2021高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷（十）（含答案解析）

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2021学年高三数学第三次月考模拟卷（十）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）设全集为R，集合，，则A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
本题考查了集合的运算问题，是基础题．
根据补集、交集的定义即可求出．
【解答】
解：，，
，
，
故选B．
 已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】
本题考查不等关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．是基础题．
【解答】
解：令，，显然A错误，
B选项，，符号不确定，所以B错误，
令，，显然C错误，
故选D．
 已知平面向量，，且，则等于A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】
本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．
利用向量的共线知识及向量的坐标表示进行计算即可．
【解答】
解：向量，，且，
，
解得，
，
．
故选C．
 是A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角【答案】C【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查了终边相同的角、象限角、轴线角的相关知识，试题难度容易
【解答】
解：，
由终边相同角的定义知，
的终边与的终边相同，
故是第三象限角．
故选C．
 “高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”，某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了100位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有90位，使用过扫码支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有60位，则使用过共享单车的学生人数为A. 60 B. 70 C. 80 D. 90【答案】B【解析】解：设全集随机调查的100位学生，
被抽查的学生中使用过共享单车的学生，
被抽查的学生中使用过扫码支付的学生，
作出韦恩图，使用过共享单车的学生人数为，
故选：B．
根据条件，设全集为随机调查的100位学生，使用过共享单车的学生构成集合A，用过扫码支付的学生构成集合B，则B中有80个元素，中有90个元素，中有60个元素，求A中元素个数，可画出韦恩图求出结果．
本题考查了生活中的数学问题，转化为集合问题解决，属于基础题．
 若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为   A. 8，0 B. 0， C. 4，0 D. ，【答案】B【解析】【试题解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化思想的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解，属于基础题．
由题意可知，1是方程的根，利用根与系数的关系可求a，b，然后结合二次函数的性质可求．
【解答】
解：的解集为，
，1是方程的根，

，，
则二次函数开口向下，对称轴，
在区间上，当时，函数取得最大值0，当时，函数取得最小值．
故选B．
 已知函数，给出下列四个说法：；
；在区间上单调递增；
的图象关于点中心对称．其中正确说法的序号是      A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
本题主要考查了三角函数的单调性、周期性和对称性的综合应用问题，是综合题，属于中档题．
由已知计算的值即可；计算与的值即可判断；时，是单调增函数；计算与的值，由，判断，即可得结果．
【解答】
解：对于，
，正确；
对于，因为，
，，错误；
对于，当时，，
在区间上单调递增，正确；
对于，，
，
则，
所以的图象不关于点中心对称，错误；
综上，正确的命题序号是．
故选B．
 设函数，则           A. 是偶函数，且在单调递增
B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增
D. 是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题．
先利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，然后在不同的区间里面将绝对值号去掉后判断单调性即可．【解答】解：由已知，函数定义域为，关于原点对称，
函数，
则为奇函数，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．故选D．
 二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）下列说法正确的有A. 不等式的解集是
B. “，”是“”成立的充分条件
C. 命题，，则，
D. “”是“”的必要条件【答案】ABD【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断，以及解分式不等式，充分条件与必要条件的概念，命题的否定等知识，属于中档题．
解分式不等式判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断B、D，根据命题的否定判断C．
【解答】
解：由得，
即，得，故A正确；由时一定有，
因此“，”是“”成立的充分条件，故B正确；命题，，则，，故C错误；显然时一定有成立，
“”是“”的必要条件，故D正确．

故选：ABD．
 已知曲线，则下列选项正确的是    A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若，则C是圆，其半径为
C. 若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】
本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，属于基础题．
根据圆、椭圆和双曲线的标准方程和性质，结合选项依次判断即可．
【解答】解：对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线C表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；
故选ACD．
 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是   A. 是偶函数 B. 是周期函数
C. 在区间上单调递增 D. 最大值为2【答案】ABD【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象和性质以及正弦型函数的性质的应用，主要考查奇偶性、周期性、最值和单调性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．直接利用分类讨论思想的应用和函数的关系式的变换及函数的性质的应用求出结果．【解答】
解：，所以函数是偶函数，故A正确．
B.，所以函数是周期函数，故B正确．
C.
当时，
作出当时函数的图象可知：当时不单调．故C错误；

