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2020-2021学年河北省承德市宽城县八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年河北省承德市宽城县八年级（下）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河北省承德市宽城县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）点（﹣4，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）某同学要统计本班最受学生欢迎的社团活动，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的社团活动
②制作问卷调查表，实施全班同学问卷调查
③绘制扇形图来表示各个社团所占的百分比
④整理问卷调查表并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→①
3．（3分）小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
4．（3分）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（3分）已知正比例函数y＝（k+5）x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞5 B．k＜5 C．k＞﹣5 D．k＜﹣5
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点B的坐标是（ ）
A．（0，5） B．（0，6） C．（0，7） D．（0，8）
7．（3分）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（ ）
A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF
8．（3分）若点A（3.5，y1），B（1.3，y2）都在直线y＝3x﹣1上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．无法比较大小
9．（3分）如图所示图象中，函数y＝ax+a的图象可能是下列图象中的（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．菱形是轴对称图形不是中心对称图形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
11．（2分）海平面上，有一个灯塔，测得海岛A在灯塔北偏东30°方向上，同时测得海岛B在灯塔北偏东60°的方向上，则灯塔的位置可以是（ ）
A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
12．（2分）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（ ）
A．y＝﹣0.5x+20（ 0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20）
C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）
13．（2分）如图，直线y＝kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3≥0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
14．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2分）如图，平行四边形ABCD的周长是52cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多6cm，则AE的长度为（ ）
A．8cm B．5cm C．4cm D．3cm
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，） C．（0，﹣） D．（﹣1，1）
二、填空题（本大题共3个小题；17-18题每空3分，19题每空2分，本题共12分）
17．（3分）点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，BE交AD于点E且平分∠ABC，对角线BD平分∠EBC，则的值为 ．
19．（6分）如图①，在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形对称中心重合．
（1）当正方形和矩形都水平放置时，重叠部分面积为 ．
（2）当正方形不动，矩形绕着对称中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠部分面积的大小 ．（选择填写“不变”或“改变”）
（3）甲、乙两位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式：
甲：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行；
乙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线；
在甲、乙两位同学给出的重叠方式中重叠部分面积小的是 ．（选择填写“甲”或“乙”）
三、解答题（本大题共7个小题；共66分）
20．（8分）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．
例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：
（1）x☆＞4，求x取值范围；
（2）若|x☆（﹣）|＝3，求x的值；
（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．
21．（8分）阅读材料：设a＞0，b＞0．∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+≥0，
即a+（当＝，即a＝时，取“＝”）．
由此可得结论：若a＞0，b＞0，则当a＝时，a+有最小值2．
理解概念：（1）若x＞0，则x＝ 时，函数x+有最小值为 ．
拓展应用：（2）若x＞1，则代数式x+的最小值为 ，此时x＝ ；
解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD靠墙（如图，墙足够长），面积为8m2，求至少需要多少米的篱笆？
22．（8分）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著”你读完了几部的问题在全校900名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查的学生 名；
（2）求扇形统计图中1部所在扇形的圆心角的度数；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）试估算全校大约有多少学生读完了3部以上（含3部）名著．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
24．（10分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示．
（1）根据图象，求出y1、y2关于x的函数关系式；
（2）设两车之间的距离为S千米．
①求两车相遇前S关于x的函数关系式；
②求出租车到达甲地后S关于x的函数关系式．
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，A加油站在甲地与B加油站之间，若两车相遇后，客车进入B加油站时，出租车恰好进入A加油站，求此时两车的行驶时间x的值和A加油站到甲地的距离．
25．（10分）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；
①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．
②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，若点D是线段OA上的点，且△COD的面积为，求直线CD的函数表达式；
