人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试单元测试习题

这是一份人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试单元测试习题，共20页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）

1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A.2，3，4B.5，8，12C.4，6，9D.1，2，5

2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A. 4,5,6 B.1,1,2C.6,8,11D.5,12,23

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）

A.32B.76C.256D.2

4. 将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为( )

A.4B.32C.4.5D.5

5. 下列说法不正确的是( )

A.命题有真命题，也有假命题
B.要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可
C.一个定理的逆命题是原定理的逆定理
D.要说明一个命题是真命题，需要进行证明

6. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A.黄金分割B.垂径定理C.勾股定理D.正弦定理

7. 如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90∘，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE,EF⊥AC于点F，DE交BM于点N．下列结论：
④①∠DBM=∠CDE；②DM2=MN⋅MB；③CD⋅EN=BN⋅BD；④S△BDE=S四边形BMFE；⑤AC>2DF．其中结论正确的个数是 （ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8. 下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A.3、4、6B.13、14、15C.7、24、25D.0.9、1.2、1.6

9. △ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A.b2=a+ca−cB.a:b:c=1:3:2
C.∠C=∠A−∠BD.∠A:∠B:∠C=3:4:5

10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 （ ）

A.9B.6C.4D.3
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ， ）

11. 与直角三角形三条边长对应的3个正整数(a, b, c)，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如(6, 8, 10)(9, 12, 15)(12, 16, 20)等都是勾股数．
当然，勾股数远远不止这些，如(5, 12, 13)(8, 15, 17)等也都是勾股数．
怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数(a, b, c)才能满足关系式a2+b2=c2
活动1：
设(a, b, c)为一组勾股数，如下表：
表1 表2
活动2：
与直角三角形三条边长对应的3个正整数(a, b, c)，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如(6, 8, 10)(9, 12, 15)(12, 16, 20)等都是勾股数．
当然，勾股数远远不止这些，如(5, 12, 13)(8, 15, 17)等也都是勾股数．
怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数(a, b, c)才能满足关系式a2+b2=c2
活动1：
设(a, b, c)为一组勾股数，如下表：
表1 表2
活动2：
(1)观察表1，b、c与a2之间的关系是________；
(2)根据表1的规律写出勾股数(11,________,________)
活动3：
(1)观察表2，b、c与a2之间的关系是________；
(2)根据表2的规律写出勾股数(16,________,________)
活动4：
一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用2n2+2n+1（n为任意正整数）表示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是________、________（认真观察表1、表2后直接写出结果）

12. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在距离根部4m处，这棵大树在折断前的高度为________m.


13. 八年级(1)班的学生准备测量校园人工湖的深度，如图，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=0.8米．竹竿高出水面的部分AD长0.2米，如果竹竿的底端固定不动，把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为________.


14. 请写出“两直线平行，同位角相等”的逆命题：________________．

15. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B，C，D的面积依次为4，3，9，则正方形A的面积为________．


16. “四边形是多边形”，这个命题的逆命题是________，这个逆命题是________命题（填“真”或“假”）.
三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 8 分 ，共计72分 ， ）

17. 如图，分别以△ABC的三边为直径作三个半圆，面积分别为S1，S2，S3，S1+S2=S3，求证：∠ACB=90∘．


18. 阅读：所谓勾股数就是满足方程x2+y2＝z2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：x=12(m2−n2)，y＝mn，z=12(m2+n2)，其中m>n>0，m、n是互质的奇数．
应用：当n＝5时，求一边长为12的直角三角形另两边的长．

19. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．


20. 在甲村至乙村的公路有一条公路．在C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答．


21. 写出下列命题的逆命题，判断它们的真假，并证明.
(1)若a3=b3，则a=b；

(2)若∠α+∠β=180∘，则∠α与∠β至少有一个是钝角.

22. 如图，直线AB，CD被BC所截，若AB//CD，∠1=45∘，∠2=35∘，则∠3=________​∘．


23. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F．

(1)求证：AE=CF．

(2)若∠AOE=53∘，∠EAD=2∠CAE，求∠BCA的度数．

24. 勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练地掌握勾股数，对迅速判断，解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：

