小学第六单元 平行四边形和梯形平行四边形第4课时练习

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18.1 平行四边形第4课时 平行四边形的性质和判定的应用基础训练　　　　　　 　　　　　 　　　　　 知识点1 利用平行四边形的性质和判定判定平行四边形1.(2016·鄂州)如图,在▱ABCD中,BD是它的一条对角线,过A,C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,延长AE,CF分别交CD,AB于M,N.(1)求证:四边形CMAN是平行四边形;(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.知识点2 利用平行四边形的性质和判定说明线段的关系2.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BA交AC于E,DF∥CA交AB于F,连接EF,AD,那么是否有下列结论?说明理由.(1)AD与EF互相平分;(2)AE=BF.知识点3 利用平行四边形的性质和判定探究图形的形状3.如图,E,F分别是▱ABCD的AD,BC边上的点,且AE=CF.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)若M,N分别是BE,DF的中点,连接MF,EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.知识点4利用平行四边形的性质和判定证明线段间数量关系4.如图,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕l交CD边于点E,连接BE.(1)求证:四边形BCED'是平行四边形;(2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2. 提升训练考查角度1 利用平行四边形的性质和判定求线段的长5.如图,将▱ABCD的AD边延长至点E,使DE=AD,连接CE,F是BC边的中点,连接FD. (1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)若AB=3,AD=4,∠A=60°,求CE的长.考查角度2 利用平行四边形的性质和判定探究线段的和差关系(归一法)6.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:DE+DF=AC.(2)当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③.请分别写出图②,图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.(3)若AC=6,DE=4,则DF=_______.  探究培优拔尖角度1 利用平行四边形的性质和判定探究动点问题7.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=18 cm,CD=15 cm,AD=10 cm,AB=12 cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以2 cm/s的速度由A向D运动,点Q以3 cm/s的速度由C向B运动.(1)几秒后,四边形ABQP为平行四边形?并求出此时四边形ABQP的周长;(2)几秒后,四边形PDCQ为平行四边形?并求出此时四边形PDCQ的周长.   拔尖角度2 利用平行四边形的性质和判定求解翻折问题8.如图,四边形ABCD是长方形纸片,翻折∠B,∠D,使BC,AD恰好落在AC上,设F,H分别是B,D落在AC上的两点,E,G分别是折痕CE,AG与AB,CD的交点.(1)求证:四边形AECG是平行四边形;(2)若AB=4 cm,BC=3 cm,求线段EF的长.  参考答案1.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB.∵AM⊥BD,CN⊥BD,∴AM∥CN.∴四边形CMAN是平行四边形.(2)解:∵四边形CMAN是平行四边形,∴CM=AN.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB.∴DM=BN,∠MDE=∠NBF.在△MDE和△NBF中,∴△MDE≌△NBF.∴BF=DE=4.在Rt△NBF中,∵∠BFN=90°,BF=4,FN=3,∴BN===5.2.解:结论(1)(2)都成立,理由如下:(1)∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AFDE是平行四边形.∴AD与EF互相平分.(2)在▱AFDE中,AE=DF,∵AC∥DF,∴∠C=∠FDB.∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠B=∠FDB,∴BF=DF=AE,即AE=BF.3.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠A=∠C.∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)解:四边形MFNE是平行四边形.证明如下:∵△ABE≌△CDF,∴∠AEB=∠CFD,BE=DF.又∵M,N分别是BE,DF的中点,∴ME=FN.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∴∠AEB=∠FBE.∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF,即ME∥FN.∴四边形MFNE是平行四边形.规律总结:本题是一道猜想型问题,先猜想结论,再证明结论.本题已知一个四边形是平行四边形,借助其性质,利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形.4.证明:(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,∴∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,∠D=∠AD'E.∵∠D=∠CBA,∴∠AD'E=∠CBA.∴ED'∥CB.∵EC∥D'B,∴四边形BCED'是平行四边形.(2)∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠EBA.∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°.∵∠DAE=∠BAE,∴∠EAB+∠EBA=90°.∴∠AEB=90°.∴AB2=AE2+BE2.5.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD?BC.∵F是BC的中点,∴FC=BC.又∵DE=AD,∴FC?DE.∴四边形CEDF是平行四边形.(2)解:如图,过点D作DM⊥BC于点M.∵四边形CEDF,四边形ABCD是平行四边形,F是BC的中点,∴CE=DF,∠DCM=∠A=60°,FC=BC=AD=2,DC=AB=3.在Rt△DCM中,∠CDM=90°-60°=30°,DC=3.∴CM=.∴DM=,FM=.在Rt△DFM中,由勾股定理可知:DF==.∴CE=DF=.6.(1)证明:∵DE∥AC,DF∥AB,∴∠FDC=∠B,四边形AEDF是平行四边形.∴DE=AF.又∵AB=AC,∴∠B=∠C.∴∠FDC=∠C,∴DF=FC.∴DE+DF=AF+FC=AC.(2)解:当点D在边BC的延长线上时,DE-DF=AC;当点D在边BC的反向延长线上时,DF-DE=AC.(3)2或107.解:(1)设x s后,四边形ABQP为平行四边形,由题意易得2x=18-3x,解得x=3.6,即3.6 s后,四边形ABQP为平行四边形,此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4(cm).(2)设y s后,四边形PDCQ为平行四边形.由题意易得10-2y=3y,解得y=2,即2 s后,四边形PDCQ为平行四边形,此时四边形PDCQ的周长是3×2×2+15×2=42(cm).8.(1)证明:由题意知AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,由翻折的性质可知∠GAH=∠DAC,∠ECF=∠ACB,∴∠GAH=∠ECF,∴AG∥CE.又AE∥CG,∴四边形AECG是平行四边形.(2)解:易得AC=5 cm,AF=2 cm,设EF=BE=x cm,则AE=(4-x)cm,∴(4-x)2=22+x2,解得x=.∴EF= cm.