（3）在直线OA上，是否存在一点E，使得△EOB是以OB为底边的等腰三角形？如果存在，直接写出所有符合条件的点E的坐标，如果不存在，请说明理由．
（4）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点F，使得以O，A，B，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
2020-2021学年河北省承德市宽城县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）点（﹣4，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答．
【解答】解：点（﹣4，2）所在的象限是第二象限．
故选：B．
2．（3分）某同学要统计本班最受学生欢迎的社团活动，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的社团活动
②制作问卷调查表，实施全班同学问卷调查
③绘制扇形图来表示各个社团所占的百分比
④整理问卷调查表并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→①
【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
正确统计步骤的顺序是：②制作问卷调查表，实施全班同学问卷调查→④整理问卷调查表并绘制频数分布表→③绘绘制扇形图来表示各个社团所占的百分比
→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的社团活动，
故选：D．
3．（3分）小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：D．
4．（3分）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【解答】解：360°÷36°＝10，
则这个正多边形的边数是10．
故选：B．
5．（3分）已知正比例函数y＝（k+5）x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞5 B．k＜5 C．k＞﹣5 D．k＜﹣5
【分析】根据正比例函数图象的特点可直接解答．
【解答】解：∵正比例函数y＝（k+5）x中若y随x的增大而减小，
∴k+5＜0．
∴k＜﹣5，
故选：D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点B的坐标是（ ）
A．（0，5） B．（0，6） C．（0，7） D．（0，8）
【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】解：∵A（12，13），
∴OD＝12，AD＝13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AD＝13，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝5，
∴OB＝13﹣5＝8．
∴B（0，8）．
故选：D．
7．（3分）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（ ）
A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF
【分析】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，
∴EH＝AD，EH∥AD，
∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，
∴GF为△ADC的中位线，
∴GF＝AD，GF∥AD，
∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D选项不符合题意．
故选：A．
8．（3分）若点A（3.5，y1），B（1.3，y2）都在直线y＝3x﹣1上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．无法比较大小
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据3.5＞1.3即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣1中，k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵3.5＞1.3，
∴y1＞y2．
故选：C．
9．（3分）如图所示图象中，函数y＝ax+a的图象可能是下列图象中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，分别讨论a＞0和a＜0两种情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意．
【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax+a的图象经过第一、二、三象限，
当a＜0时，函数y＝ax+a的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
10．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．菱形是轴对称图形不是中心对称图形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
【分析】依据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质以及正方形的判定，即可得出结论．
【解答】解：A．一组对边平行、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误；
B．四个角都相等的四边形是矩形，故本选项正确；
C．菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
D．对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，故本选项错误；
故选：B．
11．（2分）海平面上，有一个灯塔，测得海岛A在灯塔北偏东30°方向上，同时测得海岛B在灯塔北偏东60°的方向上，则灯塔的位置可以是（ ）
A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
【分析】根据方向角的定义解答可得，也可作出以A为基准的南偏西30°、以点B为基准的南偏西60°方向的交点即为灯塔所在位置．
【解答】解：由题意知，若海岛A在灯塔北偏东30°方向上、海岛B在灯塔北偏东60°的方向上，
如图所示，灯塔的位置可以是点O1，
故选：A．
12．（2分）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（ ）
A．y＝﹣0.5x+20（ 0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20）
C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）
【分析】根据等腰三角形的周长＝2y+x可得出y与x的关系，再根据三角形的三边关系可确定x的范围．
【解答】解：根据三角形周长等于三边之和可得：2y＝40﹣x
∴y＝20﹣0.5x，
又∵x为底边，
∴x＜2y，x＞y﹣y，
∴0＜x＜20．
故选：A．
13．（2分）如图，直线y＝kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3≥0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】写出函数图象在x轴上方及x轴上所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x≤2时，y≥0．
所以关于x的不等式kx+3≥0的解集是x≤2．
故选：D．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【解答】解：由题意当0≤x≤4时，
