2021高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷（九）（含答案解析）

这是一份2021高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷（九）（含答案解析），共22页。试卷主要包含了命题q，又f=Asinπ3=3，等内容，欢迎下载使用。
2021学年高三数学第三次月考模拟卷（九）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）设集合，，则A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】
本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，集合的交集运算，难度不大，属于基础题．
解不等式求出集合M，结合集合的交集运算定义，可得答案．
【解答】
解：集合，解得集合，
，即集合，
，
故选C．
 已知曲线：，：，则下面结论正确的是       A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
【解答】
解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
得到函数图象，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，
得到函数
的图象，即曲线，
故选D．
 已知命题p：，命题q：若，则，下列命题为真命题的是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，属于容易题．
先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．
【解答】
解：命题p：，使成立．
故命题p为真命题；
当，时，成立，但不成立，
故命题q为假命题，
故命题，，均为假命题；
命题为真命题，
故选B．
 设a，b，，且，则A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【试题解析】【分析】
本题考查不等式的性质，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用作差比较大小和特殊值法逐个判断即可．
【解答】
解：当时，选项A不成立；
当，时，选项B不成立；
当，时，选项C不成立；
因为，则，选项D正确，
故选D．
 某校全体学生参加物理实验、化学实验两项操作比赛，所有学生都成功完成了至少一项实验，其中成功完成物理实验的学生占，成功完成化学实验的学生占，则既成功完成物理实验又成功完成化学实验的学生占该校学生的比例是A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】
本题主要考查利用Venn图进行集合的运算，属于基础题．
根据条件两种实验都成功完成的比例等于成功完成物理、化学的比例和减去1即可解答．
【解答】
解：依题意成功完成物理实验的学生占，成功完成化学实验的学生占，
则两种实验都成功完成的比例，
故选C．

 已知是定义在R上的偶函数，它在上递增，那么一定有A.  B.
C.  D. 【答案】B【解析】解：，在上递增，
，
故选：B．
由已知中在上递增，结合得到答案．
本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性，利用配方法得到是解答的关键．
 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是     A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键，属于中档题．
根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【解答】
解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，
设，则，
，，
则
，
当，时，取得最小值，
其最小值为，
故选B．
 已知，则不等式的解集为    A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性单调性的应用，属于中档题．
画出函数的图象，即可判断函数的奇偶性和单调性，去括号，解不等式即可．
【解答】
解：
函数的图象如图：

函数是奇函数，单调增函数，
不等式，
即
解得．
所以不等式的解集为．
故选C．
 二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）下列叙述不正确的是A. 的解是
B. “”是“”的充要条件
C. 已知，则“”是“”的充分不必要条件
D. 函数的最小值是【答案】ABCD【解析】【分析】
本题考查了不等式求解、充分必要条件判断、基本不等式求解最值，考查推理能力，属于中档题．
根据对应知识点逐项判断即可．
【解答】
解：显然当时，恒成立，
于是的解是，
因此A选项不正确；

