2020年广东省深圳市龙岗区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2020年广东省深圳市龙岗区中考二模数学试卷（期中），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 截至 2020 年 2 月 14 日，各级财政已安排疫情防控补助资金 901.5 亿元，其中中央财政安排 252.9 亿元，为疫情防控提供了有力保障．其中数据 252.9 亿用科学记数法可表示为
A. 252.9×108B. 2.529×109C. 0.2529×1010D. 2.529×1010

2. −12020 等于
A. 1B. −2020C. 2020D. −1

3. 下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如下表：
金额/元5102050100人数6171485
则他们捐款金额的众数和中位数分别是
A. 100，10B. 10，20C. 17，10D. 17，20

5. 在函数 y=x+5x 中，自变量 x 的取值范围是
A. x>0B. x≥−5
C. x≥−5 且 x≠0D. x≥0 且 x≠0

6. 如图，在一个三角形的纸片 △ABC 中，∠C=90∘，将这个纸片沿直线 DE 剪去一个角后变成一个四边形 ABED，则图中 ∠1+∠2 的度数为
A. 180∘B. 90∘C. 270∘D. 315∘

7. 若锐角 A 满足 csA=32，则 ∠A 的度数是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘

8. 【例 6 】如图，函数 y=kx+bk≠0 与 y=mxm≠0 的图象相交于点 A1,4，B−2,−2 两点，则不等式 kx+b>mx 的解集为
A. x>−2B. −21
C. x>1D. x<−2 或 0
9. 哈尔滨自由贸易区挂牌之后，富力城楼盘的价格连续两个月上涨，从 9000 元/平米涨到 10890 元/平米，则平均每月上涨率为
A. 10%B. 15%C. 20%D. 25%

10. 二次函数 y=3x+42−5 的图象的顶点坐标为
A. 4,5B. −4,5C. 4,−5D. −4,−5

11. 如图，∠ACB=90∘，CD 是 AB 边上的高，若 AD=24，BD=6，则 CD 的长是
A. 8B. 10C. 12D. 14

12. 如图是抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象，其顶点坐标为 1,n，且与 x 轴的一个交点在点 3,0 和 4,0 之间，则下列结论：
① a−b+c>0；
② 3a+b=0；
③ b2=4ac−n；
④一元二次方程 ax2+bx+c=n−1 有两个互异实根．
其中正确结论的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：9y−x2y= ．

14. 已知 a，b 满足方程组 3a+2b=4,2a+3b=6, 则 a+b 的值为 ．

15. 在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所有正确答案的序号）

16. 如图，在 ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB=3，AD=5，∠BAD=60∘，点 C 为弧 BD 的中点，则 AC 的长是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：12−2tan60∘+2014−10−13−1．

18. 先化简：x−xx+1÷1+1x2−1，然后在 −1，0，1，2 四个数中选一个你认为合适的数代入求值．

19. 为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校集合为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学校方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的人数有多少人?
（2）请补全条形图；
（3）请求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数；
（4）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率．

20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F．
（1）求证：四边形 ADCF 是菱形．
（2）若 AC=12，AB=16，求菱形 ADCF 的面积．

21. 某软件开发公司开发了A、B两种软件，每种软件成本均为 1400 元，售价分别为 2000 元、 1800 元，这两种软件每天的销售额共为 112000 元，总利润为 28000 元．
（1）该店每天销售这两种软件共多少个?
（2）根据市场行情，公司拟对A种软件降价销售，同时提高B种软件价格．此时发现，A种软件每降 50 元可多卖 1 件，B种软件每提高 50 元就少卖 1 件．如果这两种软件每天销售总件数不变，那么这两种软件一天的总利润最多是多少?

22. 如图，已知 AB，CD 为 ⊙O 的直径，过点 A 作弦 AE 垂直于直径 CD 于 F，点 B 恰好为 DE 的中点，连接 BC，BE．
（1）求证：AE=BC；
（2）若 AE=23，求 ⊙O 的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