y＝×AD×AB＝×3×4＝6，
当4＜x＜7时，
y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．
故选：D．
15．（2分）如图，平行四边形ABCD的周长是52cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多6cm，则AE的长度为（ ）
A．8cm B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】由▱ABCD的周长为52cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多6cm，可得AB+AD＝26cm，AD﹣AB＝6cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为52cm，
∴AB+AD＝26cm，OB＝OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多6cm，
∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝6cm，
∴AB＝10cm，AD＝16cm．
∴BC＝AD＝16cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE＝BC＝8cm；
故选：A．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，） C．（0，﹣） D．（﹣1，1）
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），…，
发现是8次一循环，所以2021÷8＝252…5，
∴点B2021的坐标为（0，﹣）．
故选：C．
二、填空题（本大题共3个小题；17-18题每空3分，19题每空2分，本题共12分）
17．（3分）点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 （3，5） ．
【分析】根据两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行解答．
【解答】解：∵根据两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（3，5）．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，BE交AD于点E且平分∠ABC，对角线BD平分∠EBC，则的值为 ．
【分析】先证明△ABE是等腰直角三角形，再证明BE＝DE可得结论．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB＝45°，
∴AB：AE：BE＝1：1：，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠DBC＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠EDB＝∠EBD＝22.5°，
∴BE＝DE，
∴，
故答案为：．
19．（6分）如图①，在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形对称中心重合．
（1）当正方形和矩形都水平放置时，重叠部分面积为 2 ．
（2）当正方形不动，矩形绕着对称中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠部分面积的大小 改变 ．（选择填写“不变”或“改变”）
（3）甲、乙两位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式：
甲：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行；
乙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线；
在甲、乙两位同学给出的重叠方式中重叠部分面积小的是 乙 ．（选择填写“甲”或“乙”）
【分析】（1）根据长方形的面积公式求解即可．
（2）重叠部分是平行四边形，高不变，底变大，由此可得结论．
（3）分别求出图④，图⑤中，重叠部分的面积，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，重叠部分的面积＝1×2＝2，
故答案为：2．
（2）从图②到图③的过程中，重叠部分面积的从小变大，
故答案为：改变．
（3）图④中，重叠部分的面积＝2×2﹣2××（2﹣）×（2﹣）＝4﹣5，
图⑤中，重叠部分面积＝×4﹣×（2﹣）×（2﹣）＝2﹣1，
∵2﹣1＜4﹣5，
∴图④中，重叠部分的面积小，
故答案为：乙．
三、解答题（本大题共7个小题；共66分）
20．（8分）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．
例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：
（1）x☆＞4，求x取值范围；
（2）若|x☆（﹣）|＝3，求x的值；
（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．
【分析】（1）根据已知公式得出x﹣＞4，解之可得答案；
（2）根据公式得出|﹣x+|＝3，即可得出﹣x+＝3或﹣x+＝﹣3，解之可得答案；
（3）根据公式得到□x2﹣3•□x＝6，把x＝1代入得到□﹣3□＝6，即可求得□＝﹣3．
【解答】解：（1）∵x☆＞4，
∴x﹣＞4，
解得：x＞11；
（2）∵|x☆（﹣）|＝3，
∴|﹣x+|＝3，
∴﹣x+＝3或﹣x+＝﹣3，
解得：x＝﹣9或x＝15；
（3）∵方程x☆□x＝6，
∴□x2﹣3•□x＝6，
∵方程的一个解为x＝1，
∴□﹣3□＝6，
∴□＝﹣3．
21．（8分）阅读材料：设a＞0，b＞0．∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+≥0，
即a+（当＝，即a＝时，取“＝”）．
由此可得结论：若a＞0，b＞0，则当a＝时，a+有最小值2．
理解概念：（1）若x＞0，则x＝ 1 时，函数x+有最小值为 2 ．
拓展应用：（2）若x＞1，则代数式x+的最小值为 5 ，此时x＝ 3 ；
解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD靠墙（如图，墙足够长），面积为8m2，求至少需要多少米的篱笆？
【分析】（1）根据材料可得x+≥2，当＝，即x＝1时，函数x+有最小值为2；
（2）同理得：（﹣）2≥0，变形后可得结论：x＝3时，代数式x+的最小值为5；
（3）设AB＝xm，根据长方形的周长列式，根据材料进行变形，列不等式可得结论．
【解答】解：（1）∵x＞0，
∴（﹣）2≥0，
∴x﹣2+≥0，
即x+≥2，当＝，即x＝1时，函数x+有最小值为2；
故答案为：1，2；
（2）∵x＞1，
∴（﹣）2≥0，
∴x﹣1﹣4+≥0，
即x+≥5，当＝，即x＝3时，代数式x+的最小值为5；
故答案为：5，3；
（3）设AB＝xm，则CD＝xm，BC＝m．
则篱笆长度为：2x+≥2＝8，
当且仅当x＝2时，2x+有最小值是8．
答：至少需要8m的篱笆．
22．（8分）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著”你读完了几部的问题在全校900名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查的学生 40 名；
（2）求扇形统计图中1部所在扇形的圆心角的度数；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）试估算全校大约有多少学生读完了3部以上（含3部）名著．
【分析】（1）先根据2部人数及其所占百分比可得调查的总人数；
（2）根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，即可得到“1部”所在扇形的圆心角；
（3）由各类别人数之和等于总人数求得1部对应的人数，从而补全图形；
