2019年广东省深圳市中考一模数学试卷（期末）

这是一份2019年广东省深圳市中考一模数学试卷（期末），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −4 的倒数是
A. −4B. 4C. 14D. −14

2. 如图是五个相同的小正方体搭成的几何体，这几个几何体的主视图是
A. B.
C. D.

3. 下列计算正确的是
A. 2a3+a2=3a5B. 3a2=6a2
C. a+b2=a2+b2D. 2a2⋅a3=2a5

4. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约 16 万吨，将 16 万吨用科学记数法表示为
A. 1.6×103 吨B. 1.6×104 吨C. 1.6×105 吨D. 1.6×106 吨

6. 如图，AB∥CD，∠ABE=60∘，∠D=50∘，则 ∠E 的度数为
A. 40∘B. 30∘C. 20∘D. 10∘

7. 某商人在一次买卖中均以 120 元卖出两件衣服，一件赚 25%，一件赔 25%，在这次交易中，该商人
A. 赚 16 元B. 赔 16 元C. 不赚不赔D. 无法确定

8. 某班级第一小组 7 名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是
A. 50 元，20 元B. 50 元，40 元C. 50 元，50 元D. 55 元，50 元

9. 如图，观察二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，下列结论：
①a+b+c>0；②2a+b>0；③b2−4ac>0；④ac>0．
其中正确的是
A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④

10. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于圆 O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和弧 BC 的长分别为
A. 2，π3B. 23，πC. 3，2π3D. 23，4π3

11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作 ∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E．若 BF=6，AB=5，则 AE 的长为
A. 4B. 6C. 8D. 10

12. 如图，G，E 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 的点，且 AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：
①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45∘；④△GBE∽△ECH．
其中，正确的结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 因式分解：a3−4a= ．

14. 从 −3，1，−2 这三个数中任取两个不同的数，积为正数的概率是 ．

15. 用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第 99 个图案需要的黑色五角星 个．

16. 如图，△ABC 的内心在 x 轴上，点 B 的坐标是 2,0，点 C 的坐标是 0,−2，点 A 的坐标是 −3,b，反比例函数 y=kxx<0 的图象经过点 A，则 k= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：sin30∘+−12013+π−30−cs60∘．

18. 解不等式组并写出它的所有非负整数解 32x+3x>9,4x−34≤96−9x.

19. 丹东是个美丽的旅游城市，吸引了很多外地游客，某旅行社对今年五月接待的外地游客来丹东旅游的首选景点做了一次抽样调査，根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整），请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）此次共调查多少人?
（2）请将两幅统计图补充完整．
（3）“凤凰山”部分的圆心角是 ∘．
（4）该旅行社今年五月接待来丹东的游客 2000 人，请估计首选去河口的人数约为多少人．

20. 为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸 AB 与 MN 之间的距离）．在测量时，选定河对岸 MN 上的点 C 处为桥的一端，在河岸点 A 处，测得 ∠CAB=30∘，沿河岸 AB 前行 30 米后到达 B 处，在 B 处测得 ∠CBA=60∘．请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数）

21. 某开发商要建一批住房，经调查了解，若甲、乙两队分别单独完成，则乙队完成的天数是甲队的 1.5 倍；若甲、乙两队合作，则需 120 天完成．
（1）甲、乙两队单独完成各需多少天?
（2）施工过程中，开发商派两名工程师全程监督，需支付每人每天食宿费 150 元．已知乙队单独施工，开发商每天需支付施工费为 10000 元．现从甲、乙两队中选一队单独施工，若要使开发商选甲队支付的总费用不超过选乙队的，则甲队每天的施工费最多为多少元?总费用 = 施工费 + 工程师食宿费．

22. 如图，直角坐标系中，⊙M 经过原点 O0,0，点 A3,0 与点 B0,−1，点 D 在劣弧 OA 上，连接 BD 交 x 轴于点 C，且 ∠COD=∠CBO．
（1）请直接写出 ⊙M 的直径，并求证 BD 平分 ∠ABO；
（2）在线段 BD 的延长线上寻找一点 E，使得直线 AE 恰好与 ⊙M 相切，求此时点 E 的坐标．

