2019年广东省深圳市龙岗区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2019年广东省深圳市龙岗区中考二模数学试卷（期中），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −5 的倒数是
A. −5B. 5C. 15D. −15

2. 据统计，深圳户籍人口约为 3700000 人，将 3700000 用科学记数法表示为
A. 37×105B. 3.7×105C. 3.7×106D. 0.37×107

3. 下列运算正确的是
A. 3a+2a=5a2B. 2a2b−a2b=a2bC. 3a+3b=3abD. a5−a2=a3

4. 下列图案中既是轴对称又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图，a∥b，点 B 在直线 b 上，且 AB⊥BC，∠1=36∘，那么 ∠2=
A. 54∘B. 56∘C. 44∘D. 46∘

6. 在六张卡片上分别写有 13，π，1.5，5，0，2 六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是
A. 16B. 13C. 12D. 56

7. 数据 2，5，6，0，6，1，8 的中位数是
A. 8B. 6C. 5D. 0

8. 某工厂现在平均每天比原计划多生产 40 台机器，现在生产 600 台机器所需的时间与原计划生产 480 台机器所用的时间相同，设原计划每天生产 x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是
A. 600x−40=480xB. 600x+40=480xC. 600x=480x+40D. 600x=480x−40

9. 下列命题中哪一个是假命题
A. 8 的立方根是 2
B. 在函数 y=3x 的图象中，y 随 x 增大而增大
C. 菱形的对角线相等且平分
D. 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等

10. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，以点 B 为圆心，以适当长为半径画弧交 AB，BC 于 P，Q 两点，再分别以点 P，Q 为圆心，大于 12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点 N，射线 BN 交 AC 于点 D．若 AB=10，AC=8，则 CD 的长是
A. 2B. 2.4C. 3D. 4

11. 如图，抛物线 y=ax2−6ax+5aa>0 与 x 轴交于 A，B 两点，顶点为 C 点．以 C 点为圆心，半径为 2 画圆，点 P 在 ⊙C 上，连接 OP，若 OP 的最小值为 3，则 C 点坐标是
A. 522,−522B. 4,−5
C. 3,−5D. 3,−4

12. 如图，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，反比例函数 y=kxk≠0 的图象过 D 点和边 BC 的中点 E，连接 DE，若 △CDE 的面积是 1，则 k 的值是
A. 3B. 4C. 25D. 6

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 因式分解：ab2−2ab+a= ．

14. 如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标是 2,3，则 C 点坐标是 ．

15. 如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30∘，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45∘，已知乙楼的高 CD 是 45 m，则甲楼的高 AB 是 m（结果保留根号）．

16. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC=5，将 △ABC 折叠，使点 B 落在 AC 边上的点 D 处，EF 为折痕，若 BE=3，则 sin∠CFD 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：12−1−2019+π0+4sin60∘−12．

18. 先化简，再求值：x2x−1+41−x÷x+2x−1，其中 x=2．

19. 某校为了开展读书月活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成四类：艺术、文学、科普、其他．随机调查了该校 m 名学生（每名学生必选且只能选择一类图书），并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m= ，n= ，并请根据以上信息补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是 度；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校 900 名学生中有多少学生最喜欢科普类图书．

20. 如图，矩形 ABCD 对角线相交于 O 点，DE∥AC，CE∥BD，连接 BE．
（1）求证：四边形 OCED 是菱形；
（2）若 ∠AOD=120∘，CD=2，求 DE 和 tan∠DBE 的值．

21. 某厂准备生产甲、乙两种商品共 8 万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知 2 件甲种商品与 3 件乙种商品的销售额相同， 3 件甲种商品比 2 件乙种商品的销售额多 1500 元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元?
（2）若甲、乙两种商品的销售总额不低于 5400 万元，则至少销售甲种商品多少万件?

