第10章 第9节随机变量的数字特征教案

这是一份第10章 第9节随机变量的数字特征教案，共9页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(2014·吉林市质检)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.954B．0.977
C．0.488D．0.477
[答案] A
[解析] P(ξ>2)＝0.023，由正态分布曲线的性质可知，P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
2．甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是eq \f(2,3)，则面试结束后通过的人数X的数学期望是( )
A.eq \f(4,3)B．eq \f(11,9)
C．1D．eq \f(8,9)
[答案] A
[解析] 依题意，X的取值为0、1、2.
且P(X＝0)＝(1－eq \f(2,3))×(1－eq \f(2,3))＝eq \f(1,9)，
P(X＝1)＝eq \f(2,3)×(1－eq \f(2,3))＋(1－eq \f(2,3))×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9)，
P(X＝2)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9).
故X的数学期望E(X)＝0×eq \f(1,9)＋1×eq \f(4,9)＋2×eq \f(4,9)＝eq \f(12,9)＝eq \f(4,3)，选A.
3．(2013·深圳调研)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.eq \f(1,2)B．eq \f(5,12)
C.eq \f(1,4)D．eq \f(1,6)
[答案] B
[解析] P＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \f(3,4)＝eq \f(5,12) .
4．某人射击一次击中的概率为eq \f(3,5)，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )
A.eq \f(81,125)B．eq \f(54,125)
C.eq \f(36,125)D．eq \f(27,125)
[答案] A
[解析] 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是
P1＝Ceq \\al(2,3)·(eq \f(3,5))2·eq \f(2,5)，
三次全部击中目标的概率是P2＝Ceq \\al(3,3)·(eq \f(3,5))3，
所以此人至少有两次击中目标的概率是
P＝P1＋P2＝Ceq \\al(2,3)·(eq \f(3,5))2·eq \f(2,5)＋Ceq \\al(3,3)·(eq \f(3,5))3＝eq \f(81,125).
5．(2014·东北三省二模)一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c(a，b，c∈[0,1))，如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当eq \f(10,a)＋eq \f(1,9b)取最小值时，c的值为( )
A.eq \f(1,11)B．eq \f(2,11)
C.eq \f(5,11)D． 0
[答案] A
[解析] 因为运动员射击一次击中环数的期望为9，所以有10a＋9b＝9，所以eq \f(10,a)＋eq \f(1,9b)＝eq \f(1,9)(eq \f(10,a)＋eq \f(1,9b))(9b＋10a)＝eq \f(1,9)(eq \f(90b,a)＋eq \f(10a,9b)＋101)≥eq \f(121,9).当且仅当eq \f(90b,a)＝eq \f(10a,9b)时取等号，即a＝9b.与10a＋9b＝9联立可解得a＝eq \f(9,11)，b＝eq \f(1,11).又因为a＋b＋c＝1，所以c＝eq \f(1,11).
6．(2014·唐山统考)如图，△ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆子落在△DEF内”，则P(N|M)＝( )
A.eq \f(3\r(3),4π)B．eq \f(\r(3),2π)
C.eq \f(1,3)D．eq \f(2,3)
[答案] D
[解析] 如图作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC包含9个小三角形，满足事件MN的有6个小三角形，故P(N|M)＝eq \f(6,9)＝eq \f(2,3).
二、填空题
7．(2014·浙江名校联考)甲、乙等5名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量ξ为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数，则ξ的数学期望为________．
[答案] eq \f(5,4)
[解析] 根据题意，5名志愿者被随机分配到A、B、C、D四个不同岗位，每个岗位至少一人，共有Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(4,4)＝240种，而ξ＝1,2，则P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,4)A\\al(3,3),240)＝eq \f(180,240)＝eq \f(3,4)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)A\\al(3,3),240)＝eq \f(1,4)，故E(ξ)＝1×eq \f(3,4)＋2×eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).
8．(2014·温州十校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为ξ，则ξ的数学期望是________．
[答案] eq \f(4,5)
[解析] 根据题意知ξ＝0,1,2，而P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(2,6),C\\al(2,10))＝eq \f(15,45)；P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,4),C\\al(2,10))＝eq \f(24,45)；P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,10))＝eq \f(6,45).∴E(ξ)＝0×eq \f(15,45)＋1×eq \f(24,45)＋2×eq \f(6,45)＝eq \f(36,45)＝eq \f(4,5).
9．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝eq \f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
[答案] eq \f(2,5)
[解析] 设ξ＝1的概率为P.则E(ξ)＝0×eq \f(1,5)＋1×P＋2(1－P－eq \f(1,5))＝1，∴P＝eq \f(3,5).
故D(ξ)＝(0－1)2×eq \f(1,5)＋(1－1)2×eq \f(3,5)＋(2－1)2×eq \f(1,5)
＝eq \f(2,5)
三、解答题
10．(2014·贵州黔东南月考)有甲、乙、丙、丁、戊五位工人参加技能竞赛培训．现分别从甲、乙两人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，用茎叶图表示这两组数据如图所示.
(1)现要从甲、乙两人中选派一人参加技能竞赛，从平均成绩及发挥稳定性角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由．
(2)若将频率视为概率，对甲工人在今后3次的竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X，求X的分布列及期望E(X)．
[解析] (1)派甲工人参加比较合适．
理由如下：
eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,6)(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,6)(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝eq \f(133,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝eq \f(139,3).
因此eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \(x,\s\up6(－))乙，seq \\al(2,甲)