（4）总人数乘以样本中3部和4部人数和占样本容量的比例即可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为10÷25%＝40（名），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中1部所在扇形的圆心角为：×360＝126°；
（3）1部的人数为40﹣（2+10+8+6）＝14（名），
补全统计图如下：
（4）×900＝315（人），
答：全校大约有315人读完了3部以上（含3部）名著．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．
（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．
【解答】（1）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝50°，
∴∠EAO＝40°，
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝40°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF．
24．（10分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示．
（1）根据图象，求出y1、y2关于x的函数关系式；
（2）设两车之间的距离为S千米．
①求两车相遇前S关于x的函数关系式；
②求出租车到达甲地后S关于x的函数关系式．
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，A加油站在甲地与B加油站之间，若两车相遇后，客车进入B加油站时，出租车恰好进入A加油站，求此时两车的行驶时间x的值和A加油站到甲地的距离．
【分析】（1）用待定系数法可直接求出解析式；
（2）①当y1＜y2时，两车之间的距离为y2﹣y1；②结合（1）可得出租车到达甲地后S关于x的函数关系式；
（3）根据（1）的结论列方程解答即可．
【解答】解：（1）设y1＝k1x，代入点（10，600），
得：y1＝60x，
∴y1＝60x（0≤x≤10）；
设y2＝k2x+b，代入点（0，600），（6，0），
得：，
∴y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；
（2）①由题意，得S＝y2﹣y1＝﹣160x+600 （0≤x＜），
②S＝60x （6≤x≤10）；
（3）由题意，得60x﹣（﹣100x+600）＝200，
解得x＝5，
此时，A加油站距离甲地：﹣100×5+600＝100（km），
所以，此时两车的行驶时间为5小时，A加油站到甲地距离为100km．
25．（10分）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；
①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．
②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？
【分析】（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x元，（x﹣150）元，根据“用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同”列出分式方程即可；
（2）根据配套问题，设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据口罩的数量等于水银体温计数量的2倍列出方程即可用含m的代数式表示；
（3）①根据“总费用不超过1800元”列不等式解答即可；②当m＞4时，w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，进而可得w关于m的函数关系式．
【解答】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是x元，（x﹣150）元，根据题意，得，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，
∴x﹣150＝50，
答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；
（2）设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据题意，得100m＝2×10y，
则y＝5m，
答：购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；
（3）①由题意得：200m+50×5m≤1800，
∴450m≤1800，
∴m≤4，此时，w＝450m；
若m＞4，
则w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，
综上所述：w＝；
②若该校九年级有900名学生，
需要购买口罩：900×2＝1800（支），
水银体温计：900×1＝900（支），
此时m＝1800÷100＝18（盒），y＝5×18＝90（盒），
则w＝360×18+360＝6840（元）．
答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，若点D是线段OA上的点，且△COD的面积为，求直线CD的函数表达式；
（3）在直线OA上，是否存在一点E，使得△EOB是以OB为底边的等腰三角形？如果存在，直接写出所有符合条件的点E的坐标，如果不存在，请说明理由．
（4）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点F，使得以O，A，B，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）联立，解得点A坐标为（1，1），由y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，点 B坐标为（3，0），由x＝0，得y＝，故点C坐标为 （0，）；
（2）点D在y＝x上，设点D坐标为（m，m），由△COD的面积为可得：×OC×m＝，即××m＝，解得m＝，即得点D的坐标为（，），设直线CD的函数表达式y＝kx+b，即可解得，从而得到直线CD的表达式为：y＝；
（3）作OB的中点F，过H作HE⊥x轴，交直线y＝x于E，由B（3，0），H为OB中点，得直线EH为x＝，联立得，即得E点坐标为：（，）；
（4）设F（m，n），而A（1，1）、B（3，0）、O（0，0），①以AF、OB为对角线，则AF中点即为OB中点，可得，解得，故F（2，﹣1）；
②以AB、OF为对角线，则AB中点即为OF中点，同理得，解得，故F（4，1）；③以AO、BF为对角线，则AO中点即为BF中点，同理可得，解得，故F（﹣2，1）．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，
∴联立得：，
解得，
∴点A坐标为（1，1），
由y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，
∴点 B坐标为（3，0），
由x＝0，得y＝，
∴点C坐标为 （0，），
∴点A、B、C的坐标分别为：（1，1），（3，0），（0，）；
（2）如图：
点D在y＝x上，设点D坐标为（m，m）（0＜m＜1），
由△COD的面积为可得：×OC×m＝，即××m＝，
解得m＝，
∴点D的坐标为（，），
设直线CD的函数表达式y＝kx+b，则：，
解得，
∴直线CD的表达式为：y＝；
（3）存在一点E，使得△EOB是以OB为底边的等腰三角形；理由如下：
作OB的中点H，过H作HE⊥x轴，交直线y＝x于E，如图：
∵B（3，0），O（0，0），H为OB中点，
∴H（，0），
∴直线EH为x＝，
由得：，
∴△EOB是以OB为底边的等腰三角形，E点坐标为：（，）；
（4）存在一点F，使得以O，A，B，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设F（m，n），而A（1，1）、B（3，0）、O（0，0），
①以AF、OB为对角线，则AF中点即为OB中点，如图：
∴，解得，
∴F（2，﹣1）；
②以AB、OF为对角线，则AB中点即为OF中点，如图：
∴，解得，
∴F（4，1）；
③以AO、BF为对角线，则AO中点即为BF中点，如图：
∴，解得，
∴F（﹣2，1）；
综上所述，点F的坐标为（2，﹣1）或（4，1）或（﹣2，1）．