D.由于，时，，所以时，可以取得最大值2，故D正确．
故选：ABD．
 若，且满足，则    A. 的最小值为4
B. xy的最小值为2
C. 的最小值为
D. 的最小值为【答案】ACD【解析】【试题解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属中档题．
依题意，根据条件得，利用基本不等式，逐个选项判断即可．
【解答】
解：因为，，由得，
所以，当时取等号，故A正确；
，当时取等号，得，得，当时取等号，故B错误；
，当，即，时取等号，故C正确；

，
当，即，时取等号，故D正确；
故选ACD．
 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面平面ABC，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．【答案】【解析】【试题解析】【分析】
本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．
由O为外接圆的圆心，且平面平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，可得球心一定在面PBC内，即球心也是外接圆的圆心，在中，由余弦定理、正弦定理即可得外接球半径R，进而求得外接球表面积．
【解答】
解：因为O为外接圆的圆心，且平面平面ABC，
过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，
根据球的性质，球心一定在垂线l上，
即球心也是外接圆的圆心，

在中，由余弦定理得，
，
由正弦定理得：，解得，
三棱锥外接球的表面积为，
故答案为．
 如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：圆上总存在两个点到原点的距离为2，
圆O：与圆C：相交，
，
得：，
，
或．
故答案为：
利用圆和圆相交，即可求解．
本题主要考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．
 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数列．已知“等差比”数列的前三项分别为，，，则数列的前n项和______．【答案】【解析】【分析】
本题考查新定义的理解和应用，考查等比数列的求和公式，以及数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．
由题意可得该数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个为首项为1、公比为2的等比数列，应用数列的恒等式和数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】
解：“等差比”数列的前三项分别为，，，
可得，，，，
则，
当时，也适合上式，即有，
数列的前n项和．
故答案为：．
 已知，设函数的最大值为M，最小值为N，那么______ ．【答案】4016【解析】解：
设，
则，
是R上的增函数，也是R上的增函数．
函数在上的最大值是，最小值是．
函数是奇函数，它在上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0．
函数的最大值M与最小值N之和
第四项分子分母同乘以

．
故答案为4016．
要求的最大值与最小值之和，可分解为求的最大值与最小值之和sinx的最大值与最小值之和，利用它们的单调性，求解即可．
本题通过求函数的最值问题，综合考查了有理数指数幂的运算性质，指数函数的单调性，正弦函数的单调性，难度比较大．
 三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，．求A；求AC边上的高．【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
由正弦定理，进行求解即可
利用余弦定理求出c的值，根据直角三角形求出h．
【答案】解：，，即A是锐角，
，
，
由正弦定理，，
得，
又A为锐角，
则
由余弦定理得，
即，
即，
得，
解得或舍，
则AC边上的高． 设是等差数列，其前n项和为；是等比数列，公比大于0，其前n项和为已知，，，．
Ⅰ求和；
Ⅱ若，求正整数n的值．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．
Ⅰ设等比数列的公比为q，由已知列式求得q，则数列的通项公式与前n项和可求；等差数列的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得；
Ⅱ由Ⅰ求出，代入，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值．
【答案】解：Ⅰ设等比数列的公比为q，
由，，可得，
，可得，
故，，
设等差数列的公差为d，由，得，
由，得，
，
故，；
Ⅱ由Ⅰ，可得

