2020年广东省深圳市罗湖区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省深圳市罗湖区中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −37 的相反数是
A. −73B. 37C. 73D. −37

2. 下列智能手机的功能图标中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 为了落实《深圳市应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情支持企业共渡难关的若干举措》（深圳 16 条），深圳财政出台多项补贴政策．据统计，深圳 16 条为企业直接减负超 600 亿元，数字 600 亿用科学记数法表示为
A. 60×109B. 6×1010C. 6×1011D. 0.6×1011

4. 下列运算正确的是
A. a2+a3=a5B. a32=a5C. a+b=abD. ab2=a2b2

5. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如表所示：
成绩人数232341
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为
A. 1.65，1.70B. 1.65，1.75C. 1.70，1.75D. 1.70，1.70

6. 班长去文具店买毕业留言卡 50 张，每张标价 2 元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付
A. 45 元B. 90 元C. 10 元D. 100 元

7. 若单项式 am−1b2 与 12a2bn 的和仍是单项式，则 2m−n 的值是
A. 3B. 4C. 6D. 8

8. 如图，AB∥CD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 E，F 两点，再分别以 E，F 为圆心，大于 12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点 P，连接 AP，交 CD 于点 M，若 ∠ACD=110∘，则 ∠CMA 度数为
A. 30∘B. 35∘C. 70∘D. 45∘

9. 对平面上任意一点 a,b，定义 f，g 两种变换：fa,b=−a,b，如 f1,2=−1,2；ga,b=b,a，如 g1,2=2,1，据此得 gf5,−9=
A. 5,−9B. −5,−9C. −9,−5D. −9,5

10. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A3,0，二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是
A. b2<4acB. ac>0C. 2a−b=0D. a−b+c=0

11. 如图，已知 ⊙O 的半径是 2，点 A，B，C 在 ⊙O 上，若四边形 OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为
A. 23π−23B. 23π−3C. 43π−23D. 43π−3

12. 如图，在矩形 ABCD 中，∠ADC 的平分线与 AB 交于 E，点 F 在 DE 的延长线上，∠BFE=90∘，连接 AF，CF，CF 与 AB 交于 G．有以下结论：
① AE=BC；
② AF=CF；
③ BF2=FG⋅FC；
④ EG⋅AE=BG⋅AB．
其中正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 因式分解：x2y−9y= ．

14. 一个不透明的口袋中有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5，随机提取一个小球，则取出的小球标号是奇数的概率是 ．

15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=10，AD=6，AC⊥BC，则 BD= ．

16. 如图，平行于 x 轴的直线与函数 y=kxk>0,x>0 和 y=3xx>0 的图象分别相交于 B，A 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若 △ABC 的面积为 1，则 k 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：3−8+12−1−−5+2sin45∘．

18. 先化简，再求值：2aa2−4−1a−2÷aa2+4a+4，其中 a=−3．

19. 垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．深圳市环境卫生局为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：
根据图表解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，产生的有害垃圾C所对应的圆心角为 度；
（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占 13%，每回收 1 吨塑料类垃圾可获得 0.5 吨二级原料．假设深圳市每天产生的生活垃圾为 28500 吨，且全部分类处理，那么每天回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料?

20. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 78 m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处的俯角为 48∘，测得底部 C 处的俯角为 58∘，求甲、乙建筑物的高度 AB 和 DC（结果取整数）．
参考数据：tan48∘≈1.11，tan58∘≈1.60．

21. 东东玩具商店用 500 元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用 900 元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的 1.5 倍，但每套进价多了 5 元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后利润率不低于 25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元?

22. 如图，已知抛物线 y=ax+2x−4（a 为常数，且 a>0）与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y=−33x+433 抛物线的另一交点为 D，且点 D 的横坐标为 −5．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）该二次函数图象上有一点 Px,y，使得 S△BCD=S△ABP，求点 P 的坐标；
（3）设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，求 2AF+DF 的最小值．

