2020-2021学年18.7 应用举例精品教案

这是一份2020-2021学年18.7 应用举例精品教案，共5页。教案主要包含了情境引入，探究归纳，应用提高，体验收获，拓展提升等内容，欢迎下载使用。

知识与技能：1. 能运用相似三角形的数学模型解决现实世界的测量问题；2. 通过例题的分析与解决，让学生进一步感受相似三角形在实际生活中的应用．
过程与方法：引导学生将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再应用相似三角形知识求解，体会相似三角形的应用方法．
情感、态度与价值观：发展学生的转化意识和自主探究、合作交流的习惯，体会相似三角形的实际应用价值，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受．
教学重点
运用相似三角形的知识解决生活中的一些测量问题．
教学难点
如何把实际问题转化相似三角形这一数学模型．
教学流程
一、情境引入
问题：
（1）怎样判断两个三角形相似？
（2）相似三角形的性质有哪些？
引入：胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的 4 个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约 230 米．据考证，为建成胡夫金字塔，一共花了 20 年时间，每年用工10 万人．该金字塔原高 146.59 米，但由于经过几千年的风化吹蚀，高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔高度的吗？
引出课题：今天，我们就来研究利用三角形的相似，解决一些有关测量的问题．
二、探究归纳
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．
追问：怎样测出OA的长？
金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔的边长一半的和．
解：太阳光是平行光线，因此
∠BAO＝∠EDF．
又∠AOB＝∠DFE＝90°，
∴△ABO∽△DEF．

（m）
因此金字塔的高度为134 m．
归纳：同一时间，同一地点，物高与影长成比例．
思考：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，请根据这些数据，计算河宽PQ．
解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
∴△PQR∽△PST．

即
PQ×90＝（PQ+45）×60．
解得PQ＝90（m）．
因此，河宽大约为90m．
归纳：构造两个共线的相似直角三角形．
探索：如图1，左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m，一个人估计自己的眼睛距地面1.6m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点C了？
解：如图2，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD．
∴△AEH∽△CEK．

即
解得EH＝8（m）．
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C．
归纳：构造两个共线的相似直角三角形．
三、应用提高
1．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是多少？
解：设这栋楼的高度为xm，因为在同一时刻物高与影长的比相等，所以依题意有

解得x＝54（m）．
答：这栋楼的高度是54m．
2．如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求河宽AB．
解：∵∠B＝∠C＝90°，∠ADB＝∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，


∴AB＝100（m）．
答：河宽大约为100m．
四、体验收获
说一说你的收获．
如何利用相似三角形的知识解决实际生活中的测高、测距问题？
五、拓展提升
如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛距地面1.50m，同时量得LM＝30cm，MS＝2m，这栋楼有多高？
解：根据题意，
∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠LMK＝∠SMT（反射角等于入射角），
∴△KLM∽△TSM，

∵KL＝1.50m，LM＝30cm＝0.3m，MS＝2m，

解得：TS＝10（m）
答：这栋大楼高为10m．