2021学年5.6 几何证明举例多媒体教学ppt课件

这是一份2021学年5.6 几何证明举例多媒体教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了教学目标，回顾与思考，精讲点拨，你学会了吗，拓展延伸，系统总结，预习诊断，符号表示，交流与发现，学以致用等内容，欢迎下载使用。

1.具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是（ ）（A）有两边一角对应相等 （B） 三边对应相等（C）两角一边对应相等 （D）有两直角边对应相等的两个直角三角形2.下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等。其中正确命题的个数有（ ）A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
1.证明角角边定理；2.根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关线段或角相等。
1.全等三角形有什么性质？2.全等三角形有哪些判定方法？其中哪几个是基本事实？不是基本事实的应如何进行证明？3.证明命题的步骤是什么？
证明：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等。（根据图形结合题意写出已直和求证，给出证明）
这样，全等三角形的判定就有了基本事实SAS，ASA，SSS以及定理AAS，利用它们和全等三角形的对应边、对应角相等就可以进一步推证全等三角形的有关线段或角相等。
例1：已知：如图，AB=AD，BC=DC。 求证：∠B=∠D。分析：要证∠B=∠D，只要证明它们所在的两个三角形全等即可，但是图中没有两个全等三角形时，应通过尝试添加辅助线构造全等三角形，使待证的角或线段是这两个全等三角形的对应角或对应边。
1.已知，如图AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C
思考：怎样添加辅助线才能使∠A与∠C存在于两个全等三角形中而且是两个三角形的对应角呢？
如图：已知，AB∥CD，∠1=∠2， ∠3=∠4；求证：BC=AB+CD
两个全等三角形的对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的平分线有什么性质呢？
1.判定两个三角形全等的基本事实有：SAS，ASA，SSS，判定定理是AAS。2.证明两个角或两条线段相等时，可以考察它们是否在给出的两个全等三角形中。如果没有，应尝试通过添加辅助线构造两个全等三角形，使待证的角或线段分别是两个全等三角形的对应角或对应边。
1.等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为4cm，则它的周长是 ；2.等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为8cm，则它的周长是 。3.等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为_______ 。等腰三角形一个角为80°，它的另外两个角是_______。
1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。2.能用“公理”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
1.什么叫等腰三角形？2.根据本册第二章的学习你知道等腰三角形的哪些性质？3.这些性质你是怎样得到的？这些性质都是真命题吗？你能用逻辑推理的方法对它们进行证明吗？
证明性质定理1：等腰三角形的两个底角相等 （简称：等边对等角）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C分析：常见辅助线做法（1）作底边上的高（2）作顶角的平分线 （3）作底边上的中线通过添加辅助线把三角形ABC分成两个全等的三角形，只要证得被分成的两个三角形全等即可得∠B=∠C
等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。
在△ABC中，∵ AC=AB（已知）∴ ∠B=∠C （等边对等角）
通过证明我们发现：等腰三角形的两个底角相等是真命题。可以作为证明其他命题的依据。
根据以上证明，我们还可以得到结论：等腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶角。即得到∠BAD=∠CAD与BD=CD，于是得： 性质定理2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底上的高互相重合(简称“三线合一”)。
性质定理2：符号语言的应用
你能写出“性质定理1：等腰三角形的两个底角相等”的逆命题吗？如何证明这个逆命题是正确的？ 如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C。求证： AB=AC分析：是不是仍然可以做辅助线将原三角形分成两个全等的三角形呢？试试看。
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）
在△ABC中， ∵∠B=∠C （已知）∴ AC=AB（等角对等边）
利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：
1.等边三角形的每个内角都是60°
2.三个角都相等的三角形是等边三 角形。
如果一个三角形的每个内角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形。
2.当等腰三角形的顶角是60°时
1.当等腰三角形的一个底角等于60°角时
思考：“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE ⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。求证：AD=AF分析：从已知出发先由已知AB=AC利用“等边对等角”推得∠B=∠C ，再由等角的余角相等推得∠BDE=∠F，进而得到∠ADF=∠F，最后根据“等角对等边”推出AD=AF。
1.已知，如图D是△ ABC内的一点，且DB=DC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，求证：AB=AC
2.在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。请说明DE=BD+EC。
3.如图，△ABC是等边三角形， BD是AC边上的高，延长BC至E， 使CE=CD。连接DE。（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？ 为什么？
1.等腰三角形的判定方法有下列两种： ①定义②判定定理 2.等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 条件和结论刚好相反 3.运用等腰三角形的判定定理时，应注意 在同一个三角形中
