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模型 一文搞定空间几何体常考的13种外接球模型（180页word）12.23学案
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这是一份模型 一文搞定空间几何体常考的13种外接球模型（180页word）12.23学案，共189页。学案主要包含了例题分析，巩固提升等内容，欢迎下载使用。
专题01 长方体的外接球问题
1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3．补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
【例题分析】
例1.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为
【解析】设正方体的棱长为，正方体外接球的半径为，
则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：，即
所以外接球的表面积为：
例2.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为 ．
【解析】由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．正四棱柱的对角线的长为球的直径，
现正四棱柱底面边长为，
设正四棱柱的高为，，解得，
那么该棱柱的表面积为
例3.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为 ．
【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，
由．
例4.已知三棱锥的顶点都在同一个球面上（球，且，，当三棱锥的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球的体积的比值是 ．
【解析】由题意三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，
三棱锥的三个侧面的面积之和最大，
三棱锥的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：
所以球的直径是4，半径为2，
所以三棱锥的体积，球的体积：，
所以该三棱锥的体积与球的体积的比值是．
【巩固提升】
1．张衡年年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为
【解析】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，
正方体的外接球半径满足：，则，
由题意知：，所以，，
该正方体的外接球的表面积为，
又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，
所以外接球的表面积为．
2．棱长为2的正方体的外接球的体积为
【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径
所以球的直径为：，所以球的半径为
正方体的外接球的体积
3．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的表面积为
【解析】正方体外接球的体积是，则外接球的半径，
所以正方体的对角线的长为4，棱长等于，
所以正方体的表面积为
4．已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的体积是
A． B． C． D．
【解析】正方体的外接球的体积是，正方体的外接球的半径，
设这个正方体的棱长为，则，解得，
这个正方体的体积
5．长方体的表面积为208，，则该长方体的外接球的表面积为
【解析】设长方体的三条棱长分别为，，．
由题意可得：，．
，
设该长方体的外接球的半径为，则．
其表面积．
6．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的外接球的表面积为
【解析】在长方体中，，与平面所成的角为，
平面，是与平面所成的角，，
，，，
该长方体的外接球的半径：，
该长方体的外接球的表面积为：．
7．在长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为
【解析】由题意可知，长方体的对角线长为，
则该长方体的外接球的半径为，因此，该长方体的外接球的表面积为．
8．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为
【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，，
正四棱柱的外接球半径为，当且仅当时，半径的最小值，
外接球的表面积的最小值为．
9．已知长方体的体积，，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为
【解析】设，，由于，所以．
根据长方体的对称性可知四面体的外接球的即为长方体的外接球，
所以，
所以（当且仅当，等号成立）．
10．若正方体的外接球的体积为，则此正方体的棱长为
【解析】设球的半径为，则，
解得：．
另设正方体的棱长为，则，
解得．
11．若某正方体的表面积为6，则该正方体的外接球的体积为
【解析】正方体的表面积为6，正方体的棱长为1，体对角线的长度为，
外接球的直径为，所以外接球的体积为，
12．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的体积为
【解析】设正方体的棱长为，且正方体外接球的直径为，
则，解得；
所以外接球的体积为，解得，
所以该正方体的体积．
13．正方体的棱长为，则此正方体的外接球的体积为 ．
【解析】正方体的棱长为，正方体的对角线长为，
则此正方体的外接球的半径为3，此正方体的外接球的体积为．
14．将一个长宽分别，的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为 ．
【解析】设减去的正方形边长为，
其外接球直径的平方
求导得，
因为有属于，所以，
15．如图，长方体中，其中，，外接球球心为点，外接球体积为，若的最小值为，则，两点的球面距离为 ．
【解析】设、两点在该球面上的球面距离为，
外接球体积为，，
球的直径即为长方体的对角线长，即，
若的最小值为，，
在等腰三角形中，
球心角，
利用球面距离公式得出：
故答案为：
专题02 正四面体的外接球问题
1．正四面体
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为.
【例题分析】
例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是
【解析】如图球的截面图就是正四面体中的，
已知正四面体棱长为2，所以，，所以，
截面面积是
例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为 .
【解析】依题意，正四面体的外接球半径，其表面积为
【巩固提升】
1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为 .
【解析】已知正四面体的棱长为1，过作，交于，
作平面，交于，连结，设球心为，则在上，连结，
，，，，
设球半径为，则，，解得
2．棱长为的正四面体的外接球和内切球的体积比是 .
【解析】把棱长为正四面体镶嵌在棱长为正方体内，外接球和内切球的球心重合，为正方体的中心，
外接球的球半径为：，，，
内切球的半径为：，外接球和内切球的半径之比为：，
正四面体的外球和内切球的体积比是，
3．如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是
A． B． C． D．
【解析】将侧面和展成平面图形，如图所示：
设正四面体的棱长为，则的最小值为，．
在正四面体的边长为2，
外接球的半径，外接球的体积．选．
4．表面积为的正四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】表面积为的正四面体的棱长为
将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为，
正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，
外接球的表面积的值为．选．
5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的对角线长为，
正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，
外接球的表面积的值为．选．
6．在棱长为的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为，则两圆的公共弦长是
A． B． C．1 D．
【解析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，
正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：，
所以球的半径为：，
设相互垂直两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为，其中点为，
则为矩形，于是对角线，
而，
，则；选．
7．如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是
A． B． C． D．
【解析】将三角形与三角形展成平面，最小值，即为两点之间连线距离，则
设，则，由余弦定理，解得，
则正四面体棱长为，因为正四面体的外接球半径是棱长的倍，
所以，设外接球半径为，则，则表面积．
选．
8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的对角线长为，
正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为：，
外接球的表面积的值为．
选．
9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】正方体可以在正四面体纸盒内任意转动，
正方体在正四面体的内切球中，正方体棱长最大时，正方体的对角线是内切球的直径，
点为内切球的圆心，连接并延长交底面与点，点是底面三角形的中心，
底面，为内切球的半径，
连接，则，在中，，，
在中，，
代入数据得，令正方体棱长为，则，解得，
正方体棱长的最大值为，此时正方体的外接球半径：．
当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是：．选
10．如图，在棱长为1的正四面体中，为的重心，是线段的中点，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】连接，四面体中，由为的重心，
可得面，是线段的中点，，，
为线段的中点，．
设三棱锥外接球的半径为，则，，
三棱锥外接球的表面积为．选．
11．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点、，若线段长度的最大值为，则这个四面体的棱长为 4 ．
【解析】设这个四面体的棱长为，则它的外接球与内切球的球心重合，
且半径，，
依题意得，．
12．已知正四面体的棱长为1，为棱的中点，则二面角的余弦值为 ；平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为 ．
【解析】如图，
为棱的中点，，，又，平面，
则为二面角的平面角，由对称性，可知二面角的平面角等于．
由正四面体的棱长为1，可得，则，
平面平分二面角，二面角的余弦值；
设的外心为，连接，求得，，
设正四面体的外接球的半径为，则，解得．
平面过正四面体的外接球的球心，
平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为．
13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是 27 ．
【解析】正四面体的外接球和内切球的半径之比为，正四面体的外接球和内切球的体积比是，
正四面体的内切球体积是1，该正四面体的外接球的体积是27．
14．一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为 ．
【解析】如图，
一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，
原正四面体的棱长为，设底面三角形的中心为，则，
正四面体的高．
再设正四面体外接球的球心为，连接，则，解得．
该四面体的外接球的表面积为．
专题03 对棱相等的外接球问题
1．对棱相等模型
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以.
【例题分析】
例1．三棱锥中，已知，，，那么该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】三棱锥的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，
它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：，，
体对角线的长为球的直径，
它的外接球半径是，
外接球的表面积是，
选．
例2．如图所示三棱锥，其中，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】如图，三棱锥的三条侧棱两两相等，把它扩展为长方体，
它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：5，6，7，体对角线的长为球的直径，
．它的外接球半径是．外接球的表面积是．
【巩固提升】
1．四面体一组对棱分别相等，长度依次为，，5，求四面体的外接球表面积
【解析】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，
可将其补为一个三个面上对角线分别为，，5的长方体，如图所示：
长方体的三边长分别为2，3，4，
长方体的外接球即是四面体的外接球，四面体的外接球的半径为，
四面体的外接球的表面积为：，
2．在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为，，5则此四面体的外接球的半径为
A． B．5 C． D．4
【解析】四面体中，三组对棱棱长分别相等，
故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为，，5的长方体，
则其外接球的直径，
则
选．
3．如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，
可得长方体的三条对角线分别为，2，，
即，，，
解得：，，．
外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．
选．
4．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为
【解析】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，
则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
，三棱锥外接球的直径为，
三棱锥外接球的表面积为．
5．在四面体中，三组对棱棱长相等且依次为，此四面体外接球半径为
【解析】四面体中，三组对棱棱长分别相等，
故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为，的长方体，
则其外接球的直径，则
6．已知三棱锥，三组对棱两两相等，且，，若三棱锥的外接球表面积为．则
【解析】将四面体放置于长方体中，如图所示．
四面体的顶点为长方体八个顶点中的四个，长方体的外接球就是四面体的外接球，
，，且三组对棱两两相等，
设，得长方体的对角线长为，
可得外接球的直径，所以
三棱锥的外接球表面积为，
，解得，即，解之得，因即．
7．已知四面体中三组对棱分别相等，且长分别为2，，，则四面体的外接球的半径为 ．
【解析】四面体中，三组对棱棱长分别相等，
故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为2，，，的长方体，
则其外接球的直径，
则
故答案为：
8．已知三棱锥，三组对棱两两相等，即，，则三棱锥的外接球表面积是 ．
【解析】将四面体放置于长方体中，如图所示．
四面体的顶点为长方体八个顶点中的四个，
长方体的外接球就是四面体的外接球，
，，
长方体的对角线长为，
可得外接球的直径，所以
因此，外接球的表面积为．
故答案为：
9．在四面体中，三组对棱两两相等，分别为，，，则该四面体外接球的表面积为 ．
【解析】四面体的三组对棱两两相等，分别为，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为，，，
则长方体的对角线长等于四面体外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
四面体外接球的直径为，
四面体外接球的表面积为．
10．在四面体中，，，，则该四面体外接球的体积为 ．
【解析】由于三棱锥相对的棱长对应相等，放入到长方体中，可得外接球的直径等于长方体的对角线，
由题意设长方体的棱长分别为，，，外接球的半径为，
则，解得，
所以，即，
所以外接球的体积，
11．三棱锥，，，则它的外接球的表面积为 ．
【解析】三棱锥中，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3，
则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
，
三棱锥外接球的直径为，
三棱锥外接球的表面积为．
12．在三棱锥中，若，，则其的外接球的表面积为 ．
【解析】三棱锥中，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为5，5，，
则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
三棱锥外接球的直径为
三棱锥外接球的表面积为．
13．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，
则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
三棱锥外接球的直径为，三棱锥外接球的表面积为．
专题04 直棱柱的外接球问题
1．直棱柱模型：
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【例题分析】
例1.正三棱柱内接于半径为2的球，若，两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 ．
【解析】正三棱柱内接于半径为2的，又，两点的球面距离为，故，
是等腰直角三角形，，则的外接圆半径为，
则点到平面的距离为，正三棱柱高，又的面积，
正三棱柱的体积．
例2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于 ．
【解析】设底面三角形的外心是，，
在中，，
可得，
由正弦定理，，
可得外接圆半径，
设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，
故此球的表面积为
例3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .
【解析】设正六边形边长为，高为，底面外接圆的半径为，则，
底面积为，
， 解得，
代入，解得，
所以球的体积为.
【巩固提升】
1．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为
【解析】由俯视图是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，故底面外接圆半径，
由主视图可得几何体的高为2，故球心到底面的距离，故球半径，
故该直三棱柱外接球的表面积为，
2．在直三棱柱中，，，，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为
【解析】在直三棱柱中，，，，，
构造长方体，长方体的外接球就是直三棱柱的外接球，
直三棱柱外接球的半径为13，，，
直三棱柱的表面积为：
3．在直三棱柱中．侧棱长为，，则此三棱柱的外接球的半径
A．1 B． C．2 D．4
【解析】在直三棱柱中．侧棱长为，，
取上底和下底的中心分别为、，
则的中点为三棱柱的外接球的球心，
为三棱柱的外接球的半径，
，，．
此三棱柱的外接球的半径．
选．
4．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】该直三棱柱的底面外接圆直径为，
所以，外接球的直径为，则，
因此，该三棱柱的外接球的体积为．
选．
5．已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意可知直三棱柱中，底面小圆的半径为，
由正弦定理得到，所以，
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，
外接球的半径为：，外接球的表面积为：；选．
6．在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积
A． B． C． D．
【解析】如图，把直三棱柱补形为长方体，
则其外接球的半径，该三棱柱外接球的体积为．选．
7．某直三棱柱侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球表面积是
A． B． C． D．
【解析】由于直三棱柱的底面为等腰直角三角形，
把直三棱柱补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
所以外接球半径为，表面积为．
选．
8．直三棱柱中，，，则该三棱柱的外接球的表面积为
【解析】在直三棱锥中，，，，
面，即直三棱柱的底面为等腰直角三角形，
把直三棱柱补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
设，分别为，的中点，则的中点为球心，球的半径，
故表面积为
9．正四棱柱中，，二面角的大小为，则该正四棱柱外接球的表面积为
【解析】如图，，交于，易证为二面角的平面角，即，
从而，
，，，
外接球直径为，
外接球半径为，．选．
10．正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为，则该正六棱柱的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为，
底面对角线的长度为：；
所以该正六棱柱的外接球的半径为：．
所以该正六棱柱的外接球的表面积是：．
选．
11．正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为1，则该正六棱柱的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】正六棱柱的侧面是正方形，
底面的边长为1，则底面最长对角线的长度为2．
因此该正六棱柱的外接球的半径．
该正六棱柱的外接球的表面积．
选．
12．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】正六棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的直径，就是正六棱柱的对角线的长，
所以球的直径为：，
所以球的表面积为：．
选．
13．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】设正六棱柱的底面边长为，高为，则，，
正六棱柱的体积，
当且仅当时，等号成立，此时，
可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为，
外接球的表面积为．选．
14．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，
一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，
直六棱柱的外接球的直径为，
外接球的半径为5，外接球的体积为．选．
15．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是 ．
【解析】棱长均为6的直三棱柱，即正三棱柱的底面边长为6，
底面所在平面截其外接球所成的圆的半径，
又由正三棱柱的侧棱长为6，则球心到圆的球心距，
根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，
满足勾股定理，我们易得球半径满足：，
外接球的表面积．
故答案为：．
16．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 ．
【解析】因为是直三棱柱，所以侧棱垂直于底面，
并且底面是直角三角形，故可以将该三棱柱嵌入长方体中，长、宽、高分别为，
设外接球半径为，则，所以，
所以体积．
故答案为：．
17．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为 ．
【解析】如图所示，设与△的外接圆的圆心分别为，，半径为．
连接，取中点为，则为此三棱柱外接球的球心．
在中，．
．
此三棱柱外接球的表面积．
18．已知在直三棱柱中，，，若此三棱柱的外接球的体积为，则
【解析】如图，设三棱柱的外接球的半径为，则，得．
由于直三棱柱的外接球的球心是的中点，，
在中，，在中，．
19．在直三棱柱中，侧棱长为，在底面中，，则此直三棱柱的外接球的表面积为 ．
【解析】由题意可知直三棱柱中，底面小圆的半径为，
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：，
外接球的表面积为：．
20．在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱外接球表面积为 ．
【解析】由题意可知直三棱柱中，，，，可得，
设底面的小圆半径为，则，可得；
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，则
外接球的表面积；
21．在直三棱柱中，且，，则此三棱柱外接球的表面积为 ．
【解析】由题意可知直三棱柱中，，，，
底面小圆的半径满足：，即，
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：
三棱柱的外接球的表面积为：；
22．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为 ．
【解析】三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，
可将棱柱补成长方体，长方体的对角线，即为球的直径，
球的半径为，
球的表面积为，
23．已知直三棱柱中，，侧面的面积为16，则直三棱柱外接球的半径的最小值为 ．
【解析】设，，则，
直三棱柱中，，
直三棱柱外接球的半径为，
直三棱柱外接球半径的最小值为．
24．已知直三棱柱的高为，，，则该三棱柱外接球的表面积为 ；
【解析】设直三棱柱的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点，，
设的外接圆半径为，直三棱柱的外接球的半径为，如图所示：，
直三棱柱的外接球的球心为线段的中点，
在中，，，由正弦定理得：，，
在中，，，，，
直三棱柱的外接球的表面积为：，
25．在正四棱柱中，，，则正四棱柱的外接球的表面积为 ．
【解析】正四棱柱的各顶点均在同一球的球面上，
正四棱柱的体对角线等于球的直径，
正四棱柱中，，，
正四棱柱的体对角线，
球的直径，
即球的半径，
球的表面积为，
26．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为 ．
【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，，
正四棱柱的外接球半径为，
当且仅当时，半径的最小值，外接球的表面积的最小值为．
27．正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方形的边长，射线交球的表面点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为 ．
【解析】由题意，点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径是四段大圆上的相等的弧．
正四棱柱中，，，
四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为，
四棱柱的外接球的半径为，，
所在大圆，所对的弧长为，
点经过的路径长为．
28．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为 ．
【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，
一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，
直六棱柱的外接球的直径为5，外接球的半径为，
外接球的表面积为．
29．在直四棱柱中，，，四边形的外接圆的圆心在线段上．若四棱柱的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为 ．
【解析】由题意四边形的外接圆的圆心在线段上，
可得和都是以为斜边的直角三角形，
因为，所以．
因为，所以，
所以四边形的面积．
因为四棱柱的体积为36，所以，
所以该四棱柱的外接球的半径，
故该四棱柱的外接球的体积为．
30．已知六棱柱的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为，则该六棱柱外接球的表面积等于 ．
【解析】设，
六棱柱的侧面积为48，底面积为，
，，
，，
该正六棱柱的外接球的半径．
该正六棱柱的外接球的表面积．
31．正六棱柱的底面边长为，高为，则它的外接球的表面积为 ．
【解析】正六棱柱的12个顶点都在同一球面上，
球的直径等于正六棱柱的体对角线．
正六棱柱的底面边长为，高为，
正六棱柱的体对角线为，
设球的半径为，则．
球的半径，
外接球的表面积为．
32．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
【解析】设正六棱柱的底面边长为，高为，则，，
正六棱柱的体积，
当且仅当时，等号成立，此时，
可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为，
外接球的表面积为．
33．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为 ．
【解析】如图，正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线的长，
侧棱垂直于底面，
；
在中，由勾股定理得：，
，
即；
它的外接球的表面积为．
故答案为：．
34．已知正六棱柱的高为8，侧面积为144，则它的外接球的表面积为 ．
【解析】设正六棱柱的底面正六边形的边长为，
则正六棱柱的侧面积为，得，
因此，底面正六边形的外接圆直径为，
设它的外接球的半径为，则，
，因此，该正六棱柱的外接球的表面积为．
故答案为：．
专题05 直棱锥的外接球问题
1． 直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面）
如图，平面，求外接球半径.
