2021年黑龙江省牡丹江市、鸡西市朝鲜族学校联合体中考数学真题试卷解析版

这是一份2021年黑龙江省牡丹江市、鸡西市朝鲜族学校联合体中考数学真题试卷解析版，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年黑龙江省牡丹江市、鸡西市朝鲜族学校联合体中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分。）
1．下列运算正确的是（　　）
A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）2＝﹣
C．x3•x5＝x15 D．•＝a
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体所用的小立方块的个数可能是（　　）

A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
4．从小到大的一组数据﹣1，1，2，x，6，8的中位数为2，则这组数据的众数和平均数分别是（　　）
A．2，4 B．2，3 C．1，4 D．1，3
5．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在双曲线y＝﹣（x＜0）上，点C，D在y轴的正半轴上，点E在BC上，CE＝2BE，连接DE并延长，交x轴于点F，连接CF，则△FCD的面积为（　　）

A．2 B． C．1 D．
7．若关于x的分式方程＝3的解是非负数，则b的取值范围是（　　）
A．b≠4 B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（　　）

A．1 B．2 C． D．
9．大课间，12人跳绳队为尊重每个队员的意愿，准备把队员分成跳大绳组或跳小绳组，大绳组3人一组，小绳组2人一组，在全队同学能同时参加活动且符合小组规定人数的前提下，则不同的分组方法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四边形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1．其中结论正确的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
二、填空题：（每小题3分，共30分。）
11．人民网哈尔滨1月10日电，1月10日在黑龙江省政府新闻办举办的“重振雄风再出发﹣﹣龙江这一年”系列主题新闻发布会上表示，全省实现旅游收入2683.8亿元，将2683.8亿用科学记数法表示为 　 　．
12．在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 　 　．
13．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　 　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）

14．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的5个小球，其中3个红球、2个黄球．如果第一次先从袋中摸出1个球后不放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄球的概率是 　 　．
15．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是 　 　．
16．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为　 　．

17．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为　 　．

18．如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为12cm，底面圆的半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 　 　cm2．

19．菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，以AD为边作等腰直角三角形ADF，∠DAF＝90°，连接BF，BD，则△BDF的面积为 　 　．
20如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依次规律继续作正方形AnBn∁nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，则S2021＝　　．

三、解答题：（共60分。）
21先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0．
22在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

23已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，PC，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．

24某校在一次历史考试中，随机抽取了九年级（1）班部分学生的成绩（单位：分）并根据统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，其中成绩在70～80分的学生人数与成绩在90～100分的学生人数之比为6：7．请结合图中的信息回答下列问题：
（1）本次共抽取学生 　　人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校九年级学生共有2400人，请你估计成绩在50～70分的人数有多少人．

25.A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且到A，B两地的路程相等．甲、乙两车分别从A，B两地出发，匀速行驶．甲车到达C地并停留1小时后以原速继续前往B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回C地停止行驶，乙车经C地到达A地停止行驶．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距C地的路程y（单位：千米）与所用的时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）直接写出A，B两地的路程和甲车的速度；
（2）求乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；
（3）出发后几小时，两车在途中距C地的路程之和为180千米？请直接写出答案．

26已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．请解答下列问题：

（1）如图①，求证：AB+BF＝2BD；
（2）如图②、图③，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．
27某中学初三学生在开学前去商场购进A，B两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A款书包共花费6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购买一个B款书包比购买一个A款书包多花30元．
（1）求购买一个A款书包、一个B款书包各需多少元？
（2）为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了A，B两款书包，每款书包不少于14个，总花费恰好为2268元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，A款书包销售单价比第一次购买时提高了8%，B款书包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次A款书包有几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少72元，直接写出两款书包的购买方案．
28如图，矩形ABOC在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x+20＝0的两个根．解答下列问题：
（1）求点A的坐标；
（2）若直线MN分别与x轴，AB，AO，AC，y轴交于点D，M，F，N，E，S△AMN＝2，tan∠AMN＝1，求直线MN的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在第二象限内，在平面内是否存在点Q，使以E，F，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）2＝﹣
C．x3•x5＝x15 D．•＝a
【分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、﹣3﹣2＝﹣5，故此选项错误；
B、3×（﹣）2＝，故此选项错误；
C、x3•x5＝x8，故此选项错误；
D、•＝a，正确．
故选：D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【解答】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体所用的小立方块的个数可能是（　　）

