2018年济南市长清区中考一模数学试卷

这是一份2018年济南市长清区中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 2018 的相反数是
A. 8102B. −2018C. 12018D. 2018

2. 如图，点 O 在直线 AB 上，若 ∠2=140∘，则 ∠1 的度数是
A. 40∘B. 60∘C. 140∘D. 150∘

3. 下列运算正确的是
A. a2⋅a3=a6B. a23=a6C. a6÷a2=a3D. 2−3=−6

4. 一个正常人的心跳平均每分钟 70 次，一天大约跳 100800 次，将 100800 用科学计数法表示为
A. 0.1008×106B. 1.008×106C. 1.008×105D. 10.08×104

5. 下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 如图所示的几何体是由 4 个相同的小正方体组成，其主视图为
A. B.
C. D.

7. 下列命题中，真命题是
A. 两对角线相等的四边形是矩形
B. 两对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 两对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两对角线相等的矩形是正方形

8. 如表是某同学周一至周五每天跳绳个数统计表：
星期一二三四五跳绳个数/个160160180200170
则表示“跳绳个数”这组数据的中位数和众数分别是
A. 180，160B. 170，160C. 170，180D. 160，200

9. 如图，一次函数 y1=x+b 与一次函数 y2=kx+4 的图象交于 P1,3，则关于 x 的不等式 x+b>kx+4 的解集是
A. x>−2B. x>0C. x>1D. x<1

10. 抛物线 y=2x−32+1 的顶点坐标是
A. 3,1B. 3,−1C. −3,1D. −3,−1

11. 如图直线 y=−33x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，把 △AOB 沿直线 AB 翻折后得到 △AOʹB，则点 Oʹ 的坐标是
A. 3,3B. 3,3C. 2,23D. 23,4

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=−1，且过点 12,0，有下列结论：① abc>0；② a−2b+4c=0；③ 25a−10b+4c=0；④ 3b+2c>0；⑤ a−b≥mam−b，其中所有正确的结论有
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 分解因式：x2+xy= ．

14. 比较大小：5−12 12（填“>”“<”“=”）．

15. 在一个不透明的盒子中有 12 个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是 13，则黄球的个数 个．

16. 若代数式 1x−2 和 32x+1 的值相等，则 x= ．

17. 如图，在圆内接四边形 ABCD 中，O 为圆心，∠BOD=160∘，则 ∠BCD 的度数为 ．

18. 如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴的负半轴上，O 是坐标原点，tan∠AOC=43，反比例函数 y=kx 的图象经过点 C，与 AB 交于点 D，若 △COD 的面积为 20，则 k 的值等于 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. （1）计算：tan60∘+5−10−12；
（2）化简：a+3a−3+a2−a．

20. （1）解不等式组：x−3<1,4x−4≥x+2;
（2）解方程：x2−4x+3=0．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AD 是 ⊙O 的切线，点 C 在 ⊙O 上，BC∥OD，AB=2，OD=3．
（1）求证：△ACB∽△DAO；
（2）求 BC 的长．

22. 为进一步推广“阳光体育”大课间活动，高新中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D排球四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图 1 、图 2 的统计图，请结合图中的信息解答下列问题．
（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（2）随机抽取了 3 名喜欢“跑步”的学生，其中有 2 名男生，1 名女生，现从这 3 名学生中任意抽取 2 名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一名男生一名女生的概率．

23. 春节期间，某超市出售的桂圆和芒果，单价分别为每千克 26 元和 22 元，李叔叔购买这两种水果共 30 千克，共花了 708 元，请问李叔叔购买这两种水果各多少千克?

24. 如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测到在点 A 俯角为 30∘ 方向的 F 点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），为了便于观察，飞机继续向前飞行了 800 米到达 B 点，此时测得点 F 在点 B 俯角为 60∘ 的方向上，请你计算当飞机飞临 F 点的正上方点 C 时（点 A，B，C 在同一直线上），竖直高度 CF 约为多少米?（结果保留整数，参考数值：3≈1.7）

25. 如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=mx 的图象相交于 A2,3，B−3,n 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式 kx+b>mx 的解集；
（3）过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为 C，求 S△ABC．

26. 已知：正方形 ABCD，等腰直角三角形的直角顶点落在正方形的顶点 D 处，使三角板绕点 D 旋转．
（1）当三角板旋转到图 1 的位置时，猜想 CE 与 AF 的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若 DE=1，AE=7，CE=3，求 ∠AED 的度数；
（3）若 BC=4，点 M 是边 AB 的中点，连接 DM，DM 与 AC 交于点 O，当三角板的一边 DF 与边 DM 重合时（如图 2），若 OF=53，求 CN 的长．