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②.
【例题分析】
例1.球面上的四点平面，则球的体积等于
【解析】依题意，画出图形如下，并把四面体补全成棱长为的正方体，正方体的外接球半径，所以球的体积
例2.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．
【解析】因为侧棱底面，且底面为长方形，
所以内切球在侧面内的正视图为的内切圆，
设的半径为，根据圆的切线长定理得，
所以内切球的半径为；
设该阳马的外接球半径为，易知该阳马补形所得的正方体的对角线为其外接球的直径，
所以，
所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为.
例3.已知点，，，，是球表面上的点，平面，四边形是边长为正方形．若，则的面积为 ．
【解析】依题意，可将，，，，补全为长方体，让与重合，则球为该长方体的外接球，长方体的对角线即为球的直径．
是边长为正方形，平面，，
，
，，
为边长是的等边三角形，
．
【巩固提升】
1．已知三棱锥中，平面，平面，若，，则此三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】已知三棱锥中，平面，又平面，所以，
所以补全三棱锥为三棱柱，且为直三棱柱，则所在的平面就是直三棱柱对角线所在的一个面，
三棱锥的外接球的半直径就为的长度，
又因为，，可得就是所求的外接球的直径，
所以球的直径为，半径为：，
所以球的表面积为．
选．
2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为，则四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】因为底面为矩形，平面，所以，，而，所以面，所以，
所以为面角为，即，
在中，，
由题意可得四棱锥的外接球就是以，，为邻边的长方体的三条棱的外接球，
设外接球的半径为，则，
所以四棱锥的外接球的表面积，选．
3．在三棱锥中，平面，，底面是边长为3的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】根据已知中底面是边长为3的正三角形，平面，，
可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球，
是边长为3的正三角形，
的外接圆半径，球心到的外接圆圆心的距离，
故球的半径．
三棱锥外接球的表面积为：．选．
4．三棱锥中，平面且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】根据已知中底面是边长为的正三角形，底面，
可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球
是边长为的正三角形，
的外接圆半径，
球心到的外接圆圆心的距离，故球的半径，
故三棱锥外接球的表面积，选．
5．三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为
A． B． C． D．
【解析】，，，，
的外接圆的半径，
设三棱锥的外接球的球心到平面的距离为，则，
该三棱锥的外接球半径为，表面积为：，选．
6．在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，侧棱平面，平面，，
，，平面，，，两两垂直，
将三棱锥扩充为长方体，则对角线长为，
三棱锥的外接球的半径为，
三棱锥的外接球的表面积为，
选．
7．在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】，，由余弦定理可得，
设外接圆的半径为，则，，
设球心到平面的距离为，则由勾股定理可得，
，，
三棱锥的外接球的表面积为．
选．
8．在三棱锥中，平面，，，，设为中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】在中，，，，
由余弦定理得：，
即，
解得：．设的外接圆半径为，
由正弦定理得解得：；
且，
又为中点，在中，，，．由余弦定理得：，
即：，解得．
又因为平面，所以为直线与平面所成角，由，得，，
所以在中，．
设三棱锥的外接球半径为，所以，
三棱锥外接球表面积为：．
故答案为：．
09．如图，在三棱锥中，平面，，．若三棱锥外接球的半径为，则直线与平面所成角的正切值为 ．
【解析】如图，设为的外心，为三棱锥的外接球的球心
由平面，平面，知，
取的中点，由，知为的中点，且四边形为矩形，
又，，外接圆的半径，
在中，由，得，
，
直线与平面所成角的正切值为．
故答案为：．
10．在四棱锥中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为．记点的轨迹长度为，则 ；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图所示，
因为平面，垂足为，
则为直线与平面所成的角，
所以；
因为，所以，
所以点位于底面矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上，
记点的轨迹为圆弧，连接，则；
因为，，所以；
则弧的长度为，所以．
当点位于时，三棱锥的体积最小，
又，
所以三棱锥的外接球球心为的中点；
因为，
所以三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：；．
11．已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】依题意，，，
将三棱锥放入棱长为4，4，6的长方体中，如图所示：，
所以三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积，
12．已知四面体中，，，，平面，则四面体外接球的表面积为 ．
【解析】，，，
中，，可得
又平面，、平面，，
以、、为长、宽、高，作长方体如图所示
则该长方体的外接球就是四面体的外接球
长方体的对角线长为，长方体外接球的直径，得
因此，四面体的外接球体积为
13．如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为 ．
【解析】设三棱锥的外接球的球心为，半径为，的外接圆半径为，
则，得，又，
，即．
又，．
，
则．
三棱锥体积．
三棱锥体积的最大值为．
故答案为：．
14．已知在三棱锥中，平面，，且在中，，则三棱锥的外接球的体积为 ．
【解析】，，
，
，
，
面，，
该三棱锥的外接球的半径为，
该三棱锥的外接球的体积．
故答案为：．
15．矩形中，，，平面，，，分别是，的中点，则四棱锥的外接球表面积为
【解析】由题意，，，分别是，的中点，可得是正方形，
平面外接圆．
平面，即平面，
球心与圆心的距离为，
可得，
解得，，
四面体外接球的表面积为：．
故答案为：
16．在三棱锥中，平面，，，又，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】，，
由余弦定理可得，
，
外接圆的半径为，
设球心到平面的距离为，则由勾股定理可得，
三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
17．中国古代数学经典九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑biēnào．若三棱锥为鳖臑，且平面，，又该鳖臑的外接球的表面积为，则该鳖臑的体积为 ．
【解析】由题意，三棱锥为鳖臑，且平面，，如图：，
又该鳖臑的外接球的表面积为，可知为外接球的直径，则，
，
则该鳖臑的体积为：．
故答案为：．
19．三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图，在中，由正弦定理得，，，，
又平面，，，两两垂直，
故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1，，为的长方体内，
三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球．
易得外接球半径为，故外接球表面积为．
20．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为 ．
【解析】根据平面，，，，且四边形为矩形，
所以：，，，
设该阳马外接球的半径为，
所以，解得则：．
专题06 侧棱相等的外接球问题
1．侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高(也是圆锥的高)；
第三步：勾股定理：，解出.
2． 正棱锥外接球半径： .
【例题分析】
例1.已知四棱锥的的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为和的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为
【解析】因为底面是矩形，所以矩形的对角线为截面圆的直径.
由题意知该四棱锥外接球的球心在截面中的射影为的中点，此时，
在中，由勾股定理得，解得.
设该四棱锥外接球的半径为，则，所以在中，由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为.故选C.
例2.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 .
【解析】设，则，因为体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，所以，解得.
由，得或（舍），所以.
由题意知点为的中点，在中，，解得，
所以当截面垂直于时，截面圆的半径为，故截面圆面积的最小值是.
例3.在三棱锥中， ，且，则该三棱锥外接球的表面积为________.
【解析】设顶点在底面中的射影为，由于，所以，即点是底面的外心，又，所以为的中点，
因为，所以，
设外接球的球心为，半径为，则必在上，，
在中，，解得，所以.
例4.在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为
【解析】如图7所示，过点作底面ABC的垂线，垂足为，
设为外接球的球心，连接，因
，故，，又为直角三角形
，∴
∴，∴，∴
例5.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是 ．
【解析】显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，
又正六棱锥的高依题意可得为2，，斜高为：．
依此可求得正六棱锥的侧面积：
【巩固提升】
1．在三棱锥中，，且，，两两互相垂直，则三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】以、、为过同一顶点的三条棱，作正方体如图，
则正方体的外接球同时也是三棱锥外接球．
正方体的对角线长为，球直径为，半径，
因此，三棱锥外接球的体积为：，选．
2．在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】过点作平面于，则是在平面内的射影，
是直线与底面所成的角，得，
中，，，
设三棱锥外接球的球心为，，在平面内的射影是的外心
由此可得，外接球心必定在上，连接、、
中，，，可得，
三棱锥外接球的半径，该三棱锥外接球的表面积为．选．
3．三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，点在底面上的射影是的中点，是三角形的外心，令球心为，
，且，，又，
如图在直角三角形中，，即，
则该三棱锥外接球的表面积为．选．
4．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】在三棱锥中，由，
得顶点在底面三角形的投影为底面三角形的外心，
取的中点，则三棱锥的外接球的球心在它的高上，
设三棱锥的外接球的半径为，则，由题意可得，，
在中，，解得，所以球的表面积．选．
5．在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】如图，
由，过作平面，垂足为，则为三角形的外心，
在中，由，，可得，
则由正弦定理可得：，即．．
取中点，作交于，则为该三棱锥外接球的球心．
由，可得，则．
可知与重合，即该棱锥外接球半径为1．该三棱锥外接球的体积为．选．
6．正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】设等边三角形 的中心为，
根据正三棱雉的几何性质以及外接球的性质可知球心 在三棱锥的高上，
在等边三角形 中，延长交 于，
则且 是 的中点．
根据等边三角形的性质可知
，
所以，
设外接球的半径为，则，
即，
解得，
所以外接球的体积为．
选．
7．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接球的半径是
A．2 B． C． D．
【解析】正三棱锥的外接球的球心满足，
说明三角形在球的大圆上，并且为正三角形，
设球的半径为：，棱锥的底面正三角形的高为：
底面三角形的边长为，正三棱锥的体积为：
解得，则此三棱锥外接球的半径是，选．
8．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】如图所示，过作平面，垂足为，则为三角形的外心，
由题意可知，，
因为侧棱与底面成角，即，所以，
中，，解可得，
则正三棱锥的外接球的体积．
选．
9．如图，在三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若，则此正三棱锥外接球的体积是
A． B． C． D．
【解析】三棱锥正棱锥，（对棱互相垂直）
又而，平面即平面
，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球．
侧棱长为2，，
正三棱锥外接球的体积是．选．
10．已知正四棱锥中，，且所有的棱长相等，则该四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，设正四棱锥底面的中心为，设外接球的球心为，则在正四棱锥的高上．
在直角三角形中，，，则高，则，，
在直角三角形中，，解得，即与重合
即正四棱锥外接球的球心是它的底面的中心，且球半径
球的表面积，选
11．已知正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】过点作平面，则球心在直线上，设球心为，外接球半径为，如图所示：
四棱锥为正四棱锥，点为与的交点，，
在中，，，，
在中：，，，，解得，
该四棱锥外接球的表面积，选．
12．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】如图，设正四棱锥底面的中心为，则
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为2，
正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径，球的体积，选．
13．如图所示，正方形的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，正方形的边长为2，可得对角线的一半为，折成正四棱锥后，
设正四棱锥边长为，高为，可得：，．
正四棱锥体积最大时，即．
由，
则，
令，可得，
即当体积取得最大值；
．
正四棱锥底面正方形外接圆．
正四棱锥外接球的半径，可得
解得：
正四棱锥外接球的表面积．
选．
14．已知正六棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】
如图是正六棱锥的六分之一，
为高，
为外接球球心，
，
得，
得，
设，
在直角三角形中，
，
解得，
．
选．
15．已知是等腰直角三角形，斜边，是平面外的一点，且满足，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】，棱锥顶点在底面投影为的外心，
则的外接圆半径等于三棱锥外接球半径，
是等腰直角三角形，斜边，，外接圆半径，
则三棱锥外接球的半径，
故三棱锥外接球的表面积．
16．在中，，，，为外一点，满足，则三棱锥的外接球的半径为 ．
【解析】在中，，，，
所以，
为外一点，满足，
则平面，
球心为上一点，所以：，
设球的半径为，所以，
解得：．
故答案为：
17．如图，在四面体中，，点是点在平面上的投影，且，则四面体的外接球的体积为 ．
【解析】在四面体中，，点是点在平面上的投影，且，
，设，则，．
，，，，
，
如图，设为四面体的外接球的球心，
则，，
，
解得，
四面体的外接球的体积为．
故答案为：．
18．在三棱锥中，，，．顶点在平面内的射影为，若且，则三棱锥的外接球的体积为 ．
【解析】由于三棱锥的顶点在平面内的射影为点，
为球心，，
即，①
同理对①两边取点乘，可得，②
又③
由①②③解得，舍去），，，
，
，
又在直角三角形中，，解得，
则有球的体积．
19．．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】取中点，连结，，
在三棱锥中，，，且，
，，
由勾股定理可得：
，
，平面，
，
该三棱锥外接球的球心在上，设球半径为，
则，
，
解得，
该三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．
20．三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，，平面，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】由题意，底面是边长为的等边三角形，，平面，
把三棱锥放到正方体中，可得是正方体的三个平面对角线．
可得：正方体的边长为1；
三棱锥外接球半径．球的表面积为：．
21．在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图所示：，，
又，，，则，为直角三角形，外接圆的圆心在边的中点上，设外接圆的圆心为，所以三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，设外接球半径为，连接，，则，所以要使，点在的外接圆圆心的位置即可，
又，，，则，
由正弦定理可得：，解得：，三棱锥的外接球的表面积为：，
22．在三棱锥中，已知，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】如图，作平面，垂足为，连结，，．
因为，，所以平面，故，
同理得，故为的垂心．
又因为，
故，故为的外心．故为等边三角形，
因此，解得，故，
设三棱锥的外接球的半径为，
则，解得，
故外接球表面积为．
23．如图所示，已知四棱锥的底面为正方形，且，，则四棱锥外接球的体积为 ．
【解析】取与交点，记为，连接，由对称性可知底面，且外接球球心必在上．
设外接球半径为，球心为，做出剖面图如图所示：
则在中，由勾股定理有，解得，因此，外接球的体积为．
24．已知三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为 ．
【解析】如图所示：三棱锥，为正方体所截得的三棱锥，
所以三棱锥的外接球，即为正方体的外接球，则其外接球半径为，
所以外接球的体积为：．
25．已知三棱锥中，，是边长为2等边三角形，侧棱与底面所成夹角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】过点作平面于，则
是在平面内的射影
是直线与底面所成的角，得，
是边长为2等边三角形，
，
中，，
，，，互相垂直，
将三棱锥扩充为正方体，其外接球为三棱锥外接球，正方体的对角线长为，
三棱锥外接球的半径，
因此该三棱锥外接球的表面积为．
26．已知三棱锥的顶点在平面内的射影为点，侧棱，点为三棱锥的外接球的球心，，，已知，且，则球的表面积为 ．
【解析】由于三棱锥的顶点在平面内的射影为点，
为球心，，
即有，，，
由，①
则有，即有，②
同理对①两边取点乘，可得，③
又④
由②③④解得，，，，即有．
即有，
即为，
又，
即，⑤
又在直角三角形中，
，即有⑥
由⑤⑥解得，则有球的表面积．
27．已知是等腰直角三角形，斜边，是平面外的一点，且满足，，则三棱锥外接球的半径为 ；该球体积为 ．
【解析】如图所示，由，
所以三棱锥顶点在底面投影为的外心，
又是等腰直角三角形，斜边，
所以是的中点，则；
由球的对称性知的外接圆半径等于三棱锥外接球半径，
在中，，，
由正弦定理得，，
所以外接圆半径，
即三棱锥外接球的半径为；
所以三棱锥外接球的体积为．
28．在正三棱锥中，侧棱侧面，侧棱，则此正三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】三棱锥正棱锥且侧棱侧面，
，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
，，（3），
故答案为：．
29．在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于 ．
【解析】六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，
可得是该六棱锥外接球的直径，底面是边长为的正六边形的对角线差为：，
可得，
外接球的半径为：，
外接球的体积为：．
故答案为：
30．已知正六棱锥，，，则该六棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图，设点是正六边形的中心，
则，
由，得，
正六棱锥的外接球球心在所在的直线上，
设，则，，解得，
外接球半径，
该六棱锥的外接球的表面积．
专题07 侧棱为外接球直径的外接球问题
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形.
【例题分析】
例1．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为
A． B． C． D．
【解析】根据题意作出图形：
设球心为，过三点的小圆的圆心为，则平面，
延长交球于点，则平面．
，
，
高，
是边长为1的正三角形，
，
．
选C．
例2．已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内，根据球的性质，球心一定在垂线，
球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心，
在中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，
三棱锥外接球的表面积为，
例3．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且、都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是 ．
【解析】如图所示，连接，．、都是边长为1的等边三角形，，，．，．
三棱锥的体积．
【巩固提升】
1．在三棱锥中，，斜边上的高为1，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C．1 D．
【解析】当平面时，以、、为棱构造长方体，
此时三棱锥的外接球即该长方体的外接球，其直径为，
该外接球的表面积为，，
设，，在三棱锥中，，斜边上的高为1，
，
设斜边上的高为，则，
由，得，
，，，即，
当且仅当时，取等号，
当时，，解得，
此时三棱锥体积为．
由此排除，，选项，
选．
2．已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为
【解析】如图，
设三棱锥外接球的球心为，连接，，则，
，三棱锥为正四面体，过作平面，垂足为，
则，．
3．已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为
【解析】根据题意作出图形，设球心为，球的半径．过三点的小圆的圆心为，
则平面，延长交球于点，则平面．
是边长为4的等边三角形，，，高，
是边长为4正三角形，，
，，则球的表面积为
4．已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为
【解析】如下图所示，的面积，
设的外接圆为圆，连接，则平面，作圆的直径，连接，
、分别为、的中点，则，平面，
三棱锥的体积．，
由正弦定理得，，
设球的半径为，则，，因此，球的表面积为
5．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是
【解析】如图所示，连接，，、都是边长为1的等边三角形
，，
，．
三棱锥的体积
6．已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，若面面，则三棱锥的体积最大值为
A． B． C．1 D．2
【解析】如图，连接，，则，
两三棱锥高的和的最大值为．
要使三棱锥的体积最大，则面积最大为．
三棱锥的体积最大值为．
7．三棱锥的外接球为球，球的直径，且，都是等边三角形，则三棱锥的体积是
【解析】如图所示，连接，．
、都是边长为的等边三角形，
，，．
，．
三棱锥的体积．
8．已知三棱锥的外接球，为球的直径，且，，，那么顶点到平面的距离为
【解析】由于是球的直径，则和都是直角，
由于，，可得，
为中点，，
故三棱锥为正三棱锥，则到面的距离．
那么顶点到平面的距离为
9．已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为
【解析】根据题意作出图形：设球心为，过三点的小圆的圆心为，则平面，
延长交球于点，则平面．
，，高，
是边长为3的正三角形，，
三棱锥的体积为三棱锥
10．在三棱锥中，底面为△，且，斜边上的高为1，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为 ．
【解析】如图，
由外接球的表面积为，可得外接球的半径为2，则，
，，即，，
又，，平面，
，又，平面，
平面平面，
过作于，平面平面，
平面．
设，则，
又边上的高，
当平面时，棱锥体积最大，
此时．
当时，有最大值为．
故答案为：．
11．已知三棱锥的四个顶点均在某球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积 ．
【解析】根据题意作出图形
设球心为，球的半径．过三点的小圆的圆心为，
则平面，延长交球于点，则平面．
，
，
高，
是边长为4正三角形，
，
．
则球的表面积为．
12．已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】根据题意作出图形，
设球心为，球的半径．过三点的小圆的圆心为，
则平面，延长交球于点，则平面．
是边长为4的等边三角形，，
，
高，
是边长为4正三角形，
，
．
则球的表面积为．
故答案为：．
专题08 共斜边拼接的外接球问题
1． 共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等,故点就是四面体外接球的球心,公共的斜边就是外接球的一条直径.
