2020-2021学年重庆市川外附属第二外国语学校高一下学期期中考试数学试题

2020-2021学年重庆市川外附属第二外国语学校高一下学期期中考试数学试题

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列结论中，正确的是（    ）

A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B. 若向量与都是单位向量，则

C. 若向量与是平行向量，则与的方向相同

D. 若两个向量相等，则它们的模相等

2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

3．已知直线l，m和不重合的平面，，，以下为的充分条件的是（    ）

A．， B．，

C．， D．内有不共线的三点到的距离相等

4．正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是(    )
 

A. 6cm         B. 8cm        C. (2+3)cm     D. (2+2)cm

5．若，则的虚部是（     ）

6.已知一个圆锥的底面积为π， 侧面积为2π， 则该圆锥的体积为(    )                       

  A. −8π     B. 4π    C. π     D.π

7.设复数z满足|z−3+4i|=2，那么|z+5−2i|的最小值为(    )

A. 8      B. 10     C. 12     D. 6

8.在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设，，复数z=m+ni(m,n∈R)，当|z|取到最小值时，实数m的值为(    )

A. −12     B. 65     C. 2     D. 125​​​​​​​

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分.

9．已知复数，则下列结论中错误的是

A.                                       B.的虚部为

C.的共辄复数为                           D.在复平面内的对应点位于第四象限

10．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（    ）

A．当时，满足条件的三角形共有个

B．若则这个三角形的最大角是

C．若，则为锐角三角形

D．若，，则为等腰直角三角形

11．已知直三棱柱的体积为V，若点P在，且，点Q是棱上的动点，则四棱锥的体积不可能是（    ）

A． B． C． D．

12．如图所示，已知棱长为1的正方体中，E，F，M分别是线段、、的中点，点P、Q分别在线段、上，且（）.设平面平面，则下列结论正确的是（    ）

A．平面 B．

C．直线l与平面不垂直 D．当x变化时，l不是定直线

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13． 已知复数的实部和虚部相等，则__________．

14．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，，，则球的表面积为__________．

15．如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，则二面角P−AC−B的正弦值是__________ ．

16．圆锥的母线，高为，点M是的中点，则圆锥的体积为___________，一质点自A点出发，沿侧面绕行一周到达M点的最短路程为___________．

四、解答题：本题共6个小题，共70分. 应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17．在中，内角、、所对的边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）若，，求的周长.

18．如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，分别为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

19.如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，.

（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？

（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？

20．如图，在中，，，是上的高，沿把折起，使.

（1）证明：平面平面；

（2）设为的中点，求异面直线与的夹角的余弦值.

21.已知向量，，记.

（1）若，求的值；

（2）若中，角，，的对边分别为，，，满足，求角的大小及的取值范围.

22．如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点.

（1）求证：平面；

（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由.

重庆第二外国语学校高2023级高一下半期考试

数学试卷（答案）

三、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列结论中，正确的是（    ）

A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B. 若向量与都是单位向量，则

C. 若向量与是平行向量，则与的方向相同

D. 若两个向量相等，则它们的模相等

【答案】D

2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由复数除法求得后可得其共轭复数．

【详解】

由题意，∴．

故选：D．

3．已知直线l，m和不重合的平面，，，以下为的充分条件的是（    ）

A．， B．，

C．， D．内有不共线的三点到的距离相等

【答案】B

【分析】

根据两个平面平行的判定定理，即可求出的充分条件.

【详解】

因为垂直同一直线的两个平面平行，

所以，是的充分条件，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了两个平面平行的判定定理，充分条件，属于中档题.

4．B

5．若，则的虚部是（     ）                       

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】【分析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：的形式，即可得到复数的虚部.

【详解】

由题可知，

所以的虚部是1.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.

6.   C

【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，

则解得所以．

圆锥的体积

7.   【答案】A

8.【答案】D

【分析】先利用平面向量基本定理及M、E、N三点共线，判断出，对消去n后利用二次函数判断出取值最小值时的m.

【详解】

在中，因为，

所以.

又，，所以.

因为E为的中点，所以.

因为M、E、N三点共线，所以，即，

复数，所以，

令，

故当，最小.

故选：D

四、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分.

9．已知复数，则下列结论中错误的是

A.                                       B.的虚部为

C.的共辄复数为                           D.在复平面内的对应点位于第四象限

答案：ABC  解析：，故ABC错误.

10．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（    ）

A．当时，满足条件的三角形共有个

B．若则这个三角形的最大角是

C．若，则为锐角三角形

D．若，，则为等腰直角三角形

【答案】BD

【分析】

利用正弦定理求得,即可判定A错误；利用正弦定理转化为边的比值，进而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，对B作出判定；注意到三角形的各个角的情况，周全考虑，即可判定C错误；根据已知条件,综合使用正余弦定理可求得角A的值，进而证明D正确.

【详解】

对于Ａ，，无解，故A错误；

对于B,根据已知条件，由正弦定理得：,

不妨令,则,最大角的余弦值为：,

∴，故B正确；

对于C，由条件，结合余弦定理只能得到,即角为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C错误；

对于D,,得到,

又

,

,

为等腰直角三角形，故D正确.

故选：BD.

【点睛】

本题考查正余弦定理，熟练掌握并灵活运用正余弦定理是关键.

