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2022高考物理一轮复习学案 008复合场中的等时圆模型 精讲精练
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这是一份2022高考物理一轮复习学案 008复合场中的等时圆模型 精讲精练，共6页。学案主要包含了复合场中“等时圆”模型基本规律，复合场中“等时圆”模型例析，复合场中“等时圆”模型变式练习等内容，欢迎下载使用。
一、复合场中“等时圆”模型基本规律
1、匀强电场与重力场组成的复合场中“等时圆”推论
如图1所示竖直平面内有一圆，AB是圆的直径，在平面内有水平向左的匀强电场，带正电绝缘小滑块受到的重力与电场力的合力方向恰好与AB平行且由A指向B，带正电绝缘小滑块沿经过A点的任一光滑弦从静止滑到弦轨道与圆交点的时间相等。
证明：如图1所示，设AC弦与直径AB夹角为θ，圆的直径为，则。带正电绝缘小滑块沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为，位移为，运动时间为
A
B
C
D
图2
600
所以沿弦运动具有等时性，运动时间与弦的长短以及弦和直径的夹角无关。
2、由重力场、匀强电场、匀强磁场叠加的复合场中中“等时圆”推论
在图1中，如果有垂直纸面向里的匀强磁场，带正电绝缘小滑块运动方向与磁场垂直，小滑块沿轨道运动的加速度不会变化，即其受到的洛伦兹力不影响质点在轨道上的运动时间，所以上述结论仍成立即“带正电绝缘小滑块沿经过A点的任一光滑弦从静止滑到弦轨道与圆交点的时间相等。”
二、复合场中“等时圆”模型例析
例1：如图2所示，竖直的圆环放在水平向左的匀强电场中，半径为R，AB、AC、AD三条光滑管道中分别有三个质量均为m、带正电且电量相等的绝缘小球无初速度地从A端释放后，分别在管道AB、AC、AD中下滑到D、C、B三端点。AB竖直，AD与竖直方向夹角为600，AC经过圆心。已知小球所受重力大小与电场力大小之比为，则小球其中运动时间最长的管道是（ ）
A、 AD B、AC C、AB D、条件不足，无法判定
解析：如图3所示，小球所受重力大小与电场力大小之比为可知，小球所受重力与电场力的合力F的方向恰好与AD平行，且由A指向D。过AC两点画一个虚线圆，且圆心在AD上，直径长设为d，延长管道AD到M。AB与虚线圆交于N点。设AC与AD夹角为θ，小球在管道AC上运动的加速度，位移。小球在光滑管道AC上从A点静止释放，到达C的时间，等于沿虚线圆直径从A点静止释放小球后滑到M点所用时间，与θ和弦长无关，所以从A点静止释放小球后滑到N点所用时间也为。AD短于AM，AB长于AN，所以沿管道AB运动时间最长。故正确答案是C选项
例2、如图4所示，竖直圆环上的两条直径CD和AB夹角为600，CD竖直，圆环内有两条光滑轨道AM、AC。一个带负电绝缘光滑小球从A点静止释放，沿轨道AC到达C点时间为ｔ。在圆环所在空间加匀强电场，方向与圆环所在平面平行，小球在A点时受到的电场力与重力的合力方向恰好由A指向B，让该小球从A点静止释放，沿轨道AM到达M点时间也为ｔ。已知小球质量为ｍ，带电量为－ｑ。求所加电场的电场强度大小和方向。
解析：如图5所示，在重力场中，小球从A点静止释放，沿轨道AC到达C点时间
（ｄ是圆的直径，θ是重力与AC夹角）①
在匀强电场和重力场组成的复合场中，电场力与重力的合力大小设为Ｆ，小球从A点静止释，沿轨道AM到达M点时间 ②
由①②可知F＝ｍｇ根据三角形定则和几何知识，重力G、电场力F电及这二力的合力F构成等边三角形，即F电=mg=qE，得到所求电场强度大小E=mg/q，小球带负电，所以电场方向竖直方向夹角为600，斜向右下方。
例3、如图6所示，在竖直平面内有两个圆相切于O点，圆心分别为O1、O2、