【例题分析】
例1.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.
∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.
图2
∴外接球的半径.故.选C.
例2.三棱锥中，平面平面， ，,，则三棱锥的外接球的半径为
【解析】是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为.
【巩固提升】
1．在梯形中，，，，，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图：，，，，
取的中点，的中点，连结，，
平面平面，，平面，
，，，，，即外接球的半径为2，
此时三棱锥外接球的表面积为．选．
2．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角．则四面体的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】根据题意，画图如下：
在中，作，则为中点，且根据四边形是正方形，
可知．点即为四面体的外接球的球心，
，球．选．
3．在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，因为平面平面（折成直二面角），
所以平面，平面，得，．
取的中点，则．于是外接球的球心是，．
而．所以半径．
于是外接球的表面积为．选．
4．在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】平行四边形中，，，，
沿折成直二面角，
平面平面
三棱锥的外接球的直径为，
外接球的半径为1，故表面积是．选．
5．如图，在平面四边形中，，，．将该四边形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】
如图，因为平面平面，，则平面，从而．
因为，则平面，从而，所以是外接球的直径．
在中，，则球半径．
所以外接球的体积．选．
6．矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由于和都是直角三角形，且是公共的斜边，所以，线段的中点到点、、、的距离都相等，
因此，为四面体的外接球的直径，且，则外接球的半径为5，
因此，四面体的外接球的表面积为，
选．
7．如图，在平行四边形中，，，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是
【解析】平行四边形中，，，
沿折成直二面角，平面，平面，，
三棱锥的外接球的直径为，且
外接球的半径为1，表面积是．选．
8．如图所示，在平行四边形中，，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是
【解析】根据题意，可知折叠后的三棱锥如右图所示．
，，由此可得的中点即为外接球的球心
又二面角是直二面角，即平面平面，且
平面，可得是以为斜边的直角三角形
，中，
从而三棱锥的外接球的表面积，选．
9．平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角一，且，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】平行四边形中，，，
沿折成直二面角，
将四边形折起成直二面角一，平面平面
三棱锥的外接球的直径为，
，
，外接球的半径为1，
故表面积是．选．
10．在平行四边形中，，且，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】由题意可知，折成直二面角后，为外接球直径，
因为，所以，，；
选．
11．在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，
所以球心在对角线上，且其半径为长度的一半，
则．
选．
12．在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】平行四边形中，，，
沿折成直二面角，平面平面，
三棱锥的外接球的直径为，
，外接球的半径为1，故表面积是．选．
13．如图，二面角满足半平面，半平面内有一点（不在上），半平面内有一点（不在上），，在直线的射影分别为，，不重合），，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】设的中点，
二面角满足半平面，，在直线射影为，，不重合），，，
面，面；故；
；
三棱锥外接球的表面积为：；
14．已知等边三角形的边长为8，为边的中点，沿将折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为
【解析】如下图所示，
折叠前，由于时等边三角形，为的中点，则，
折叠后，则有，，，平面，
二面角为直二面角，，，则二面角的平面角为，
且，，
的外接圆直径为，
所以，三棱锥的外接球直径为，则，
因此，三棱锥的外接球的表面积为．
15．如图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为 ．
【解析】四边形中，，，；
沿折成直二面角，如图所示；
平面，平面，，；
三棱锥的外接球的直径为，且
外接球的半径为，它的体积为．
16．在矩形中，已知，，将该矩形沿对角线折成直二面角，则四面体的外接球的体积为 ．
【解析】矩形中，
，，
，
设交与，则是和的外心，
球心一定在过且垂直于的直线上，
也在过且垂直于的直线上，这两条直线只有一个交点
因此球半径，
四面体的外接球的体积．
17．将长宽分别为3和4的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为
【解析】因为球的球心到四面体四个顶点的距离相等，
所以球心到任意一个直角三角形的三个顶点的距离相等；
所以球心应当在经过直角三角形斜边中点并垂直于直角三角形的直线上，
这样就得到了两条直线，它们的交点就是两个直角三角形斜边的中点，
所以球半径就是
所以四面体的外接球的表面积为：
故答案为：
18．把边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为 ．
【解析】由题意，球的直径恰好是正方形对角线，
所以球的体积．
故答案为：．
19．在平行四边形中，，若将沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】平行四边形中，，，
，
沿折成直二面角，
平面，平面
，
三棱锥的外接球的直径为，且
外接球的表面积是．
故答案为：．
专题09 最值问题
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
【例题分析】
例1.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，
设球的半径为，此时，故，
则球的表面积为，选．
例2.已知三棱锥的顶点，，都在半径为2的球面上，是球心，，当与的面积之和最大时，三棱锥的体积为
A． B． C． D．
【解析】设球的半径为，
因为，
所以当时，取得最大值，
此时，所以平面，
所以.
例3.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 .
【解析】设，则，
因为体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，
所以，解得.
由，得或（舍），所以.
由题意知点为的中点，
在中，，解得，
所以当截面垂直于时，截面圆的半径为，
故截面圆面积的最小值是.
例4.已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为 ．
【解析】解过球心作平面，则为正三角形的中心，连结，则．
设三棱柱的底面边长为，则．．
．
棱柱的高．
棱柱的体积．
令．
则，令得或（舍或（舍．
当时，，当时，．
当时，（a）取得最大值，
当时，取得最大值1．
故答案为1．
例5.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为 ．
【解析】如图所示，设为外接球球心，三棱柱的高为，则由题意可知，，，，，
此时三棱柱的体积为，其中．
令，则，令，
则，当时，，函数增，
当时，，函数减．
故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．
故答案为：．
【巩固提升】
1．如图，四边形的面积为，且，把绕旋转，使点运动到，此时向量与向量的夹角为．则四面体外接球表面积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】由题意，设，，，
向量与向量的夹角为．则，
四面体外接球为
，
当且仅当时，取等号，
故四面体外接球表面积的最小值．
选．
2．已知长方体的体积，，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为
A． B． C． D．
【解析】设，，由于，所以．
根据长方体的对称性可知四面体的外接球的即为长方体的外接球，所以，
所以（当且仅当，等号成立）．
选．
3．如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点、分别为线段、上的动点，已知当取得最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】在上取点，使得，则，
当时，取得最小值，
即的最小值为，
为的中点，故而为的中点，
，，
设外接球的半径为，则，解得：．
外接球的表面积为．
选．
4．如图，直角三角形，，，将绕边旋转至’位置，若二面角’的大小为，则四面体’ 的外接球的表面积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】如图，
平面，是等腰三角形，，．
设，则，．
设外接圆的半径为，则，即．
四面体的外接球的半径满足．
四面体的外接球的表面积，
当时，．
选．
5．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵中，，，当阳马体积为时，堑堵的外接球的体积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】设，，则阳马体积，
，
把堑堵补形为长方体，
则长方体的对角线长，
当且仅当时上式取“”．
堑堵的外接球的体积的最小值为．
选．
6．在三棱锥中，平面，，，是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】如图所示：
三棱锥中，平面，，
是线段上一动点，线段长度最小值为，
则：当时，线段达到最小值，
由于：平面，
所以：，解得：，
所以：，
则：，
由于：，，
所以：
则：为等腰三角形．
所以：，
在中，设外接圆的直径为，则：，
所以：外接球的半径，
则：，
选．
7．已知棱长为2的正方体中，为中点，在线段上运动，则三棱锥的外接球的表面积最小值为
A． B． C． D．
【解析】连结，取中点，设上点到距离，连结，
过作垂直平面，设，为三棱锥的外接球的球心，
以为原点，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，，，，，，
则球半径，
，
三棱锥的外接球的表面积取最小值时，，
此时，解得，
球半径，
三棱锥的外接球的表面积最小值为：
．
选．
8．将面积为2的长方形沿对角线折起，使二面角的大小为，则三棱锥的外接球的体积的最小值是
A． B． C． D．与的值有关的数
【解析】将面积为2的长方形沿对角线折起，使二面角的大小为，则三棱锥的外接球的球心就是 的中点，三棱锥的外接球的体积的最小，就是球的半径最小，就是最短，由题意可设长方形的长为：，宽为：，所以，，此时，，球的半径为：1，
三棱锥的外接球的体积的最小值是：．选．
9．如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是，2，的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】由题意知，所以，
设外接球的半径为，则，
，
所以外接球的体积，选．
10．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球体积的最小值为
【解析】如图，设，由的面积为2，得，
，三角形外接圆的半径，平面，，
到平面的距离为，
设球的半径为，则，当且仅当时“”成立．
三棱锥的外接球体积的最小值为
11．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为
【解析】根据已知得三棱锥的外接球的半径，
，为外接球直径，则，且，，．
当点到平面距离最大时，三棱锥的体积最大，
此时平面平面，且点到平面的距离，
12．如图，在三棱锥中，，，，．三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积的最大值为
A． B． C． D．
【解析】设外接球的半径为，由题意得，，解得．
由题意知，都是直角三角形，
三棱锥的外接球的球心为的中点，且．
由，，可求得，，．
当三棱锥的体积最大时，平面平面．
三棱锥的体积的最大值为．选．
13．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】是等腰直角三角形，
为截面圆的直径，故外接球的球心在截面中的射影为的中点，
当，，共线且，位于截面同一侧时棱锥的体积最大，
棱锥的最大高度为，
，解得，
设外接球的半径为，则，，
在中，，
由勾股定理得：，解得．
外接球的体积．
选．
14．三棱锥中．，为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为．则三棱锥体积的最大值为
A．1 B．2 C． D．
【解析】如图所示，
过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，
则为二面角的平面角的补角，即有，
易知面，则，而为等边三角形，为中点，
设，，，
则，
故三棱锥的体积为：，
当且仅当时，体积最大，此时、、共线．
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
由已知，，得．
过点作于，则四边形为矩形，
则，，，
在中，，解得．
三棱锥的体积的最大值为：．
选．
15．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为
A．1 B．2 C．3 D．
【解析】如图所示，由，，
可得，，
，．
设的外接圆的半径为，，．
当平面时，该三棱锥取得体积的最大值为
由．
解得．
所以，
解得．
选．
16．在三棱锥中，，，为中点，，若该三棱锥的体积的最大值为，则其外接球表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意可得，
当且仅当，面时，该三棱锥的体积的最大值为，
设外接球的半径为，球心为，则由题意可得在上，底面外接圆的半径，
可得，即，
解得，
所以外接球的表面积，
选．
17．已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】延长交于，连接，
是的垂心，，
平面，平面，
，
又平面，平面，，
平面，又平面，，
连接并延长交于，连接，
由平面可得，
又，，平面，．
设在平面上的射影为，延长交于，连接．
，，平面．，．
是的中心，是的中点，
，
当，，两两垂直时，三棱锥体积取得最大值时，
三棱锥的外接球的半径满足：，解得．
体积．
选．
18．已知三棱锥的外接球的表面积为，，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
【解析】设棱锥的外接球的半径为，
由题知，，
，
为直角三角形，
外接球的球心到平面的距离为，
又，
要使三棱锥体积最大，当且仅当和外接球球心连线垂直于平面，
此时到平面的距离为：外接球的球心到平面的距离外接球的半径，即，
棱锥体积的最大值为．
选．
19．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为 ．
【解析】三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，且，，所以若为等边三角形，由于三棱锥体积的最大值为，
如图所示：
设该锥体的高为，则，解得，所以利用勾股定理，
所以，解得，故．
故答案为：
20．如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为 ．
【解析】设三棱锥的外接球的球心为，半径为，的外接圆半径为，
则，得，又，
，即．
又，．
，
则．
三棱锥体积．
三棱锥体积的最大值为．
故答案为：．
21．在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，
则为二面角的平面角的补角，即有，
易知面，则，而为等边三角形，
所以为中点，
设，，，
则，
故三棱锥的体积为：，
当且仅当时，体积最大，则，即，，
所以、、三点共线，
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
过点作于，则四边形为矩形，
则，，，
在中，，解得，
三棱锥的外接球的表面积为，
专题10 垂面的外接球问题
垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
【例题分析】
例1.已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】由题意知的中点为 外接圆的圆心，且平面平面
过 作面的垂线，则垂线 一定在面内，根据球的性质，球心一定在垂线上，
球心一定在平面 内，且球心也是 外接圆的圆心．
在 中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，三棱锥的外接球的表面积．
例2.已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内，根据球的性质，球心一定在垂线，
球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心，
在中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，三棱锥外接球的表面积为，
例3.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接．
由题意可得，且，．
因为平面平面，且，所以平面，且．
设为三棱锥外接球的球心，连接，，，过作，垂足为，
则外接球的半径满足，即，解得，
从而，故三棱锥外接球的表面积为．
例4．在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为 ．
【解析】取的中点，连接，，
在等边三角形中，，
在等边三角形中，，
由平面平面，，平面平面，
可得平面，即有，
为等腰直角三角形，
设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，
底面的中心为，面的外心为，
则，，
在直角三角形中，．
而，解得，则，解得，
故答案为：．
【巩固提升】
1．在边长为菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则
A． B． C． D．3
【解析】取的中点，连接，，
在等边三角形中，，
在等边三角形中，，
由平面平面，，平面平面，
可得平面，即有，
为等腰直角三角形，
设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，
底面的中心为，
在直角三角形中，，
而，解得，
则，解得，
选．
2．在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，过点 作 于， 为 的中点，
设 的外心是，半径是，连接，，，
由正弦定理得，则，
为的中点，，，所以，
因为平面平面， 于，平面平面，
则平面，所以直线 与平面 所成的角是，
则，即，
因为，所以，则，故，
设三棱锥 外接球球心是，
连接，，，过 作 于，
则平面，于是，从而 是矩形，
所以外接球半径满足：，解得．
所以外接球的表面积为．
选．
3．已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则
A． B． C． D．
【解析】设外接球球心，半径，由题意可得，，解可得，
根据题意可得为正三角形的中心，
因为，所以，，
所以正三角形的边长为，
由可得，
因为平面平面，所以，
所以．
选．
4．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】取的中点，连接，
中，，，，，
设的中心为，球心为，则，
设到平面的距离为，则，，，
四棱锥的外接球的表面积为．选．
5．如图所示，已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，，则多面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】设球心到平面的距离为，则
所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，
到平面的距离为，，，
∴多面体的外接球的表面积为．选．
6．在正方形中，，沿着对角线翻折，使得平面平面，得到三棱锥，若球为三棱锥的外接球，则球的体积与三棱锥的体积之比为
A． B． C． D．
【解析】由题意，三棱锥的外接球的球心为的中点，半径为，球的体积．
三棱锥的体积，
球的体积与三棱锥的体积之比为．
选．
7．已知四棱锥一中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】取的中点，
平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，
四棱锥的外接球的球心为正方形的中心，设半径为，
则，
，
四棱锥的外接球的表面积为．
选．
8．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】在三角形中，，，由余弦定理可得，
而在三角形中，，，，即为直角三角形，且为斜边，
因为平面平面，所以几何体的外接球的球心为为三角形 的外接圆的圆心，设外接球的半径为，则，即，所以外接球的表面积，选．
9．在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，取中点，连接，，
平面平面，和都是边长为的等边三角形，
平面，，
设过平面，平面的中心，且与垂直二平面的直线交于，
可知即为外接球球心，易知，，得，
，选．
10．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如下图所示，
，，又，，，
又平面平面，平面平面，平面，平面．
，所以，直角的外接圆直径为，
所以，三棱锥的外接球直径为．
因此，三棱锥的外接球的表面积为．选．
11．已知三棱锥中，，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则当平面平面时，三棱锥的表面积等于
A． B． C． D．
【解析】如图，取中点，连接，，由，，，
可得，即为三棱锥的外接球的球心，半径为．
由三棱锥的外接球的表面积为，得．
则当平面平面时，；．
∴三棱锥的表面积．选．
12．在三棱锥中，平面平面，，，，若此三棱锥的外接球表面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．7 B．12 C．6 D．
【解析】根据题意，设三棱锥外接球的半径为，
三棱锥的外接球球心为，的外心为，的外接圆半径为，
取的中点为，过作，
则平面，平面，
如图，连结，，则，
设，则，
由，解得，
在中，由正弦正理得，，解得，
在中，，解得，，，
若三棱锥的体积最大，则只需的面积最大，
在中，，
，解得，
，
三棱锥的体积的最大值．选．
13．如图，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，多面体为棱长为的正方体，切去一个角，
多面体的外接球的直径为，半径为，
多面体的外接球的表面积为．
选．
14．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，，平面平面，则三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】三棱锥中，是边长为的正三角形，
，平面平面，
，，
取中点，连结，，则，，
，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，1，，
设球心，，，则，
，
解得，，，，
三棱锥的外接球的体积．
选．
15．在三棱锥中，是等边三角形，平面平面．若该三棱锥外接球的表面积为，且球心到平面的距离为，则三棱锥的体积的最大值为
A． B． C．27 D．81
【解析】如图，
取等边三角形的中心，过作三角形的垂线，截去．
则为三棱锥外接球的球心，
设外接球半径为，由，得．
即，．
则，可得，过作平面，
则为三角形的外心，
连接并延长，角于，则为的中点，
要使三棱锥的体积最大，则共线，即为等边三角形，
此时三棱锥的高为．
三棱锥的体积的最大值为．
选．
16．在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，
如图所示：是边长为6的正三角形，
所以的中心到中点的距离为，
所以，所以，选．
17．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，取中点，连接并延长至的外心，
在中，由，，可得，
则，又，，则为以为斜边的直角三角形，
则中点为的外心，
平面平面，过作平面的垂线，故作平面的垂线，两垂线相交于，
为空间四边形的外接球的球心．
在中，由，得．
，则，
空间四边形的外接球的半径．
空间四边形的外接球的表面积．
选．
18．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为
A． B． C． D．
【解析】在边长为2的菱形中，；
如图，
由已知可得，与均为等边三角形，
取中点，连接，，则，
；
二面角为直二面角，则平面，
分别取与的外心，，过，分别作两面的垂线，相交于，
则为三棱锥的外接球的球心，
由与均为等边三角形且边长为2，
可得．
．
．
三棱锥的外接球的表面积为．
选．
19．在三棱锥中，与都是正三角形，平面平面，若该三棱锥的外接球的体积为，则边长为
A． B． C． D．6
【解析】三棱锥中，过的中心作平面，
过的中心作平面，、交于点，
则是三棱锥的外接球球心，连接，则是外接球的半径；
由该三棱锥的外接球体积为，
；
设的边长为，
，
，
，
即，
解得．
选．
20．在三棱锥中，与都是边长为6的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】取，中点分别为，，连接，，，
由题意知，，，
易知三棱锥的外接球球心在线段上，
连接，，有，，
，，，
三棱锥的外接球的体积为．
选．
21．把边长为3的正方沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】将边长为1的正方形，沿对角线把折起，使平面平面，则，；
三棱锥的外接球直径为，
外接球的表面积为．
选．
22．已知空间四边形，，，，且平面平面，则空间四边形的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】
借助长方体作出空间四边形，取中点，
在等腰中，，，
可求得，，
又，为正三角形，
外接球球心在过其中心垂直于平面的直线上，
如图：在中，求得，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
由列方程解得，从而即外接球半径，
外接球面积，
选．
23．如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为
【解析】设矩形对角线的交点为0，则由矩形对角线互相平分，可知．
点到四面体的四个顶点，，，的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图所示．
外接球的半径5．外接球的体积
24．在三棱锥中，，平面平面，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为
【解析】如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，的中点为，
则点在截面圆上运动，点在截面圆上运动，四边形为正方形，
由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时，与是等边三角形，
设，则，，，
由，解得，，，，，
则球的半径，所求外接球的表面积为，
专题11二面角模型
二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
【例题分析】
例1.在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，
则为二面角的平面角的补角，即有，
易知面，则，而为等边三角形，
所以为中点，
设，，，
则，
故三棱锥的体积为：，
当且仅当时，体积最大，则，即，，所以、、三点共线，
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
过点作于，则四边形为矩形，
则，，，
在中，，解得，
三棱锥的外接球的表面积为，
例2.在等腰直角中，，，为斜边的高，将沿折叠，使二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】沿折叠后二面角为，即折叠后，所以为等边三角形，
又因为，所以折叠后，
设点为三棱锥外接球的球心，为的外心，
所以，所以，
又，所以球心半径，
所以，