11．已知直三棱柱的体积为V，若点P在，且，点Q是棱上的动点，则四棱锥的体积不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【详解】

如图：

设，，点到平面的距离为，

则

，

因为，所以，所以，

所以不正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查了直棱柱的结构特征，考查了棱柱和棱椎的体积公式，属于基础题.

12．如图所示，已知棱长为1的正方体中，E，F，M分别是线段、、的中点，点P、Q分别在线段、上，且（）.设平面平面，则下列结论正确的是（    ）

A．平面 B．

C．直线l与平面不垂直 D．当x变化时，l不是定直线

【答案】ABC

【详解】

连接，，∵，∴，

又平面，平面，所以平面，

又平面平面，∴，，∴平面，故A成立；

又，∴，故B成立；

∵，∴易知直线l与平面不垂直，故C成立；

当x变化时，l是过点M且与直线平行的定直线，故D不成立.

故选：ABC.

【点睛】

本题主要考查判定线面平行，判定线线位置关系关系、线面位置关系，属于常考题型.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13． 已知复数的实部和虚部相等，则__________．

【详解】,因为复数的实部和虚部相等,所以,即,

14．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，，，则球的表面积为__________．

【答案】

【详解】

设的外接圆半径，

由正弦定理得，，

由题意知球半径满足，得，

球表面积.

15．如图,取AC的中点D,连接OD,PD,

∵PO⊥底面,∴PO⊥AC,

∵OA=OC,D为AC的中点,∴OD⊥AC,

又PO∩OD=O,∴AC⊥平面POD,则AC⊥PD,

∴∠PDO为二面角P-AC-B的平面角.

∵△PAB是边长为2的正三角形,

∴PO=,OA=OC=1,OD=,则PD=.

∴sin∠PDO=.

16．圆锥的母线，高为，点M是的中点，则圆锥的体积为___________，一质点自A点出发，沿侧面绕行一周到达M点的最短路程为___________．

【详解】

（1）如图，根据勾股定理求出底面圆的半径

所以圆锥的体积

（2）如图，将圆锥的侧面展开，连接，则的长为质点A绕行的最短路程，在中，，，弧长，则

利用余弦定理得：

，即

所以质点自A点出发，沿侧面绕行一周到达M点的最短路程为.

四、解答题：本题共6个小题，共70分. 应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17．在中，内角、、所对的边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）若，，求的周长.

【详解】

解：（1）由题意可得，可得，

由正弦定理可得，

因为，可得.

（2）由，可得，

又由余弦定理可得，可得，

可得，解得，或（舍去），

故的周长为.

18．如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，分别为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【详解】

（1）证明：分别为中点，，

平面，平面，平面.

（2）四边形为正方形，，

又，平面，，平面，

，

.

19.如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，.

（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？

（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？

【答案】（1）不能；（2）汽车能先到达处.

【详解】

（1）在中，（公里），（公里），，，

由正弦定理，可得（公里），

又由，

所以快递小哥不能在50分钟内将快件送到处.

（2）在中，由余弦定理，可得，

可得（公里），

在中，，由正弦定理得，

可得（公里），

又由（分钟）

所以汽车能先到达处.

20．如图，在中，，，是上的高，沿把折起，使.

（1）证明：平面平面；

（2）设为的中点，求异面直线与的夹角的余弦值.

【详解】

（1）折起前是边上的高，因为当折起后，，，

又，平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）取的中点，连接，因为为的中点，所以，

设，显然，因为，是上的高，

所以，

在中，，则，

所以，所以，

所以，

因为，所以，，

平面，所以平面，即平面，

而平面，所以，因此，

则异面直线与的夹角为，.

21.已知向量，，记.

（1）若，求的值；

（2）若中，角，，的对边分别为，，，满足，求角的大小及的取值范围.

【答案】（1）（2），

【分析】

（1）化简，由得，再根据二倍角的余弦公式可求出结果；

（2）利用正弦定理边化角，结合三角两角和的正弦公式可求出，根据可求出的取值范围.

【详解】

（1）

,

因为，所以，

所以.

（2）由以及正弦定理得，

所以，

所以，

所以，因为，

所以，因为为三角形的内角，所以，

所以，

因为，所以，所以，

所以，所以.

【点睛】

关键点点睛：掌握平面向量的数量积的坐标表示、三角恒等变换公式、正弦定理边化角是解题关键.

22．如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点.

（1）求证：平面；

（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由.

解：（1）证明：因为是圆O的直径，点P是圆周上一点，

所以，即，

又在圆柱中，母线底面，底面，

所以，又，平面，平面，

所以平面，

（2）设圆柱底面半径为，母线为，则，解得，

在中，过作交于点.

由（1）知平面，

因为平面，所以，

又，所以平面.

若与不重合，即为直线与平面所成的角.

若与重合，直线与平面所成的角为，

设，由对称性，不妨设，

则在中，，

在中，，.

于是

当且仅当，即，时，等号成立.

此时，，直线与平面所成的角为，正弦值为1，

点为两个半圆弧的中点.

（法二）若直线与平面所成角为，则，

在中，由，可得．

因此．

此时为直角三角形，所以点为两个半圆弧中点．

因此，当点为两个半圆弧中点．时，直线与平面所成角为最大值，

正弦值为1．