23. 我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；
②在凸四边形 ABCD 中，AB=AD 且 CB≠CD，则该四边形 “十字形”（填“是”或“不是”）．
（2）如图 1，A，B，C，D 是半径为 1 的 ⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与 BD 交于点 E，∠ADB−∠CDB=∠ABD−∠CBD，当 6≤AC2+BD2≤7 时，求 OE 的取值范围；
（3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a>0，c<0）与 x 轴交于 A，C 两点（点 A 在点 C 的左侧），B 是抛物线与 y 轴的交点，点 D 的坐标为 0,−ac，记“十字形”ABCD 的面积为 S，记 △AOB，△COD，△AOD，△BOC 的面积分别为 S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；
① S=S1+S2；
② S=S3+S4；
③“十字形”ABCD 的周长为 1210．
答案
第一部分
1. D【解析】252.9 亿 =25290000000=2.529×1010．
2. A【解析】−12020=1．
3. C【解析】A、不是轴对称图形，故A错误；
B、不是轴对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，故C正确；
D、不是轴对称图形，故D错误．
4. B【解析】捐款金额的众数为 10，中位数 =20+202=20．
5. C
【解析】根据题意得：x+5≥0,x≠0,
解得：x≥−5 且 x≠0．
6. C【解析】∵∠C=90∘，
∴∠A+∠B=90∘，
∵∠1+∠A+∠B+∠2=360∘，
∴∠1+∠2=360∘−90∘=270∘．
7. A【解析】∵csA=32，
∴∠A=30∘．
8. B【解析】不等式 kx+b>mx 的解集为 −21．
故选：B．
9. A【解析】设平均每月上涨率为 x，
依题意，得：90001+x2=10890，
解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1（不合题意，舍去）．
10. D
【解析】∵ 二次函数 y=3x+42−5，
∴ 该函数图象的顶点坐标为 −4,−5．
11. C【解析】∵CD 是斜边 AB 边上的高，
∴CD2=AD⋅BD=24×6=144，
∴CD=12．
12. C【解析】∵ 抛物线与 x 轴的一个交点在点 3,0 和 4,0 之间，而抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点在点 −2,0 和 −1,0 之间．
∴ 当 x=−1 时，y>0，即 a−b+c>0，
∴ ①正确；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1，即 b=−2a，
∴3a+b=3a−2a=a，
∴ ②错误；
∵ 抛物线的顶点坐标为 1,n，
∴4ac−b24a=n，
∴b2=4ac−4an=4ac−n，
∴ ③正确；
∵ 抛物线与直线 y=n 有一个公共点，
∴ 抛物线与直线 y=n−1 有 2 个公共点，
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=n−1 有两个不相等的实数根，
∴ ④正确．
第二部分
13. y3+x3−x
【解析】9y−x2y=y9−x2=y3−x3+x．
14. 2
【解析】∵a，b 满足方程组 3a+2b=4,2a+3b=6,
∴5a+5b=10，则 a+b=2．
15. ①②
【解析】长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，
圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
故答案为：①②．
16. 833
【解析】解法一、
∵A，B，C，D 四点共圆，∠BAD=60∘，
∴∠BCD=180∘−60∘=120∘，
∵∠BAD=60∘，AC 平分 ∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30∘，
如图 1，
将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转 120∘ 得 △CBE，
则 ∠E=∠CAD=30∘，BE=AD=5，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=180∘−∠CAB+∠ACB+180∘−∠E−∠BCE=180∘，
∴A，B，E 三点共线，
过 C 作 CM⊥AE 于 M，
∵AC=CE，
∴AM=EM=12×5+3=4，
在 Rt△AMC 中，AC=AMcs30∘=432=833；
解法二、
过 C 作 CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F，
则 ∠E=∠CFD=∠CFA=90∘，
∵ 点 C 为弧 BD 的中点，
∴BC=CD，
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵A，B，C，D 四点共圆，
∴∠D=∠CBE，
在 △CBE 和 △CDF 中，∠CBE=∠D,∠E=∠CFD,CE=CF,
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF，
在 △AEC 和 △AFC 中，∠E=∠AFC,∠EAC=∠FAC,AC=AC,
∴△AEC≌△AFC，
∴AE=AF，
设 BE=DF=x，
∵AB=3，AD=5，
∴AE=AF=x+3，
∴5=x+3+x，
解得：x=1，
即 AE=4，
∴AC=AEcs30∘=833，