例3.在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图，取中点，连接，，
因为与均为边长为2的等边三角形，
所以，，则为二面角的平面角，即，
设与外接圆圆心分别为，，
则由，
可得，，
分别过作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，
记为，连接，，则由对称性可得，
所以，则，
则三棱锥外接球的表面积，
故答案为：．
例4.在平面五边形中，，，，，且．将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是 ．
【解析】设的中心为，，，故四边形为矩形，设矩形的中心为，过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线，则由球的性质可知，直线与的交点为几何体外接球的球心，取的中点，连接 ， ，
由条件得 ，，连接，，从而，
连接，则为所得几何体外接球的半径，在直角 中，，，
可得，即外接球的半径为，
故所得几何体外接球的表面积为
例5.在三棱锥中，，，，二面角、、的大小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为 ， ．
【解析】如图，二面角、、的大小相等，
在底面射影为底面三角形的内心，设为，
，，，，可得是以角为直角的直角三角形．
过作，连接，则为三角形内切圆的半径，且为二面角平面角为．
由等面积法求得：，得，可得三边上的斜高相等为．
设三棱锥的内切球半径为，
则，得；
如图，设是的中点，则是三角形的外心，三棱锥的外接球球心为，
则平面，则，，，共线，
在直角三角形中，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，
由，，得．
设三棱锥的外接球的半径为，即，
若与在平面的同侧，由直角梯形与直角三角形得：，无解；
若与在平面的异侧，则，解得，此时．
，则．
【巩固提升】
1．在三棱锥中，，，二面角是钝角．若三棱锥的体积为2．则三棱锥的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】取的中点，连结，，由已知和是全等的等腰三角形，所以，，
为二面角的平面角，且平面，，
所以，
又，故，
因为为钝角，所以，
设，的外接圆的圆心分别为，，
则，分别在，上且，连结，
由，其中，解得，同理，所以，
过，分别作平面，平面的垂线，两垂线的交点为四面体的外接球的球心，
连结，则平分，，
从而，，
在中，，，
外接球的半径为，
所以四面体外接球的表面积，选．
2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为，则四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】因为底面为矩形，平面，所以，，而，所以面，所以，
所以为面角为，即，
在中，，
由题意可得四棱锥的外接球就是以，，为邻边的长方体的三条棱的外接球，设外接球的半径为，
则，
所以四棱锥的外接球的表面积，
选．
3．如图，在体积为的四棱锥中，底面为边长为2的正方形，为等边三角形，二面角为锐角，则四棱锥外接球的半径为
A． B． C． D．
【解析】取的中点，的中点，连接，，，过作于，由，可得，，所以面，可得，，所以面，
所以，解得，
而为等边三角形，所以，
所以，所以可得，
可得，，，所以，所以，
取的中点，即四边形的对角线的交点，，过作垂直于底面，可得，取为外接球的球心，设外接球的半径为，连接，，则可得，
过作于，则四边形为矩形，所以，，
当，在面的同侧时，
在中，①
在中，②，由①②可得（舍，
当，在面的两侧时，
在中，③
过在中，②
由②③可得，，所以，选．
4．在四面体中，，，二面角的平面角为，则四面体外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】以中点为原点，以过垂直于平面的垂线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由题意可得，，0，，，0，，，，，，，，设球心，，，
则由，
可得，
解可得，，，，
所以四面体的外接球半径，
．
选．
5．如图，边长为4的正方形的对边、的中点为、，将此正方形沿着折成的二面角，连、得一直三棱柱，则此三棱柱外接球的表面积等于
A． B． C． D．
【解析】中，由余弦定理可得，
设的外接圆的半径为，则，，
设三棱柱外接球的半径为，则，
棱柱外接球的表面积，
选．
6．已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】
取中点，中点，
易知，，，且平面平面，
作交的延长线于，
则平面，
球心在过与平面垂直的直线上如图：
作于，
设，由已知条件可得，，
，，
从而，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，
由解得，
，
，
选．
7．在正方体中，为棱上一点，且，若二面角为，则四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】连接交于，则，
易知，则平面，
所以，
从而为二面角的平面角，
则．
因为，所以，
故四面体的外接球的表面积为．
选．
8．在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球心为，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】四边形是菱形，，
是等边三角形，过球心作平面，
则为等边的中心，取的中点为，则且，
由二面角的大小为，得，即．
，，，
在中，由，可得．
在中，，即，
设三棱锥的外接球的半径为，即，
三棱锥的外接球的表面积为，
选．
9．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】取的中点为，
由三棱锥中，，二面角的大小为，
得到和都是正三角形，
，，
是二面角的平面角，即，
设球心为，和中心分别为，，
则平面，平面，
，，
外接球半径，
外接球的表面积为．
选．
10．如图，直角三角形，，，将绕边旋转至’位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】如图，
平面，是等腰三角形，，．
设，则，．
设外接圆的半径为，则，即．
四面体的外接球的半径满足．
四面体的外接球的表面积，
当时，．
选．
11．四边形是菱形，，，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】如图，取的中点为，
设球心在平面内的射影为，
在平面内的射影为，
则二面角的平面角为，，
所以，，，
设，则，解得，
，球的半径，
所求外接球的体积为，
选．
12．在三棱锥中，与均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意如图所示：由与均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，设为的中点，可得，，
设，分别为，的外接圆的圆心，，，
过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心，
连接，，则为外接球的半径，可得，可得，而，所以，
在中：，
所以外接球的表面积，
选．
13．在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，二面角的大小为，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】由题意得，得到，取中点为，中点为，得到为的二面角的平面角，得到，设三角形 的外心为，则，，
球心为过的面的垂线与过的面 的垂线的交点，
在四边形中，，所以，所以球的表面积为．
故答案为：．
14．已知直三棱柱中，，，设二面角的平面角为，且，现在该三棱柱的内部空间放一个小球，设小球的表面积为，三棱柱的外接球的表面积为，则的最大值为 ．
【解析】取 中点为，连接，，，
容易得出，则，
因为，所以，
则二面角的平面角为，
在直角三角形 中，，
，，
直三棱柱的外接球的球心在矩形的中心，则，
由于的值为定值，则 取最大值，即小球的半径最大，
的内切圆的半径，
则小球的半径最大为，，故答案为．
15．在正方体中，是上一点，若平面与平面所成锐二面角的正切值为，设三棱锥外接球的直径为，则 ．
【解析】过作交于，过作于，连接，则为平面与平面所成锐二面角的平面角，，，
设，则，，则，
，则三棱锥外接球的直径，．
16．已知空间四边形中，，，，若二面角的取值范围为，，则该几何体的外接球表面积的取值范围为 ， ．
【解析】结合二面角的取值范围为，，则有：
①当二面角的取值范围为时，面面，此时外接圆的半径最小，设为，
则有，解得，此时外接圆的表面积
②当二面角的取值范围为或时，此时外接圆的半径最大，设为，
设为等边的中心，中点为外接圆的圆心，
过作面的垂线，过作面的垂线，两垂线的交点为空间四边形外接球球心，（如图）
在面内作，则，，
，则外接球表面积．
17．已知边长为6的菱形中，，沿对角线折成二面角的大小为的四面体且，则四面体的外接球的表面积为 ．
【解析】由边长为6的菱形中，，可知，，
在折起的四面体中，取 的中点，连接，，，
则，，，
面，为二面角的大小为，
在，上分别取，，
则，分别为三角形，的外接圆的圆心，
过，分别做两个三角形的外接圆的垂线，交于，则为四面体外接球的球心，
连接， 为外接球的半径．
则，所以，所以，
在三角形，，解得，
在三角形中，余弦定理可得，即，
所以外接球的表面积，
故答案为：．
18．已知三棱锥，，且、均为等边三角形，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积是 ．
【解析】如下图所示，
取的中点，连接、，则，且，
所以，二面角的平面角为，且，
则是边长为的正三角形，
如下图所示，设和的外心分别为点、，
则，
过点、在平面内作和的垂线交于点，则为该三棱锥的外接球球心，
易知，，所以，，，
所以，球的半径为，
因此，该三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
19．在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，且面与底面所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如下图所示，
由于为的外心，则，由题意知，平面，由勾股定理易得，
取的中点，由于为的外心，则，且，
平面，平面，则，又，，平面，
平面，，所以，，
且平面与平面所成的二面角的平面角为，，
因此，三棱锥的外接球的直径为，所以，，
因此，该三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
20．在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】过球心作平面，则为等边三角形的中心，
四边形是菱形，，是等边三角形，
设，交于点，则，
．
，，，，
，
球的半径．
三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
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专题12 坐标法姐姐外接球问题
1．坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度.
【例题分析】
例1. 如图小正方形边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则多面体外接球表面积为（ ）
А. B. C. D.
【解析】由三视图可知，该几何体为如图1所示的四棱锥，其中四边形为矩形.
图1 图2
如图2，建立空间直角坐标系，则，，.设球心的坐标为，
则，，，得到方程组
解之得，于是球心 . 所以该多面体的外接球半径，
因此其表面积为.故选C.
例2. 四面体在空间坐标系内的坐标分别为，，，，则该四面体的外接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设球心坐标为，
则，
解得，，，
四面体的外接球的半径为，
四面体的外接球的面积为，选．
【巩固提升】
1.空间直角坐标系中，棱长为6的正四面体的顶点，，，则正四面体的外接球球心的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．设点是底面的中心，则．
取的中点，连接、、，则平面．
则，．
在中，．
，即，解得．，
正四面体的外接球球心的坐标可以是，选．
2．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解析：如图，在长、宽、高分别为的长方体中，，为所在棱的中点，由三视图知识可知，几何体即为三棱锥，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示
则，，，，设球心为，
于是有，
解得，所以，
所以外接球的半径为，表面积为.
3．在三棱锥，平面，，，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【解析】法一 该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥，，，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，
因为六棱柱的外接球的直径为，，所以该球的表面积为。
法二 取该三棱锥的底边的中点为，连接，则，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则
，
设球心为，于是有， 则，
解得，所以，
所以外接球的半径为,表面积为.
4．正方体的棱长为2，为的中点，则三棱锥的外接球的体积为 .
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，
设外接球球心坐标为，则球心到，，，四点的距离相等，都等于半径，
即，解得
故外接球的半径为
外接球的体积为
5．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为 ．
【解析】解：由三视图知，该几何体中一个侧面与底面垂直，
由三视图的数据可得，，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则，，，，0，，，2，，，0，，
则三棱锥外接球的球心在平面上，设，0，；
由得，解得；
外接球的半径，
该几何体外接球的表面积为．
6．已知三棱锥，面，且， ，求三棱锥外接球的半径.
【解析】建立如图坐标系，， ， ，
面的外心，面的外心，
设球心.
联立，即
解得: .
故球心坐标为.
∴外接球半径.
布专题13圆锥圆柱圆台的外接球问题
1．球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为.通常在中，由勾股定理建立方程来计算.如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.
由图、图可知，或，故，所以.
2．球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足.
3．球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高.
【例题分析】
例1.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【解析】易知该几何体是圆锥，其外接球的球心恰好是正三角形的外心，因而半径为，
，选C．
例2.半径为的球中有一个内接圆柱，圆柱的侧面积为，则圆柱的体积为 .
【解析】如图，设圆柱的底面圆半径为，高为，则，
解得，或
当时，圆柱的体积；当时，圆柱的体积，
故答案为或.
例3.已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为 ．
【解析】设外接球的半径为，几何体的轴截面如图：
，，
且，得，
解得，球的表面积为．
故答案为：．
【巩固提升】
1．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，圆锥轴截面的顶角为，设该圆锥的底面圆心为，球的半径为，则，
由勾股定理可得，，
球的表面积为．选．
2．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆，
且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，
由题意的半径为，的边长为，
圆锥的底面半径为，高为3，
．选．
3．已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
【解析】设圆锥的底面半径是，母线长为，
圆锥的侧面积是其底面积的2倍，
，解得，则圆锥的轴截面是正三角形，
圆锥的外接球的表面积为，则外接球的半径，
且外接球的球心是轴截面（正三角形）的外接圆的圆心即重心，三角形的高是，
，解得，则圆锥的高为3，
该圆锥的体积，
选．
4．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】设外接球半径为，球心为，圆台较小底面圆的圆心为，
则：，
而，
故，，
，
选．
5．一个圆柱被一个平面截成体积相等的两部分几何体，如图，其中一部分几何体的主视图为等腰直角三角形，俯视图是直径为2的圆，则该圆柱外接球的表面积是
A．8 B． C． D．
【解析】根据几何体的三视图：转换为几何体为圆柱的一半，
故：圆柱的外接球的半径为：，
故球的表面积为：．
选
6．已知一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的外接球表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，
设圆柱的底面半径为，母线长为，则，即．
该圆柱的外接球的半径．
该圆柱的外接球表面积为．
选．
7．若一个圆柱的表面积为，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】设圆柱的底面半径为，高为，则，则．
设该圆柱的外接球的半径为，则，当且仅当，即时，等号成立．
故该圆柱的外接球的表面积的最小值为．
选．
8．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的
A．倍 B．2倍 C．倍 D．3倍
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球的半径为．则，
圆锥的母线与底面所成角为．圆锥的高为，母线长，
圆锥的侧面积为，，化简得：．选．
9．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角为，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是其底面半径的 倍
A． B． C．4 D．6
【解析】设圆锥与圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
则圆柱的外接球的表面积是，
圆锥的母线与底面所成角为，圆锥的母线长为，
故圆锥的侧面积是，
由题意得：，
故，即，选．
10．圆柱的底面直径和母线长均为2，则此圆柱的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】圆柱的底面半径与母线的一半都是1，圆柱外接球的半径为：．
圆柱的外接球的表面积为：．
选．
11．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为，高为的圆柱，上面是一个底面积为，高为的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，
其外接球的直径是，
设圆柱的底面圆半径为，母线长为，
则，解得，
又，
，
解得，
外接球的半径为，
外接球的体积为．
选．
12．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥外接球的体积是 ．
【解析】如图，
是等边三角形，其外接圆的半径就是圆锥外接球的半径，
的边长是2，高，外接圆的半径是．
故此圆锥外接球的体积为，
故答案为．
13．已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为 ．
【解析】依题意得，圆锥底面半径，高．
设圆锥外接球半径为，则，
即，解得：．
外接球的表面积为．
14．已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的外接球的表面积是 ．
【解析】圆锥的母线长为2，高为，
该圆锥的底面半径为，
由题意，圆锥轴截面的顶角为，
设该圆锥的底面圆心为，球的半径为，
由勾股定理可得，
解得，
球的表面积为．
15．一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为 ．
【解析】如图，设，则．
设，则底面圆的直径为，
该圆锥的侧面积为，解得，高．．
设圆锥外接球的半径为，所以，解得，则外接球的表面积为．
16．已知圆锥如图所示，底面半径为，母线长为，则此圆锥的外接球的表面积为 ．
【解析】由圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在上，
设球心为，球的半径为，则，圆，
由底面半径为，母线长为，得，
，，则有．解得，则．
17．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是 ．
【解析】如图，设母线长为，
，，，
，，
延长使，则为外接球球心，半径为4，表面积为，
18．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 ．
【解析】圆柱的底面半径为2，则底面直径为4，又圆柱的高为2，
则圆柱的轴截面是边长分别为4和2的矩形，如图：
则圆柱的外接球的半径为．该圆柱的外接球的表面积为．
19．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心．若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为
【解析】设正三棱锥的底面边长为，高为，如图所示：则圆柱高为，底面圆半径为，
利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径．由，可求得．
设正三棱锥的外接球的半径为，
则球心到底面距离为，，利用勾股定理，可得，故，
20．将一个长为，宽为2的矩形纸板，围成一个轴截面为正方形的圆柱的侧面，则圆柱外接球的体积为 ．
【解析】由题意知，围成圆柱的底面圆周长为，则底面圆半径为，
且圆柱的高为2，则圆柱外接球的直径为，所以，
所以外接球的体积为．
21．如图，将一个圆柱等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为 ，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为 ．
【解析】设圆柱的底面半径为，高，外接球半径，则即，所以圆柱的侧面积为，
即，当且仅当时取等号，
此时外接球的表面积最小．
22．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的2倍，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的 倍．
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球半径为，则；
由母线长为，所以圆锥的高为，
所以圆锥的侧面积为，即，化简得，所以，
求得圆柱的高与底面半径的比为
专题01 长方体的外接球问题
1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3．补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
【例题分析】
例1.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为
【解析】设正方体的棱长为，正方体外接球的半径为，
则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：，即
所以外接球的表面积为：
例2.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为 ．
【解析】由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．正四棱柱的对角线的长为球的直径，
现正四棱柱底面边长为，
设正四棱柱的高为，，解得，
那么该棱柱的表面积为
例3.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为 ．
【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，
由．
例4.已知三棱锥的顶点都在同一个球面上（球，且，，当三棱锥的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球的体积的比值是 ．
【解析】由题意三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，
三棱锥的三个侧面的面积之和最大，
三棱锥的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：
所以球的直径是4，半径为2，
所以三棱锥的体积，球的体积：，
所以该三棱锥的体积与球的体积的比值是．
【巩固提升】
1．张衡年年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为
【解析】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，
正方体的外接球半径满足：，则，
由题意知：，所以，，
该正方体的外接球的表面积为，
又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，
所以外接球的表面积为．
2．棱长为2的正方体的外接球的体积为
【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径
所以球的直径为：，所以球的半径为
正方体的外接球的体积
3．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的表面积为
【解析】正方体外接球的体积是，则外接球的半径，
所以正方体的对角线的长为4，棱长等于，
所以正方体的表面积为
4．已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的体积是
A． B． C． D．
【解析】正方体的外接球的体积是，正方体的外接球的半径，
设这个正方体的棱长为，则，解得，
这个正方体的体积
5．长方体的表面积为208，，则该长方体的外接球的表面积为
【解析】设长方体的三条棱长分别为，，．
由题意可得：，．
，
设该长方体的外接球的半径为，则．
其表面积．
6．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的外接球的表面积为
【解析】在长方体中，，与平面所成的角为，
平面，是与平面所成的角，，
，，，
该长方体的外接球的半径：，
该长方体的外接球的表面积为：．
7．在长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为
【解析】由题意可知，长方体的对角线长为，
则该长方体的外接球的半径为，因此，该长方体的外接球的表面积为．
8．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为
【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，，
正四棱柱的外接球半径为，当且仅当时，半径的最小值，
外接球的表面积的最小值为．
9．已知长方体的体积，，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为
【解析】设，，由于，所以．
根据长方体的对称性可知四面体的外接球的即为长方体的外接球，
所以，
所以（当且仅当，等号成立）．
10．若正方体的外接球的体积为，则此正方体的棱长为
【解析】设球的半径为，则，
解得：．
另设正方体的棱长为，则，
解得．
11．若某正方体的表面积为6，则该正方体的外接球的体积为
【解析】正方体的表面积为6，正方体的棱长为1，体对角线的长度为，
外接球的直径为，所以外接球的体积为，
12．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的体积为
【解析】设正方体的棱长为，且正方体外接球的直径为，
则，解得；
所以外接球的体积为，解得，
所以该正方体的体积．
13．正方体的棱长为，则此正方体的外接球的体积为 ．
【解析】正方体的棱长为，正方体的对角线长为，
则此正方体的外接球的半径为3，此正方体的外接球的体积为．
14．将一个长宽分别，的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为 ．
【解析】设减去的正方形边长为，
其外接球直径的平方
求导得，
因为有属于，所以，
15．如图，长方体中，其中，，外接球球心为点，外接球体积为，若的最小值为，则，两点的球面距离为 ．
【解析】设、两点在该球面上的球面距离为，
外接球体积为，，
球的直径即为长方体的对角线长，即，
若的最小值为，，
在等腰三角形中，
球心角，
利用球面距离公式得出：
故答案为：
专题02 正四面体的外接球问题
1．正四面体
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为.