A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
【分析】左视图、俯视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
【解答】解：从左视图看第一列2个正方体结合俯视图可知上面一层有1或2个正方体，左视图第二列1个正方体结合俯视图可知下面一层有4个正方体，所以此几何体共有5或6个正方体．
故选：B．
4．从小到大的一组数据﹣1，1，2，x，6，8的中位数为2，则这组数据的众数和平均数分别是（　　）
A．2，4 B．2，3 C．1，4 D．1，3
【分析】先利用中位数的定义求出x的值，再根据众数的定义和平均数的公式，即可求出这组数据的众数和平均数．
【解答】解：∵一组数据﹣1，1，2，x，6，8的中位数为2，
∴x＝2×2﹣2＝2，
2出现的次数最多，故这组数据的众数是2，
这组数据的平均数是（﹣1+1+2+2+6+8）÷6＝3．
故选：B．
5．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在双曲线y＝﹣（x＜0）上，点C，D在y轴的正半轴上，点E在BC上，CE＝2BE，连接DE并延长，交x轴于点F，连接CF，则△FCD的面积为（　　）

A．2 B． C．1 D．
【分析】根据题意设出A点和D点的坐标，设OC长度为m，根据CE＝2BE，得出E点的坐标，再通过证△DEC∽△DFO，得出比例关系，进而求出FO的长度，利用面积公式求面积刚好能消掉未知数得出面积的具体数值．
【解答】解：根据题意，设A（n，﹣），D（0，﹣），
设OC＝m，则C（0，m），CD＝﹣﹣m，
∴B（n，m），BC＝﹣n，
∵CE＝2BE，
∴CE＝BC＝﹣n，
∴E（n，m），
由题知BC∥FO，
∴∠DEC＝∠DFO，∠DCE＝∠DOF，
∴△DEC∽△DFO，
∴＝，
即＝，
∴FO＝，
∴S△FCD＝FO•CD＝×（﹣﹣m）＝1，
故选：C．
7．若关于x的分式方程＝3的解是非负数，则b的取值范围是（　　）
A．b≠4 B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．
【解答】解：去分母得，2x﹣b＝3x﹣6，
∴x＝6﹣b，
∵x≥0，
∴6﹣b≥0，
解得，b≤6，
又∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
即6﹣b≠2，b≠4，
则b的取值范围是b≤6且b≠4，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（　　）

A．1 B．2 C． D．
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出＝＝＝，再根据tan∠BCD＝，设参数表示AC、BC即可求出答案．
【解答】解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴＝＝，
∵AB＝2BD，
∴＝＝＝，
在RtCDM中，
由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵＝＝，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴＝＝2，
故选：B．

9．大课间，12人跳绳队为尊重每个队员的意愿，准备把队员分成跳大绳组或跳小绳组，大绳组3人一组，小绳组2人一组，在全队同学能同时参加活动且符合小组规定人数的前提下，则不同的分组方法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】根据全队12人同时参加活动且符合小组规定的人数，则大绳组有0组、两组或四组，故有三种分组方法．
【解答】解：∵全队12人同时参加活动且符合小组规定的人数，且大绳组3人一组，小绳组2人一组，
∵12是偶数，2的倍数也是偶数，
又∵偶数+偶数＝偶数，
∴大绳组人数必须为偶数，
即大绳组有0组、两组或四组三种分组情况，
故选：C．
10．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四边形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1．其中结论正确的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
【分析】延长BM交AE于N，连接AM，由垂直的定义可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF＝67.5°，从而有∠EAF+∠FBM＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是正方形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM＝22.5°得③错误；根据等腰直角三角形的性质可知AM＝FM，推导得出AM＝EM＝FM，从而EF＝EM+FM＝（+1）FM，得到S△EFB：S△BFM＝（ ）：1，再由S四边形BCEF＝2S△EFB，得S四边形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1，判断出④正确．
【解答】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，

∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝∠EFB＝90°，
∵∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，
∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，
∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF+∠FBM＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴BM⊥AE，故①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵∠EFB＝90°，
∴四边形EFBC是矩形，
又∵EF＝BF，
∴矩形EFBC是正方形，故②正确；
∴∠EBF＝45°，
∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM
＝45°﹣22.5°
＝22.5°，
故③错误；
∵∠AFM＝90°，AF＝FM，
∴∠MAF＝45°，AM＝，
∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠AEM＝∠MAE，
∴EM＝AM＝FM，
∴EF＝EM+FM＝（+1）FM，
∴S△EFB：S△BFM＝（ ）：1，
又∵四边形BCEF是正方形，
∴S四边形BCEF＝2S△EFB，
∴S四边形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1，
故④正确，
∴正确的是：①②④，
故选：C．
二．填空题（共9小题）
11．人民网哈尔滨1月10日电，1月10日在黑龙江省政府新闻办举办的“重振雄风再出发﹣﹣龙江这一年”系列主题新闻发布会上表示，全省实现旅游收入2683.8亿元，将2683.8亿用科学记数法表示为 　2.683×1011　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：2683.8亿＝268380000000＝2.683×1011，
故答案为：2.683×1011．
12．在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 　1≤x≤2　．
【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，x﹣1≥0，
解得x≤2，x≥1，
∴1≤x≤2．
故答案为：1≤x≤2．
13．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　AB⊥BC　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）

【分析】证DF、EF都是△ABC的中位线，得DF∥BC，EF∥AB，则四边形BEFD为平行四边形，当AB⊥BC时，∠B＝90°，即可得出结论．
【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
当AB⊥BC时，∠B＝90°，
∴平行四边形BEFD为矩形，
故答案为：AB⊥BC．
14．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的5个小球，其中3个红球、2个黄球．如果第一次先从袋中摸出1个球后不放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄球的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，两次都摸到黄球的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有20种等可能的结果，两次都摸到黄球的结果有2种，
∴两次都摸到黄球的概率为＝，
故答案为：．
15．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是 　﹣＜a≤0　．
【分析】解两个不等式得到不等式组的解集为3a﹣2≤x≤2，则可确定不等式组的整数解为2，1，0，﹣1，﹣2，于是可得到a不等式组，解不等式组可得a的范围．
【解答】解：，
由不等式①，得 x≥3a﹣2，
由不等式②，得 x≤2，
∴3a﹣2≤x≤2，
∵不等式组有5个整数解，
∴x＝2，1，0，﹣1，﹣2，
∴﹣3＜3a﹣2≤﹣2，
∴﹣＜a≤0，
故答案为﹣＜a≤0．
16．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为　　．

【分析】连接CO，OB，则∠O＝2∠A＝60°，得到△BOC是等边三角形，求得BC＝2，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CO，OB，
则∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝，
故答案为：．

17．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为　+π　．

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．
【解答】解：作OE⊥AB于点F，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，
∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，
故答案为：+π．

18．如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为12cm，底面圆的半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 　36π　cm2．

【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵底面圆的半径为3cm，
∴底面圆的周长为6π（cm），即圆锥侧面展开图扇形的弧长为6πcm，
∴这个冰淇淋外壳的侧面积＝×12×6π＝36π（cm2）
故答案为：36π．
19．菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，以AD为边作等腰直角三角形ADF，∠DAF＝90°，连接BF，BD，则△BDF的面积为 　27+或27﹣　．
【分析】分AF在AD上方还是下方两种情况，若AF在上方，则有S△BDF＝S△ABD+S△ABF+S△ADF，若AF在下方，则有S△BDF＝S△ABF+S△ADF﹣S△ABD，分别求出这三部分面积即可．
【解答】解：当AF在AD上方时，如图，延长FA交BC于E，

∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∴BE＝3，AE＝3，
S菱形ABCD＝BC×AE＝6×＝18，
∴S△ABD＝＝9，
S△ABF＝，
S△ADF＝，
∴S△BDF＝S△ABD+S△ABF+S△ADF＝9，
当AF在AD下方时，如图，

则S△BDF＝S△ABF+S△ADF﹣S△ABD＝27﹣9，
故答案为：27+9或27﹣9．
20如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依次规律继续作正方形AnBn∁nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，则S2021＝　　．

【考点】规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】由正方形的性质得出A1D1∥A2C1，则，得出，同理可得，，，…，，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，
∴A1D1∥A2C1，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，，，…，，
∴，
故答案为：．
21先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先运用乘法分配律将所求的代数式去括号，然后再合并化简，最后代值求解即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝x2﹣3﹣2x+2
＝x2﹣2x﹣1
由x2﹣2x﹣3＝0，得x2﹣2x＝3
∴原式＝3﹣1＝2．
22在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

【考点】轨迹；作图﹣旋转变换；作图﹣位似变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）A1（3，﹣3）；
（2）见解答；
（3）π．
【分析】（1）延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则可得到△A1B1C，然后写出点A1的坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可；
（3）先利用勾股定理计算出CB，然后根据弧长公式计算点B所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C为所作；

（3）CB＝＝，
所以点B所经过的路径长＝＝π．
23已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，PC，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】数形结合；二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）D点坐标为（﹣1，2）．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后将函数解析式化为顶点式求其顶点坐标；
（2）利用等高三角形面积之比为底边的比，结合平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入函数解析式，
可得，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
又∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）如图，过点D作DM⊥y轴，

由y＝﹣x2﹣2x+3，当x＝0时，y＝3，
∴C点坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
可得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴，，
又∵DM⊥y轴，
∴DM∥OB，
∴，
∴，
解得：OM＝2，
在y＝x+3中，当y＝2时，x＝﹣1，
∴D点坐标为（﹣1，2）．
24某校在一次历史考试中，随机抽取了九年级（1）班部分学生的成绩（单位：分）并根据统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，其中成绩在70～80分的学生人数与成绩在90～100分的学生人数之比为6：7．请结合图中的信息回答下列问题：
（1）本次共抽取学生 　　人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校九年级学生共有2400人，请你估计成绩在50～70分的人数有多少人．

【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）50；
（2）补图见解答过程；
（3）288．
【分析】（1）结合扇形统计图和条形统计提，即可计算；
（2）根据扇形统计图计算出缺少分数段的人数作图即可；
（3）先计算概率再根据概率计算即可．
【解答】解：（1）18÷36%＝50（人），
故答案为：50；
（2）由题知，
60～70分：50×8%＝4（人），
70～80分：（50﹣2﹣4﹣18）×＝12（人），
90～100分：50﹣2﹣4﹣18﹣12＝14（人），
∴补图如下：

（3）2400×＝288（人），
答：估计成绩在50～70分的人数有288人．
25.A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且到A，B两地的路程相等．甲、乙两车分别从A，B两地出发，匀速行驶．甲车到达C地并停留1小时后以原速继续前往B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回C地停止行驶，乙车经C地到达A地停止行驶．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距C地的路程y（单位：千米）与所用的时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）直接写出A，B两地的路程和甲车的速度；
（2）求乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；
（3）出发后几小时，两车在途中距C地的路程之和为180千米？请直接写出答案．