(1)你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）

(2)你能发现a，b，c之间的关系吗？

(3)你能用以上结论解决下题吗？
20192+20202×10092−(2020×1009+1)2

25. 已知a，b分别为等腰三角形的两边长，且满足3a−2+22−a−b+5=0，求三角形的周长．
参考答案与试题解析
2021年新人教版八年级下数学第17章 勾股定理单元测试卷
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
【解答】
解：A，22+32≠42，故A不符合题意；
B，52+82≠122，故B不符合题意；
C，42+62≠92，故C不符合题意；
D，22+12=52，故D符合题意.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
勾股数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A.42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项错误；
B.12+12=(2)2，可以构成直角三角形，故选项正确；
C.62+82≠112，不能构成直角三角形，故选项错误；
D.52+122≠232，不能构成直角三角形，故选项错误.
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
线段垂直平分线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设CE=x，连接AE，如图所示，
∵ DE是线段AB的垂直平分线，
∴ AE=BE=BC+CE=3+x，
∴ 在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，
即(3+x)2=42+x2，
解得x=76，
∴ CE=76．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的应用
翻折变换（折叠问题）
勾股定理的综合与创新
【解析】
先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC−BF=9−BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．
【解答】
解：∵ 点C′是AB边的中点，AB=6，
∴ BC′=3，
由图形折叠特性知，
C′F=CF=BC−BF=9−BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，
∴ BF2+9=(9−BF)2，
解得BF=4，
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
定义、命题、定理、推论的概念
真命题，假命题
原命题与逆命题、原定理与逆定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A、B、D说法正确；
一个定理不一定有逆定理，但是会有逆命题，所以C说法错误.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的证明
【解析】
“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明．
【解答】
解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理．
故选：C．
7.
【答案】
D
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设∠EDC=x∘，则∠DEF=90−x∘．
∵ BD=DE，
∴ ∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45∘，
∴ ∠DBM=∠DBE−∠MBE=45+x∘−45∘=x，
∴ ∠DBM=∠CDE，
故①正确；
∵ ∠DBM=∠CDE,∠DMN=∠DMN，
∴ △DMN∼△BMD，
∴ DM2=MN⋅MB
故②正确；
∵ ∠BNE=∠DBM+∠BDN，∠BDM=∠BDE+∠EDF,∠EDF=∠DBM，
∴ ∠BNE=∠BDM，
又∠C=∠NBE=45∘，
∴ △DBC∽△NEB，
∴ CDBD=BNEN.
∴ CD⋅EN=BN⋅BD.
故③正确；
在Rt△BDM和Rt△DEF中， ∠DBM=∠CDE，∠DMB=∠DFE，BD=DE,
∴ Rt△BDM≅Rt△DEF
∴ S△AMM=S△DEF，
∴ S△BDM−S△OMN=S△DEF−S△DMN，即S△DBN=S四边形MNEF，
∴ S△DBN+S△BNE=S四边形MNEF+S△BNH，
∴ S△BDE=S四边形MNEF ．
故④正确；
∵ Rt△BDM≅Rt△DEF，
∴ BM=DF．
∵ ∠ABC=90∘，M是AC的中点，
∴ BM=12AC，
∴ DF=12AC，
故⑤错误．
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
勾股数
【解析】
根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】
解：A、32+42≠62，不是勾股数；
B、(13)2+(14)2≠(15)2，不是勾股数；
C、72+242=252，是勾股数；
D、0.92+1.22≠1.62，不是勾股数．
故选：C
9.
【答案】
D
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
A.由b2=(a+c)(a−c)得b2+c2=a2，符合勾股定理的逆定理求解；
B.由a:b:c=1:3:2得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理求解；
C.由∠A+∠B+∠C=180∘，∠C=∠A−∠B得到∠A=90∘，所以△ABC是直角三角形；
D.由∠A:∠B:∠C=3:4:5和∠A+∠B+∠C=180∘，得到∠A=45∘，∠B=60∘，∠C=75∘，所以△ABC不是直角三角形.
【解答】
解：A.由b2=(a+c)(a−c)得b2=a2−c2，
即b2+c2=a2，所以△ABC是直角三角形；
B.由a:b:c=1:3:2得12+(3)2=4，22=4，
即a2+b2=c2，所以△ABC是直角三角形；
C.∵∠A+∠B+∠C=180∘，∠C=∠A−∠B，
∴∠A+∠B+∠A−∠B=180∘，
解得∠A=90∘，
所以△ABC是直角三角形；