【例题分析】
例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是
【解析】如图球的截面图就是正四面体中的，
已知正四面体棱长为2，所以，，所以，
截面面积是
例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为 .
【解析】依题意，正四面体的外接球半径，其表面积为
【巩固提升】
1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为 .
【解析】已知正四面体的棱长为1，过作，交于，
作平面，交于，连结，设球心为，则在上，连结，
，，，，
设球半径为，则，，解得
2．棱长为的正四面体的外接球和内切球的体积比是 .
【解析】把棱长为正四面体镶嵌在棱长为正方体内，外接球和内切球的球心重合，为正方体的中心，
外接球的球半径为：，，，
内切球的半径为：，外接球和内切球的半径之比为：，
正四面体的外球和内切球的体积比是，
3．如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是
A． B． C． D．
【解析】将侧面和展成平面图形，如图所示：
设正四面体的棱长为，则的最小值为，．
在正四面体的边长为2，
外接球的半径，外接球的体积．选．
4．表面积为的正四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】表面积为的正四面体的棱长为
将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为，
正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，
外接球的表面积的值为．选．
5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的对角线长为，
正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，
外接球的表面积的值为．选．
6．在棱长为的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为，则两圆的公共弦长是
A． B． C．1 D．
【解析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，
正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：，
所以球的半径为：，
设相互垂直两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为，其中点为，
则为矩形，于是对角线，
而，
，则；选．
7．如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是
A． B． C． D．
【解析】将三角形与三角形展成平面，最小值，即为两点之间连线距离，则
设，则，由余弦定理，解得，
则正四面体棱长为，因为正四面体的外接球半径是棱长的倍，
所以，设外接球半径为，则，则表面积．
选．
8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的对角线长为，
正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为：，
外接球的表面积的值为．
选．
9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】正方体可以在正四面体纸盒内任意转动，
正方体在正四面体的内切球中，正方体棱长最大时，正方体的对角线是内切球的直径，
点为内切球的圆心，连接并延长交底面与点，点是底面三角形的中心，
底面，为内切球的半径，
连接，则，在中，，，
在中，，
代入数据得，令正方体棱长为，则，解得，
正方体棱长的最大值为，此时正方体的外接球半径：．
当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是：．选
10．如图，在棱长为1的正四面体中，为的重心，是线段的中点，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】连接，四面体中，由为的重心，
可得面，是线段的中点，，，
为线段的中点，．
设三棱锥外接球的半径为，则，，
三棱锥外接球的表面积为．选．
11．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点、，若线段长度的最大值为，则这个四面体的棱长为 4 ．
【解析】设这个四面体的棱长为，则它的外接球与内切球的球心重合，
且半径，，
依题意得，．
12．已知正四面体的棱长为1，为棱的中点，则二面角的余弦值为 ；平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为 ．
【解析】如图，
为棱的中点，，，又，平面，
则为二面角的平面角，由对称性，可知二面角的平面角等于．
由正四面体的棱长为1，可得，则，
平面平分二面角，二面角的余弦值；
设的外心为，连接，求得，，
设正四面体的外接球的半径为，则，解得．
平面过正四面体的外接球的球心，
平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为．
13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是 27 ．
【解析】正四面体的外接球和内切球的半径之比为，正四面体的外接球和内切球的体积比是，
正四面体的内切球体积是1，该正四面体的外接球的体积是27．
14．一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为 ．
【解析】如图，
一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，
原正四面体的棱长为，设底面三角形的中心为，则，
正四面体的高．
再设正四面体外接球的球心为，连接，则，解得．
该四面体的外接球的表面积为．
专题03 对棱相等的外接球问题
1．对棱相等模型
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以.
【例题分析】
例1．三棱锥中，已知，，，那么该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】三棱锥的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，
它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：，，
体对角线的长为球的直径，
它的外接球半径是，
外接球的表面积是，
选．
例2．如图所示三棱锥，其中，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】如图，三棱锥的三条侧棱两两相等，把它扩展为长方体，
它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：5，6，7，体对角线的长为球的直径，
．它的外接球半径是．外接球的表面积是．
【巩固提升】
1．四面体一组对棱分别相等，长度依次为，，5，求四面体的外接球表面积
【解析】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，
可将其补为一个三个面上对角线分别为，，5的长方体，如图所示：
长方体的三边长分别为2，3，4，
长方体的外接球即是四面体的外接球，四面体的外接球的半径为，
四面体的外接球的表面积为：，
2．在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为，，5则此四面体的外接球的半径为
A． B．5 C． D．4
【解析】四面体中，三组对棱棱长分别相等，
故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为，，5的长方体，
则其外接球的直径，
则
选．
3．如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，
可得长方体的三条对角线分别为，2，，
即，，，
解得：，，．
外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．
选．
4．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为
【解析】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，
则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
，三棱锥外接球的直径为，
三棱锥外接球的表面积为．
5．在四面体中，三组对棱棱长相等且依次为，此四面体外接球半径为
【解析】四面体中，三组对棱棱长分别相等，
故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为，的长方体，
则其外接球的直径，则
6．已知三棱锥，三组对棱两两相等，且，，若三棱锥的外接球表面积为．则
【解析】将四面体放置于长方体中，如图所示．
四面体的顶点为长方体八个顶点中的四个，长方体的外接球就是四面体的外接球，
，，且三组对棱两两相等，
设，得长方体的对角线长为，
可得外接球的直径，所以
三棱锥的外接球表面积为，
，解得，即，解之得，因即．
7．已知四面体中三组对棱分别相等，且长分别为2，，，则四面体的外接球的半径为 ．
【解析】四面体中，三组对棱棱长分别相等，
故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为2，，，的长方体，
则其外接球的直径，
则
故答案为：
8．已知三棱锥，三组对棱两两相等，即，，则三棱锥的外接球表面积是 ．
【解析】将四面体放置于长方体中，如图所示．
四面体的顶点为长方体八个顶点中的四个，
长方体的外接球就是四面体的外接球，
，，
长方体的对角线长为，
可得外接球的直径，所以
因此，外接球的表面积为．
故答案为：
9．在四面体中，三组对棱两两相等，分别为，，，则该四面体外接球的表面积为 ．
【解析】四面体的三组对棱两两相等，分别为，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为，，，
则长方体的对角线长等于四面体外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
四面体外接球的直径为，
四面体外接球的表面积为．
10．在四面体中，，，，则该四面体外接球的体积为 ．
【解析】由于三棱锥相对的棱长对应相等，放入到长方体中，可得外接球的直径等于长方体的对角线，
由题意设长方体的棱长分别为，，，外接球的半径为，
则，解得，
所以，即，
所以外接球的体积，
11．三棱锥，，，则它的外接球的表面积为 ．
【解析】三棱锥中，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3，
则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
，
三棱锥外接球的直径为，
三棱锥外接球的表面积为．
12．在三棱锥中，若，，则其的外接球的表面积为 ．
【解析】三棱锥中，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为5，5，，
则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
三棱锥外接球的直径为
三棱锥外接球的表面积为．
13．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，
则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
三棱锥外接球的直径为，三棱锥外接球的表面积为．
专题04 直棱柱的外接球问题
1．直棱柱模型：
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【例题分析】
例1.正三棱柱内接于半径为2的球，若，两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 ．
【解析】正三棱柱内接于半径为2的，又，两点的球面距离为，故，
是等腰直角三角形，，则的外接圆半径为，
则点到平面的距离为，正三棱柱高，又的面积，
正三棱柱的体积．
例2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于 ．
【解析】设底面三角形的外心是，，
在中，，
可得，
由正弦定理，，
可得外接圆半径，
设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，
故此球的表面积为
例3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .
【解析】设正六边形边长为，高为，底面外接圆的半径为，则，
底面积为，
， 解得，
代入，解得，
所以球的体积为.
【巩固提升】
1．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为
【解析】由俯视图是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，故底面外接圆半径，
由主视图可得几何体的高为2，故球心到底面的距离，故球半径，
故该直三棱柱外接球的表面积为，
2．在直三棱柱中，，，，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为
【解析】在直三棱柱中，，，，，
构造长方体，长方体的外接球就是直三棱柱的外接球，
直三棱柱外接球的半径为13，，，
直三棱柱的表面积为：
3．在直三棱柱中．侧棱长为，，则此三棱柱的外接球的半径
A．1 B． C．2 D．4
【解析】在直三棱柱中．侧棱长为，，
取上底和下底的中心分别为、，
则的中点为三棱柱的外接球的球心，
为三棱柱的外接球的半径，
，，．
此三棱柱的外接球的半径．
选．
4．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】该直三棱柱的底面外接圆直径为，
所以，外接球的直径为，则，
因此，该三棱柱的外接球的体积为．
选．
5．已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意可知直三棱柱中，底面小圆的半径为，
由正弦定理得到，所以，
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，
外接球的半径为：，外接球的表面积为：；选．
6．在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积
A． B． C． D．
【解析】如图，把直三棱柱补形为长方体，
则其外接球的半径，该三棱柱外接球的体积为．选．
7．某直三棱柱侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球表面积是
A． B． C． D．
【解析】由于直三棱柱的底面为等腰直角三角形，
把直三棱柱补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
所以外接球半径为，表面积为．
选．
8．直三棱柱中，，，则该三棱柱的外接球的表面积为
【解析】在直三棱锥中，，，，
面，即直三棱柱的底面为等腰直角三角形，
把直三棱柱补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
设，分别为，的中点，则的中点为球心，球的半径，
故表面积为
9．正四棱柱中，，二面角的大小为，则该正四棱柱外接球的表面积为
【解析】如图，，交于，易证为二面角的平面角，即，
从而，
，，，
外接球直径为，
外接球半径为，．选．
10．正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为，则该正六棱柱的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为，
底面对角线的长度为：；
所以该正六棱柱的外接球的半径为：．
所以该正六棱柱的外接球的表面积是：．
选．
11．正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为1，则该正六棱柱的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】正六棱柱的侧面是正方形，
底面的边长为1，则底面最长对角线的长度为2．
因此该正六棱柱的外接球的半径．
该正六棱柱的外接球的表面积．
选．
12．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】正六棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的直径，就是正六棱柱的对角线的长，
所以球的直径为：，
所以球的表面积为：．
选．
13．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】设正六棱柱的底面边长为，高为，则，，
正六棱柱的体积，
当且仅当时，等号成立，此时，
可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为，
外接球的表面积为．选．
14．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，
一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，
直六棱柱的外接球的直径为，
外接球的半径为5，外接球的体积为．选．
15．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是 ．
【解析】棱长均为6的直三棱柱，即正三棱柱的底面边长为6，
底面所在平面截其外接球所成的圆的半径，
又由正三棱柱的侧棱长为6，则球心到圆的球心距，
根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，
满足勾股定理，我们易得球半径满足：，
外接球的表面积．
故答案为：．
16．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 ．
【解析】因为是直三棱柱，所以侧棱垂直于底面，
并且底面是直角三角形，故可以将该三棱柱嵌入长方体中，长、宽、高分别为，
设外接球半径为，则，所以，
所以体积．
故答案为：．
17．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为 ．
【解析】如图所示，设与△的外接圆的圆心分别为，，半径为．
连接，取中点为，则为此三棱柱外接球的球心．
在中，．
．
此三棱柱外接球的表面积．
18．已知在直三棱柱中，，，若此三棱柱的外接球的体积为，则
【解析】如图，设三棱柱的外接球的半径为，则，得．
由于直三棱柱的外接球的球心是的中点，，
在中，，在中，．
19．在直三棱柱中，侧棱长为，在底面中，，则此直三棱柱的外接球的表面积为 ．
【解析】由题意可知直三棱柱中，底面小圆的半径为，
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：，
外接球的表面积为：．
20．在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱外接球表面积为 ．
【解析】由题意可知直三棱柱中，，，，可得，
设底面的小圆半径为，则，可得；
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，则
外接球的表面积；
21．在直三棱柱中，且，，则此三棱柱外接球的表面积为 ．
【解析】由题意可知直三棱柱中，，，，
底面小圆的半径满足：，即，
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：
三棱柱的外接球的表面积为：；
22．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为 ．
【解析】三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，
可将棱柱补成长方体，长方体的对角线，即为球的直径，
球的半径为，
球的表面积为，
23．已知直三棱柱中，，侧面的面积为16，则直三棱柱外接球的半径的最小值为 ．
【解析】设，，则，
直三棱柱中，，
直三棱柱外接球的半径为，
直三棱柱外接球半径的最小值为．
24．已知直三棱柱的高为，，，则该三棱柱外接球的表面积为 ；
【解析】设直三棱柱的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点，，
设的外接圆半径为，直三棱柱的外接球的半径为，如图所示：，
直三棱柱的外接球的球心为线段的中点，
在中，，，由正弦定理得：，，
在中，，，，，
直三棱柱的外接球的表面积为：，
25．在正四棱柱中，，，则正四棱柱的外接球的表面积为 ．
【解析】正四棱柱的各顶点均在同一球的球面上，
正四棱柱的体对角线等于球的直径，
正四棱柱中，，，
正四棱柱的体对角线，
球的直径，
即球的半径，
球的表面积为，
26．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为 ．
【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，，
正四棱柱的外接球半径为，
当且仅当时，半径的最小值，外接球的表面积的最小值为．
27．正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方形的边长，射线交球的表面点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为 ．
【解析】由题意，点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径是四段大圆上的相等的弧．
正四棱柱中，，，
四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为，
四棱柱的外接球的半径为，，
所在大圆，所对的弧长为，
点经过的路径长为．
28．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为 ．
【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，
一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，
直六棱柱的外接球的直径为5，外接球的半径为，
外接球的表面积为．
29．在直四棱柱中，，，四边形的外接圆的圆心在线段上．若四棱柱的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为 ．
【解析】由题意四边形的外接圆的圆心在线段上，
可得和都是以为斜边的直角三角形，
因为，所以．
因为，所以，
所以四边形的面积．
因为四棱柱的体积为36，所以，
所以该四棱柱的外接球的半径，
故该四棱柱的外接球的体积为．
30．已知六棱柱的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为，则该六棱柱外接球的表面积等于 ．
【解析】设，
六棱柱的侧面积为48，底面积为，
，，
，，
该正六棱柱的外接球的半径．
该正六棱柱的外接球的表面积．
31．正六棱柱的底面边长为，高为，则它的外接球的表面积为 ．
【解析】正六棱柱的12个顶点都在同一球面上，
球的直径等于正六棱柱的体对角线．
正六棱柱的底面边长为，高为，
正六棱柱的体对角线为，
设球的半径为，则．
球的半径，
外接球的表面积为．
32．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
【解析】设正六棱柱的底面边长为，高为，则，，
正六棱柱的体积，
当且仅当时，等号成立，此时，
可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为，
外接球的表面积为．
33．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为 ．
【解析】如图，正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线的长，
侧棱垂直于底面，
；
在中，由勾股定理得：，
，
即；
它的外接球的表面积为．
故答案为：．
34．已知正六棱柱的高为8，侧面积为144，则它的外接球的表面积为 ．
【解析】设正六棱柱的底面正六边形的边长为，
则正六棱柱的侧面积为，得，
因此，底面正六边形的外接圆直径为，
设它的外接球的半径为，则，
，因此，该正六棱柱的外接球的表面积为．
故答案为：．
专题05 直棱锥的外接球问题
1． 直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面）
如图，平面，求外接球半径.