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日期：2021/8/10 22:47:18；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年河北省承德市宽城县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）点（﹣4，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）某同学要统计本班最受学生欢迎的社团活动，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的社团活动
②制作问卷调查表，实施全班同学问卷调查
③绘制扇形图来表示各个社团所占的百分比
④整理问卷调查表并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→①
3．（3分）小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
4．（3分）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（3分）已知正比例函数y＝（k+5）x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞5 B．k＜5 C．k＞﹣5 D．k＜﹣5
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点B的坐标是（ ）
A．（0，5） B．（0，6） C．（0，7） D．（0，8）
7．（3分）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（ ）
A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF
8．（3分）若点A（3.5，y1），B（1.3，y2）都在直线y＝3x﹣1上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．无法比较大小
9．（3分）如图所示图象中，函数y＝ax+a的图象可能是下列图象中的（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．菱形是轴对称图形不是中心对称图形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
11．（2分）海平面上，有一个灯塔，测得海岛A在灯塔北偏东30°方向上，同时测得海岛B在灯塔北偏东60°的方向上，则灯塔的位置可以是（ ）
A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
12．（2分）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（ ）
A．y＝﹣0.5x+20（ 0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20）
C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）
13．（2分）如图，直线y＝kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3≥0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
14．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2分）如图，平行四边形ABCD的周长是52cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多6cm，则AE的长度为（ ）
A．8cm B．5cm C．4cm D．3cm
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，） C．（0，﹣） D．（﹣1，1）
二、填空题（本大题共3个小题；17-18题每空3分，19题每空2分，本题共12分）
17．（3分）点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，BE交AD于点E且平分∠ABC，对角线BD平分∠EBC，则的值为 ．
19．（6分）如图①，在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形对称中心重合．
（1）当正方形和矩形都水平放置时，重叠部分面积为 ．
（2）当正方形不动，矩形绕着对称中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠部分面积的大小 ．（选择填写“不变”或“改变”）
（3）甲、乙两位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式：
甲：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行；
乙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线；
在甲、乙两位同学给出的重叠方式中重叠部分面积小的是 ．（选择填写“甲”或“乙”）
三、解答题（本大题共7个小题；共66分）
20．（8分）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．
例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：
（1）x☆＞4，求x取值范围；
（2）若|x☆（﹣）|＝3，求x的值；
（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．
21．（8分）阅读材料：设a＞0，b＞0．∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+≥0，
即a+（当＝，即a＝时，取“＝”）．
由此可得结论：若a＞0，b＞0，则当a＝时，a+有最小值2．
理解概念：（1）若x＞0，则x＝ 时，函数x+有最小值为 ．
拓展应用：（2）若x＞1，则代数式x+的最小值为 ，此时x＝ ；
解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD靠墙（如图，墙足够长），面积为8m2，求至少需要多少米的篱笆？
22．（8分）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著”你读完了几部的问题在全校900名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查的学生 名；
（2）求扇形统计图中1部所在扇形的圆心角的度数；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）试估算全校大约有多少学生读完了3部以上（含3部）名著．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
24．（10分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示．
（1）根据图象，求出y1、y2关于x的函数关系式；
（2）设两车之间的距离为S千米．
①求两车相遇前S关于x的函数关系式；
②求出租车到达甲地后S关于x的函数关系式．
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，A加油站在甲地与B加油站之间，若两车相遇后，客车进入B加油站时，出租车恰好进入A加油站，求此时两车的行驶时间x的值和A加油站到甲地的距离．
25．（10分）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；
①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．
②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，若点D是线段OA上的点，且△COD的面积为，求直线CD的函数表达式；