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）A，B两地的路程360km，甲车速度为120km/h；（2）乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为：y＝60x﹣180；（3）分别在1h，h，5h这三个时间点，两车在途中距C地的路程之和为180km．
【分析】（1）由在0h的图象可以求出A，B两地的路程，先求出甲车经过180km所用时间，再求甲车速度即可；
（2）由乙车的图象，用待定系数法求函数解析式即可；
（3）由图可知，分别在3个时间段可能两车在途中距C地路程之和为180km，分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）当0h时，甲车和乙车距C地为180km，
∴两地的路程为：180+180＝360km，
设甲车经过180km用了xh，
则：x+x+x+1＝5.5，
∴x＝1.5，
则甲车速度为：180÷1.5＝120（km/h）；
（2）设乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（3，0），（6，180）代入y＝kx+b（k≠0），
得：，
解得：，
∴乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为：y＝60x﹣180；
（3）由图可知，分别在3个时间段可能两车在途中距C地路程之和为180km，
①甲车从A地到C地，乙车从B到C，
﹣120x+180+60x+180＝180，
解得：x＝1；
②甲车从C到B，乙车从C到A，
﹣120x﹣300+60x﹣180＝180，
记得：x＝；
③甲车从B到C，乙车从C到A，
﹣120x+660+60x﹣180＝180，
解得：x＝5．
总上所述：分别在1h，h，5h这三个时间点，两车在途中距C地的路程之和为180km．
26已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．请解答下列问题：

（1）如图①，求证：AB+BF＝2BD；
（2）如图②、图③，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．
【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）如图②，结论：AB﹣BF＝2BD，如图③，结论：BF﹣AB＝2BD，证明见解析部分．
【分析】（1）如图①中，连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．根据等边三角形的性质得到AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，推出∠TAF＝∠BAE，证得△ATF≌△ABE，根据全等三角形的性质得到TF＝BE，∠ATB＝∠ABE＝60°，根据直角三角形的性质得到BD＝BE，等量代换即可得到结论；
（2）①如图②中，结论：AB﹣BF＝2BD．连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．根据等边三角形的性质得到AC＝AB，AF＝AE，∠CAB＝∠FAE＝60°，推出∠CAF＝∠BAE，证得△ACF≌△ABE，根据全等三角形的性质得到CF＝BE，∠C＝∠ABE＝60°，根据直角三角形的性质得到BD＝BE，等量代换即可得到结论．②如图③中，结论：BF﹣AB＝2BD，证明类似①中．
【解答】（1）证明：如图①中，连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．

∵BA＝BT，∠ABT＝60°，
∴△ABT是等边三角形，
∵△ABT，△AEF是等边三角形，
∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，
∴∠TAF＝∠BAE，
在△ATF与△ABE中，
，
∴△ATF≌△ABE（SAS），
∴TF＝BE，∠ATB＝∠ABE＝60°，
∵ED⊥AB，
∴∠DEB＝30°，
∴BD＝BE，
∴TF＝2BD，
∵BT＝AB，
∴AB+BF＝2BD．

（2）①如图②，结论：AB﹣BF＝2BD．
理由：连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．

∵△ABT，△AEF是等边三角形，
∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，
∴∠TAF＝∠BAE，
在△ATF与△ABE中，
，
∴△ATF≌△ABE（SAS），
∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝60°，
∴∠EBD＝60°，
∵ED⊥AB，
∴∠DEB＝30°，
∴BD＝BE，
∴TF＝2BD，
∵BT＝AB，
∴AB＝2BD，
∴AB﹣BF＝2BD．
②如图③，结论：BF﹣AB＝2BD．
理由：连接BE，在BC上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．