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②.
【例题分析】
例1.球面上的四点平面，则球的体积等于
【解析】依题意，画出图形如下，并把四面体补全成棱长为的正方体，正方体的外接球半径，所以球的体积
例2.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．
【解析】因为侧棱底面，且底面为长方形，
所以内切球在侧面内的正视图为的内切圆，
设的半径为，根据圆的切线长定理得，
所以内切球的半径为；
设该阳马的外接球半径为，易知该阳马补形所得的正方体的对角线为其外接球的直径，
所以，
所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为.
例3.已知点，，，，是球表面上的点，平面，四边形是边长为正方形．若，则的面积为 ．
【解析】依题意，可将，，，，补全为长方体，让与重合，则球为该长方体的外接球，长方体的对角线即为球的直径．
是边长为正方形，平面，，
，
，，
为边长是的等边三角形，
．
【巩固提升】
1．已知三棱锥中，平面，平面，若，，则此三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】已知三棱锥中，平面，又平面，所以，
所以补全三棱锥为三棱柱，且为直三棱柱，则所在的平面就是直三棱柱对角线所在的一个面，
三棱锥的外接球的半直径就为的长度，
又因为，，可得就是所求的外接球的直径，
所以球的直径为，半径为：，
所以球的表面积为．
选．
2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为，则四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】因为底面为矩形，平面，所以，，而，所以面，所以，
所以为面角为，即，
在中，，
由题意可得四棱锥的外接球就是以，，为邻边的长方体的三条棱的外接球，
设外接球的半径为，则，
所以四棱锥的外接球的表面积，选．
3．在三棱锥中，平面，，底面是边长为3的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】根据已知中底面是边长为3的正三角形，平面，，
可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球，
是边长为3的正三角形，
的外接圆半径，球心到的外接圆圆心的距离，
故球的半径．
三棱锥外接球的表面积为：．选．
4．三棱锥中，平面且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】根据已知中底面是边长为的正三角形，底面，
可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球
是边长为的正三角形，
的外接圆半径，
球心到的外接圆圆心的距离，故球的半径，
故三棱锥外接球的表面积，选．
5．三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为
A． B． C． D．
【解析】，，，，
的外接圆的半径，
设三棱锥的外接球的球心到平面的距离为，则，
该三棱锥的外接球半径为，表面积为：，选．
6．在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，侧棱平面，平面，，
，，平面，，，两两垂直，
将三棱锥扩充为长方体，则对角线长为，
三棱锥的外接球的半径为，
三棱锥的外接球的表面积为，
选．
7．在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】，，由余弦定理可得，
设外接圆的半径为，则，，
设球心到平面的距离为，则由勾股定理可得，
，，
三棱锥的外接球的表面积为．
选．
8．在三棱锥中，平面，，，，设为中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】在中，，，，
由余弦定理得：，
即，
解得：．设的外接圆半径为，
由正弦定理得解得：；
且，
又为中点，在中，，，．由余弦定理得：，
即：，解得．
又因为平面，所以为直线与平面所成角，由，得，，
所以在中，．
设三棱锥的外接球半径为，所以，
三棱锥外接球表面积为：．
故答案为：．
09．如图，在三棱锥中，平面，，．若三棱锥外接球的半径为，则直线与平面所成角的正切值为 ．
【解析】如图，设为的外心，为三棱锥的外接球的球心
由平面，平面，知，
取的中点，由，知为的中点，且四边形为矩形，
又，，外接圆的半径，
在中，由，得，
，
直线与平面所成角的正切值为．
故答案为：．
10．在四棱锥中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为．记点的轨迹长度为，则 ；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图所示，
因为平面，垂足为，
则为直线与平面所成的角，
所以；
因为，所以，
所以点位于底面矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上，
记点的轨迹为圆弧，连接，则；
因为，，所以；
则弧的长度为，所以．
当点位于时，三棱锥的体积最小，
又，
所以三棱锥的外接球球心为的中点；
因为，
所以三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：；．
11．已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】依题意，，，
将三棱锥放入棱长为4，4，6的长方体中，如图所示：，
所以三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积，
12．已知四面体中，，，，平面，则四面体外接球的表面积为 ．
【解析】，，，
中，，可得
又平面，、平面，，
以、、为长、宽、高，作长方体如图所示
则该长方体的外接球就是四面体的外接球
长方体的对角线长为，长方体外接球的直径，得
因此，四面体的外接球体积为
13．如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为 ．
【解析】设三棱锥的外接球的球心为，半径为，的外接圆半径为，
则，得，又，
，即．
又，．
，
则．
三棱锥体积．
三棱锥体积的最大值为．
故答案为：．
14．已知在三棱锥中，平面，，且在中，，则三棱锥的外接球的体积为 ．
【解析】，，
，
，
，
面，，
该三棱锥的外接球的半径为，
该三棱锥的外接球的体积．
故答案为：．
15．矩形中，，，平面，，，分别是，的中点，则四棱锥的外接球表面积为
【解析】由题意，，，分别是，的中点，可得是正方形，
平面外接圆．
平面，即平面，
球心与圆心的距离为，
可得，
解得，，
四面体外接球的表面积为：．
故答案为：
16．在三棱锥中，平面，，，又，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】，，
由余弦定理可得，
，
外接圆的半径为，
设球心到平面的距离为，则由勾股定理可得，
三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
17．中国古代数学经典九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑biēnào．若三棱锥为鳖臑，且平面，，又该鳖臑的外接球的表面积为，则该鳖臑的体积为 ．
【解析】由题意，三棱锥为鳖臑，且平面，，如图：，
又该鳖臑的外接球的表面积为，可知为外接球的直径，则，
，
则该鳖臑的体积为：．
故答案为：．
19．三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图，在中，由正弦定理得，，，，
又平面，，，两两垂直，
故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1，，为的长方体内，
三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球．
易得外接球半径为，故外接球表面积为．
20．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为 ．
【解析】根据平面，，，，且四边形为矩形，
所以：，，，
设该阳马外接球的半径为，
所以，解得则：．
专题06 侧棱相等的外接球问题
1．侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高(也是圆锥的高)；
第三步：勾股定理：，解出.
2． 正棱锥外接球半径： .
【例题分析】
例1.已知四棱锥的的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为和的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为
【解析】因为底面是矩形，所以矩形的对角线为截面圆的直径.
由题意知该四棱锥外接球的球心在截面中的射影为的中点，此时，
在中，由勾股定理得，解得.
设该四棱锥外接球的半径为，则，所以在中，由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为.故选C.
例2.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 .
【解析】设，则，因为体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，所以，解得.
由，得或（舍），所以.
由题意知点为的中点，在中，，解得，
所以当截面垂直于时，截面圆的半径为，故截面圆面积的最小值是.
例3.在三棱锥中， ，且，则该三棱锥外接球的表面积为________.
【解析】设顶点在底面中的射影为，由于，所以，即点是底面的外心，又，所以为的中点，
因为，所以，
设外接球的球心为，半径为，则必在上，，
在中，，解得，所以.
例4.在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为
【解析】如图7所示，过点作底面ABC的垂线，垂足为，
设为外接球的球心，连接，因
，故，，又为直角三角形
，∴
∴，∴，∴
例5.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是 ．
【解析】显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，
又正六棱锥的高依题意可得为2，，斜高为：．
依此可求得正六棱锥的侧面积：
【巩固提升】
1．在三棱锥中，，且，，两两互相垂直，则三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】以、、为过同一顶点的三条棱，作正方体如图，
则正方体的外接球同时也是三棱锥外接球．
正方体的对角线长为，球直径为，半径，
因此，三棱锥外接球的体积为：，选．
2．在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】过点作平面于，则是在平面内的射影，
是直线与底面所成的角，得，
中，，，
设三棱锥外接球的球心为，，在平面内的射影是的外心
由此可得，外接球心必定在上，连接、、
中，，，可得，
三棱锥外接球的半径，该三棱锥外接球的表面积为．选．
3．三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，点在底面上的射影是的中点，是三角形的外心，令球心为，
，且，，又，
如图在直角三角形中，，即，
则该三棱锥外接球的表面积为．选．
4．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】在三棱锥中，由，
得顶点在底面三角形的投影为底面三角形的外心，
取的中点，则三棱锥的外接球的球心在它的高上，
设三棱锥的外接球的半径为，则，由题意可得，，
在中，，解得，所以球的表面积．选．
5．在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】如图，
由，过作平面，垂足为，则为三角形的外心，
在中，由，，可得，
则由正弦定理可得：，即．．
取中点，作交于，则为该三棱锥外接球的球心．
由，可得，则．
可知与重合，即该棱锥外接球半径为1．该三棱锥外接球的体积为．选．
6．正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】设等边三角形 的中心为，
根据正三棱雉的几何性质以及外接球的性质可知球心 在三棱锥的高上，
在等边三角形 中，延长交 于，
则且 是 的中点．
根据等边三角形的性质可知
，
所以，
设外接球的半径为，则，
即，
解得，
所以外接球的体积为．
选．
7．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接球的半径是
A．2 B． C． D．
【解析】正三棱锥的外接球的球心满足，
说明三角形在球的大圆上，并且为正三角形，
设球的半径为：，棱锥的底面正三角形的高为：
底面三角形的边长为，正三棱锥的体积为：
解得，则此三棱锥外接球的半径是，选．
8．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】如图所示，过作平面，垂足为，则为三角形的外心，
由题意可知，，
因为侧棱与底面成角，即，所以，
中，，解可得，
则正三棱锥的外接球的体积．
选．
9．如图，在三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若，则此正三棱锥外接球的体积是
A． B． C． D．
【解析】三棱锥正棱锥，（对棱互相垂直）
又而，平面即平面
，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球．
侧棱长为2，，
正三棱锥外接球的体积是．选．
10．已知正四棱锥中，，且所有的棱长相等，则该四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，设正四棱锥底面的中心为，设外接球的球心为，则在正四棱锥的高上．
在直角三角形中，，，则高，则，，
在直角三角形中，，解得，即与重合
即正四棱锥外接球的球心是它的底面的中心，且球半径
球的表面积，选
11．已知正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】过点作平面，则球心在直线上，设球心为，外接球半径为，如图所示：
四棱锥为正四棱锥，点为与的交点，，
在中，，，，
在中：，，，，解得，
该四棱锥外接球的表面积，选．
12．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】如图，设正四棱锥底面的中心为，则
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为2，
正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径，球的体积，选．
13．如图所示，正方形的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，正方形的边长为2，可得对角线的一半为，折成正四棱锥后，
设正四棱锥边长为，高为，可得：，．
正四棱锥体积最大时，即．
由，
则，
令，可得，
即当体积取得最大值；
．
正四棱锥底面正方形外接圆．
正四棱锥外接球的半径，可得
解得：
正四棱锥外接球的表面积．
选．
14．已知正六棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】
如图是正六棱锥的六分之一，
为高，
为外接球球心，
，
得，
得，
设，
在直角三角形中，
，
解得，
．
选．
15．已知是等腰直角三角形，斜边，是平面外的一点，且满足，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】，棱锥顶点在底面投影为的外心，
则的外接圆半径等于三棱锥外接球半径，
是等腰直角三角形，斜边，，外接圆半径，
则三棱锥外接球的半径，
故三棱锥外接球的表面积．
16．在中，，，，为外一点，满足，则三棱锥的外接球的半径为 ．
【解析】在中，，，，
所以，
为外一点，满足，
则平面，
球心为上一点，所以：，
设球的半径为，所以，
解得：．
故答案为：
17．如图，在四面体中，，点是点在平面上的投影，且，则四面体的外接球的体积为 ．
【解析】在四面体中，，点是点在平面上的投影，且，
，设，则，．
，，，，
，
如图，设为四面体的外接球的球心，
则，，
，
解得，
四面体的外接球的体积为．
故答案为：．
18．在三棱锥中，，，．顶点在平面内的射影为，若且，则三棱锥的外接球的体积为 ．
【解析】由于三棱锥的顶点在平面内的射影为点，
为球心，，
即，①
同理对①两边取点乘，可得，②
又③
由①②③解得，舍去），，，
，
，
又在直角三角形中，，解得，
则有球的体积．
19．．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】取中点，连结，，
在三棱锥中，，，且，
，，
由勾股定理可得：
，
，平面，
，
该三棱锥外接球的球心在上，设球半径为，
则，
，
解得，
该三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．
20．三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，，平面，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】由题意，底面是边长为的等边三角形，，平面，
把三棱锥放到正方体中，可得是正方体的三个平面对角线．
可得：正方体的边长为1；
三棱锥外接球半径．球的表面积为：．
21．在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图所示：，，
又，，，则，为直角三角形，外接圆的圆心在边的中点上，设外接圆的圆心为，所以三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，设外接球半径为，连接，，则，所以要使，点在的外接圆圆心的位置即可，
又，，，则，
由正弦定理可得：，解得：，三棱锥的外接球的表面积为：，
22．在三棱锥中，已知，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】如图，作平面，垂足为，连结，，．
因为，，所以平面，故，
同理得，故为的垂心．
又因为，
故，故为的外心．故为等边三角形，
因此，解得，故，
设三棱锥的外接球的半径为，
则，解得，
故外接球表面积为．
23．如图所示，已知四棱锥的底面为正方形，且，，则四棱锥外接球的体积为 ．
【解析】取与交点，记为，连接，由对称性可知底面，且外接球球心必在上．
设外接球半径为，球心为，做出剖面图如图所示：
则在中，由勾股定理有，解得，因此，外接球的体积为．
24．已知三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为 ．
【解析】如图所示：三棱锥，为正方体所截得的三棱锥，
所以三棱锥的外接球，即为正方体的外接球，则其外接球半径为，
所以外接球的体积为：．
25．已知三棱锥中，，是边长为2等边三角形，侧棱与底面所成夹角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】过点作平面于，则
是在平面内的射影
是直线与底面所成的角，得，
是边长为2等边三角形，
，
中，，
，，，互相垂直，
将三棱锥扩充为正方体，其外接球为三棱锥外接球，正方体的对角线长为，
三棱锥外接球的半径，
因此该三棱锥外接球的表面积为．
26．已知三棱锥的顶点在平面内的射影为点，侧棱，点为三棱锥的外接球的球心，，，已知，且，则球的表面积为 ．
【解析】由于三棱锥的顶点在平面内的射影为点，
为球心，，
即有，，，
由，①
则有，即有，②
同理对①两边取点乘，可得，③
又④
由②③④解得，，，，即有．
即有，
即为，
又，
即，⑤
又在直角三角形中，
，即有⑥
由⑤⑥解得，则有球的表面积．
27．已知是等腰直角三角形，斜边，是平面外的一点，且满足，，则三棱锥外接球的半径为 ；该球体积为 ．
【解析】如图所示，由，
所以三棱锥顶点在底面投影为的外心，
又是等腰直角三角形，斜边，
所以是的中点，则；
由球的对称性知的外接圆半径等于三棱锥外接球半径，
在中，，，
由正弦定理得，，
所以外接圆半径，
即三棱锥外接球的半径为；
所以三棱锥外接球的体积为．
28．在正三棱锥中，侧棱侧面，侧棱，则此正三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】三棱锥正棱锥且侧棱侧面，
，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
，，（3），
故答案为：．
29．在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于 ．
【解析】六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，
可得是该六棱锥外接球的直径，底面是边长为的正六边形的对角线差为：，
可得，
外接球的半径为：，
外接球的体积为：．
故答案为：
30．已知正六棱锥，，，则该六棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图，设点是正六边形的中心，
则，
由，得，
正六棱锥的外接球球心在所在的直线上，
设，则，，解得，
外接球半径，
该六棱锥的外接球的表面积．
专题07 侧棱为外接球直径的外接球问题
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形.
【例题分析】
例1．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为
A． B． C． D．
【解析】根据题意作出图形：
设球心为，过三点的小圆的圆心为，则平面，
延长交球于点，则平面．
，
，
高，
是边长为1的正三角形，
，
．
选C．
例2．已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内，根据球的性质，球心一定在垂线，
球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心，
在中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，
三棱锥外接球的表面积为，
例3．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且、都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是 ．
【解析】如图所示，连接，．、都是边长为1的等边三角形，，，．，．
三棱锥的体积．
【巩固提升】
1．在三棱锥中，，斜边上的高为1，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C．1 D．
【解析】当平面时，以、、为棱构造长方体，
此时三棱锥的外接球即该长方体的外接球，其直径为，
该外接球的表面积为，，
设，，在三棱锥中，，斜边上的高为1，
，
设斜边上的高为，则，
由，得，
，，，即，
当且仅当时，取等号，
当时，，解得，
此时三棱锥体积为．
由此排除，，选项，
选．
2．已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为
【解析】如图，
设三棱锥外接球的球心为，连接，，则，
，三棱锥为正四面体，过作平面，垂足为，
则，．
3．已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为
【解析】根据题意作出图形，设球心为，球的半径．过三点的小圆的圆心为，
则平面，延长交球于点，则平面．
是边长为4的等边三角形，，，高，
是边长为4正三角形，，
，，则球的表面积为
4．已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为
【解析】如下图所示，的面积，
设的外接圆为圆，连接，则平面，作圆的直径，连接，
、分别为、的中点，则，平面，
三棱锥的体积．，
由正弦定理得，，
设球的半径为，则，，因此，球的表面积为
5．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是
【解析】如图所示，连接，，、都是边长为1的等边三角形
，，
，．
三棱锥的体积
6．已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，若面面，则三棱锥的体积最大值为
A． B． C．1 D．2
【解析】如图，连接，，则，
两三棱锥高的和的最大值为．
要使三棱锥的体积最大，则面积最大为．
三棱锥的体积最大值为．
7．三棱锥的外接球为球，球的直径，且，都是等边三角形，则三棱锥的体积是
【解析】如图所示，连接，．
、都是边长为的等边三角形，
，，．
，．
三棱锥的体积．
8．已知三棱锥的外接球，为球的直径，且，，，那么顶点到平面的距离为
【解析】由于是球的直径，则和都是直角，
由于，，可得，
为中点，，
故三棱锥为正三棱锥，则到面的距离．
那么顶点到平面的距离为
9．已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为
【解析】根据题意作出图形：设球心为，过三点的小圆的圆心为，则平面，
延长交球于点，则平面．
，，高，
是边长为3的正三角形，，
三棱锥的体积为三棱锥
10．在三棱锥中，底面为△，且，斜边上的高为1，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为 ．
【解析】如图，
由外接球的表面积为，可得外接球的半径为2，则，
，，即，，
又，，平面，
，又，平面，
平面平面，
过作于，平面平面，
平面．
设，则，
又边上的高，
当平面时，棱锥体积最大，
此时．
当时，有最大值为．
故答案为：．
11．已知三棱锥的四个顶点均在某球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积 ．
【解析】根据题意作出图形
设球心为，球的半径．过三点的小圆的圆心为，
则平面，延长交球于点，则平面．
，
，
高，
是边长为4正三角形，
，
．
则球的表面积为．
12．已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】根据题意作出图形，
设球心为，球的半径．过三点的小圆的圆心为，
则平面，延长交球于点，则平面．
是边长为4的等边三角形，，
，
高，
是边长为4正三角形，
，
．
则球的表面积为．
故答案为：．
专题08 共斜边拼接的外接球问题
1． 共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等,故点就是四面体外接球的球心,公共的斜边就是外接球的一条直径.