23. 如图，点 P 在 y 轴的正半轴上，⊙P 交 x 轴于 B，C 两点，交 y 轴于点 A，以 AC 为直角边作等腰 Rt△ACD，连接 BD 分别交 y 轴和 AC 于 E，F 两点，连接 AB．
（1）求证：AB=AD；
（2）若 BF=4，DF=6，求线段 CD 的长；
（3）当 ⊙P 的大小发生变化而其他条件不变时，DEAO 的值是否发生变化?若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】−37 的相反数是 37．
2. A【解析】A．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不符合题意．
3. B【解析】600 亿 =60000000000=6×1010．
4. D【解析】A．a2 和 a3 不能合并，故原题计算错误；
B．a32=a6，故原题计算错误；
C．a 和 b 不能合并，故原题计算错误；
D．ab2=a2b2，故原题计算正确．
5. C
【解析】将数据从小到大排列为：1.50，150，1.60，1.60，160，1.65，1.65，1.70，1.70，1.70，1.75，1.75，1.75，1.75，1.80．众数为：1.75；中位数为：1.70．
6. B【解析】班长应付款为：2×0.9×50=90（元）．
7. B【解析】∵ 单项式 am−1b2 与 12a2bn 的和仍是单项式，
∴m−1=2，n=2，解得：m=3，n=2，
∴2m−n=2×3−2=4．
8. B【解析】由作法得 AM 平分 ∠BAC．
∴∠BAM=∠CAM．
∵AB∥CD，
∴∠BAC=180∘−∠ACD=180∘−110∘=70∘．
∴∠BAM=12∠BAC=35∘．
∵AB∥CD，
∴∠CMA=∠BAM=35∘．
9. C【解析】由题意得，f5,−9=−5,−9，
所以 gf5,−9=g−5,−9=−9,−5．
10. D
【解析】∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即 b2>4ac，
∴ A选项错误；
∵ 抛物线开口向上，
∴a>0，
∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，
∴c<0，
∴ac<0，
∴ B选项错误；
∵ 二次函数图象的对称轴是直线 x=1，
∴−b2a=1，
∴2a+b=0，
∴ C选项错误；
∵ 抛物线过点 A3,0，二次函数图象的对称轴是 x=1，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为 −1,0，
∴a−b+c=0，
∴ D选项正确．
11. C【解析】连接 OB 和 AC 交于点 D，如图所示：
∵ 圆的半径为 2，
∴OB=OA=OC=2，
又四边形 OABC 是菱形，
∴OB⊥AC，OD=12OB=1，
在 Rt△COD 中，利用勾股定理可知：CD=22−12=3，AC=2CD=23，
∵sin∠COD=CDOC=32，
∴∠COD=60∘，∠AOC=2∠COD=120∘，
∴S菱形ABCO=12OB×AC=12×2×23=23，
S扇形AOC=120×π×22360=43π，
则图中阴影部分面积为 S扇形AOC−S菱形ABCO=43π−23．
12. C【解析】① DE 平分 ∠ADC，∠ADC 为直角，
∴∠ADE=12×90∘=45∘，
∴△ADE 为等腰直角三角形，
∴AD=AE，
又 ∵ 四边形 ABCD 矩形，
∴AD=BC，
∴AE=BC；
② ∵∠BFE=90∘，∠BFE=∠AED=45∘，
∴△BFE 为等腰直角三角形，
∴ 则有 EF=BF，
又 ∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135∘，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135∘，
∴∠AEF=∠CBF，
在 △AEF 和 △CBF 中，
AE=BC,∠AEF=∠CBF,EF=BF,
∴△AEF≌△CBFSAS，
∴AF=CF；
③假设 BF2=FG⋅FC，则 △FBG∽△FCB，
∴∠FBG=∠FCB=45∘，
∵∠ACF=45∘，
∴∠ACB=90∘，显然不可能，故③错误，
④ ∵∠BGF=180∘−∠CGB，∠DAF=90∘+∠EAF=90∘+90∘−∠AGF=180∘−∠AGF，∠AGF=∠BGC，
∴∠DAF=∠BGF，
∵∠ADF=∠FBG=45∘，
∴△ADF∽△GBF，
∴ADBG=DFBF=DFEF，
∵EG∥CD，
∴EFDF=EGCD=EGAB，
∴ADBG=ABGE，
∵AD=AE，
∴EG⋅AE=BG⋅AB，故④正确．
第二部分
13. yx+3x−3
【解析】x2y−9y=yx2−9=yx+3x−3.
14. 35
【解析】根据概率的意义，在这 5 个标号中是奇数的有 3 个，分别为：1，3，5．
∴ 取出的小球标号是奇数的概率是 35．
15. 413
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=6，OB=OD，OA=OC．
∵AC⊥BC，
∴AC=AB2−BC2=8．
∴OC=4．