27. 如图，在平面直角坐标系中，已知 C0,4，点 A，B 在 x 轴上，并且 OA=OC=4OB，动点 P 在过 A，B，C 三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线 AC 上方的抛物线上，是否存在点 P，使得 △PAC 的面积最大?若存在，求出 P 点坐标及 △PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）在 x 轴上是否存在点 Q，使得 △ACQ 是等腰三角形?若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】2018 的相反数为 −2018．
2. A【解析】∵∠1+∠2=180∘ 且 ∠2=140∘，
∴∠1=40∘．
3. B
4. C
5. C
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
6. D【解析】从正面看，得到 2 列正方形的个数依次为 2，1 个．
7. B【解析】A、两对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
B、两对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
C、两对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误；
D、两对角线垂直的矩形是正方形，错误．
8. B【解析】把这些数从小到大排列为 160，160，170，180，200，最中间的数是 170，则中位数是 170；
160 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 160．
9. C【解析】当 x>1 时，x+b>kx+4，即不等式 x+b>kx+4 的解集为 x>1．
10. A
【解析】由 y=2x−32+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 3,1．
11. A【解析】连接 OOʹ．
由 y=−33x+2，
得 OB=2，OA=23，
所以 ∠BAO=30∘，点 Oʹ 为点 O 关于直线 AB 的对称点，
故 ∠OʹAO=60∘，△AOOʹ 是等边三角形．
作 OʹC⊥OA 于 C，OC=AC=12OA=3，OʹC=3AC=3，
所以点 Oʹ 的坐标为 3,3．
12. B【解析】由抛物线的开口向下可得：a<0，
根据抛物线的对称轴在 y 轴左边可得：a，b 同号，
∴b<0，
根据抛物线与 y 轴的交点在正半轴可得：c>0，
∴abc>0，故①正确；
∵ 直线 x=−1 是抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的对称轴，
∴−b2a=−1，可得 b=2a，
∴a−2b+4c=a−4a+4c=−3a+4c，
∵a<0，
∴−3a>0，
∴−3a+4c>0，即 a−2b+4c>0，故②错误；
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=−1，且过点 12,0，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 −52,0，
当 x=−52 时，y=0，即 a−522−52b+c=0，
整理得：25a−10b+4c=0，故③正确；
∵b=2a，a+b+c<0，
∴12b+b+c=0，即 3b+2c<0，故④错误；
∵x=−1 时，函数值最大，
∴a−b+c≥m2a−mb+c，
∴a−b≥mam−b，
∴ ⑤正确．
第二部分
13. xx+y
14. >
【解析】∵5−1>1，
∴5−12>12．
15. 6
【解析】设黄球的个数为 x 个，
根据题意得 x12+x=13，
解得 x=6，
经检验，x=6 是原方程的解，并且满足题意．
所以黄球的个数为 6 个．
16. 7
【解析】根据题意得：1x−2=32x+1，
2x+1=3x−6，
解得：x=7，
经检验 x=7 是分式方程的解．
17. 100∘
【解析】∵∠BOD=160∘，
∴∠BAD=12∠BOD=80∘，
∵A，B，C，D 四点共圆，
∴∠BCD+∠BAD=180∘，
∴∠BCD=100∘．
18. −24
【解析】作 DE∥AO，CF⊥AO，
设 CF=4x，
∵ 四边形 OABC 为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DE∥AO，
∴S△ADO=S△DEO，
同理 S△BCD=S△CDE，
∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，
∴S菱形ABCO=2S△DEO+S△CDE=2S△CDO=40，
∵tan∠AOC=43，
∴OF=3x，
∴OC=OF2+CF2=5x，
∴OA=OC=5x，
∵S菱形ABCO=AO⋅CF=20x2=40，解得：x1=−2（舍去），x2=2，
∴OF=32，CF=42，