D.设∠A:∠B:∠C=3:4:5=k(k≠0)，
∴∠A=3k，∠B=4k，∠C=5k.
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴3k+4k+5k=180，
∴k=15，
∴∠A=45∘，∠B=60∘，∠C=75∘，
所以△ABC不是直角三角形.
故选D.
10.
【答案】
D
【考点】
勾股定理
【解析】
由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，
∵ 每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，
∴ 4×12ab+(a−b)2=25，
∴ (a−b)2=25−16=9，
∴ a−b=3.
故选D.
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
11.
【答案】
a2=b+c,60,61,12a2=b+c,63,65,2n2+2n,2n+1
【考点】
勾股数
【解析】
首先出方程的根，利用半径长，由点到直a距离为d，若dr，则直与圆相离，从得出答．
【解答】
解：∵ (2x1x−4)=0，
解得：x1−12（不题舍去，x2=4，
∴ 4>，
∴ 该圆半径是，
∵ O半径是方程(2x+)(x−4)=0一个，
∴ 2x+1=或−4=，
故答案：相交
12.
【答案】
8
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
利用勾股定理直接解答即可．
【解答】
解：由勾股定理得，断下的部分为32+42=5m，
3+5=8m，
所以大树高为8m．
故答案为：8.
13.
【答案】
1.5米
【考点】
勾股定理的综合与创新
【解析】
利用勾股定理在Rt△DBC中，BD2+DC2=BC2，即x2+0.82=x+0.22，可得解.
【解答】
解：设BD=x，则AB=BC=x+0.2.
在Rt△DBC中，BD2+DC2=BC2，
即x2+0.82=x+0.22，
解得x=1.5.
故答案为：1.5米.
14.
【答案】
如果同位角相等，那么两直线平行
【考点】
原命题与逆命题、原定理与逆定理
【解析】
命题是由题设和结论两部分组成的，把原命题的题设作结论，原命题的结论作题设，这样就将原命题变成了它的逆命题．
【解答】
解：原命题是：两直线平行，同位角相等．
改成如果…那么…的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等．
…逆命题为：如果同位角相等，那么两直线平行，
故答案为：如果同位角相等，那么两直线平行．
15.
【答案】
2
【考点】
勾股定理的应用
勾股定理
勾股定理的综合与创新
【解析】
根据勾股定理的几何意义解答．
【解答】
解：
由题意知，S正方形A+S正方形B=S正方形E，
S正方形D−S正方形C=S正方形E，
∴ S正方形A+S正方形B=S正方形D−S正方形C.
∵ 正方形B,C,D的面积依次为4，3，9.
∴ S正方形A+4=9−3.
∴ S正方形A=2.
故答案为：2.
16.
【答案】
多边形是四边形,假
【考点】
命题与定理
真命题，假命题
原命题与逆命题、原定理与逆定理
【解析】
根据互逆命题的概念得到逆命题，根据题意判断即可．
【解答】
解：“四边形是多边形”，
这个命题的逆命题是多边形是四边形，
这个逆命题是假命题，
因为多边形不只有四边形，所以逆命题为假.
故答案为：多边形是四边形；假．
三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 8 分 ，共计72分 ）
17.
【答案】
证明：∵ S1+S2=S3，S1=12π(12AC)2=18πAC2，
S2=18πBC2，S3=18πAB2，
∴ 18πAC2+18πBC2=18πAB2，
即AC2+BC2=AB2，
∴ ∠ACB=90∘．
【考点】
圆的有关概念
勾股定理的逆定理
【解析】
由S1+S2=S3，根据圆的面积公式得出18πAC2+18πBC2=18πAB2，即AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理即可证明∠ACB=90∘．
【解答】
证明：∵ S1+S2=S3，S1=12π(12AC)2=18πAC2，
S2=18πBC2，S3=18πAB2，
∴ 18πAC2+18πBC2=18πAB2，
即AC2+BC2=AB2，
∴ ∠ACB=90∘．
18.
【答案】
∵ n＝5，直角三角形一边长为12，
∴ 有三种情况：
①当x＝12 时，12(m2−52)=12．
解得m1＝7，m2＝−7（舍去）．
∴ y＝mn＝35．
∴ z=12(m2+n2)=12×(72+52)=37．
∴ 该情况符合题意．
②当y＝12时，
5m＝12，
m=125．
∵ m为奇数，
∴ m=125舍去．
③当z＝12时，12(m2+52)=12，
m2＝−1，
此方程无实数解．
综上所述：当n＝5时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37．
【考点】
勾股数
【解析】
分类讨论：x＝12；y＝12；z＝12，结合已知条件，借助于方程解答．
【解答】
∵ n＝5，直角三角形一边长为12，
∴ 有三种情况：
①当x＝12 时，12(m2−52)=12．
解得m1＝7，m2＝−7（舍去）．
∴ y＝mn＝35．
∴ z=12(m2+n2)=12×(72+52)=37．
∴ 该情况符合题意．
②当y＝12时，
5m＝12，
m=125．
∵ m为奇数，
∴ m=125舍去．
③当z＝12时，12(m2+52)=12，
m2＝−1，
此方程无实数解．
综上所述：当n＝5时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37．
19.
【答案】
绳索AD的长度是7.5m
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝(x−3)m，利用勾股定理可得x2＝62+(x−3)2．
【解答】
在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝(x−3)m，
故x2＝62+(x−3)2，
解得：x＝7.5，
20.
【答案】
解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∵ BC=400米，AC=300米，∠ACB=90∘，
∴ 根据勾股定理得AB=500米，
∵ 12AB⋅CD=12BC⋅AC，
∴ CD=240米．
∵ 240米