∴OB=OC2+BC2=213．
∴BD=2OB=413．
16. 1
【解析】设点 A 的坐标为 3a,a，点 B 的坐标为 ka,a，
∵△ABC 的面积为 1，
∴12×3a−ka×a=1，
解得，k=1．
第三部分
17. 原式=−2+2−5+2×22=−2+2−5+1=−4.
18. 2aa2−4−1a−2÷aa2+4a+4=2a−a+2a+2a−2⋅a+22a=2a−a−2a−2⋅a+2a=a−2a−2⋅a+2a=a+2a.
当 a=−3 时，
原式=−3+2−3=13.
19. （1） 本次调查的吨数为：5÷10%=50，B类有 50×30%=15（吨），
补全的条形统计图如图所示：
（2） 21.6
【解析】在扇形统计图中，产生的有害垃圾C所对应的圆心角为：360∘×1−54%−30%−10%=21.6∘．
（3） 28500×54%×13%×0.5=1000.35（吨），
答：每天回收的塑料类垃圾可以获得 1000.35 吨二级原料．
20. 如图，过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E．
则 ∠AED=∠BED=90∘．
由题意可知，BC=78，∠ADE=48∘，∠ACB=58∘，∠ABC=90∘，∠DCB=90∘．
可得四边形 BCDE 为矩形．
∴ED=BC=78，DC=EB．
在 Rt△ABC 中，tan∠ACB=ABBC，
∴AB=BC⋅tan58∘≈78×1.60≈125．
在 Rt△AED 中，tan∠ADE=AEED，
∴AE=ED⋅tan48∘．
∴EB=AB−AE=BC⋅tan58∘≈78×1.60−78×1.11≈38．
∴DC=EB≈38．
答：甲建筑物的高度 AB 约为 125 m，乙建筑物的高度 DC 约为 38 m．
21. （1） 设第一批悠悠球每套的进价是 x 元，
则第二批悠悠球每套的进价是 x+5 元，
根据题意得：
900x+5=1.5×500x.
解得：
x=25.
经检验，x=25 是原分式方程的解，并且满足题意．
答：第一批悠悠球每套的进价是 25 元．
（2） 设每套悠悠球的售价为 y 元，
根据题意得：
500÷25×1+1.5y−500−900≥500+900×25%.
解得：
y≥35.
答：每套悠悠球的售价至少是 35 元．
22. （1） 抛物线 y=ax+2x−4，令 y=0，解得 x=−2 或 x=4．
∴A−2,0，B4,0．
∵ 直线 y=−33x+433，
当 x=−5 时，y=33，
∴D−5,33，
∵ 点 D−5,3 在抛物线 y=ax+2x−4 上，
∴a−5+2−5−4=33，
∴a=39．
∴ 抛物线的函数表达式为 y=39x2−239x−839．
（2） 如图 1 中，设直线 BD 交 y 轴于 J，则 J0,433，连接 CD，BC．
∵S△BDC=12×2039×9=103，
∴S△PAB=103．
∴12×6×yP=103，yP=±1033．
当 y=1033 时，1033=39x2−239x−839，解得 x=1±39．
∴P1+39,1033或1−39,1033；
当 −1033=39x2−239x−839，方程无解．
∴ 满足条件的点 P 的坐标为 1+39,1033 或 1−39,1033．
（3） 如图 2 中，过点 D 作 DM 平行于 x 轴，作 FH⊥DM 于 H．
∵D−5,33，B4,0，
∴tan∠DBA=339=33．
∴∠DBA=30∘．
∴∠BDM=∠DBA=30∘，过 F 作 FJ⊥DM 于 J，
则有 sin30∘=HFDF=12，
∴HF=12DF，
∴2AF+DF=2AF+12DF=2AF+HF．
当 A，F，H 三点共线时，即 AH⊥DM 时，
2AF+DF=2AF+HF 取最小值 2×33=63．
23. （1） ∵OA⊥BC，且 OA 过圆心点 P，
∴OB=OC，
在 △AOB 和 △AOC 中，OA=OB,∠AOB=∠AOC,OA=OA,
∴△AOB≌△AOCSAS，
∴AB=AC，
∵ 以 AC 为直角边作等腰 Rt△ACD，
∴AD=AC，
∴AB=AD．
（2） 如图 1，过点 A 作 AM⊥BD 于 M，
由（1）知，AB=AD，
∴DM=12BD，
∵BF=4，DF=6，
∴BD=10，
∴DM=5，
∵∠AMD=90∘=∠DAF，∠ADM=∠FDA，
∴△ADM∽△FDA，
∴ADDF=DMAD，
∴AD6=5AD，
∴AD=30，
在等腰直角三角形 ADC 中，CD=2AD=215．
（3） DEAO 的值是不发生变化，
理由：如图 2，过点 D 作 DH⊥y轴 于 H，作 DQ⊥x轴 于 Q，
∴∠AHD=90∘=∠COA，
∴∠ADH+∠DAH=90∘，
∵∠CAD=90∘，
∴∠CAO+∠DAH=90∘，
∴∠ADH=∠CAO，
∵AD=AC，
∴△ADH≌△ACOAAS，
∴DH=AO，AH=OC，
∵∠OHD=∠QOH=∠OQD=90∘，
∴ 四边形 OQDH 是矩形，DH=OQ，DQ=OH，
又 ∵HO=AH+AO=OC+DH=OB+DH=OB+OQ=BQ，
∴DQ=BQ，
∴△DBQ 为等腰直角三角形，
∴∠DBQ=45∘，
∴∠DEH=∠BEO=45∘，
∴sin∠DEH=DHDE，
∴DHDE=22，
∴DEDH=2，
∴DEAO=2．