22. 如图 1，⊙O 是 △ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是 ⊙O 外一点且满足 ∠DCA=∠B，连接 AD．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径 AB 的长；
（3）如图 2，当 ∠DAB=45∘ 时，AD 与 ⊙O 交于 E 点，试写出 AC，EC，BC 之间的数量关系并证明．

23. 如图，已知抛物线经 y=ax2+bx−3 过 A1,0，B3,0，C 三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图 1，点 P 是 BC 上方抛物线上一点，作 PQ∥y 轴交 BC 于 Q 点．请问是否存在点 P 使得 △BPQ 为等腰三角形?若存在，请直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图 2，连接 AC，点 D 是线段 AB 上一点，作 DE∥BC 交 AC 于 E 点，连接 BE．若 △BDE∽△CEB，求 D 点坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】−5 的倒数是 −15．
2. C【解析】3700000=3.7×106．
3. B【解析】A．原式=5a，故A错误；
B．原式=a2b，故B正确；
C．3a 与 3b 不是同类项，不能合并，故C错误；
D．a5 与 a2 不是同类项，不能合并，故D错误．
4. C【解析】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
5. A
【解析】∵AB⊥BC，∠1=36∘，
∴∠3=90∘−∠1=54∘．
∵a∥b，
∴∠3=∠2=54∘．
6. B【解析】∵ 六张卡片上分别写有 13，π，1.5，5，0，2 六个数，无理数的是 π，2，
∴ 从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是：13．
7. C【解析】将数据从小到大排列为 0，1，2，5，6，6，8，中位数为 5．
8. B【解析】设原计划平均每天生产 x 台机器，根据题意得，600x+40=480x．
9. C【解析】A．8 的立方根是 2，正确，是真命题；
B．在函数 y=3x 的图象中，y 随 x 增大而增大，正确，是真命题；
C．菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；
D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题．
10. C
【解析】如图，作 DE⊥AB 于 E，
∵AB=10，AC=8，∠C=90∘，
∴BC=6，
由基本尺规作图可知，BD 是 △ABC 的角平分线，
∵∠C=90∘，DE⊥AB，
∴ 可设 DE=DC=x，
∴△ABD 的面积 =12×AB×DE=12×AD×BC，
即 12×10×x=12×8−x×6，
解得 x=3，即 CD=3．
11. D【解析】∵y=ax2−6ax+5aa>0 与 x 轴交于 A，B 两点，
∴A1,0，B5,0，
∵y=ax2−6ax+5a=ax−32−4a，
∴ 顶点 C3,−4a，
当点 O，P，C 三点共线时，OP 取最小值为 3，
∴OC=OP+2=5，
∴9+16a2=5a>0，
∴a=1，
∴C3,−4．
12. B【解析】设 E 的坐标是 m,n，k=mn，
则 C 的坐标是 m,2n，
在 y=mnx 中，令 y=2n，解得：x=m2，
∵S△CDE=1，
∴12∣n∣⋅m−m2=1，即 12n×m2=1，
∴mn=4．
∴k=4．
第二部分
13. ab−12
【解析】原式=ab2−2b+1=ab−12.
14. −3,2
【解析】过点 A 作 AD⊥x轴 于 D，过点 C 作 CE⊥x轴 于 E，如图所示：
∵ 四边形 OABC 是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90∘，
∴∠COE+∠AOD=90∘，
又 ∵∠OAD+∠AOD=90∘，
∴∠OAD=∠COE，
在 △AOD 和 △OCE 中，∠OAD=∠COE,∠ADO=∠OEC=90∘,OA=OC,
∴△AOD≌△OCEAAS，
∴OE=AD=3，CE=OD=2，
∵ 点 C 在第二象限，
∴ 点 C 的坐标为 −3,2．
15. 453
【解析】由题意可得：∠BDA=45∘，则 AB=AD，
又 ∵∠CAD=30∘，
∴ 在 Rt△ADC 中，CD=45 m，tan∠CDA=tan30∘=CDAD=33，
即 45AD=33，解得 AD=453m，
∴AB=453 m．
16. 23
【解析】∵ 在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC=5，
∴∠B=∠C，
∵BE=3，AB=5，
∴AE=2，
∵ 将 △ABC 折叠，使点 B 落在 AC 边上的点 D 处，
∴△BEF≌△DEF，
∴BE=DE=3，∠B=∠EDF=∠C，
