2019年浙教版数学九年级上学期期末专项复习卷（一）二次函数

这是一份2019年浙教版数学九年级上学期期末专项复习卷（一）二次函数，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=x−12+5 的顶点是
A. 1,5B. −1,5C. −1,−5D. 1,−5

2. 将抛物线 y=3x2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是
A. y=3x−22+1B. y=3x−22−1
C. y=3x+22+1D. y=3x+22−1

3. 已知二次函数 y=x2+3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴有两个交点，其中一个交点为 −1,0，则另一个交点是
A. 1,0B. 2,0C. −2,0D. −3,0

4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b 和二次函数 y=ax2+bx 的图象可能为
A. B.
C. D.

5. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则点 Mb,ca 位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

6. 如图所示为二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线 x=−1，且过点 −3,0，给出下列说法：① abc<0；② 2a−b=0；③ 4a+2b+c<0；④图象经过点 1,0，其中正确的是
A. ①②B. ②③C. ①②④D. ②③④

7. 已知二次函数 y=x2−x+aa>0，当自变量 x 取 m 时，其相应的函数值小于 0，那么下列结论中，正确的是
A. m−1 的函数值小于 0
B. m−1 的函数值大于 0
C. m−1 的函数值等于 0
D. m−1 的函数值与 0 的大小关系不确定

8. 方程 x3+2x−1=0 的根可视为函数 y=x2+2 的图象与函数 y=1x 的图象交点的横坐标，则方程 x3+2x−1=0 的实数根 x0 所在的范围是
A. 0
9. 如图所示，一段抛物线 y=−xx−40≤x≤4，记为 C1，它与 x 轴交于点 O，A1；将 C1 绕点 A1 旋转 180∘ 得 C2，交 x 轴于点 A2；将 C2 绕点 A2 旋转 180∘ 得 C3，交 x 轴于点 A3⋯⋯ 如此进行下去，直到 C12．若点 P45,m 在第 12 段抛物线 C12 上，则 m 的值为
A. −1B. −2C. −3D. −4

10. 如图所示，已知点 A4,0，O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O，A），过 P，O 两点的二次函数 y1 和过 P，A 两点的二次函数 y2 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 B，C，射线 OB 与 AC 相交于点 D．当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于
A. 5B. 435C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 已知二次函数 y=ax2+bx+c （ a≠0，a，b，c 是常数），x 与 y 的部分对应值如下表所示，显然方程 ax2+bx+c=0 的一个解是 x=0.7，则它的另一个解是 ．
x⋯⋯y⋯−240162424⋯

12. 已知抛物线的顶点为 −2,−3，且过原点，则该抛物线的函数表达式为 ．

13. 若抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且过点 Am,n，Bm+6,n，则 n= ．

14. 已知当 x=2m+n+2 和 x=m+2n 时，多项式 x2+4x+6 的值相等，且 m−n+2≠0，则当 x=3m+n+1 时，多项式 x2+4x+6 的值等于 ．

15. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，且设 P=∣a−b+c∣+∣2a+b∣，Q=∣a+b+c∣+∣2a−b∣，则 P，Q 的大小关系为 ．

16. 如图所示，平移抛物线 y=12x2，使它经过坐标原点 O 和点 A−6,0 ，顶点为 M；经过点 M 且平行于 y 轴的直线交抛物线 y=12x2 于点 P．
（1）顶点 M 是 ．
（2）阴影部分的面积是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 已知函数 y=x2−4x+3，设该函数的图象与 x 轴的交点坐标为 a,0，b,0，求 ab 的值．

18. 已知二次函数的图象经过点 0,−3，且顶点坐标为 −1,−4．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若该二次函数的图象与 x 轴的交点为 A，B，与 y 轴交于点 C，求 △ABC 的面积．

