河南省“顶尖计划”2020-2021学年高二下学期期末联考 数学（理） Word版含答案

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河南省“顶尖计划”2020－2021学年高二下学期期末联考

理科数学试卷

本试卷共4页，23题。全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

4.考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|log2x>1}，B＝{x||x－1|<2}，则A∪B＝

A.(2，3)     B.(－1，3)     C.(2，＋∞)     D.(－1，＋∞)

2.已知i为虚数单位，若z＝，则z的共轭复数＝

A.cosθ－isinθ     B.cosθ＋isinθ     C.sinθ＋icosθ     D.sinθ－icosθ

3.已知椭圆：的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于

A.3     B.5     C.7     D.8

4.“x>0”是“sinx>0”的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

5.10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为

A.     B.     C.     D.

6.如图，图象对应的函数解析式可能是

A.f(x)＝         B.f(x)＝

C.f(x)＝       D.f(x)＝sinx＋

7.已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d，e，－4成等比数列，则

A.     B.－     C.     D.或－

8.令(x＋1)2020＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a2020x2019＋a2021x2020(x∈R)，则a2＋2a3＋…＋2019a2020＋2020a2021＝

A.2019·22019     B.2019·22020     C.2020·22019     D.2020·22020

9.3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是

A.576     B.432     C.388     D.216

10.

A.2π＋     B.     C.8     D.2π

11.已知实数a，b，c满足a＝，b＝log78＋log5649，7b＋24b＝25c，则a，b，c的大小关系是

A.b>a>c     B.c>b>a     C.b>c>a     D.c>a>b

12.若函数f(x)＝(2ax＋)lnx－(a－1)x3有三个不同的零点，则实数a的取值范围是

A.(0，)              B.(1，)

C.(0，1)∪(1，)       D.(0，1)∪{}

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中的横线上。

13.已知单位向量a，b满足|b－2a|＝，则<a，b>＝         。

14.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x＋2y的最小值为         。

15.已知三棱锥P－ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PB＝PC，PA＝，O1为△ABC的外接圆的圆心，cos∠PAO1＝，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为         。

16.已知点M为双曲线C：(a>0，b>0)在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，则双曲线C的渐近线方程为         ；若MF、MO分别交双曲线C于P、Q两点，记直线PM与PQ的斜率分别为k1、k2，则k1·k2＝         。(第一空2分，第二空3分)

三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝2，CD＝6，cosB＝。

(1)求△ACD的面积；

(2)若BC＝6，求AB的长。

18.(12分)在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下(单位：cm)：

由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在(160，182)之间(单位：cm)，且这20组身高数据的平均数为＝172，标准差为s＝7。

(1)为了更好地研究本校男生的身高数据，决定用这20个数据中在区间(－2s，＋2s)以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少(方差保留两位小数)？

(2)使用统计学的观点说明，(－2s，＋2s)以内的数据与原数据对比，有什么特点(主要用平均数与方差进行说明)？

(参考公式：)

19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3。点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点。

(1)证明：直线MN//平面PAB；

(2)求二面角C－PD－N的正弦值。

20.(12分)已知点P(－2，y0)为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且△FPQ面积为2。

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线l经过(2，5)交抛物线C于M，N两点(异于点P)，求证：∠MPN的大小为定值。

21.(12分)已知函数f(x)＝lnx＋(λ∈R)。

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当λ＝2时，求证：f(x)>0在(1，＋∞)上恒成立；

(3)求证：当x>0时，(ex－1)ln(x＋1)>x2。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)。在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ。

(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)若点P坐标为(1，1)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值。

23.已知函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|。

(1)当a＝2时，求f(x)的最小值。

(2)若函数在区间[－1，1]上递减，求a的取值范围。