23. 如图，抛物线 y=−x2+bx+c 交 x 轴于点 A−3,0 和点 B，交 y 轴于点 C0,3．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 P 在抛物线上，且 S△AOP=4S△BOC，求点 P 的坐标；
（3）如图 2，设点 Q 是线段 AC 上的一动点，作 DQ⊥x 轴，交抛物线于点 D，交 x 轴于点 E，是否存在点 Q，使得直线 AC 将 △ADE 的面积分成 1:2 的两部分?若存在，求出所有点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】−4 的倒数是 −14．
2. C【解析】从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最右边有一个正方形．
3. D【解析】A．2a3 与 a2 不是同类项不能合并，故A选项错误；
B．3a2=9a2，故B选项错误；
C．a+b2=a2+2ab+b2，故C选项错误；
D．2a2⋅a3=2a5，故D选项正确．
4. A【解析】A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
5. C
【解析】将 16 万吨用科学记数法表示为：1.6×105 吨．
6. D【解析】∵AB∥CD，∠ABE=60∘，
∴∠CFE=∠ABE=60∘，
∵∠D=50∘，
∴∠E=∠CFE−∠D=10∘．
7. B【解析】设赚了 25% 的衣服的成本为 x 元，
则 1+25%x=120，解得 x=96 元，则实际赚了 24 元；
设赔了 25% 的衣服的成本为 y 元，
则 1−25%y=120，解得 y=160 元，则赔了 160−120=40 元；
∵40>24，
∴ 赔大于赚，在这次交易中，该商人是赔了 40−24=16 元．
8. C【解析】50 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 50；
把这组数据从小到大排列为：20，25，30，50，50，50，55，最中间的数是 50，则中位数是 50．
9. C【解析】由图象可知当 x=1 时，y<0，
∴a+b+c<0，故 ① 不正确；
由图象可知 0<−b2a<1，
∴b2a>−1，
又 ∵ 开口向上，
∴a>0，
∴b>−2a，
∴2a+b>0，故 ② 正确；
由图象可知二次函数与 x 轴有两个交点，
∴ 方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即 b2−4ac>0，故 ③ 正确；
由图象可知抛物线开口向上，与 y 轴的交点在 x 轴的下方，
∴a>0，c<0，
∴ac<0，
故 ④ 不正确．
综上可知正确的为 ②③．
10. D
【解析】在正六边形中，我们连接 OB，OC，则 △OBC 为等边三角形，边长等于半径 4．
因为 OM 为边心距，所以 OM⊥BC，
所以，在边长为 4 的等边三角形中，边上的高 OM=23，∠BOC=60∘，
由弧长计算公式：弧 BC=60∘360∘×2π×4=4π3，选 D．
11. C【解析】连接 EF，AE 与 BF 交于点 O，如图，
∵AB=AF，AO 平分 ∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=12BF=3，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，而 BO⊥AE，
∴AO=OE，
在 Rt△AOB 中，AO=AB2−OB2=52−32=4，
∴AE=2AO=8．
12. B【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B=∠DCB=90∘，AB=BC，
∵AG=CE，
∴BG=BE，
由勾股定理得：BE=22GE，
∴① 错误；
∵BG=BE，∠B=90∘，
∴∠BGE=∠BEG=45∘，
∴∠AGE=135∘，
∴∠GAE+∠AEG=45∘，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90∘，
∵∠BEG=45∘，
∴∠AEG+∠FEC=45∘，
∴∠GAE=∠FEC，
在 △GAE 和 △CEF 中 AG=CE,∠GAE=∠CEF,AE=EF,
∴△GAE≌△CEF，
∴② 正确；
∴∠AGE=∠ECF=135∘，
∴∠FCD=135∘−90∘=45∘，
∴③ 正确；
∵∠BGE=∠BEG=45∘，∠AEG+∠FEC=45∘，
∴∠FEC<45∘，
∴△GBE 和 △ECH 不相似，
∴④ 错误．
即正确的有 2 个．
第二部分
13. aa+2a−2
【解析】a3−4a=aa2−4=aa+2a−2．
14. 13
【解析】根据题意画出树状图如下：
一共有 6 种情况，积是正数的有 2 种情况，
所以，P积为正数=26=13．
15. 150
【解析】当 n 为奇数时：通过观察发现每一个图形的每一行有 n+12 个，故共有 3n+12 个；
当 n 为偶数时，中间一行有 n2+1 个，故共有 3n2+1 个．
∴ 当 n=99 时，共有 3×99+12=150 个．
