2018_2019学年天津市南开区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年天津市南开区九上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知 x=2 是一元二次方程 x2+mx+2=0 的一个解，则 m 的值是
A. −3B. 3C. 0D. 0 或 3

2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形
A. B.
C. D.

3. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4 随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于 4 的概率是
A. 16B. 516C. 13D. 12

4. x1，x2 是一元二次方程 3x−12=15 的两个解，且 x1A. x1 小于 −1，x2 大于 3B. x1 小于 −2，x2 大于 3
C. x1，x2 在 −1 和 3 之间D. x1，x2 都小于 3

5. 如图，线段 AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠CAB=20∘，则 ∠AOD 等于
A. 160∘B. 150∘C. 140∘D. 120∘

6. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上的两点，分别连接 AC，BC，CD，OD，若 ∠DOB=140∘，则 ∠ACD=
A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 70∘

7. 有四个命题，其中正确的命题是
①经过三点一定可以作一个圆；
②任意一个三角形有且只有一个外接圆；
③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；
④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．
A. ①②③④B. ①②③C. ②③④D. ②③

8. 下列说法中，正确的是
A. 不可能事件发生的概率为 0
B. 随机事件发生的概率为 0
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定为 50 次

9. 已知二次函数 y=ax2−1 图象的开口向下，则直线 y=ax−1 的图象经过的象限是
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限

10. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：
x…−1013…y…−3131…
则下列判断中正确的是
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线与 y 轴交于负半轴
C. 当 x=4 时， y>0
D. 方程 ax2+bx+c=0 的正根在 3 与 4 之间

11. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，在以 AB 的中点 O 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立的平面直角坐标系中，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转，使点 A 旋转至 y 轴正半轴上的 Aʹ 处，则图中阴影部分面积为
A. 43π−2B. 43πC. 23πD. 23π−2

12. 如图，二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象经过点 1,2 且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，其中 −14ac；a<−1；其中结论正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 若关于 x 的一元二次方程 kx2−2x−1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ．

14. 现有两个不透明的袋子，其中一个装有标号分别为 1 、 2 的两个小球，另一个装有标号分别为 2 、 3 、 4 的三个小球，小球除标号外其它均相同，从两个袋子中各随机摸出 1 个小球，两球标号恰好相同的概率是 ．

15. 如图，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 得到线段 AʹBʹ，那么 A−2,6 的对应点 Aʹ 的坐标是 ．

16. 同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是 ．

17. 一个侧面积为 162π cm2 的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为 cm．

18. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，在下列四个结论中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．①不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 −10；③ b2−4ac>0；④ 4a+b<0．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 如图，△ABC 的顶点坐标分别为 A1,3，B4,2，C2,1．
（1）在图中以点 O 为位似中心在原点的另一侧画出 △ABC 放大 2 倍后得到的 △A1B1C1，并写出 A1 的坐标；
（2）请在图中画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 后得到的 △A2B2C2．

20. 解方程：2x2+5x−1=0．

21. 一块矩形的草地，长为 8 m，宽为 6 m，若将长和宽都增加 x m，设增加的面积为 y m2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）若要使草地的面积增加 32 m2，长和宽都增加多少米?

22. 一个不透明的布袋里装有 16 个只有颜色不同的球，其中红球有 x 个，白球有 2x 个，其他均为黄球，现甲从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，甲同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出一个球，若为黄球，则乙同学获胜．
（1）当 x=3 时，谁获胜的可能性大?
（2）当 x 为何值时，游戏对双方是公平的?

23. 如图，O 是 △ABC 的内心，BO 的延长线和 △ABC 的外接圆相交于点 D，连接 DC，DA，OA，OC，四边形 OADC 为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若 AB=2，求阴影部分的面积．

24. 某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价 120 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用，设每个房间定价增加 10x 元（x 为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量 y 与 x 的函数关系式．
（2）设宾馆每天的利润为 W 元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少?
（3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于 5000 元；②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过 600 元；③每个房间刚好住满 2 人．
问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人?