（3）在直线OA上，是否存在一点E，使得△EOB是以OB为底边的等腰三角形？如果存在，直接写出所有符合条件的点E的坐标，如果不存在，请说明理由．
（4）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点F，使得以O，A，B，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
2020-2021学年河北省承德市宽城县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）点（﹣4，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答．
【解答】解：点（﹣4，2）所在的象限是第二象限．
故选：B．
2．（3分）某同学要统计本班最受学生欢迎的社团活动，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的社团活动
②制作问卷调查表，实施全班同学问卷调查
③绘制扇形图来表示各个社团所占的百分比
④整理问卷调查表并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→①
【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
正确统计步骤的顺序是：②制作问卷调查表，实施全班同学问卷调查→④整理问卷调查表并绘制频数分布表→③绘绘制扇形图来表示各个社团所占的百分比
→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的社团活动，
故选：D．
3．（3分）小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：D．
4．（3分）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【解答】解：360°÷36°＝10，
则这个正多边形的边数是10．
故选：B．
5．（3分）已知正比例函数y＝（k+5）x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞5 B．k＜5 C．k＞﹣5 D．k＜﹣5
【分析】根据正比例函数图象的特点可直接解答．
【解答】解：∵正比例函数y＝（k+5）x中若y随x的增大而减小，
∴k+5＜0．
∴k＜﹣5，
故选：D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点B的坐标是（ ）
A．（0，5） B．（0，6） C．（0，7） D．（0，8）
【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】解：∵A（12，13），
∴OD＝12，AD＝13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AD＝13，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝5，
∴OB＝13﹣5＝8．
∴B（0，8）．
故选：D．
7．（3分）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（ ）
A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF
【分析】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，
∴EH＝AD，EH∥AD，
∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，
∴GF为△ADC的中位线，
∴GF＝AD，GF∥AD，
∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D选项不符合题意．
故选：A．
8．（3分）若点A（3.5，y1），B（1.3，y2）都在直线y＝3x﹣1上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．无法比较大小
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据3.5＞1.3即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣1中，k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵3.5＞1.3，
∴y1＞y2．
故选：C．
9．（3分）如图所示图象中，函数y＝ax+a的图象可能是下列图象中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，分别讨论a＞0和a＜0两种情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意．
【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax+a的图象经过第一、二、三象限，
当a＜0时，函数y＝ax+a的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
10．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．菱形是轴对称图形不是中心对称图形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
【分析】依据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质以及正方形的判定，即可得出结论．
【解答】解：A．一组对边平行、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误；
B．四个角都相等的四边形是矩形，故本选项正确；
C．菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
D．对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，故本选项错误；
故选：B．
11．（2分）海平面上，有一个灯塔，测得海岛A在灯塔北偏东30°方向上，同时测得海岛B在灯塔北偏东60°的方向上，则灯塔的位置可以是（ ）
A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
【分析】根据方向角的定义解答可得，也可作出以A为基准的南偏西30°、以点B为基准的南偏西60°方向的交点即为灯塔所在位置．
【解答】解：由题意知，若海岛A在灯塔北偏东30°方向上、海岛B在灯塔北偏东60°的方向上，
如图所示，灯塔的位置可以是点O1，
故选：A．
12．（2分）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（ ）
A．y＝﹣0.5x+20（ 0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20）
C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）
【分析】根据等腰三角形的周长＝2y+x可得出y与x的关系，再根据三角形的三边关系可确定x的范围．
【解答】解：根据三角形周长等于三边之和可得：2y＝40﹣x
∴y＝20﹣0.5x，
又∵x为底边，
∴x＜2y，x＞y﹣y，
∴0＜x＜20．
故选：A．
13．（2分）如图，直线y＝kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3≥0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】写出函数图象在x轴上方及x轴上所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x≤2时，y≥0．
所以关于x的不等式kx+3≥0的解集是x≤2．
故选：D．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【解答】解：由题意当0≤x≤4时，
y＝×AD×AB＝×3×4＝6，
当4＜x＜7时，
y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．