16. −15
【解析】∵△ABC 的内心在 x 轴上，
∴OB 平分 ∠ABC，
∵ 点 B 的坐标是 2,0，点 C 的坐标是 0,−2，
∴OB=OC，
∴△OBC 为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45∘，
∴∠ABC=90∘，
∴AB2+BC2=AC2，
∴−3−22+b2+22+22=−32+b+22，解得 b=5，
∴A 点坐标为 −3,5，
∴k=−3×5=−15．
第三部分
17. 原式=12−1+1−12=0．
18.
32x+3x>9,⋯⋯①4x−34≤96−9x.⋯⋯②
解不等式 ① 得：
x>2.
解不等式 ② 得：
x≤10.
则不等式组的解集为
2故不等式组的非负整数解为 3，4，5，6，7，8，9，10．
19. （1） 调查的总人数是：30÷10%=300（人）．
（2） 凤凰山的人数是：300×20%=60（人），
选择河口的人数所占的比例：99300×100%=33%，
选择市内景区的所占比例：75300×100%=25%．
（3） 72
【解析】“凤凰山”部分的圆心角是：360×20%=72∘．
（4） 估计首选去河口的人数约为：2000×33%=660（人）．
20.
如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则线段 CD 的长即为河的宽度．
∵∠CAB=30∘，∠CBD=60∘，
由题意可得：tan30∘=CDAD，tan60∘=CDDB．
∴CD=33AD，CD=3DB，
∴33AD=330−AD，解得 AD=452．
∴CD=33×452=1532≈13（米）．
答：河的宽度为 13 米．
21. （1） 设甲队单独完成需 x 天，则乙队单独完成需 1.5x 天．
根据题意，得
120x+1201.5x=1.
解得
x=200.
经检验，x=200 是原分式方程的解．
答：甲队单独完成需 200 天，乙队单独完成需 300 天．
（2） 设甲队每天的施工费为 y 元．根据题意，得
200y+200×150×2≤300×10000+300×150×2.
解得
y≤15150.
答：甲队每天施工费最多为 15150 元．
22. （1） ⊙M 的直径为 2．
∵ 点 A3,0 与点 B0,−1，
∴OA=3，OB=1，
∴AB=32+12=2，
∴AB 是 ⊙M 的直径，
∴⊙M 的直径为 2，
∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，即 BD 平分 ∠ABO．
（2） 如图，过点 A 作 AE⊥AB 于 E，交 BD 的延长线于点 E，过 E 作 EF⊥OA 于 F，即 AE 是切线，
∵ 在 Rt△ACB 中，tan∠OAB=OBOA=13=33，
∴∠OAB=30∘，
∵∠ABO=90∘，
∴∠OBA=60∘，
∴∠ABC=∠OBC=12∠ABO=30∘，
∴OC=OB⋅tan30∘=1×33=33，
∴AC=OA−OC=233，
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60∘，
∴∠EAC=60∘，
∴△ACE 是等边三角形，
∴AE=AC=233，
∴AF=12AE=33，EF=32AE=1，
∴OF=OA−AF=233，
∴ 点 E 的坐标为 233,1．
23. （1） 将 A−3,0，C0,3 代入 y=−x2+bx+c，
得 −9−3b+c=0,c=3, 解得 b=−2,c=3.
∴ 抛物线的函数表达式为 y=−x2−2x+3．
（2） 当 y=0 时，−x2−2x+3=0，解得 x1=−3，x2=1，
∴ 点 B 的坐标为 1,0，
∴S△BOC=12×1×3=32．
设点 P 的纵坐标为 m，则 S△AOP=32m，
∵S△AOP=4S△BOC，
∴32m=4×32，
∴m=±4．
当 y=4 时，−x2−2x+3=4，解得 x1=x2=−1，
∴ 点 P 的坐标为 −1,4；
当 y=−4 时，−x2−2x+3=−4，解得 x1=−1−22，x2=−1+22，
∴ 点 P 的坐标为 −1−22,−4 或 −1+22,−4．
综上所述：点 P 的坐标为 −1,4，−1−22,−4 或 −1+22,−4．
（3） 设直线 AC 的函数表达式为 y=kx+ak≠0，
将 A−3,0，C0,3 代入 y=kx+a，
得 −3k+b=0,b=3, 解得 k=1,b=3,
∴ 直线 AC 的函数表达式为 y=x+3．
设点 Q 的坐标为 x,x+3−3则点 D 的坐标为 x,−x2−2x+3，点 E 的坐标为 x,0，
∴DQ=−x2−2x+3−x+3=−x2−3x，QE=x+3．
∵ 直线 AC 将 △ADE 的面积分成 1:2 的两部分，且 △AEQ 和 △ADQ 等高，
∴DQ=2QE 或 2DQ=QE，
∴−x2−3x=2x+3 或 x+3=2−x2−3x，
解得 x1=−3（舍去），x2=−2，x3=−12，
∴ 点 Q 的坐标为 −2,1 或 −12,52．
∴ 存在点 Q−2,1 或 −12,52，使得直线 AC 将 △ADE 的面积分成 1:2 的两部分．