【例题分析】
例1.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.
∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.
图2
∴外接球的半径.故.选C.
例2.三棱锥中，平面平面， ，,，则三棱锥的外接球的半径为
【解析】是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为.
【巩固提升】
1．在梯形中，，，，，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图：，，，，
取的中点，的中点，连结，，
平面平面，，平面，
，，，，，即外接球的半径为2，
此时三棱锥外接球的表面积为．选．
2．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角．则四面体的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】根据题意，画图如下：
在中，作，则为中点，且根据四边形是正方形，
可知．点即为四面体的外接球的球心，
，球．选．
3．在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，因为平面平面（折成直二面角），
所以平面，平面，得，．
取的中点，则．于是外接球的球心是，．
而．所以半径．
于是外接球的表面积为．选．
4．在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】平行四边形中，，，，
沿折成直二面角，
平面平面
三棱锥的外接球的直径为，
外接球的半径为1，故表面积是．选．
5．如图，在平面四边形中，，，．将该四边形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】
如图，因为平面平面，，则平面，从而．
因为，则平面，从而，所以是外接球的直径．
在中，，则球半径．
所以外接球的体积．选．
6．矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由于和都是直角三角形，且是公共的斜边，所以，线段的中点到点、、、的距离都相等，
因此，为四面体的外接球的直径，且，则外接球的半径为5，
因此，四面体的外接球的表面积为，
选．
7．如图，在平行四边形中，，，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是
【解析】平行四边形中，，，
沿折成直二面角，平面，平面，，
三棱锥的外接球的直径为，且
外接球的半径为1，表面积是．选．
8．如图所示，在平行四边形中，，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是
【解析】根据题意，可知折叠后的三棱锥如右图所示．
，，由此可得的中点即为外接球的球心
又二面角是直二面角，即平面平面，且
平面，可得是以为斜边的直角三角形
，中，
从而三棱锥的外接球的表面积，选．
9．平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角一，且，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】平行四边形中，，，
沿折成直二面角，
将四边形折起成直二面角一，平面平面
三棱锥的外接球的直径为，
，
，外接球的半径为1，
故表面积是．选．
10．在平行四边形中，，且，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】由题意可知，折成直二面角后，为外接球直径，
因为，所以，，；
选．
11．在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，
所以球心在对角线上，且其半径为长度的一半，
则．
选．
12．在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】平行四边形中，，，
沿折成直二面角，平面平面，
三棱锥的外接球的直径为，
，外接球的半径为1，故表面积是．选．
13．如图，二面角满足半平面，半平面内有一点（不在上），半平面内有一点（不在上），，在直线的射影分别为，，不重合），，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】设的中点，
二面角满足半平面，，在直线射影为，，不重合），，，
面，面；故；
；
三棱锥外接球的表面积为：；
14．已知等边三角形的边长为8，为边的中点，沿将折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为
【解析】如下图所示，
折叠前，由于时等边三角形，为的中点，则，
折叠后，则有，，，平面，
二面角为直二面角，，，则二面角的平面角为，
且，，
的外接圆直径为，
所以，三棱锥的外接球直径为，则，
因此，三棱锥的外接球的表面积为．
15．如图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为 ．
【解析】四边形中，，，；
沿折成直二面角，如图所示；
平面，平面，，；
三棱锥的外接球的直径为，且
外接球的半径为，它的体积为．
16．在矩形中，已知，，将该矩形沿对角线折成直二面角，则四面体的外接球的体积为 ．
【解析】矩形中，
，，
，
设交与，则是和的外心，
球心一定在过且垂直于的直线上，
也在过且垂直于的直线上，这两条直线只有一个交点
因此球半径，
四面体的外接球的体积．
17．将长宽分别为3和4的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为
【解析】因为球的球心到四面体四个顶点的距离相等，
所以球心到任意一个直角三角形的三个顶点的距离相等；
所以球心应当在经过直角三角形斜边中点并垂直于直角三角形的直线上，
这样就得到了两条直线，它们的交点就是两个直角三角形斜边的中点，
所以球半径就是
所以四面体的外接球的表面积为：
故答案为：
18．把边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为 ．
【解析】由题意，球的直径恰好是正方形对角线，
所以球的体积．
故答案为：．
19．在平行四边形中，，若将沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】平行四边形中，，，
，
沿折成直二面角，
平面，平面
，
三棱锥的外接球的直径为，且
外接球的表面积是．
故答案为：．
专题09 最值问题
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
【例题分析】
例1.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，
设球的半径为，此时，故，
则球的表面积为，选．
例2.已知三棱锥的顶点，，都在半径为2的球面上，是球心，，当与的面积之和最大时，三棱锥的体积为
A． B． C． D．
【解析】设球的半径为，
因为，
所以当时，取得最大值，
此时，所以平面，
所以.
例3.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 .
【解析】设，则，
因为体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，
所以，解得.
由，得或（舍），所以.
由题意知点为的中点，
在中，，解得，
所以当截面垂直于时，截面圆的半径为，
故截面圆面积的最小值是.
例4.已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为 ．
【解析】解过球心作平面，则为正三角形的中心，连结，则．
设三棱柱的底面边长为，则．．
．
棱柱的高．
棱柱的体积．
令．
则，令得或（舍或（舍．
当时，，当时，．
当时，（a）取得最大值，
当时，取得最大值1．
故答案为1．
例5.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为 ．
【解析】如图所示，设为外接球球心，三棱柱的高为，则由题意可知，，，，，
此时三棱柱的体积为，其中．
令，则，令，
则，当时，，函数增，
当时，，函数减．
故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．
故答案为：．
【巩固提升】
1．如图，四边形的面积为，且，把绕旋转，使点运动到，此时向量与向量的夹角为．则四面体外接球表面积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】由题意，设，，，
向量与向量的夹角为．则，
四面体外接球为
，
当且仅当时，取等号，
故四面体外接球表面积的最小值．
选．
2．已知长方体的体积，，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为
A． B． C． D．
【解析】设，，由于，所以．
根据长方体的对称性可知四面体的外接球的即为长方体的外接球，所以，
所以（当且仅当，等号成立）．
选．
3．如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点、分别为线段、上的动点，已知当取得最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】在上取点，使得，则，
当时，取得最小值，
即的最小值为，
为的中点，故而为的中点，
，，
设外接球的半径为，则，解得：．
外接球的表面积为．
选．
4．如图，直角三角形，，，将绕边旋转至’位置，若二面角’的大小为，则四面体’ 的外接球的表面积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】如图，
平面，是等腰三角形，，．
设，则，．
设外接圆的半径为，则，即．
四面体的外接球的半径满足．
四面体的外接球的表面积，
当时，．
选．
5．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵中，，，当阳马体积为时，堑堵的外接球的体积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】设，，则阳马体积，
，
把堑堵补形为长方体，
则长方体的对角线长，
当且仅当时上式取“”．
堑堵的外接球的体积的最小值为．
选．
6．在三棱锥中，平面，，，是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】如图所示：
三棱锥中，平面，，
是线段上一动点，线段长度最小值为，
则：当时，线段达到最小值，
由于：平面，
所以：，解得：，
所以：，
则：，
由于：，，
所以：
则：为等腰三角形．
所以：，
在中，设外接圆的直径为，则：，
所以：外接球的半径，
则：，
选．
7．已知棱长为2的正方体中，为中点，在线段上运动，则三棱锥的外接球的表面积最小值为
A． B． C． D．
【解析】连结，取中点，设上点到距离，连结，
过作垂直平面，设，为三棱锥的外接球的球心，
以为原点，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，，，，，，
则球半径，
，
三棱锥的外接球的表面积取最小值时，，
此时，解得，
球半径，
三棱锥的外接球的表面积最小值为：
．
选．
8．将面积为2的长方形沿对角线折起，使二面角的大小为，则三棱锥的外接球的体积的最小值是
A． B． C． D．与的值有关的数
【解析】将面积为2的长方形沿对角线折起，使二面角的大小为，则三棱锥的外接球的球心就是 的中点，三棱锥的外接球的体积的最小，就是球的半径最小，就是最短，由题意可设长方形的长为：，宽为：，所以，，此时，，球的半径为：1，
三棱锥的外接球的体积的最小值是：．选．
9．如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是，2，的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】由题意知，所以，
设外接球的半径为，则，
，
所以外接球的体积，选．
10．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球体积的最小值为
【解析】如图，设，由的面积为2，得，
，三角形外接圆的半径，平面，，
到平面的距离为，
设球的半径为，则，当且仅当时“”成立．
三棱锥的外接球体积的最小值为
11．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为
【解析】根据已知得三棱锥的外接球的半径，
，为外接球直径，则，且，，．
当点到平面距离最大时，三棱锥的体积最大，
此时平面平面，且点到平面的距离，
12．如图，在三棱锥中，，，，．三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积的最大值为
A． B． C． D．
【解析】设外接球的半径为，由题意得，，解得．
由题意知，都是直角三角形，
三棱锥的外接球的球心为的中点，且．
由，，可求得，，．
当三棱锥的体积最大时，平面平面．
三棱锥的体积的最大值为．选．
13．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】是等腰直角三角形，
为截面圆的直径，故外接球的球心在截面中的射影为的中点，
当，，共线且，位于截面同一侧时棱锥的体积最大，
棱锥的最大高度为，
，解得，
设外接球的半径为，则，，
在中，，
由勾股定理得：，解得．
外接球的体积．
选．
14．三棱锥中．，为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为．则三棱锥体积的最大值为
A．1 B．2 C． D．
【解析】如图所示，
过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，
则为二面角的平面角的补角，即有，
易知面，则，而为等边三角形，为中点，
设，，，
则，
故三棱锥的体积为：，
当且仅当时，体积最大，此时、、共线．
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
由已知，，得．
过点作于，则四边形为矩形，
则，，，
在中，，解得．
三棱锥的体积的最大值为：．
选．
15．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为
A．1 B．2 C．3 D．
【解析】如图所示，由，，
可得，，
，．
设的外接圆的半径为，，．
当平面时，该三棱锥取得体积的最大值为
由．
解得．
所以，
解得．
选．
16．在三棱锥中，，，为中点，，若该三棱锥的体积的最大值为，则其外接球表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意可得，
当且仅当，面时，该三棱锥的体积的最大值为，
设外接球的半径为，球心为，则由题意可得在上，底面外接圆的半径，
可得，即，
解得，
所以外接球的表面积，
选．
17．已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】延长交于，连接，
是的垂心，，
平面，平面，
，
又平面，平面，，
平面，又平面，，
连接并延长交于，连接，
由平面可得，
又，，平面，．
设在平面上的射影为，延长交于，连接．
，，平面．，．
是的中心，是的中点，
，
当，，两两垂直时，三棱锥体积取得最大值时，
三棱锥的外接球的半径满足：，解得．
体积．
选．
18．已知三棱锥的外接球的表面积为，，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
【解析】设棱锥的外接球的半径为，
由题知，，
，
为直角三角形，
外接球的球心到平面的距离为，
又，
要使三棱锥体积最大，当且仅当和外接球球心连线垂直于平面，
此时到平面的距离为：外接球的球心到平面的距离外接球的半径，即，
棱锥体积的最大值为．
选．
19．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为 ．
【解析】三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，且，，所以若为等边三角形，由于三棱锥体积的最大值为，
如图所示：
设该锥体的高为，则，解得，所以利用勾股定理，
所以，解得，故．
故答案为：
20．如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为 ．
【解析】设三棱锥的外接球的球心为，半径为，的外接圆半径为，
则，得，又，
，即．
又，．
，
则．
三棱锥体积．
三棱锥体积的最大值为．
故答案为：．
21．在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，
则为二面角的平面角的补角，即有，
易知面，则，而为等边三角形，
所以为中点，
设，，，
则，
故三棱锥的体积为：，
当且仅当时，体积最大，则，即，，
所以、、三点共线，
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
过点作于，则四边形为矩形，
则，，，
在中，，解得，
三棱锥的外接球的表面积为，
专题10 垂面的外接球问题
垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
【例题分析】
例1.已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】由题意知的中点为 外接圆的圆心，且平面平面
过 作面的垂线，则垂线 一定在面内，根据球的性质，球心一定在垂线上，
球心一定在平面 内，且球心也是 外接圆的圆心．
在 中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，三棱锥的外接球的表面积．
例2.已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内，根据球的性质，球心一定在垂线，
球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心，
在中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，三棱锥外接球的表面积为，
例3.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【解析】如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接．
由题意可得，且，．
因为平面平面，且，所以平面，且．
设为三棱锥外接球的球心，连接，，，过作，垂足为，
则外接球的半径满足，即，解得，
从而，故三棱锥外接球的表面积为．
例4．在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为 ．
【解析】取的中点，连接，，
在等边三角形中，，
在等边三角形中，，
由平面平面，，平面平面，
可得平面，即有，
为等腰直角三角形，
设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，
底面的中心为，面的外心为，
则，，
在直角三角形中，．
而，解得，则，解得，
故答案为：．
【巩固提升】
1．在边长为菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则
A． B． C． D．3
【解析】取的中点，连接，，
在等边三角形中，，
在等边三角形中，，
由平面平面，，平面平面，
可得平面，即有，
为等腰直角三角形，
设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，
底面的中心为，
在直角三角形中，，
而，解得，
则，解得，
选．
2．在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，过点 作 于， 为 的中点，
设 的外心是，半径是，连接，，，
由正弦定理得，则，
为的中点，，，所以，
因为平面平面， 于，平面平面，
则平面，所以直线 与平面 所成的角是，
则，即，
因为，所以，则，故，
设三棱锥 外接球球心是，
连接，，，过 作 于，
则平面，于是，从而 是矩形，
所以外接球半径满足：，解得．
所以外接球的表面积为．
选．
3．已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则
A． B． C． D．
【解析】设外接球球心，半径，由题意可得，，解可得，
根据题意可得为正三角形的中心，
因为，所以，，
所以正三角形的边长为，
由可得，
因为平面平面，所以，
所以．
选．
4．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】取的中点，连接，
中，，，，，
设的中心为，球心为，则，
设到平面的距离为，则，，，
四棱锥的外接球的表面积为．选．
5．如图所示，已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，，则多面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】设球心到平面的距离为，则
所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，
到平面的距离为，，，
∴多面体的外接球的表面积为．选．
6．在正方形中，，沿着对角线翻折，使得平面平面，得到三棱锥，若球为三棱锥的外接球，则球的体积与三棱锥的体积之比为
A． B． C． D．
【解析】由题意，三棱锥的外接球的球心为的中点，半径为，球的体积．
三棱锥的体积，
球的体积与三棱锥的体积之比为．
选．
7．已知四棱锥一中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】取的中点，
平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，
四棱锥的外接球的球心为正方形的中心，设半径为，
则，
，
四棱锥的外接球的表面积为．
选．
8．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】在三角形中，，，由余弦定理可得，
而在三角形中，，，，即为直角三角形，且为斜边，
因为平面平面，所以几何体的外接球的球心为为三角形 的外接圆的圆心，设外接球的半径为，则，即，所以外接球的表面积，选．
9．在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，取中点，连接，，
平面平面，和都是边长为的等边三角形，
平面，，
设过平面，平面的中心，且与垂直二平面的直线交于，
可知即为外接球球心，易知，，得，
，选．
10．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如下图所示，
，，又，，，
又平面平面，平面平面，平面，平面．
，所以，直角的外接圆直径为，
所以，三棱锥的外接球直径为．
因此，三棱锥的外接球的表面积为．选．
11．已知三棱锥中，，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则当平面平面时，三棱锥的表面积等于
A． B． C． D．
【解析】如图，取中点，连接，，由，，，
可得，即为三棱锥的外接球的球心，半径为．
由三棱锥的外接球的表面积为，得．
则当平面平面时，；．
∴三棱锥的表面积．选．
12．在三棱锥中，平面平面，，，，若此三棱锥的外接球表面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．7 B．12 C．6 D．
【解析】根据题意，设三棱锥外接球的半径为，
三棱锥的外接球球心为，的外心为，的外接圆半径为，
取的中点为，过作，
则平面，平面，
如图，连结，，则，
设，则，
由，解得，
在中，由正弦正理得，，解得，
在中，，解得，，，
若三棱锥的体积最大，则只需的面积最大，
在中，，
，解得，
，
三棱锥的体积的最大值．选．
13．如图，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，多面体为棱长为的正方体，切去一个角，
多面体的外接球的直径为，半径为，
多面体的外接球的表面积为．
选．
14．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，，平面平面，则三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】三棱锥中，是边长为的正三角形，
，平面平面，
，，
取中点，连结，，则，，
，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，1，，
设球心，，，则，
，
解得，，，，
三棱锥的外接球的体积．
选．
15．在三棱锥中，是等边三角形，平面平面．若该三棱锥外接球的表面积为，且球心到平面的距离为，则三棱锥的体积的最大值为
A． B． C．27 D．81
【解析】如图，
取等边三角形的中心，过作三角形的垂线，截去．
则为三棱锥外接球的球心，
设外接球半径为，由，得．
即，．
则，可得，过作平面，
则为三角形的外心，
连接并延长，角于，则为的中点，
要使三棱锥的体积最大，则共线，即为等边三角形，
此时三棱锥的高为．
三棱锥的体积的最大值为．
选．
16．在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，
如图所示：是边长为6的正三角形，
所以的中心到中点的距离为，
所以，所以，选．
17．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，取中点，连接并延长至的外心，
在中，由，，可得，
则，又，，则为以为斜边的直角三角形，
则中点为的外心，
平面平面，过作平面的垂线，故作平面的垂线，两垂线相交于，
为空间四边形的外接球的球心．
在中，由，得．
，则，
空间四边形的外接球的半径．
空间四边形的外接球的表面积．
选．
18．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为
A． B． C． D．
【解析】在边长为2的菱形中，；
如图，
由已知可得，与均为等边三角形，
取中点，连接，，则，
；
二面角为直二面角，则平面，
分别取与的外心，，过，分别作两面的垂线，相交于，
则为三棱锥的外接球的球心，
由与均为等边三角形且边长为2，
可得．
．
．
三棱锥的外接球的表面积为．
选．
19．在三棱锥中，与都是正三角形，平面平面，若该三棱锥的外接球的体积为，则边长为
A． B． C． D．6
【解析】三棱锥中，过的中心作平面，
过的中心作平面，、交于点，
则是三棱锥的外接球球心，连接，则是外接球的半径；
由该三棱锥的外接球体积为，
；
设的边长为，
，
，
，
即，
解得．
选．
20．在三棱锥中，与都是边长为6的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】取，中点分别为，，连接，，，