下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB。其中正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1.掌握并证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理； 2.掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思路
1.什么是线段的垂直平分线？2.你知道线段的垂直平分线有什么性质？3.这个性质你是怎样得到的？这个性质是真命题吗？你能用逻辑推理的方法，证明它的真实性吗？
证明：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。已知：直线 是线段AB的垂直平分线，垂足为点 ，点P是直线 上的任意一点。求证： =
1.为什么以上证明要分（1）点P与点M不重合（2）点P与点M重合时两种情况？2.符号语言：线段垂直平分线的性质定理：∵点P在线段AB的垂直平分线CD上∴PA=PB
你能说出线段垂直平分线性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？应如何证明它的真实性？ 到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 要证明这个命题成立，只要证明经过点P的线段AB的垂线，也平分线段AB就可以了。 注意：也要分两种情况
线段垂直平分线的判定定理： ∵MA=MB，NA=NB ∴直线MN是线段AB的垂直平分线你会用吗？已知：AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上求证：AB=AC=CE
已知：如图，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点，求证：BE=DE。
1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。作用：证明两条线段相等2.线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上作用：证明点在线段的垂直平分线上。
3.符号语言： 性质定理：∵点M在线段AB的垂直平分线上 ∴MA=MB 逆定理：∵MA=MB ∴点M在线段AB的垂直平分线上
下列说法中，错误的是（ ）。A．三角形任意两个角的平分线的交点都在三角形内部B．三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三边的距离相等C．三角形任意两个角的平分线的交点都在第三个角的平分线上D．三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等
1.掌握并证明角平分线的性质定理及其逆定理；2.会运用角平分线的性质定理及其逆定理解决有关实际问题。
1.什么叫角的平分线？2.根据本册第二章的学习你知道角的垂直平分线有什么性质？3.这个性质你是怎样得到的？这个性质是真命题吗？你能用逻辑推理的方法，证明它的真实性吗？
证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
已知：如图，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M和N。求证：PM=PN
温馨提示：证明的推理过程可以用文字语言，也 可以用符号语言。
角平分线的性质定理： ∵点P在的平分线BD上 PM⊥BA，PN⊥BC ∴PM=PN
你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？应如何证明它的真实性？ 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
已知：如图，点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M与N，且PM=PN。求证：点P在∠ABC的平分线上
角平分线的判定定理： ∵ PM⊥BA，PN⊥BC，PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线）
我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，如何证明这个结论？例：已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线。求证：AM，BN，CP交于一点。 要证明三角形的三条角平分线交与一点，只要证明两条角平分线的交点也在第三条角平分线上就可以了。
如右图，△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，D、E是垂足。求证：MD＝ME。
如下图，已知：△ABC中，∠BAC = 90°， AD⊥BC于D，AE平∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF。 求证：BF是∠ABC的平分线。
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。作用：证明两条线段相等2.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。作用：证明两个角相等或线是角平分线
3.符号语言： 角平分线的性质定理： ∵点P在的平分线BD上 且 PM⊥BA，PN⊥BC ∴PM=PN 角平分线的判定定理： ∵ PM⊥BA，PN⊥BC，且 PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线）
现在你有几种判定直角三角形全等的方法？1.边角边 简称 “SAS”2.角边角 简称 “ASA”3.边边边 简称 “SSS”4.角角边 简称 “AAS”
1.根据三角形全等推导“HL”定理；2.熟练应用“斜边、直角边”定理。
已知，AB=CD、AE⊥BC、DF⊥BC 、CE=BF，求证：CD∥AB
直角三角形全等的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。已知：如图，在Rt△ＡＢＣ和Rt△Ａ/Ｂ/Ｃ/中，∠Ｃ=∠Ｃ/ =90°，AB＝Ａ/Ｂ/ ，ＡＣ＝Ａ/Ｃ/ 求证：Ｒt∆ABC ≌Ｒt ∆A/B/C/
将两个直角三角形的斜边重合在一起，你能证明两个直角三角形全等吗？
由于HL定理的存在，在直角三角形中，两边及一角分别相等的两个三角形，当其中较大一边的对角是直角时，它们全等。
“斜边、直角边”或“HL” 定理的符号语言
在Rt∆ABC和Rt∆DEF中
∴ Rt∆ABC ≌ Rt∆DEF （HL）
例1.如图，在 △ABC 中，BD＝CD，DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF， 求证：△ABC是等腰三角形。
如图：已知AC=BD， ∠C=∠D=90°，求证：（1）Rt∆ABC≌Rt∆BAD
例2.已知一直角边和斜边作直角三角形
（1） 作直线DE，在直线DE上任取一点C，过点C作射CM⊥DE
（2）在射线CM上截取线段CB=a;
（3） 以B为圆心，c为半径画弧，交射线CE于点A；
△ABC就是所求作的三角形。
知：线段a，c，求作Rt∆ABC，使直角边BC=a，斜边AB=c
1.应用斜边直角边（HL）定理判定两个三角形全等，要按照定理的条件，准确地找出“对应相等”的边；2.寻找使结论成立所需要的条件时，要注意充分利用图形中的隐含条件，如“公共边、公共角、对顶角等等”；3.要认真掌握证明两个三角形全等的推理模式。