19. 已知函数 y1=12x2 与函数 y2=x+12 的图象大致如图所示．若 y1
20. 如图甲所示，A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AD=4 cm，AB=d cm，动点 E，F 分别从点 D，B 同时出发，点 E 以 1 cm/s 的速度沿边 DA 向点 A 运动，点 F 以 1 cm/s 的速度沿边 BC 向点 C 运动，点 F 运动到点 C 时，两点同时停止运动，以 EF 为边作正方形 EFGH，设点 F 出发 x s 时，正方形 EFGH 的面积为 y cm2．已知 y 与 x 的函数图象是抛物线的一部分，如图乙所示，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）自变量 x 的取值范围是 ；
（2）d= ，m= ，n= ；
（3）点 F 出发多少秒时，正方形 EFGH 的面积为 16 cm2?

21. 某旗舰店销售一种进价为每盏 20 元的护眼台灯．在销售过程中发现，每月销售量 y（盏）与销售单价 x（元）之间的关系可近似地看作一次函数 y=−10x+500．在销售过程中销售单价不低于成本价，且每件的利润不高于成本价的 60%．
（1）设该旗舰店每月获得的利润为 w（元）．求每月获得的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数表达式，并确定自变量 x 的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润?每月的最大利润是多少?
（3）如果该旗舰店想要每月获得的利润不低于 2000 元，那么每月的成本最少需要多少元?（成本 = 进价 × 销售量）

22. 某地欲搭建一座桥，桥的底部两端间的距离 AB=L，称为跨度；桥面最高点到 AB 的距离 CD=h，称为拱高，当 L 和 h 确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线形；②圆弧形．已知这座桥的跨度 L=32 m，拱高 h=8 m．
（1）如果设计成抛物线形，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的函数表达式．
（2）如果设计成圆弧形，求该圆弧所在圆的半径．
（3）在距离桥的一端 4 m 处欲立一桥墩 EF 支撑，分别求两种方案中桥墩的高度．