直径径分别d1、d2。在一、二象限内有竖直向下的匀强电场，场强大小为E；在圆内有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小为B1。在三、四象限内有竖直向上的匀强电场，场强大小也为E；在圆内有垂直纸面向外的磁场，磁感应强度大小为B2。有两个管道AB、CD都经过O点，A、C在☉O1上，B、D在☉O2上。一带正电绝缘光滑小球，直径略小于管道直径，分别从管道A端、C端从静止释放，经管道内到达B端、D端所用时间分别为t1、t2。已知小球在电场中受到的电场力小于其重力。下列说法正确的有（ ）
图6
A、管道AB比CD长，所以t1>t2
B、 t1=t2
C 、 如果第三象限内没有电场，则有 t1>t2
D 、 因B2与B1大小关系不确定，所以t1与t2大小关系也不确定。
解析：光滑小球在管道内运动受到的洛伦兹力与管道垂直，不影响小球运动的速度和加速度，所以不用考虑磁场对运动时间的影响。所以D选项错。如图7所示，设小球质量为m，AB与Y轴夹角为θ，在第一、二象限小球受到的重力与电场力合力为F1，在第三、四象限小球受到的重力与电场力合力为F2，小球在AO运动的位移大小为d1csθ，小球在OB运动的位移大小为d2csθ，
根据牛顿第二定律和运动学公式有：得，与θ无关，与管
道在圆中长度无关。所以，即两小球在☉O1中部分管道运动时间相等。
化简得可见tOB也是与θ无关，所以，又，所以 t1=t2 。如果第三象限内没有电场，两小球在竖直方向受到恒力为重力G，同理可得，tOB仍与θ无关，两小球则在☉O2中管道运动时间仍相同，所以t1=t2，因此，正确选项只有B。
三、复合场中“等时圆”模型变式练习
1：如图8所示，在一竖直放置的圆环中的4根光滑绝缘细杆AE、AD、BF、BC，其中，BF竖直且与AD相交于圆心O，夹角为450，AE与BF平行，AD与BC平行。在圆环平面内水平向右的匀强电场，四个完全相同的带正电的绝缘小圆环分别套在4根光滑绝缘细杆的A、B两点，静止释放，使环分别沿AE、AD、BF、BC滑到圆周上的E、D、F、C点，所用时间分别为t1、t2、t3、t4 ，已知小圆环受到的重力大小与电场力大小相等，则t1、t2、t3、t4 大小关系为（ ）
A、t1>t2>t3>t4 B、t1>t2=t3>t4 C、t3>t1=t2>t4 D、t1=t2>t3>t4
在如图9所示，在倾角为θ（θ小于450）的斜面上固定有一竖直杆PB，Ｐ点到斜面C点距离小于A点到C点距离，即PC＜ＡＣ。整个装置放在匀强电场中，电场方向水平向左。现有一光滑绝缘轨道一端放在P点，另一端放在斜面上，让带正电小球从P点静止释放，使其沿轨道滑到斜面上，所用时间为ｔ，则该轨道与PB夹角β为多少时，ｔ最短？ 已知，小球在电场中所受电场力大小等于其重力大小。
3、如图10所示，水平向左的匀强电场中，有一竖直圆环，环内有垂直纸面向里的匀强磁场，圆环圆心为O，半径为R，直径PQ与水平面夹角为300，PQ上有一点M，MO长为L。现在圆环上找一点N，在M、N两点间架设一条光滑轨道，让一带正电绝缘小滑块从M点无初速度释放，要使小滑块滑到N点所用时间最短，则N点与圆心O点连线与PQ夹角θ的正切值为多少？最短时间t是多少？已知带正电小滑块所受重力是其在电场中所受电场力的倍，重力加速度为g。
变式练习参考答案：
1、C
提示：AD是复合场等时圆直径，所以t1=t2，AE与BF平行，小环加速度相同，但AE短于BF，所以t3>t1，AD与BC平行，小环加速度相同，但AD长于BC，所以t2>t4）
2、。
提示：如图11所示，重力与电场力合力方向为斜向左下方，与水平夹角为450，在AC上选取一点D，使AD连线与AC夹角为450，过P点作一个圆，使圆心在PD上且与AB相切于E点，在PE两点安放轨道，可以证明，让小球从P点静止释放滑到E点，时间最短。由几何知识可求得）
3、，
