2021高三数学第一轮复习 导学案 第33讲：复数的概念

第三十三讲：复数的有关概念

【学习目标】

1.理解复数的基本概念.

2.理解复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示法及其几何意义.

【知识梳理】

1、复数的概念

（1）复数的概念：形如____________的数叫做复数，其中为________，为________，

是_______单位，且满足=_____，全体复数组成的集合叫做____________.

（2）复数的分类：复数

（3）复数相等的充要条件：

     特别地，    

2、复数的几何意义

（1）复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做____轴，轴叫做___轴.

（2）复数集与复平面上的点集、及以原点为起点的向量集是_______对应的.如下图所示.

（3）复数的模：对应复数的向量的模叫做复数的模，记作或.

==.如果，那么是一个实数，它的模等于_____（就是的___________）.

3、共轭复数

（1）定义：若两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为_____________，用______表示.

（2）代数形式：与互为共轭复数，即

（3）几何意义：非零复数互为共轭复数它们的对应点（或向量）关于_    __轴对称.

【典题分析】 

题型1：复数的基本概念

例1.设复数（其中）.

（1）当时是实数；              （2）当时是纯虚数.

方法：要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.设复数，若；若为虚数；若为纯虚数且；若.

【题组训练】

1.设是复数，则下列命题中的假命题是（   ）

A.若，则是实数       B.若，则是虚数   

C.若是虚数，则       D.若是纯虚数，则

2.若复数是实数（是虚数单位），则实数的值为（   ）

A.      B.      C.     D.

3．已知复数z满足，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

4．是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为________．

5.若复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A.     B.    C.或    D.

7.实数分别取什么数值时，复数：

（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数.

题型2：复数相等的充要条件

例2.已知，则实数分别为（   ）

A.     B.     

C.      D.

方法：复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程（组）来求未知数的值.

【题组训练】

1.若，其中，为虚数单位，则_________.

2．设，，则（    ）

A． B． C． D．

3．若虚数是关于的方程(，)的一个根，则（    ）

A．29 B． C． D．3

4．若，则（    ）

A．0   B．   C．1     D．

题型3：复数的模及几何意义

例3. (1)为正实数，为虚数单位，，则（   ）

A.      B.      C.     D.

(2)在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点在（    ）

A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限

(3).在复平面内，复数对应的点位于（  ）

A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限

方法：复数的模的运算，先将复数化简为的形式，再利用公式；复数与复平面的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量的加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.

【题组训练】

1．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A.第一象限       B.第二象限 

C.第三象限       D.第四象限

2．设复数满足，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

3.已知，复数的实部为，虚部为，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

4．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）．

A． B． C． D．

5．若复数满足，则它的共轭复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．已知，则下列说法正确的是（    ）

A．复数的虚部为 B．复数对应的点在复平面的第二象限

C．复数z的共轭复数 D．

7．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点所在的曲线方程为（    ）

A． B． C． D．