，
由，
可得，
整理得：，解得舍或．
的值为4． 某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：时间第4天第32天第60天第90天价格千元2330227写出价格关于时间x的函数关系式表示投放市场的第x天，；
销售量与时间x的函数关系式为，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？【解析】本题考查函数模型的构建，考查求分段函数的解析式和最大值的应用题，考查求二次函数在闭区间上的最大值，属于中档题．
价格直线上升，直线下降，说明价格函数是一次函数，由表中对应关系用待定系数法易求的表达式；
由销售额销售量时间，得日销售额函数的解析式，从而求出的最大值．
【答案】解：根据题意知，当时，一次函数过点，，
代入函数求得，；
当时，一次函数过点，，
代入函数求得，；
；
设日销售额为，
则当时，，
当或11时，千元，
当时，，
当时，千元，
，
日销售额最高是在第10天或第11天，最高值为千元． 如图，且，，且，且，平面ABCD，．若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；求二面角的正弦值；若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为，求线段DP的长．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，是中档题．
Ⅰ依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，求出平面CDE的法向量及，由，结合直线平面CDE，可得平面CDE；
Ⅱ分别求出平面BCE与平面BCF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值；
Ⅲ设线段DP的长为h，，则点P的坐标为0，，求出，而为平面ADGE的一个法向量，由直线BP与平面ADGE所成的角为，可得线段DP的长．【答案】Ⅰ证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．

可得0，，0，，2，，2，，
0，，1，，0，，，0，．
设为平面CDE的法向量，
则，不妨令，可得；
又，可得．
又直线平面CDE，
平面CDE；
Ⅱ解：依题意，可得，，．
设为平面BCE的法向量，
则，不妨令，可得．
设为平面BCF的法向量，
则，不妨令，可得．
因此有，于是．
二面角的正弦值为；
Ⅲ解：设线段DP的长为h，，则点P的坐标为0，，
可得，而为平面ADGE的一个法向量，
故．
由题意，可得，解得．
线段DP的长为．
 已知椭圆E：的离心率为，且过点，直线l：交椭圆E于不同的两点A，B，设线段AB的中点为M．
求椭圆E的方程；
当的面积为其中O为坐标原点且时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C，D，使得当直线l运动时，为定值？若存在，求出点C，D的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
【解析】利用椭圆的离心率为，则：：：3：1，设出椭圆E：又椭圆过点，然后求解椭圆方程．
当直线l的斜率存在时，设其方程为，并设，，联立方程，利用韦达定理以及判别式，弦长公式点到直线的距离公式表示三角形的面积，结合mk的关系，求解为定值．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求的方法的应用，考查转化思想以及计算能力．
【答案】解：由于椭圆的离心率为，则：：：3：1，
故椭圆E：又椭圆过点，
从而，
从而椭圆E的方程为．
当直线l的斜率存在时，设其方程为，并设，，
联立方程，得，
则
从而，从而点M的坐标为
由于，
点O到直线l的距离为，
则的面积，
由题得：，
从而化简得：，
故，即或，
又由于，从而．
当时，由于，，
从而，
即点M在椭圆上．
由椭圆的定义得，存在点，或，，
使得为定值． 设函数，其中，，，且，，是公差为d的等差数列．
Ⅰ若，，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若，求的极值；
Ⅲ若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围．【解析】本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合题．
Ⅰ求出，时的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；
Ⅱ计算时的导数，利用导数判断的单调性，求出的极值；
Ⅲ曲线与直线有三个互异的公共点，等价于关于x的方程有三个互异的实数根，利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围．
【答案】解：Ⅰ函数，
，时，，
，
，，
在点处的切线方程为，
即；
Ⅱ时，

；
，
令，解得或；
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
的极大值为，
极小值为；
Ⅲ曲线与直线有三个互异的公共点，
等价于关于x的方程有三个互异的实数根，
令，可得；
设函数，
则曲线与直线有3个互异的公共点，
等价于函数有三个不同的零点；
又，
当时，恒成立，此时在R上单调递增，不合题意；
当时，令，解得，；
在上单调递增，在上单调递减，
在上也单调递增；
的极大值为；
极小值为；
若，由的单调性可知，
函数至多有两个零点，不合题意；
若，即，解得，
此时，；
，，
从而由的单调性可知，
函数在区间，，内各有一个零点，符合题意，
的取值范围是．