提示：带电小滑块所受洛伦兹力不影响其运动时间，所受重力与电场力合力与竖直方向夹角为300且指向左下方。如图12所示过M点画圆，使圆与PQ相切于M点，与圆环相切于N点，圆心为，由几何知识可知N、、O三点在同一直线上。由几何知识和动力学知识可求得，）
一、复合场中“等时圆”模型基本规律
1、匀强电场与重力场组成的复合场中“等时圆”推论
如图1所示竖直平面内有一圆，AB是圆的直径，在平面内有水平向左的匀强电场，带正电绝缘小滑块受到的重力与电场力的合力方向恰好与AB平行且由A指向B，带正电绝缘小滑块沿经过A点的任一光滑弦从静止滑到弦轨道与圆交点的时间相等。
证明：如图1所示，设AC弦与直径AB夹角为θ，圆的直径为，则。带正电绝缘小滑块沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为，位移为，运动时间为
A
B
C
D
图2
600
所以沿弦运动具有等时性，运动时间与弦的长短以及弦和直径的夹角无关。
2、由重力场、匀强电场、匀强磁场叠加的复合场中中“等时圆”推论
在图1中，如果有垂直纸面向里的匀强磁场，带正电绝缘小滑块运动方向与磁场垂直，小滑块沿轨道运动的加速度不会变化，即其受到的洛伦兹力不影响质点在轨道上的运动时间，所以上述结论仍成立即“带正电绝缘小滑块沿经过A点的任一光滑弦从静止滑到弦轨道与圆交点的时间相等。”
二、复合场中“等时圆”模型例析
例1：如图2所示，竖直的圆环放在水平向左的匀强电场中，半径为R，AB、AC、AD三条光滑管道中分别有三个质量均为m、带正电且电量相等的绝缘小球无初速度地从A端释放后，分别在管道AB、AC、AD中下滑到D、C、B三端点。AB竖直，AD与竖直方向夹角为600，AC经过圆心。已知小球所受重力大小与电场力大小之比为，则小球其中运动时间最长的管道是（ ）
A、 AD B、AC C、AB D、条件不足，无法判定
解析：如图3所示，小球所受重力大小与电场力大小之比为可知，小球所受重力与电场力的合力F的方向恰好与AD平行，且由A指向D。过AC两点画一个虚线圆，且圆心在AD上，直径长设为d，延长管道AD到M。AB与虚线圆交于N点。设AC与AD夹角为θ，小球在管道AC上运动的加速度，位移。小球在光滑管道AC上从A点静止释放，到达C的时间，等于沿虚线圆直径从A点静止释放小球后滑到M点所用时间，与θ和弦长无关，所以从A点静止释放小球后滑到N点所用时间也为。AD短于AM，AB长于AN，所以沿管道AB运动时间最长。故正确答案是C选项
例2、如图4所示，竖直圆环上的两条直径CD和AB夹角为600，CD竖直，圆环内有两条光滑轨道AM、AC。一个带负电绝缘光滑小球从A点静止释放，沿轨道AC到达C点时间为ｔ。在圆环所在空间加匀强电场，方向与圆环所在平面平行，小球在A点时受到的电场力与重力的合力方向恰好由A指向B，让该小球从A点静止释放，沿轨道AM到达M点时间也为ｔ。已知小球质量为ｍ，带电量为－ｑ。求所加电场的电场强度大小和方向。
解析：如图5所示，在重力场中，小球从A点静止释放，沿轨道AC到达C点时间
（ｄ是圆的直径，θ是重力与AC夹角）①
在匀强电场和重力场组成的复合场中，电场力与重力的合力大小设为Ｆ，小球从A点静止释，沿轨道AM到达M点时间 ②
由①②可知F＝ｍｇ根据三角形定则和几何知识，重力G、电场力F电及这二力的合力F构成等边三角形，即F电=mg=qE，得到所求电场强度大小E=mg/q，小球带负电，所以电场方向竖直方向夹角为600，斜向右下方。
例3、如图6所示，在竖直平面内有两个圆相切于O点，圆心分别为O1、O2、
直径径分别d1、d2。在一、二象限内有竖直向下的匀强电场，场强大小为E；在圆内有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小为B1。在三、四象限内有竖直向上的匀强电场，场强大小也为E；在圆内有垂直纸面向外的磁场，磁感应强度大小为B2。有两个管道AB、CD都经过O点，A、C在☉O1上，B、D在☉O2上。一带正电绝缘光滑小球，直径略小于管道直径，分别从管道A端、C端从静止释放，经管道内到达B端、D端所用时间分别为t1、t2。已知小球在电场中受到的电场力小于其重力。下列说法正确的有（ ）