25. 如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连接 AM，BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断 △ABM 的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为 m,2m，当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
答案
第一部分
1. A
2. B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转 180∘ 后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A，C，D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形．
3. C【解析】画树状图得：
∵ 共有 12 种等可能的结果，两次摸出的小球标号的积小于 4 的有 4 种情况，
∴ 两次摸出的小球标号的积小于 4 的概率是：412=13．
4. A
5. C
6. A
7. D
8. A
9. D
10. D
11. C
12. D
第二部分
13. k>−1 且 k≠0
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2−2x−1=0 有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ>0．
即 −22−4×k×−1>0，
解得 k>−1 且 k≠0．
∴k 的取值范围为 k>−1 且 k≠0．
14. 16
15. Aʹ6,2
16. 63
17. 4
18. ①③
第三部分
19. （1） 如图，△A1B1C1 为所作，A−2,−6．
（2） 如图，△A2B2C2 为所作．
20. x=−5±334．
21. （1） y=x2+14x．
（2） 当 y=32 时，x2+14x=32．
解得 x1=2，x2=−16（舍去）．
答：长和宽都增加 2 米．
22. （1） 当 x=3 时，甲同学获胜可能性为 316，乙同学获胜可能性为 16−3−616=716，
∵ 316<716，
∴ 当 x=3 时，乙同学获胜可能性大.
（2） 游戏对双方公平必须有：x16=16−3x16，解得：x=4，
答：当 x=4 时，游戏对双方是公平的．
23. （1） ∵ O 为 △ABC 的内心，
∴ ∠2=∠3，∠5=∠6，
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1=∠3，
∵ 四边形 OADC 为平行四边形，
∴ AD∥CO 且 AD=CO，
∴ ∠4=∠5，
∴ ∠4=∠6，
∴ △BOC≌△CDAAAS．
（2） 由（1）得 BC=AC，∠3=∠4=∠6，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∴ AB=AC，
∴ △ABC 为等边三角形，
∴ △ABC 的内心 O 也是外心，
∴ OA=OB=OC．
设 E 为 BD 与 AC 的交点，则 BE 垂直平分 AC．
在 Rt△OCE 中，CE=12AC=12AB=1，∠OCE=30∘，
∴ OA=OB=OC=233，易知 ∠AOB=120∘，
∴
S阴影=S扇形AOB−S△AOB=120π360×2332−12×2×33=4π−339.
24. （1） y=−x+50．
（2） 设该宾馆房间的定价为 120+10x−20 元（x 为整数），
那么宾馆内有 50−x 个房间被游客居住，
依题意，得
W=−x+50120+10x−20=−x+5010x+100=−10x−202+9000.
所以当 x=20，
即每间房价定价为 10×20+120=320 元时，每天利润最大，最大利润为 9000 元．
（3） 由 −10x−202+9000≥5000,20−x+50≤600.
得 20≤x≤40．
当 x=40 时，这天宾馆入住的游客人数最少有：
2y=2−x+50=2−40+50=20（人）．
25. （1） ∵A 点为直线 y=x+1 与 x 轴的交点，
∴A−1,0．
又 B 点横坐标为 2，代入 y=x+1 可求得 y=3，
∴B2,3．
∵ 抛物线顶点在 y 轴上，
∴ 可设抛物线解析式为 y=ax2+c．
把 A，B 两点坐标代入可得 a+c=0,4a+c=3,
解得 a=1,c=−1.
∴ 抛物线解析式为 y=x2−1．
（2） △ABM 为直角三角形．
理由如下：
由（1）抛物线解析式为 y=x2−1 可知 M 点坐标为 0,−1，
∴AM=2，AB=32+32=18=32，BM=22+3−−12=25 .
∴AM2+AB2=2+18=20=BM2 .
∴△ABM 为直角三角形．
（3） 当抛物线 y=x2−1 平移后顶点坐标为 m,2m 时，其解析式为 y=x−m2+2m，即 y=x2−2mx+m2+2m，
联立 y=x，可得 y=x,y=x2−2mx+m2+2m,
消去 y 整理可得 x2−2m+1x+m2+2m=0 .
∵ 平移后的抛物线总有不动点，
∴ 方程 x2−2m+1x+m2+2m=0 总有实数根.
∴Δ≥0，即 2m+12−4m2+2m≥0 .
解得 m≤14，
即当 m≤14 时，平移后的抛物线总有不动点．