故选：D．
15．（2分）如图，平行四边形ABCD的周长是52cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多6cm，则AE的长度为（ ）
A．8cm B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】由▱ABCD的周长为52cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多6cm，可得AB+AD＝26cm，AD﹣AB＝6cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为52cm，
∴AB+AD＝26cm，OB＝OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多6cm，
∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝6cm，
∴AB＝10cm，AD＝16cm．
∴BC＝AD＝16cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE＝BC＝8cm；
故选：A．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，） C．（0，﹣） D．（﹣1，1）
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），…，
发现是8次一循环，所以2021÷8＝252…5，
∴点B2021的坐标为（0，﹣）．
故选：C．
二、填空题（本大题共3个小题；17-18题每空3分，19题每空2分，本题共12分）
17．（3分）点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 （3，5） ．
【分析】根据两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行解答．
【解答】解：∵根据两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（3，5）．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，BE交AD于点E且平分∠ABC，对角线BD平分∠EBC，则的值为 ．
【分析】先证明△ABE是等腰直角三角形，再证明BE＝DE可得结论．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB＝45°，
∴AB：AE：BE＝1：1：，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠DBC＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠EDB＝∠EBD＝22.5°，
∴BE＝DE，
∴，
故答案为：．
19．（6分）如图①，在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形对称中心重合．
（1）当正方形和矩形都水平放置时，重叠部分面积为 2 ．
（2）当正方形不动，矩形绕着对称中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠部分面积的大小 改变 ．（选择填写“不变”或“改变”）
（3）甲、乙两位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式：
甲：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行；
乙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线；
在甲、乙两位同学给出的重叠方式中重叠部分面积小的是 乙 ．（选择填写“甲”或“乙”）
【分析】（1）根据长方形的面积公式求解即可．
（2）重叠部分是平行四边形，高不变，底变大，由此可得结论．
（3）分别求出图④，图⑤中，重叠部分的面积，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，重叠部分的面积＝1×2＝2，
故答案为：2．
（2）从图②到图③的过程中，重叠部分面积的从小变大，
故答案为：改变．
（3）图④中，重叠部分的面积＝2×2﹣2××（2﹣）×（2﹣）＝4﹣5，
图⑤中，重叠部分面积＝×4﹣×（2﹣）×（2﹣）＝2﹣1，
∵2﹣1＜4﹣5，
∴图④中，重叠部分的面积小，
故答案为：乙．
三、解答题（本大题共7个小题；共66分）
20．（8分）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．
例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：
（1）x☆＞4，求x取值范围；
（2）若|x☆（﹣）|＝3，求x的值；
（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．
【分析】（1）根据已知公式得出x﹣＞4，解之可得答案；
（2）根据公式得出|﹣x+|＝3，即可得出﹣x+＝3或﹣x+＝﹣3，解之可得答案；
（3）根据公式得到□x2﹣3•□x＝6，把x＝1代入得到□﹣3□＝6，即可求得□＝﹣3．
【解答】解：（1）∵x☆＞4，
∴x﹣＞4，
解得：x＞11；
（2）∵|x☆（﹣）|＝3，
∴|﹣x+|＝3，
∴﹣x+＝3或﹣x+＝﹣3，
解得：x＝﹣9或x＝15；
（3）∵方程x☆□x＝6，
∴□x2﹣3•□x＝6，
∵方程的一个解为x＝1，
∴□﹣3□＝6，
∴□＝﹣3．
21．（8分）阅读材料：设a＞0，b＞0．∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+≥0，
即a+（当＝，即a＝时，取“＝”）．
由此可得结论：若a＞0，b＞0，则当a＝时，a+有最小值2．
理解概念：（1）若x＞0，则x＝ 1 时，函数x+有最小值为 2 ．
拓展应用：（2）若x＞1，则代数式x+的最小值为 5 ，此时x＝ 3 ；
解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD靠墙（如图，墙足够长），面积为8m2，求至少需要多少米的篱笆？
【分析】（1）根据材料可得x+≥2，当＝，即x＝1时，函数x+有最小值为2；
（2）同理得：（﹣）2≥0，变形后可得结论：x＝3时，代数式x+的最小值为5；
（3）设AB＝xm，根据长方形的周长列式，根据材料进行变形，列不等式可得结论．
【解答】解：（1）∵x＞0，
∴（﹣）2≥0，
∴x﹣2+≥0，
即x+≥2，当＝，即x＝1时，函数x+有最小值为2；
故答案为：1，2；
（2）∵x＞1，
∴（﹣）2≥0，
∴x﹣1﹣4+≥0，
即x+≥5，当＝，即x＝3时，代数式x+的最小值为5；
故答案为：5，3；
（3）设AB＝xm，则CD＝xm，BC＝m．
则篱笆长度为：2x+≥2＝8，
当且仅当x＝2时，2x+有最小值是8．
答：至少需要8m的篱笆．
22．（8分）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著”你读完了几部的问题在全校900名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查的学生 40 名；
（2）求扇形统计图中1部所在扇形的圆心角的度数；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）试估算全校大约有多少学生读完了3部以上（含3部）名著．
【分析】（1）先根据2部人数及其所占百分比可得调查的总人数；
（2）根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，即可得到“1部”所在扇形的圆心角；
（3）由各类别人数之和等于总人数求得1部对应的人数，从而补全图形；
（4）总人数乘以样本中3部和4部人数和占样本容量的比例即可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为10÷25%＝40（名），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中1部所在扇形的圆心角为：×360＝126°；