图6
A、管道AB比CD长，所以t1>t2
B、 t1=t2
C 、 如果第三象限内没有电场，则有 t1>t2
D 、 因B2与B1大小关系不确定，所以t1与t2大小关系也不确定。
解析：光滑小球在管道内运动受到的洛伦兹力与管道垂直，不影响小球运动的速度和加速度，所以不用考虑磁场对运动时间的影响。所以D选项错。如图7所示，设小球质量为m，AB与Y轴夹角为θ，在第一、二象限小球受到的重力与电场力合力为F1，在第三、四象限小球受到的重力与电场力合力为F2，小球在AO运动的位移大小为d1csθ，小球在OB运动的位移大小为d2csθ，
根据牛顿第二定律和运动学公式有：得，与θ无关，与管
道在圆中长度无关。所以，即两小球在☉O1中部分管道运动时间相等。
化简得可见tOB也是与θ无关，所以，又，所以 t1=t2 。如果第三象限内没有电场，两小球在竖直方向受到恒力为重力G，同理可得，tOB仍与θ无关，两小球则在☉O2中管道运动时间仍相同，所以t1=t2，因此，正确选项只有B。
三、复合场中“等时圆”模型变式练习
1：如图8所示，在一竖直放置的圆环中的4根光滑绝缘细杆AE、AD、BF、BC，其中，BF竖直且与AD相交于圆心O，夹角为450，AE与BF平行，AD与BC平行。在圆环平面内水平向右的匀强电场，四个完全相同的带正电的绝缘小圆环分别套在4根光滑绝缘细杆的A、B两点，静止释放，使环分别沿AE、AD、BF、BC滑到圆周上的E、D、F、C点，所用时间分别为t1、t2、t3、t4 ，已知小圆环受到的重力大小与电场力大小相等，则t1、t2、t3、t4 大小关系为（ ）
A、t1>t2>t3>t4 B、t1>t2=t3>t4 C、t3>t1=t2>t4 D、t1=t2>t3>t4
在如图9所示，在倾角为θ（θ小于450）的斜面上固定有一竖直杆PB，Ｐ点到斜面C点距离小于A点到C点距离，即PC＜ＡＣ。整个装置放在匀强电场中，电场方向水平向左。现有一光滑绝缘轨道一端放在P点，另一端放在斜面上，让带正电小球从P点静止释放，使其沿轨道滑到斜面上，所用时间为ｔ，则该轨道与PB夹角β为多少时，ｔ最短？ 已知，小球在电场中所受电场力大小等于其重力大小。
3、如图10所示，水平向左的匀强电场中，有一竖直圆环，环内有垂直纸面向里的匀强磁场，圆环圆心为O，半径为R，直径PQ与水平面夹角为300，PQ上有一点M，MO长为L。现在圆环上找一点N，在M、N两点间架设一条光滑轨道，让一带正电绝缘小滑块从M点无初速度释放，要使小滑块滑到N点所用时间最短，则N点与圆心O点连线与PQ夹角θ的正切值为多少？最短时间t是多少？已知带正电小滑块所受重力是其在电场中所受电场力的倍，重力加速度为g。
变式练习参考答案：
1、C
提示：AD是复合场等时圆直径，所以t1=t2，AE与BF平行，小环加速度相同，但AE短于BF，所以t3>t1，AD与BC平行，小环加速度相同，但AD长于BC，所以t2>t4）
2、。
提示：如图11所示，重力与电场力合力方向为斜向左下方，与水平夹角为450，在AC上选取一点D，使AD连线与AC夹角为450，过P点作一个圆，使圆心在PD上且与AB相切于E点，在PE两点安放轨道，可以证明，让小球从P点静止释放滑到E点，时间最短。由几何知识可求得）
3、，
提示：带电小滑块所受洛伦兹力不影响其运动时间，所受重力与电场力合力与竖直方向夹角为300且指向左下方。如图12所示过M点画圆，使圆与PQ相切于M点，与圆环相切于N点，圆心为，由几何知识可知N、、O三点在同一直线上。由几何知识和动力学知识可求得，）
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