∵△ABT，△AEF是等边三角形，
∴AT＝AB，AF＝AE，
∴∠TAF＝∠BAE，
在△ATF与△ABE中，
，
∴△ATF≌△ABE（SAS），
∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝120°，
∴∠EBD＝60°
∵ED⊥AB，
∴∠DEB＝30°，
∴BD＝BE，
∴TF＝2BD，
∵BT＝AB，
∴BF﹣AB＝2BD
27某中学初三学生在开学前去商场购进A，B两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A款书包共花费6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购买一个B款书包比购买一个A款书包多花30元．
（1）求购买一个A款书包、一个B款书包各需多少元？
（2）为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了A，B两款书包，每款书包不少于14个，总花费恰好为2268元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，A款书包销售单价比第一次购买时提高了8%，B款书包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次A款书包有几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少72元，直接写出两款书包的购买方案．
【考点】一元一次方程的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【答案】（1）购买一个A款书包需要50元，购买一个B款书包需要80元；
（2）此次A款书包有3种购买方案；
（3）购买18个A款书包，18个B款书包．
【分析】（1）设购买一个A款书包需要x元，则购买一个B款书包需要（x+30）元，利用数量＝总价÷单价，结合用6000元购买A款书包的数量是用3200元购买B款书包数量的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买m个B款书包，则购买（42﹣m）个A款书包，根据购买的每款书包不少于14个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合（42﹣m）为整数，即可得出m的值，进而可得出此次A款书包购买方案的个数；
（3）利用减少的利润＝销售每个B款书包减少的利润×销售数量﹣销售每个A款书包增加的利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一个A款书包需要x元，则购买一个B款书包需要（x+30）元，
依题意得：＝3×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝50+30＝80（元）．
答：购买一个A款书包需要50元，购买一个B款书包需要80元．
（2）设购买m个B款书包，则购买＝（42﹣m）个A款书包，
依题意得：，
解得：14≤m≤21．
又∵（42﹣m）为整数，
∴m为3的倍数，
∴m可以取15，18，21，
∴此次A款书包有3种购买方案．
（3）依题意得：80×（1﹣0.9）m﹣50×8%（42﹣m）＝72，
解得：m＝18，
∴42﹣m＝42﹣×18＝18（个）．
答：购买18个A款书包，18个B款书包．
28如图，矩形ABOC在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x+20＝0的两个根．解答下列问题：
（1）求点A的坐标；
（2）若直线MN分别与x轴，AB，AO，AC，y轴交于点D，M，F，N，E，S△AMN＝2，tan∠AMN＝1，求直线MN的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在第二象限内，在平面内是否存在点Q，使以E，F，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）点A（﹣4，3）．
（2）直线MN的解析式为y＝x+5．
（3）存在E，F，P，Q为顶点的正方形，此时点Q的坐标分别为Q1，Q2，Q3．
【分析】通过求解一元二次方程求出矩形的各边长，根据直角三角形中的边角关系求得M，N的坐标，进而求出MN的表达式；再根据正方形与全等的知识求出Q的坐标．
【解答】解：（1）由x2﹣9x+20＝0，
得（x﹣4）（x﹣5）＝0．
解得x1＝4，x2＝5．
∵OB＜OA
∴OB＝4，OA＝5.
．
∵点A在第二象限，
∴点A（﹣4，3）．
（2）∵tan∠AMN＝1，
∴∠AMN＝45°．
∵S△AMN＝2，
∴AN＝AM＝2．
∴BM＝1．
∴点M（﹣4，1）．
∵AB＝3，AC＝OB＝4，
∴CN＝AC﹣AN＝4﹣2＝2．
∴点N（﹣2，3）．
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
把点M（﹣4，1），N（﹣2，3），代入
得，
解得．
∴直线MN的解析式为y＝x+5．
（3）如图所示，
过点F作FQ3⊥y轴于点Q3，
过点P1作P1G⊥x轴，与FQ3交于点G．
点E的坐标为（0，5），
∵OA过原点，
∴OA的表达式为y＝kx，
把点A（﹣4，3）代入得．
列方程组，解得．
∴点F（，），点Q3（0，）．
．
情况一：以EF为正方形的边可做正方形EFQ1P1或FEP2Q2，
则△P1GF≌△FQ3E，
．
P1的纵坐标为，
P1的横坐标为﹣（）＝﹣．
∴Q2的坐标为（，5）．
同理可得Q1的坐标为（，）．
情况二：以EF为对角线在EF的左侧作正方形FQ3EP3，
FQ3＝EQ3，且∠EFQ3＝45°，
此时Q3的坐标为（0.）．
综上，当点Q的坐标分别为Q1，Q2，Q3时，存在E，F，P，Q为顶点的正方形．


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日期：2021/7/14 7:21:34；用户：老师；邮箱：13844932936；学号：32350959