令，当时，恒有成立，
所以“”是“”的充要条件不成立，
因此B选项不正确；

由题意，对不等式去绝对值得到，
解得．
因此当时，对“”有“”不一定成立如，
反之成立，于是“”是“”的必要不充分条件，
因此C选项不正确；

由题意，变式得，
当且仅当，即时等号成立，
这显然不可能，因此D选项不正确．

综上，本题叙述不正确的选项为A、B、C、D

故选ABCD．
 以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为   A.     设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线；
B. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
C. 双曲线与椭圆有相同的焦点；
D. 以过抛物线的焦点的一条弦PQ为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切【答案】BCD【解析】【试题解析】【分析】
本题考查圆锥曲线的几何性质，解决本题的关键是掌握好圆锥曲线的几何性质，属于容易题．
根据椭圆，双曲线，抛物线的性质求解即可．
【解答】
解：A不正确，若动点P的轨迹为双曲线，则要小于A、B为两个定点间的距离，当大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线，
B正确，方程的两根分别为和2，和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率，
C正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为，
D正确，不妨设抛物线为标准抛物线：，即抛物线位于y轴的右侧，以x轴为对称轴，
设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d，而P到准线的距离，Q到准线的距离，
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有，由抛物线的定义可得：半径，
所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切，
故答案为BCD．
 已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列结论正确的是    
 A. 的最小正周期为
B. 的最大值为
C.
D. 的零点从小到大可构成等差数列．【答案】ABC【解析】【分析】
本题考查利用三角函数图像求解函数解析式，考查函数的图象与性质，考查函数的周期性，对称性和三角函数的最值，属于中档题．
根据函数的部分图象求出函数的解析式，再根据函数解析式判断四个结论即可得解．
【解答】
解：对由图象，得函数的最小正周期，所以A正确．
对，即，又，
所以，结合，得，即又，
所以，即，所以函数的最大值为2，所以B正确．
对又，所以C正确．
对所以或，，
所以或，，
所以的零点从小到大排列不可能构成等差数列．
故选ABC．
 《几何原本》中的几何代数法以几何方法研究代数问题成为了后世数学家处理问题的重要依据通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明如图，在AB上取一点C，使得，，过点C作交半圆周于点D，连接作交OD于点下面不能由直接证明的不等式为A.  B.
C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】
本题考查归纳推理及基本不等式的几何意义，属于中档题．
由得，即可判断．
【解答】
解：由射影定理可知，即
，
由得，
故由直接证明的不等式为选项B．
故选ACD．
 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）记Sn为等比数列的前n项和若，则___________．【答案】【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．
利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解．
【解答】
解：数列为等比数列，，，
，，
整理可得，
解得，
故，
故答案为．
 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________．【答案】【解析】【分析】
本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．
求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，由线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．
【解答】
解：由题可知，该四棱锥是正棱锥，
又底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，
由勾股定理得：正四棱锥的高为2，
由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，
有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于，
由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，
则该圆柱的体积为：．
故答案为．
 已知动圆M与直线相切，且与定圆外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为________．【答案】【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义，考查圆与圆的位置关系，属于中档题．
根据动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，可得动点M到的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【解答】
解：由题意动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，
动点M到的距离与到直线的距离相等，
由抛物线的定义知点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故所求M的轨迹方程为：．
故答案为．
 设，是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数．当时，，其中若在区间上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是______．【答案】【解析】解：作出函数与的图象如图，

由图可知，函数与仅有2个实数根；
要使关于x的方程有8个不同的实数根，
则，与，的图象有2个不同交点，
由到直线的距离为1，得，解得，
两点，连线的斜率，
．
即k的取值范围为
故答案为：
由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．
本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
 三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）在中，，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：
Ⅰ的值；
Ⅱ和的面积．
条件：，；
条件：，．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】本题考查了同角的三角函数的关系，两角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面积公式等知识，考查了运算能力求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
选择条件Ⅰ由余弦定理求出，再结合，即可求出a的值，
Ⅱ由正弦定理可得sinC，再根据三角形的面积公式即可求出，
选择条件Ⅰ根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得，再结合，即可求出a的值，
Ⅱ由两角和的正弦公式求出sinC，再根据三角形的面积公式即可求出．
【答案】解：选择条件Ⅰ由余弦定理得，即，
，
，
，
即，
联立，解得，，
故．
Ⅱ在中，，
，
由正弦定理可得，
，
．
选择条件Ⅰ在中，，，，
，，
，，
由正弦定理可得，
，
，
，，
故；
Ⅱ在中，，
，
  如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面ABCD，且，M，N分别为棱PC，AD的中点．



求证：；
求异面直线BM与PN所成角的余弦值；
求点N到平面MBD的距离．【解析】本题考查了线面垂直的性质，考查了异面直线所成的角，考查了空间中点到面的距离，求解的方法是利用空间向量，解答的关键是熟练掌握利用空间向量求空间角的公式及点到面的距离公式，是中档题．
因为侧面底面ABCD，取DC中点O，因为，则交线CD，所以底面ABCD，由此可想到利用空间向量来解决该题．
标出所用点的坐标，求出BC和PD所对应向量的坐标，由两向量的数量积等于0可证明；
求出与BM和PN所对应的向量的坐标，直接利用两向量的夹角公式求异面直线BM与PN所成角的余弦值；
求出平面MBD的一个法向量，在平面MBD内任取一点，和N连结后得到一个向量，直接运用向量求点到面的距离公式求距离．
【答案】证明：由题可知，侧面底面ABCD，取DC中点O，
因为，则交线CD，所以底面ABCD，
如图，过O平行于DA直线为x轴，以OC，OP所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，