∵∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC，
∴∠ADE=∠DFC，
∴sin∠CFD=sin∠ADE=AEDE=23．
第三部分
17. 12−1−2019+π0+4sin60∘−12=2−1+4×32−23=1+23−23=1.
18. 原式=x2x−1−4x−1⋅x−1x+2=x2−4x−1⋅x−1x+2=x−2x+2x−1⋅x−1x+2=x−2.
当 x=2 时，原式=0．
19. （1） 50；30
补全的条形统计图如图所示：
【解析】m=5÷10%=50，n%=15÷50=30%，文学有：50−10−15−5=20．
（2） 72
【解析】由题意可得，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是：360∘×1050=72∘．
（3） 由题意可得，900×1550=270，
即该校 900 名学生中有 270 名学生最喜欢科普类图书．
20. （1） ∵DE∥AC，CE∥BD，
∴ 四边形 OCED 是平行四边形，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴OC=OD，
∴ 四边形 OCED 是菱形．
（2） ∵∠AOD=120∘，
∴∠COD=60∘，
∵ 菱形 OCED，
∴OC=CE=ED=DO，
∴△OCD，△CDE 均为等边三角形，
∴OB=OD=DE=CD=2，
作 EF⊥BD 交 BD 延长线于点 F，
∵∠ODE=60∘+60∘=120∘，
∴∠EDF=60∘，
∴DF=1，EF=3，
∴tan∠DBE=34+1=35．
21. （1） 设甲种商品的销售单价是 x 元，乙种商品的单价为 y 元．
根据题意得：
2x=3y,3x−2y=1500,
解得：
x=900,y=600.
答：甲种商品的销售单价是 900 元，乙种商品的单价为 600 元．
（2） 设销售甲产品 a 万件，则销售乙产品 8−a 万件．
根据题意得：
900a+6008−a≥5400.
解得：
a≥2.
答：至少销售甲产品 2 万件．
22. （1） 如图 1，连接 OC．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵∠DCA=∠B，
∴∠DCA=∠OCB，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90∘，即 ∠DCO=90∘，
∴CD 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．
∴AC=22+42=25，
由（1）可知 ∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90∘，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，即 425=25AB，
∴AB=5．
（3） AC=BC+2EC，
如图 2，连接 BE，在 AC 上截取 AF=BC，连接 EF．
∵AB 是直径，∠DAB=45∘，
∴∠AEB=90∘，
∴△AEB 是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
又 ∵∠EAC=∠EBC，
∴△ECB≌△EFASAS，
∴EF=EC，
∵∠ACE=∠ABE=45∘，
∴△FEC 是等腰直角三角形，
∴FC=2EC，
∴AC=AF+FC=BC+2EC．
23. （1） 将 A1,0，B3,0 代入 y=ax2+bx−3 得：a+b−3=0,9a+3b−3=0,
解得 a=−1,b=4, 抛物线解析式 y=−x2+4x−3．
（2） P11,0，P22,1，P32,42−5．
【解析】存在点 P 使得 △BPQ 为等腰三角形．
∵B3,0，C0,−3，
∴ 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，
∴b=−3,3k+b=0, 解得：k=1，b=−3，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=x−3，
设 Pa,−a2+4a−3，则 Qa,a−3，可分三种情况考虑：
①当 PB=BQ 时，由题意得 P，Q 关于 x 轴对称，
∴−a2+4a−3+a−3=0，解得：a=2，a=3（舍去），
∴P2,1；
②当 PQ=BQ 时，−a2+3a2=2a−32，
∴a=2，a=−2（舍去），a=3（舍去），
∴P2,42−5；
③当 PQ=PB 时，有 −a2+3a2=a−32+a2−4a+32，
整理得：a2=1+a−12，解得 a=1．
∴P1,0．
综合以上可得 P 点坐标为 P11,0，P22,1，P32,42−5．
（3） ∵△BDE∽△CEB，
∴∠ABE=∠ACB，
∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
又 ∵AC=12+32=10，
∴AEAB=ABAC，
∴AE2=210，
∴AE=2105，
∵DE∥BC，设 Dm,0，
∴AEAC=ADAB，
∴210510=m−12，
∴m=95，
∴D95,0．