（3）1部的人数为40﹣（2+10+8+6）＝14（名），
补全统计图如下：
（4）×900＝315（人），
答：全校大约有315人读完了3部以上（含3部）名著．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．
（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．
【解答】（1）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝50°，
∴∠EAO＝40°，
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝40°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF．
24．（10分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示．
（1）根据图象，求出y1、y2关于x的函数关系式；
（2）设两车之间的距离为S千米．
①求两车相遇前S关于x的函数关系式；
②求出租车到达甲地后S关于x的函数关系式．
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，A加油站在甲地与B加油站之间，若两车相遇后，客车进入B加油站时，出租车恰好进入A加油站，求此时两车的行驶时间x的值和A加油站到甲地的距离．
【分析】（1）用待定系数法可直接求出解析式；
（2）①当y1＜y2时，两车之间的距离为y2﹣y1；②结合（1）可得出租车到达甲地后S关于x的函数关系式；
（3）根据（1）的结论列方程解答即可．
【解答】解：（1）设y1＝k1x，代入点（10，600），
得：y1＝60x，
∴y1＝60x（0≤x≤10）；
设y2＝k2x+b，代入点（0，600），（6，0），
得：，
∴y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；
（2）①由题意，得S＝y2﹣y1＝﹣160x+600 （0≤x＜），
②S＝60x （6≤x≤10）；
（3）由题意，得60x﹣（﹣100x+600）＝200，
解得x＝5，
此时，A加油站距离甲地：﹣100×5+600＝100（km），
所以，此时两车的行驶时间为5小时，A加油站到甲地距离为100km．
25．（10分）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；
①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．
②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？
【分析】（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x元，（x﹣150）元，根据“用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同”列出分式方程即可；
（2）根据配套问题，设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据口罩的数量等于水银体温计数量的2倍列出方程即可用含m的代数式表示；
（3）①根据“总费用不超过1800元”列不等式解答即可；②当m＞4时，w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，进而可得w关于m的函数关系式．
【解答】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是x元，（x﹣150）元，根据题意，得，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，
∴x﹣150＝50，
答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；
（2）设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据题意，得100m＝2×10y，
则y＝5m，
答：购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；
（3）①由题意得：200m+50×5m≤1800，
∴450m≤1800，
∴m≤4，此时，w＝450m；
若m＞4，
则w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，
综上所述：w＝；
②若该校九年级有900名学生，
需要购买口罩：900×2＝1800（支），
水银体温计：900×1＝900（支），
此时m＝1800÷100＝18（盒），y＝5×18＝90（盒），
则w＝360×18+360＝6840（元）．
答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，若点D是线段OA上的点，且△COD的面积为，求直线CD的函数表达式；
（3）在直线OA上，是否存在一点E，使得△EOB是以OB为底边的等腰三角形？如果存在，直接写出所有符合条件的点E的坐标，如果不存在，请说明理由．
（4）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点F，使得以O，A，B，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）联立，解得点A坐标为（1，1），由y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，点 B坐标为（3，0），由x＝0，得y＝，故点C坐标为 （0，）；
（2）点D在y＝x上，设点D坐标为（m，m），由△COD的面积为可得：×OC×m＝，即××m＝，解得m＝，即得点D的坐标为（，），设直线CD的函数表达式y＝kx+b，即可解得，从而得到直线CD的表达式为：y＝；
（3）作OB的中点F，过H作HE⊥x轴，交直线y＝x于E，由B（3，0），H为OB中点，得直线EH为x＝，联立得，即得E点坐标为：（，）；
（4）设F（m，n），而A（1，1）、B（3，0）、O（0，0），①以AF、OB为对角线，则AF中点即为OB中点，可得，解得，故F（2，﹣1）；
②以AB、OF为对角线，则AB中点即为OF中点，同理得，解得，故F（4，1）；③以AO、BF为对角线，则AO中点即为BF中点，同理可得，解得，故F（﹣2，1）．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，
∴联立得：，
解得，
∴点A坐标为（1，1），
由y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，
∴点 B坐标为（3，0），
由x＝0，得y＝，
∴点C坐标为 （0，），
∴点A、B、C的坐标分别为：（1，1），（3，0），（0，）；
（2）如图：
点D在y＝x上，设点D坐标为（m，m）（0＜m＜1），
由△COD的面积为可得：×OC×m＝，即××m＝，
解得m＝，
∴点D的坐标为（，），
设直线CD的函数表达式y＝kx+b，则：，
解得，
∴直线CD的表达式为：y＝；
（3）存在一点E，使得△EOB是以OB为底边的等腰三角形；理由如下：
作OB的中点H，过H作HE⊥x轴，交直线y＝x于E，如图：
∵B（3，0），O（0，0），H为OB中点，
∴H（，0），
∴直线EH为x＝，
由得：，
∴△EOB是以OB为底边的等腰三角形，E点坐标为：（，）；
（4）存在一点F，使得以O，A，B，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设F（m，n），而A（1，1）、B（3，0）、O（0，0），
①以AF、OB为对角线，则AF中点即为OB中点，如图：
∴，解得，
∴F（2，﹣1）；
②以AB、OF为对角线，则AB中点即为OF中点，如图：
∴，解得，
∴F（4，1）；
③以AO、BF为对角线，则AO中点即为BF中点，如图：
∴，解得，
∴F（﹣2，1）；
综上所述，点F的坐标为（2，﹣1）或（4，1）或（﹣2，1）．
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