是图象的平移，应注意总结平移的规律.
20．如图，已知点A (0，4) 和点B (3，0)都在抛物线上．
（1）求、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为D，点B的对应点为C，若四边形A BCD为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AC的交点为点E，试在轴上找点F，使得以点C、E、F为顶点的三角形与△ ABE相似。
【答案】(1)（2）y=(x-4)2+(3) (3,0)，(4,0)
【解析】
(1)由---------1分，得---------2分
(2) ∵四边形ABCD为菱形,AB=5 ∴AD=5---------1分
∴y=m(x+1-5)2+n-m =(x-4)2+---------2分
（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值．
（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形一定为平行四边形，若四边形为菱形，那么必须满足AB=AD，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．
（3）易求得直线AC的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到E点的坐标，进而可求EC、AE的长；所以以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似，可分两种情况考虑：①，②,根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的CF长，进而可求得F点的坐标
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