高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 柱、锥、台的体积教案配套课件ppt

柱、锥、台的体积

【教学过程】

一、基础铺垫

柱体、锥体、台体的体积公式：

其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．

二、合作探究

1.求柱体的体积

【例1】  如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．

[解]  V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，

V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，

V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，

∴此几何体的体积：

V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．

【规律方法】

计算柱体体积的关键及常用技巧

（1）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高.

（2）常用技巧：

①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高.

②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积.

2.求锥体的体积

【例2】  在如图三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．

[思路探究]   ―→―→

―→―→

 [解]  设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.

∴VA1­ABC＝S△ABC·h＝Sh，

VC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.

又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，

∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1

＝Sh－－＝Sh，

∴体积比为1∶2∶4．

【规律方法】

三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．

3.求台体的体积

【例3】  已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2．求正四棱台的体积．

[思路探究]  可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．

[解]  如图所示，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1．O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．

由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，

在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，

OE＝AB＝10，

∴O1O＝＝12，

V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)

＝2 800 (cm3)．

故正四棱台的体积为2 800 cm3．

【规律方法】

求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．

三、课堂总结

1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体的体积的求法．

2．本节课要重点掌握的规律方法

（1）求空间几何体的体积的方法．

（2）求与组合体有关的体积的方法．

3．本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错．

四、课堂练习

1．思考辨析

（1）夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．(    )

（2）锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关．(    )

（3）由V锥体＝S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．(    )

[答案]  （1）×  （2）√  （3）√

2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(    )

A．π      B．2π      C．4π      D．8π

B  [设轴截面正方形的边长为a，

由题意知S侧＝πa·a＝πa2．

又∵S侧＝4π，∴a＝2．∴V圆柱＝π×2＝2π.]

3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.

  [由已知得4π＝πr2×4，解得r＝.]

4．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积．

[解]  如图所示，正三棱锥S­ABC．

设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC．

∵△ABC是边长为6的正三角形，

∴AE＝×6＝3.∴AH＝AE＝2.

在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.

在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，

∴SH＝＝＝.

∴VS­ABC＝S△ABC·SH＝×9×＝9．