23. 如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A1,0，B−3,0，C0,3 三点，直线 l 是抛物线的对称轴．
（1）求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）过 A，B，C 三点作 ⊙P，求圆心 P 的坐标．
（3）在直线 l 上是否存在点 Q，使 △QAC 为直角三角形?若存在，写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）点 M 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 N，使 B，C，M，N 这四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，直接写出所有满足条件的点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. A
3. C
4. A
5. B
【解析】由图可知：a>0，对称轴 x=−b2a>0，则 b<0．当 x=0 时，y=c>0，
∴ca>0，则点 Mb,ca 在第二象限．
6. C【解析】对称轴 x=b−2a=−1，
则 b=2a．过点 −3,0，
则 9a−3b+c=0，且由图可知 a>0，c<0，
∴b>0．
① abc<0，正确；② 2a−b=0，正确；
③ c=3b−9a，
则
4a+2b+c=4a+2b+3b−9a=5b−5a=10a−5a=5a>0,
∴4a+2b+c<0，错误；
④把 x=1 代入可得，
y=a+b+c=a+b+3b−9a=4b−8a=4b−2a=0,
∴ 点 1,0 在二次函数的图象上，正确．
综上所述，①②④正确．
7. B【解析】设 x1，x2 是方程 x2−x+a=0 的两根，
∴ x1+x2=1，x1⋅x2=a，
∴ ∣x1−x2∣=x1+x22−4x1x2=1−4a．
∵ a>0，
∴ 1−4a<1，
∴ ∣x1−x2∣<1．
∵ 当自变量 x 取 m 时，其相应的函数值 y<0，
∴ 当自变量 x 取 m−1 时，m−1 的函数值 y>0．
8. C【解析】方程 x3+2x−1=0 的根可视为 y=x2+2 和 y=1x 的图象交点的横坐标．
当 x=14 时，y=x2+2=2116，y=1x=4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当 x=13 时，y=x2+2=219，y=1x=3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当 x=12 时，y=x2+2=214，y=1x=2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当 x=1 时，y=x2+2=3，y=1x=1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．
故方程 x3+2x−1=0 的实数根 x0 所在范围为 139. C【解析】∵ 抛物线 y=−xx−40≤x≤4，
∴ 图象与 x 轴的交点坐标为 0,0，4,0．
∵ 将 C1 绕点 A1 旋转 180∘ 得 C2，交 x 轴于点 A2；
将 C2 绕点 A2 旋转 180∘ 得 C3，交 x 轴于点 A3⋯⋯ 如此进行下去，直至得 C12，
∴C12 与 x 轴的交点横坐标为 44,0，48,0，
且图象在 x 轴下方，
∴C12 的表达式为 y12=x−44x−48．
当 x=45 时，y=45−44×45−48=−3．故选C．
10. A
【解析】过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G，连接 BP，CP，作 BE⊥x 轴，CF⊥x 轴于点 E，F．
∵DO=DA，
∴OG=AG=12AO=2．
∴DG=DO2−OG2=5．
∵B，C 分别是 y1，y2 的顶点，
∴BO=BP，CP=CA，设 OP=x，则 PA=4−x，则 OE=PE=12x，PF=AF=4−x2．
∵tan∠BOE=BEOE=DGOG=52，
∴BE=52×x2=54x．
∵tan∠CAF=CFAF=DGAG=52，
∴CF=52×4−x2=544−x．
∴BE+CF=54x+544−x=5．
第二部分
11. 1.7
12. y=34x+22−3
【解析】设 y=ax+22−3，把点 0,0 代入得 a=34，
∴y=34x+22−3．
13. 9
【解析】∵ 抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，
∴ 当 x=−b2 时，y=0，且 b2−4c=0，即 b2=4c．
因为抛物线过点 Am,n，Bm+6,n，
∴ 点 A 、 B 关于直线 x=−b2 对称，
∴A−b2−3,n，B−b2+3,n．
将 A 点坐标代入抛物线解析式，得
n=−b2−32+b−b2−3+c=−14b2+c+9．
∵b2=4c，
∴n=−14×4c+c+9=9．
14. 3
【解析】∵x=2m+n+2 和 x=m+2n 时，多项式 x2+4x+6 的值相等，