则，1，，1，，
，0，，，
，
则，所以；
解：由可得，，

设异面直线BM与PN所成角为，
则．
所以异面直线BM与PN所成角的余弦值为；
解：因为．
设平面MBD的一个法向量为y，，
由，得，取，得，．
所以，又，
所以点N到平面MBD的距离． 某校园内有一块三角形绿地如图，其中，，，绿地内种植有一呈扇形AMN的花卉景观，扇形AMN的两边分别落在AE和AF上，圆弧MN与EF相切于点P．

求扇形花卉景观的面积；
学校计划2020年整治校园环境，为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形如图，其中，并种植两块面积相同的扇形花卉景观，两扇形的边都分别落在平行四边形ABCD的边上，圆弧都与BD相切，若扇形的半径为8m，求平行四边形ABCD绿地占地面积的最小值．【解析】本题考查基本不等式的运用，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．
中，由余弦定理可得EF，设扇形花卉景观的半径为r，则由，得到r，即可求扇形花卉景观的面积；
设，，则，由平行四边形ABCD的面积得，求出xy的最小值，即可得出结论．
【答案】解：中，由余弦定理可得
设扇形花卉景观的半径为r，则由，得到，
扇形花卉景观的面积；
设，，则，
由平行四边形ABCD的面积得，
，
，即，当且仅当时，xy的最小值为256，
此时平行四边形ABCD的面积为，
平行四边形ABCD的面积的最小值为． 已知椭圆C：过点，且．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，求的值．【解析】Ⅰ由题意可得，解得，，即可求出椭圆方程；
Ⅱ设直线方程为，设，，可得直线AM的方程为，直线AN的方程为，分别令，求出，，代入化简整理即可求出．
本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，
【答案】解：Ⅰ椭圆C：过点，且，
则，解得，，
椭圆方程为，
Ⅱ由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，
由，
消y整理可得，
，
解得，
设，，
，，
则直线AM的方程为，直线AN的方程为，
分别令，
可得，
，，

，
，
故． 已知数列的前n项和是，且，数列是公差d不等于0的等差数列，且满足：，，，成等比数列．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前n项和．【解析】本题是等差数列与等比数列的综合题，考查了裂项相消法与错位相减法求数列的前n项和，考查计算能力，是中档题．
Ⅰ由已知求得，当时，有，可得，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，则通项公式可求．由，且，，成等比数列，可得等差数列的公差，则的通项公式可求；
Ⅱ由分组后利用裂项相消法与错位相减法求数列的前n项和．
【答案】解：Ⅰ时，，即，
时，有，即，
，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，则．
由，且，，成等比数列，则，
得：，即，
，解得，；
Ⅱ

．

令，
．

．
．
． 已知函数．
Ⅰ若在，处导数相等，证明：；
Ⅱ若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．【解析】Ⅰ推导出，，由在，处导数相等，得到，由基本不等式得：，从而，由题意得，设，则，利用导数性质能证明．
Ⅱ令，，则，推导出存在，使，对于任意的及，直线与曲线有公共点，由，得，设，则，利用导数性质能证明时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点．
本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，
【答案】证明：Ⅰ函数，
，，
在，处导数相等，
，
，，
由基本不等式得：，
，，
由题意得，
设，则，
列表讨论： x  16   0  在上单调递增，
，
．
Ⅱ令，，
则，
，
存在，使，
对于任意的及，直线与曲线有公共点，
由，得，
设，则，
其中，
由知，
又，，
，即函数在上单调递减，
方程至多有一个实根，
综上，时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点．