故答案为：833．
第三部分
17. 原式=23−23+1−3=−2.
18. 原式=xx+1−xx+1÷x2−1+1x2−1=x2x+1⋅x+1x−1x2=x−1.
∵x≠0,−1,1，
∴ 取 x=2，原式=1．
19. （1） 本次调查的人数有 25÷25%=100（人）．
（2） 在线答题的人数有：100−25−40−15=20（人），补图如下：
（3） “在线答疑”在扇形图中的圆心角度数是 360∘×20100=72∘．
（4） 记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为A，B，C，D，则可画树状图如下：
共有 16 种等情况数，其中小宁和小娟选择同一种学习方式的有 4 种，则小宁和小娟选择同一种学习方式的概率是 416=14．
20. （1） ∵E 是 AD 的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在 △AEF 和 △DEB 中，
∵∠AFE=∠DBE,∠AEF=∠DEB,AE=DE,
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形，
∵∠BAC=90∘，D 是 BC 的中点，
∴AD=CD=12BC，
∴ 四边形 ADCF 是菱形．
（2） 设 AF 到 CD 的距离为 h，
∵AF∥BC，AF=BD=CD，∠BAC=90∘，
∴S菱形ADCF=CD⋅h=12BC⋅h=S△ABC=12AB⋅AC=12×12×16=96．
21. （1） 设每天销售A种软件 x 个，B种软件 y 个．
由题意得：
2000x+1800y=112000,2000−1400x+1800−1400y=28000.
解得：
x=20,y=40.20+40=60
．
∴ 该公司每天销售这两种软件共 60 个．
（2） 设这两种软件一天的总利润为 W，A种软件每天多销售 m 个，则B种软件每天少销售 m 个．
W=2000−1400−50m20+m+1800−1400+50m40−m=−100m−62+316000≤m≤12.
当 m=6 时，W 的值最大，且最大值为 31600．
∴ 这两种软件一天的总利润最多为 31600 元．
22. （1） 连接 BD，
∵AB，CD 为 ⊙O 的直径，
∴∠CBD=∠AEB=90∘，
∵ 点 B 恰好为 DE 的中点，
∴BD=EB，
∴∠A=∠C，
∵∠ABE=90∘−∠A，∠CDB=90∘−∠C，
∴∠ABE=∠CDB，
∴AE=BC，
∴AE=BC．
（2） ∵ 过点 A 作弦 AE 垂直于直径 CD 于 F，
∴AC=EC，
∵AE=BC，
∴AC=BE=12AE，
∴∠A=12∠ABE，
∴∠A=30∘，
在 Rt△ABE 中，cs∠A=AEAB，
∴AB=AEcs30∘=2332=4，
∴⊙O 的半径为 2．
（3） 连接 OE，
∵∠A=30∘，
∴∠EOB=60∘，
∴△EOB 是等边三角形，
∵OB=OE=2，
∴S△EOB=12×2×2×32=3，
∴S阴=S扇形−S△EOB=60π×22360−3=2π3−3．
23. （1） 菱形，正方形；不是
【解析】① ∵ 菱形，正方形的对角线互相垂直，
∴ 菱形，正方形是：“十字形”，
∵ 平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，
∴ 平行四边形，矩形不是“十字形”．
②如图．
当 CB=CD 时，在 △ABC 和 △ADC 中，
AB=AD,CB=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADCSSS，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴AC⊥BD，
∴ 当 CB≠CD 时，四边形 ABCD 不是“十字形”．
（2） ∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CDB=∠CAB，∠CBD=∠CAD，
∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，
∴180∘−∠AED=180∘−∠AEB，
∴∠AED=∠AEB=90∘，
∴AC⊥BD，
如图 1，过点 O 作 OM⊥AC 于 M，ON⊥BD 于 N，连接 OA，OD，
∴OA=OD=1，OM2=OA2−AM2，ON2=OD2−DN2，
AM=12AC，DN=12BD，四边形 OMEN 是矩形，
∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，
∴OE2=OM2+ON2=2−14AC2+BD2，
∵6≤AC2+BD2≤7，
∴2−74≤OE2≤2−32，
∴14≤OE2≤12，
∴12≤OE≤22OE>0．
（3） 由题意得，A−b−Δ2a,0，B0,c，C−b+Δ2a,0，D0,−ac，
∵a>0，c<0，
∴OA=Δ+b2a，OB=−c，OC=Δ−b2a，OD=−ac，AC=Δa，BD=−ac−c，
∴S=12AC⋅BD=−12ac+c×Δa，S1=12OA⋅OB=−cΔ+b4a，S2=12OC⋅OD=−cΔ−b4，
S3=12OA×OD=−cΔ+b4，S4=12OB×OC=−cΔ−b4a，
∵S=S1+S2，S=S3+S4，
∴−cΔ+b4a+−cΔ−b2=−cΔ+b2+−cΔ−b4a，
∴4a=2，
∴a=1，
∴S=−cΔ，S1=−cΔ+b4，S2=−cΔ−b4，
∵S=S1+S2，
∴S=S1+S2+2S1S2，
∴−cΔ=−cΔ2+2c2⋅−4c16，
∴−cΔ2=−c⋅−c，
∴b2−4c=−4c，
∴b=0，
∴A−−c,0，B0,c，C−c,0，D0,−c，
∴ 四边形 ABCD 是菱形，
∴4AD=1210，
∴AD=310，即：AD2=90，
∵AD2=c2−c，
∴c2−c=90，
∴c=−9 或 c=10（舍），即：y=x2−9．