由题意知，，，
易知三棱锥的外接球球心在线段上，
连接，，有，，
，，，
三棱锥的外接球的体积为．
选．
21．把边长为3的正方沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】将边长为1的正方形，沿对角线把折起，使平面平面，则，；
三棱锥的外接球直径为，
外接球的表面积为．
选．
22．已知空间四边形，，，，且平面平面，则空间四边形的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】
借助长方体作出空间四边形，取中点，
在等腰中，，，
可求得，，
又，为正三角形，
外接球球心在过其中心垂直于平面的直线上，
如图：在中，求得，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
由列方程解得，从而即外接球半径，
外接球面积，
选．
23．如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为
【解析】设矩形对角线的交点为0，则由矩形对角线互相平分，可知．
点到四面体的四个顶点，，，的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图所示．
外接球的半径5．外接球的体积
24．在三棱锥中，，平面平面，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为
【解析】如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，的中点为，
则点在截面圆上运动，点在截面圆上运动，四边形为正方形，
由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时，与是等边三角形，
设，则，，，
由，解得，，，，，
则球的半径，所求外接球的表面积为，
专题11二面角模型
二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
【例题分析】
例1.在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，
则为二面角的平面角的补角，即有，
易知面，则，而为等边三角形，
所以为中点，
设，，，
则，
故三棱锥的体积为：，
当且仅当时，体积最大，则，即，，所以、、三点共线，
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
过点作于，则四边形为矩形，
则，，，
在中，，解得，
三棱锥的外接球的表面积为，
例2.在等腰直角中，，，为斜边的高，将沿折叠，使二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】沿折叠后二面角为，即折叠后，所以为等边三角形，
又因为，所以折叠后，
设点为三棱锥外接球的球心，为的外心，
所以，所以，
又，所以球心半径，
所以，
例3.在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如图，取中点，连接，，
因为与均为边长为2的等边三角形，
所以，，则为二面角的平面角，即，
设与外接圆圆心分别为，，
则由，
可得，，
分别过作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，
记为，连接，，则由对称性可得，
所以，则，
则三棱锥外接球的表面积，
故答案为：．
例4.在平面五边形中，，，，，且．将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是 ．
【解析】设的中心为，，，故四边形为矩形，设矩形的中心为，过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线，则由球的性质可知，直线与的交点为几何体外接球的球心，取的中点，连接 ， ，
由条件得 ，，连接，，从而，
连接，则为所得几何体外接球的半径，在直角 中，，，
可得，即外接球的半径为，
故所得几何体外接球的表面积为
例5.在三棱锥中，，，，二面角、、的大小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为 ， ．
【解析】如图，二面角、、的大小相等，
在底面射影为底面三角形的内心，设为，
，，，，可得是以角为直角的直角三角形．
过作，连接，则为三角形内切圆的半径，且为二面角平面角为．
由等面积法求得：，得，可得三边上的斜高相等为．
设三棱锥的内切球半径为，
则，得；
如图，设是的中点，则是三角形的外心，三棱锥的外接球球心为，
则平面，则，，，共线，
在直角三角形中，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，
由，，得．
设三棱锥的外接球的半径为，即，
若与在平面的同侧，由直角梯形与直角三角形得：，无解；
若与在平面的异侧，则，解得，此时．
，则．
【巩固提升】
1．在三棱锥中，，，二面角是钝角．若三棱锥的体积为2．则三棱锥的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】取的中点，连结，，由已知和是全等的等腰三角形，所以，，
为二面角的平面角，且平面，，
所以，
又，故，
因为为钝角，所以，
设，的外接圆的圆心分别为，，
则，分别在，上且，连结，
由，其中，解得，同理，所以，
过，分别作平面，平面的垂线，两垂线的交点为四面体的外接球的球心，
连结，则平分，，
从而，，
在中，，，
外接球的半径为，
所以四面体外接球的表面积，选．
2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为，则四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】因为底面为矩形，平面，所以，，而，所以面，所以，
所以为面角为，即，
在中，，
由题意可得四棱锥的外接球就是以，，为邻边的长方体的三条棱的外接球，设外接球的半径为，
则，
所以四棱锥的外接球的表面积，
选．
3．如图，在体积为的四棱锥中，底面为边长为2的正方形，为等边三角形，二面角为锐角，则四棱锥外接球的半径为
A． B． C． D．
【解析】取的中点，的中点，连接，，，过作于，由，可得，，所以面，可得，，所以面，
所以，解得，
而为等边三角形，所以，
所以，所以可得，
可得，，，所以，所以，
取的中点，即四边形的对角线的交点，，过作垂直于底面，可得，取为外接球的球心，设外接球的半径为，连接，，则可得，
过作于，则四边形为矩形，所以，，
当，在面的同侧时，
在中，①
在中，②，由①②可得（舍，
当，在面的两侧时，
在中，③
过在中，②
由②③可得，，所以，选．
4．在四面体中，，，二面角的平面角为，则四面体外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】以中点为原点，以过垂直于平面的垂线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由题意可得，，0，，，0，，，，，，，，设球心，，，
则由，
可得，
解可得，，，，
所以四面体的外接球半径，
．
选．
5．如图，边长为4的正方形的对边、的中点为、，将此正方形沿着折成的二面角，连、得一直三棱柱，则此三棱柱外接球的表面积等于
A． B． C． D．
【解析】中，由余弦定理可得，
设的外接圆的半径为，则，，
设三棱柱外接球的半径为，则，
棱柱外接球的表面积，
选．
6．已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】
取中点，中点，
易知，，，且平面平面，
作交的延长线于，
则平面，
球心在过与平面垂直的直线上如图：
作于，
设，由已知条件可得，，
，，
从而，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，
由解得，
，
，
选．
7．在正方体中，为棱上一点，且，若二面角为，则四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】连接交于，则，
易知，则平面，
所以，
从而为二面角的平面角，
则．
因为，所以，
故四面体的外接球的表面积为．
选．
8．在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球心为，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】四边形是菱形，，
是等边三角形，过球心作平面，
则为等边的中心，取的中点为，则且，
由二面角的大小为，得，即．
，，，
在中，由，可得．
在中，，即，
设三棱锥的外接球的半径为，即，
三棱锥的外接球的表面积为，
选．
9．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】取的中点为，
由三棱锥中，，二面角的大小为，
得到和都是正三角形，
，，
是二面角的平面角，即，
设球心为，和中心分别为，，
则平面，平面，
，，
外接球半径，
外接球的表面积为．
选．
10．如图，直角三角形，，，将绕边旋转至’位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】如图，
平面，是等腰三角形，，．
设，则，．
设外接圆的半径为，则，即．
四面体的外接球的半径满足．
四面体的外接球的表面积，
当时，．
选．
11．四边形是菱形，，，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】如图，取的中点为，
设球心在平面内的射影为，
在平面内的射影为，
则二面角的平面角为，，
所以，，，
设，则，解得，
，球的半径，
所求外接球的体积为，
选．
12．在三棱锥中，与均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意如图所示：由与均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，设为的中点，可得，，
设，分别为，的外接圆的圆心，，，
过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心，
连接，，则为外接球的半径，可得，可得，而，所以，
在中：，
所以外接球的表面积，
选．
13．在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，二面角的大小为，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】由题意得，得到，取中点为，中点为，得到为的二面角的平面角，得到，设三角形 的外心为，则，，
球心为过的面的垂线与过的面 的垂线的交点，
在四边形中，，所以，所以球的表面积为．
故答案为：．
14．已知直三棱柱中，，，设二面角的平面角为，且，现在该三棱柱的内部空间放一个小球，设小球的表面积为，三棱柱的外接球的表面积为，则的最大值为 ．
【解析】取 中点为，连接，，，
容易得出，则，
因为，所以，
则二面角的平面角为，
在直角三角形 中，，
，，
直三棱柱的外接球的球心在矩形的中心，则，
由于的值为定值，则 取最大值，即小球的半径最大，
的内切圆的半径，
则小球的半径最大为，，故答案为．
15．在正方体中，是上一点，若平面与平面所成锐二面角的正切值为，设三棱锥外接球的直径为，则 ．
【解析】过作交于，过作于，连接，则为平面与平面所成锐二面角的平面角，，，
设，则，，则，
，则三棱锥外接球的直径，．
16．已知空间四边形中，，，，若二面角的取值范围为，，则该几何体的外接球表面积的取值范围为 ， ．
【解析】结合二面角的取值范围为，，则有：
①当二面角的取值范围为时，面面，此时外接圆的半径最小，设为，
则有，解得，此时外接圆的表面积
②当二面角的取值范围为或时，此时外接圆的半径最大，设为，
设为等边的中心，中点为外接圆的圆心，
过作面的垂线，过作面的垂线，两垂线的交点为空间四边形外接球球心，（如图）
在面内作，则，，
，则外接球表面积．
17．已知边长为6的菱形中，，沿对角线折成二面角的大小为的四面体且，则四面体的外接球的表面积为 ．
【解析】由边长为6的菱形中，，可知，，
在折起的四面体中，取 的中点，连接，，，
则，，，
面，为二面角的大小为，
在，上分别取，，
则，分别为三角形，的外接圆的圆心，
过，分别做两个三角形的外接圆的垂线，交于，则为四面体外接球的球心，
连接， 为外接球的半径．
则，所以，所以，
在三角形，，解得，
在三角形中，余弦定理可得，即，
所以外接球的表面积，
故答案为：．
18．已知三棱锥，，且、均为等边三角形，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积是 ．
【解析】如下图所示，
取的中点，连接、，则，且，
所以，二面角的平面角为，且，
则是边长为的正三角形，
如下图所示，设和的外心分别为点、，
则，
过点、在平面内作和的垂线交于点，则为该三棱锥的外接球球心，
易知，，所以，，，
所以，球的半径为，
因此，该三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
19．在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，且面与底面所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】如下图所示，
由于为的外心，则，由题意知，平面，由勾股定理易得，
取的中点，由于为的外心，则，且，
平面，平面，则，又，，平面，
平面，，所以，，
且平面与平面所成的二面角的平面角为，，
因此，三棱锥的外接球的直径为，所以，，
因此，该三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
20．在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】过球心作平面，则为等边三角形的中心，
四边形是菱形，，是等边三角形，
设，交于点，则，
．
，，，，
，
球的半径．
三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
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专题12 坐标法姐姐外接球问题
1．坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度.
【例题分析】
例1. 如图小正方形边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则多面体外接球表面积为（ ）
А. B. C. D.
【解析】由三视图可知，该几何体为如图1所示的四棱锥，其中四边形为矩形.
图1 图2
如图2，建立空间直角坐标系，则，，.设球心的坐标为，
则，，，得到方程组
解之得，于是球心 . 所以该多面体的外接球半径，
因此其表面积为.故选C.
例2. 四面体在空间坐标系内的坐标分别为，，，，则该四面体的外接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设球心坐标为，
则，
解得，，，
四面体的外接球的半径为，
四面体的外接球的面积为，选．
【巩固提升】
1.空间直角坐标系中，棱长为6的正四面体的顶点，，，则正四面体的外接球球心的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．设点是底面的中心，则．
取的中点，连接、、，则平面．
则，．
在中，．
，即，解得．，
正四面体的外接球球心的坐标可以是，选．
2．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解析：如图，在长、宽、高分别为的长方体中，，为所在棱的中点，由三视图知识可知，几何体即为三棱锥，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示
则，，，，设球心为，
于是有，
解得，所以，
所以外接球的半径为，表面积为.
3．在三棱锥，平面，，，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【解析】法一 该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥，，，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，
因为六棱柱的外接球的直径为，，所以该球的表面积为。
法二 取该三棱锥的底边的中点为，连接，则，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则
，
设球心为，于是有， 则，
解得，所以，
所以外接球的半径为,表面积为.
4．正方体的棱长为2，为的中点，则三棱锥的外接球的体积为 .
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，
设外接球球心坐标为，则球心到，，，四点的距离相等，都等于半径，
即，解得
故外接球的半径为
外接球的体积为
5．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为 ．
【解析】解：由三视图知，该几何体中一个侧面与底面垂直，
由三视图的数据可得，，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则，，，，0，，，2，，，0，，
则三棱锥外接球的球心在平面上，设，0，；
由得，解得；
外接球的半径，
该几何体外接球的表面积为．
6．已知三棱锥，面，且， ，求三棱锥外接球的半径.
【解析】建立如图坐标系，， ， ，
面的外心，面的外心，
设球心.
联立，即
解得: .
故球心坐标为.
∴外接球半径.
布专题13圆锥圆柱圆台的外接球问题
1．球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为.通常在中，由勾股定理建立方程来计算.如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.
由图、图可知，或，故，所以.
2．球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足.
3．球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高.
【例题分析】
例1.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【解析】易知该几何体是圆锥，其外接球的球心恰好是正三角形的外心，因而半径为，
，选C．
例2.半径为的球中有一个内接圆柱，圆柱的侧面积为，则圆柱的体积为 .
【解析】如图，设圆柱的底面圆半径为，高为，则，
解得，或
当时，圆柱的体积；当时，圆柱的体积，
故答案为或.
例3.已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为 ．
【解析】设外接球的半径为，几何体的轴截面如图：
，，
且，得，
解得，球的表面积为．
故答案为：．
【巩固提升】
1．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】由题意，圆锥轴截面的顶角为，设该圆锥的底面圆心为，球的半径为，则，
由勾股定理可得，，
球的表面积为．选．
2．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆，
且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，
由题意的半径为，的边长为，
圆锥的底面半径为，高为3，
．选．
3．已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
【解析】设圆锥的底面半径是，母线长为，
圆锥的侧面积是其底面积的2倍，
，解得，则圆锥的轴截面是正三角形，
圆锥的外接球的表面积为，则外接球的半径，
且外接球的球心是轴截面（正三角形）的外接圆的圆心即重心，三角形的高是，
，解得，则圆锥的高为3，
该圆锥的体积，
选．
4．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的表面积是
A． B． C． D．
【解析】设外接球半径为，球心为，圆台较小底面圆的圆心为，
则：，
而，
故，，
，
选．
5．一个圆柱被一个平面截成体积相等的两部分几何体，如图，其中一部分几何体的主视图为等腰直角三角形，俯视图是直径为2的圆，则该圆柱外接球的表面积是
A．8 B． C． D．
【解析】根据几何体的三视图：转换为几何体为圆柱的一半，
故：圆柱的外接球的半径为：，
故球的表面积为：．
选
6．已知一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的外接球表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，
设圆柱的底面半径为，母线长为，则，即．
该圆柱的外接球的半径．
该圆柱的外接球表面积为．
选．
7．若一个圆柱的表面积为，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为
A． B． C． D．
【解析】设圆柱的底面半径为，高为，则，则．
设该圆柱的外接球的半径为，则，当且仅当，即时，等号成立．
故该圆柱的外接球的表面积的最小值为．
选．
8．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的
A．倍 B．2倍 C．倍 D．3倍
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球的半径为．则，
圆锥的母线与底面所成角为．圆锥的高为，母线长，
圆锥的侧面积为，，化简得：．选．
9．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角为，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是其底面半径的 倍
A． B． C．4 D．6
【解析】设圆锥与圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
则圆柱的外接球的表面积是，
圆锥的母线与底面所成角为，圆锥的母线长为，
故圆锥的侧面积是，
由题意得：，
故，即，选．
10．圆柱的底面直径和母线长均为2，则此圆柱的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】圆柱的底面半径与母线的一半都是1，圆柱外接球的半径为：．
圆柱的外接球的表面积为：．
选．
11．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为，高为的圆柱，上面是一个底面积为，高为的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，
其外接球的直径是，
设圆柱的底面圆半径为，母线长为，
则，解得，
又，
，
解得，
外接球的半径为，
外接球的体积为．
选．
12．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥外接球的体积是 ．
【解析】如图，
是等边三角形，其外接圆的半径就是圆锥外接球的半径，
的边长是2，高，外接圆的半径是．
故此圆锥外接球的体积为，
故答案为．
13．已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为 ．
【解析】依题意得，圆锥底面半径，高．
设圆锥外接球半径为，则，
即，解得：．
外接球的表面积为．
14．已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的外接球的表面积是 ．
【解析】圆锥的母线长为2，高为，
该圆锥的底面半径为，
由题意，圆锥轴截面的顶角为，
设该圆锥的底面圆心为，球的半径为，
由勾股定理可得，
解得，
球的表面积为．
15．一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为 ．
【解析】如图，设，则．
设，则底面圆的直径为，
该圆锥的侧面积为，解得，高．．
设圆锥外接球的半径为，所以，解得，则外接球的表面积为．
16．已知圆锥如图所示，底面半径为，母线长为，则此圆锥的外接球的表面积为 ．
【解析】由圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在上，
设球心为，球的半径为，则，圆，
由底面半径为，母线长为，得，
，，则有．解得，则．
17．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是 ．
【解析】如图，设母线长为，
，，，
，，
延长使，则为外接球球心，半径为4，表面积为，
18．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 ．
【解析】圆柱的底面半径为2，则底面直径为4，又圆柱的高为2，
则圆柱的轴截面是边长分别为4和2的矩形，如图：
则圆柱的外接球的半径为．该圆柱的外接球的表面积为．
19．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心．若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为
【解析】设正三棱锥的底面边长为，高为，如图所示：则圆柱高为，底面圆半径为，
利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径．由，可求得．
设正三棱锥的外接球的半径为，
则球心到底面距离为，，利用勾股定理，可得，故，
20．将一个长为，宽为2的矩形纸板，围成一个轴截面为正方形的圆柱的侧面，则圆柱外接球的体积为 ．
【解析】由题意知，围成圆柱的底面圆周长为，则底面圆半径为，
且圆柱的高为2，则圆柱外接球的直径为，所以，
所以外接球的体积为．
21．如图，将一个圆柱等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为 ，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为 ．
【解析】设圆柱的底面半径为，高，外接球半径，则即，所以圆柱的侧面积为，
即，当且仅当时取等号，
此时外接球的表面积最小．
22．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的2倍，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的 倍．
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球半径为，则；
由母线长为，所以圆锥的高为，
所以圆锥的侧面积为，即，化简得，所以，
求得圆柱的高与底面半径的比为
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