∴ 点 C 坐标为 −32,42，
∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过点 C，
∴ 代入点 C 得：k=−24．
第三部分
19. （1） 原式=3+1−23=1−3.
（2） 原式=a2−9+2a−a2=2a−9.
20. （1）
x−3<1, ⋯⋯①4x−4≥x+2, ⋯⋯②
解 ① 得：
x<4.
解 ② 得：
x≥2.
所以原不等式组的解集是
2≤x<4.
（2） 由 x2−4x+3=0 得
x−1x−3=0.
所以
x−1=0或x−3=0.
所以
x1=1,x2=3.
21. （1） ∵BC∥OD，
∴∠B=∠AOD，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∵AD 是 ⊙O 的切线，
∴AD⊥AB，即 ∠BAD=90∘，
∴∠C=∠OAD，
∴△ACB∽△DAO．
（2） ∵ 由（1）得 △ABC∽△DAO，
∴BC:OA=AB:OD，
∵OA=1，AB=2，OD=3，
∴BC=23．
22. （1） 调查的总人数 =15÷10%=150，
∴ 喜欢“跑步”的学生人数 =150−15−45−30=60（名），
它所占的百分比 =60150×100%=40%；
补全的统计图如图 1 、图 2 所示．
（2） 画树状图如图 3 所示：
共有 6 种等可能的结果数，其中一名男生一名女生的结果数为 4，
∴ 刚好抽到一名男生一名女生的概率 =46=23．
23. 设购买了桂圆 x 千克，则购买芒果 30−x 千克．
根据题意列方程得：
26x+2230−x=708.
解得：
x=12.30−x=18.
答：购买了桂圆 12 千克，购买芒果 18 千克．
24. ∵∠CBF=60∘，∠CAF=30∘，∠CBF=∠CAF+∠BFA，
∴∠BFA=30∘，
∴AB=BF，
∵AB=800 米，
∴AB=BF=800 米，
∵∠BCF=90∘，∠CBF=60∘，
∴CF=BFsin60∘=800×32=4003米≈680米．
答：竖直高度 CF 约为 680 米．
25. （1） ∵A2,3 在 y=mx 的图象上，
∴m=6，
∴ 反比例函数的解析式为：y=6x，
∵B−3,n 在反比例函数图象上，
∴n=6−3=−2，
∵A2,3，B−3,−2 两点在 y=kx+b 上，
∴3=2k+b,−2=−3k+b, 解得：k=1,b=1,
∴ 一次函数的解析式为：y=x+1．
（2） −32．
（3） 如图所示，
以 BC 为底，则 BC 边上的高 AE 为 3+2=5，
∴S△ABC=12×2×5=5．
26. （1） CE=AF；
证明：在正方形 ABCD，等腰直角三角形 CEF 中，FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90∘，
∴∠ADF=∠CDE，
在 △ADF 和 △CDE 中，
FD=ED,∠ADF=∠CDE,AD=CD,
∴△ADF≌△CDE，
∴CE=AF．
（2） ∵DE=1，AE=7，CE=3，
∴EF=2，
∴AE2+EF2=AF2，
∴△AEF 为直角三角形，
∴∠AEF=90∘，
∴∠AED=∠AEF+DEF=90∘+45∘=135∘．
（3） ∵M 是 AB 中点，
∴MA=12AB=12AD，
∵AB∥CD，
∴OMOD=OAOC=AMDC=12，
在 Rt△DAM 中，DM=AD2+AM2=16+4=25，
∴DO=453，
∵OF=53，
∴DF=5，
∵∠DFN=∠DCO=45∘，∠FDN=∠CDO，
∴△DFN∽△DCO，
∴DFDC=DNDO，
∴54=DN453，
∴DN=53，
∴CN=CD−DN=4−53=73．
27. （1） ∵C0,4，
∴OC=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=4，OB=1，
∴A4,0，B−1,0，
设抛物线解析式为 y=ax+1x−4，
把 C0,4 代入得 a×1×−4=4，解得 a=−1，
∴ 抛物线解析式为 y=−x+1x−4，即 y=−x2+3x+4．
（2） 作 PD∥y 轴，如图，
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
可得：0=4k+b,4=b, 解得：k=−1,b=4,
易得直线 AC 的解析式为 y=−x+4，
设 Px,−x2+3x+40 ∴PD=−x2+3x+4−−x+4=−x2+4x，
∴S△PAC=12⋅PD⋅4=−2x2+8x=−2x−22+8，
当 x=2 时，S△PAC 有最大值，最大值为 8，此时 P 点坐标为 2,6．
（3） 存在，Q 点的坐标为 0,0 或 −4,0 或 4+42,0 或 4−42,0．
【解析】∵OA=OC=4，
∴AC=42，
∴ 当 QA=QC 时，Q 点在原点，即 Q0,0；
当 CQ=CA 时，点 Q 与点 A 关于 y 轴对称，则 Q−4,0；
当 AQ=AC=42 时，Q 点的坐标 4+42,0 或 4−42,0．
综上所述，Q 点的坐标为 0,0 或 −4,0 或 4+42,0 或 4−42,0．