2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：9.1　直线方程与圆的方程 Word版含解析【KS5U 高考】

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9.1 直线方程与圆的方程
挖命题
【考情探究】
分析解读 从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.
破考点
【考点集训】
考点一 直线的倾斜角、斜率与方程
1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为34”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是 .
答案 x-2y+3=0
考点二 直线与直线的位置关系
3.已知圆的方程为(x+1)2+y2=2,则圆心到直线y=x+3的距离为( )
A.1 B.2 C.2 D.22
答案 B
4.已知直线3x+(1-a)y+1=0与直线x-y+2=0平行,则a的值为( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
答案 A
5.已知a∈R,则“直线y=ax-1与y=-4ax+2垂直”是“a=12”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
考点三 圆的方程
6.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
答案 B
7.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .
答案 x-322+y2=254
炼技法
【方法集训】
方法1 直线方程的求法
1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
答案 D
方法2 两直线平行与垂直问题的解决策略
2.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是( )
A.2 B.8 C.175 D.1710
答案 A
3.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为π4,则a= ;若l1⊥l2,则a= ;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为 .
答案 -1;1;22
方法3 关于对称问题的求解策略
4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为( )
A.(x-1)2+y2=1 B.x2+(y+1)2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+y2=1
答案 C
方法4 圆的方程的求法
5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .
答案 x2+y2-2x=0
6.(2016江苏改编,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.
解析 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
因为圆N与x轴相切,与圆M外切,
所以0于是圆N的半径为y0,
从而7-y0=5+y0,解得y0=1.
因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为4-02-0=2.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离
d=|2×6-7+m|5=|m+5|5.
因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,
所以25=(m+5)25+5,
解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
评析本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系,考查分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·天津卷题组
1.(2013天津文,5,5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )
A.-12 B.1 C.2 D.12
答案 C
2.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为 .
答案 (x-2)2+y2=9
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
A.-43 B.-34 C.3 D.2
答案 A
2.(2015课标Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.26 B.8 C.46 D.10
答案 C
3.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为 .
答案 5x+y-3=0
4.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 .
答案 -3
5.(2018课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.
由题设知4k2+4k2=8,
解得k=-1(舍去),或k=1,
因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.
6.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.
由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.
又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)24=4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1·y2x2=-44=-1,所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.
故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(m2+2)2+m2.
由于圆M过点P(4,-2),因此 AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.
所以2m2-m-1=0,
解得m=1或m=-12.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.
当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为854,圆M的方程为x-942+y+122=8516.
解后反思 解直线与圆锥曲线相交问题时,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
疑难突破 将直径所对的圆周角为90°转化为两向量数量积等于0,进而由根与系数的关系进行整体运算求解.
7.(2015课标Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.
(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
解析 (1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).
又y'=x2,故y=x24在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),
即ax-y-a=0.
y=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),
即ax+y+a=0.
故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分)
(2)存在符合题意的点,证明如下:
设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.
将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.
故x1+x2=4k,x1x2=-4a.
从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.
当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)
C组 教师专用题组
1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
A.33 B.23 C.22 D.1
答案 C
2.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
答案 D
3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是 .
答案 [-52,1]
4.(2015湖北文,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)圆C的标准方程为 ;
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 .
答案 (1)(x-1)2+(y-2)2=2 (2)-2-1
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018天津河西三模,4)设a∈R,则“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
2.(2018天津十二区县二模,4)已知m为实数,直线l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,则“m=1”是“l1∥l2”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件 C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
二、填空题(每小题5分,共20分)
3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是 .
答案 x-y+1=0
4.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 .
答案 206
5.(2017天津一中3月月考,12)圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为 .
答案 (x+3)2+(y-2)2=5
6.(2018天津河东一模,12)已知A(0,3),B(1,0),点P为圆x2+y2+2x=0上的任意一点,则△PAB面积的最大值为 .
答案 3+1
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.直线的倾斜
角、斜率与方程
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式
3.掌握确定两直线位置关系的几何要素以及求直线方程的几种形式
4.了解斜截式与一次函数的关系
2017北京,14
直线的斜率
统计图的理解
★☆☆
2.直线与直线的位置关系
1.能根据两条直线的斜率判断两直线的位置关系
2.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离
2013天津文,5
直线与直线的位置关系
直线与圆的位置关系
★☆☆
3.圆的方程
1.掌握确定圆的几何要素
2.掌握圆的标准方程与一般方程
3.会用待定系数法和直接法求圆的方程
2017天津文,12
圆的方程
抛物线
★★☆
2016天津文,12
点到直线距离公式