∴ 二次函数 y=x2+4x+6 的对称轴为直线 x=2m+n+2+m+2n2=3m+3n+22．
又 ∵ 二次函数 y=x2+4x+6 的对称轴为直线 x=−2，
∴3m+3n+22=−2．
∴3m+3n+2=−4，m+n=−2．
∴ 当 x=3m+n+1=3−2+1=−3 时，x2+4x+6=−32+4×−3+6=3．
15. P【解析】由图可知，当 x=−1 时，y<0；当 x=1 时，y>0．
对称轴 x=−b2a>1，即 2a+b>0，且 a<0，则 b>0，
∴P−Q=∣a−b+c∣+∣2a+b∣−∣a+b+c∣−∣2a−b∣=−a−b+c+2a+b−a+b+c+2a−b=2a−2c.
而 c=0，a<0，
∴ P−Q<0．即 P16. −3,−92，272
【解析】平移后的抛物线过点 −6,0，0,0．则对称轴为 x=−3，设平移后抛物线的函数表达式为 y=12x+32+k，把点 0,0 代入解得 k=−92，
∴ 顶点 M−3,−92．阴影部分的面积可看作以 OP 为对角线的长方形的面积．S=3×92=272．
第三部分
17. a=1，b=3（或 a=3，b=1），ab=3．
18. （1） 设该二次函数为 y=ax+12−4，
把点 0,−3 代入得：−3=a⋅12−4，解得 a=1，
∴ y=x+12−4=x2+2x−3．
（2） 当 y=0 时，x2+2x−3=0，解得 x1=1，x2=−3，
则 AB=1−−3=4，点 C 为 0,−3，
则 AB 边上的高为 3，
∴ S△ABC=12×4×3=6．
19. 由 y1=12x2,y2=x+12,
得 x1=1−2,y1=32−2,
x2=1+2,y2=32+2,
∴ 当 y120. （1） 0≤x≤4
（2） 3；2；25
（3） 由（2）可知抛物线的函数表达式为 y=4x−22+9．
当 y=16 时，x=2+72或2−72．
故当点 F 出发 2+72s 或 2−72s 时，正方形 EFGH 的面积为 16 cm2．
21. （1） 由题意，得
w=x−20⋅y=x−20⋅−10x+500=−10x2+700x−10000.
即
w=−10x2+700x−1000020≤x≤32.
（2） 函数 w=−10x2+700x−10000 的图象的对称轴是直线 x=−7002×−10=35．
又 ∵ a=−10<0，抛物线开口向下，
∴ 当 20≤x≤32 时，w 随着 x 的增大而增大，
∴ 当 x=32 时，w=2160．
∴ 当销售单价定为 32 元时，每月可获得最大利润，最大利润是 2160 元．
（3） 令 w=−10x2+700x−10000≥2000．
则 30≤x≤40．
又因为 20≤x≤32．
所以 30≤x≤32，
要使成本最少，则取 x=32，20×−10×32+500=3600（元），
即最少成本为 3600 元．
22. （1） 设抛物线的函数表达式为 y=ax2+c，
又 ∵ 抛物线经过点 C0,8 和 B16,0，
∴0=256a+8，a=−132，
∴ 抛物线的函数表达式为 y=−132x2+8−16≤x≤16．
（2） 如图甲所示．
设 AB 所在的圆心为 O，C 为 AB 的中点，CD⊥AB 于点 D，延长 CD 经过点 O，设 ⊙O 的半径为 R，在 Rt△OBD 中，OB2=OD2+DB2，
∴R2=R−82+162，解得 R=20m．
（3） ①在抛物线形中，设点 Fx,y 在抛物线上，x=OE=16−4=12m，EF=y=−132×122+8=3.5m．
②如图乙所示，在圆弧形中，设点 Fʹ 在 AB 上，
作 FʹEʹ⊥AB 于点 Eʹ，OH⊥FʹEʹ 于点 H，
则 OH=DEʹ=16−4=12m．OFʹ=R=20m，
在 Rt△OHFʹ 中，HFʹ=202−122=16m．
∵HEʹ=OD=OC−CD=20−8=12m，EʹFʹ=HFʹ=HFʹ−HEʹ=16−12=4m．
∴ 在离桥的一端 4 m 处，抛物线形桥墩高 3.5 m；圆弧形桥墩高 4 m．
23. （1） 由题意得 0=a+b+c,0=9a−3b+c,3=c,
解得 a=−1,b=−2,c=3,
即该抛物线的函数表达式为 y=−x2−2x+3，顶点坐标为 −1,4．
（2） 设点 P 的坐标为 x,y，
∵⊙P 过 A，B，C 三点．
∴x−12+y2=x+32+y2=x2+y−32，
得 x=−1，y=1．
∴ 圆心 P 的坐标为 −1,1．
（3） 设点 Q 的坐标为 −1,y，AC2=10，QC2=1+y−32，AQ2=4+y2，要使 △QAC 为直角三角形，分三种情况讨论：
① ∠ACQ=90∘ 时，则有 QC2+AC2=AQ2，
即 1+y−32+10=4+y2，
解得 y=83．
∴Q−1,83．
② ∠AQC=90∘ 时，则有 AQ2+CQ2=AC2，
即 1+y−32+4+y2=10，
解得 y=1或2，
∴Q−1,1 或 −1,2．
③ ∠CAQ=90∘ 时，则有 AC2+AQ2=CQ2，
即 10+4+y2=1+y−32，
解得 y=−23，
∴Q−1,−23．
综上所述，点 Q 的坐标为 −1,83，−1,1，−1,2 和 −1,−23．
（4） 存在点 N−5,0 或 −1,0 或 2−7,0 或 2+7,0，使 B，C，M，N 这四个点为顶点的四边形是平行四边形．