沪科版九年级下册数学 期末测试卷

这是一份数学九年级下册本册综合复习练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
2．如图所示的四个几何体中，左视图是矩形的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列所给的事件中，是必然事件的是( )
A．一个标准大气压下，水加热到 100℃时会沸腾
B．买一注福利彩票会中奖
C．连续4次抛掷质地均匀的硬币，4次均正面朝上
D．2021年的春节假期屯溪区将下雪
4．如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB＝∠ACB＝α，则α的值为( )
A．135° B．120° C．110° D．100°
5．从－1、2、3、－6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(m，n)在函数y＝eq \f(6,x)的图象上的概率是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,8)
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？其意思：今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少？此问题中，该内切圆的直径是( )
A．5步 B．6步 C．8步 D．10步
7．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的侧面积是( )
A．16π B．24π C．32π D．48π
8．已知圆锥的底面半径为4 cm，母线长为6 cm，则它的侧面展开图的面积等于( )
A．24 cm2 B．48 cm2 C．24π cm2 D．12π cm2
9．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形EDF，点C恰好在eq \(EF,\s\up8(︵))上，设∠BDF＝α(0°＜α＜90°)．当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积( )
A．由小变大 B．由大变小
C．不变 D．先由小变大，后由大变小
10．如图，已知⊙O的半径为1，锐角三角形ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于( )
A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
二、填空题(每题5分，共20分)
11．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________．

12．小明家的客厅有一张直径为1.2米，高为0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中D点坐标为(2，0)，则点E的坐标是________．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧eq \(GE,\s\up8(︵))的长为________．
14．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，若一个半径为eq \r(5)的圆也经过点A，B，则该圆的圆心坐标为______________．
三、(每题8分，共16分)
15．如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，其中每个小正方体的棱长为1 cm.
(1)直接写出这个几何体的表面积：__________；
(2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
16．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
(1)请分别作出如图所示的两个三角形的最小覆盖圆；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论．(不要求证明)
四、(每题8分，共16分)
17．如图，在8×8的小正方形网格中，△ABC三顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，
C(5，1)，把△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△AEF，点B的对应点为E，
点C的对应点为F.
(1)在图中画出△AEF；
(2)点C的运动路径长为____________；
(3)直接写出线段BC扫过的面积：________．
18．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中有5个黄球，8个黑球，7个红球．
(1)求从袋中摸出1个球是黄球的概率；
(2)现从袋中取出若干个黑球，搅匀袋中的球，使从袋中摸出1个球是黑球的概率是eq \f(1,3).求从袋中取出黑球的个数．
五、(每题10分，共20分)
19．一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，请写出该几何体的形状，并根据图中所给的数据求出它的侧面积．
20．如图，已知直线l：y＝eq \r(3)x，点A1的坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此方法进行下去．求：
(1)点B1的坐标和∠A1OB1的度数；
(2)弦A4B3的弦心距．
六、(12分)
21．在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有－1、－2、1、2，从袋中任意摸出一个小球(不放回)，将袋中剩余的小球搅匀后，再从袋中摸出另一个小球．
(1)请你列出摸出小球上的数可能出现的所有结果；
(2)规定：如果摸出的两个小球上的数都是方程x2－3x＋2＝0的根，则小明赢．如果摸出的两个小球上的数都不是方程x2－3x＋2＝0的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？
七、(12分)
22．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8.
(1)求证：∠ECD＝∠EDC；
(2)若OC＝2，求DE的长；
(3)在∠A从15°增大到30°的过程中，请直接写出弦AD在圆内扫过的面积．
八、(14分)
23．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G.
(1)请判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：AG2＝AF·AB；
(3)若⊙O的直径为10，AC＝2 eq \r(5)，AB＝4 eq \r(5)，求△AFG的面积．
答案
一、1.B 2.B 3.A 4.B 5.B
6．B 点拨：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，
∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2)＝17，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)×8×15＝60，
设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点及OA、OB、OC，
设内切圆的半径为r，
则S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝eq \f(1,2)×r×(AB＋BC＋AC)＝20r，
∴20r＝60，
解得r＝3，
∴内切圆的直径为6步，故选B.
7．B 点拨：由三视图知该几何体是圆柱，其底面直径是4，高是6，故这个几何体的侧面积是π×4×6＝24π.
8．C 9.C
10．A 点拨：如图，连接OA，OB.
∵OA＝OB，OM⊥AB，∴∠BOM＝∠AOM＝eq \f(1,2)∠AOB.
∵∠C＝eq \f(1,2)∠AOB，∴∠BOM＝∠C.
∵BD⊥AC，OM⊥AB，∴∠CBD＋∠C＝90°，∠OBM＋∠BOM＝90°，
∴∠CBD＝∠OBM.
∵sin∠OBM＝eq \f(OM,OB)＝OM，
∴sin∠CBD＝OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．
二、11.eq \f(4,15)
12．(4，0)
13.eq \f(\r(5),4)π 点拨：如图，连接OG，DF，根据勾股定理分别求出DF、EF，证明Rt△DAF≌Rt△FBE，求出∠DFE＝90°，进而推出∠GOE＝90°，最后根据弧长公式计算即可．
14．(－1，1)或(－1，－1)
点拨：不妨设点A在点B的左侧．
∵抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，
∴A(－3，0)，B(1，0)，
∴圆心在直线x＝－1上，
设圆心坐标为(－1，m)，由题意得22＋m2＝(eq \r(5))2，解得m＝±1，
∴圆心坐标为(－1，1)或(－1，－1)．
三、15.解：(1)22 cm2
(2)如图所示：
16．解：(1)如图所示．

(2)若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为三角形的外接圆；
若三角形为直角三角形或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边(直角或钝角所对的边)为直径的圆．
四、17.解：(1)如图所示，△AEF即为所求．

(2)eq \f(\r(13),2)π
点拨：易知AC＝ eq \r(22＋32)＝ eq \r(13)，∠CAF＝90°，
∴点C的运动路径长为eq \f(90·π· \r(13),180)＝eq \f(\r(13),2)π.
(3)eq \f(9,4)π 点拨：线段BC扫过的面积为S扇形CAF－S扇形BAE＝eq \f(90·π·（ \r(13)）2,360)－eq \f(90·π·22,360) ＝eq \f(13,4)π－π＝eq \f(9,4)π.
18．解：(1)20个球里面有5个黄球，故P(摸出1个球是黄球)＝eq \f(5,20)＝eq \f(1,4).
(2)设从袋中取出x(0＜x＜8，且x为整数)个黑球，
则此时袋中总共还有(20－x)个球，黑球剩(8－x)个．
因为从袋中摸出1个球是黑球的概率是eq \f(1,3)，所以eq \f(8－x,20－x)＝eq \f(1,3)，解得x＝2.
经检验，x＝2是所列方程的解，且符合实际．所以从袋中取出了2个黑球．
五、19.解：该几何体的形状是直四棱柱．
由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为4 cm，3 cm.
∴菱形的边长为eq \f(5,2) cm，∴棱柱的侧面积S＝eq \f(5,2)×8×4＝80(cm2)．
20．解：(1)设B1的坐标为(1，m)．
∵B1在直线l上，∴eq \r(3)＝m，∴B1(1，eq \r(3))．
∴A1B1＝eq \r(3)，OA1＝1，∴tan∠A1OB1＝eq \f(A1B1,OA1)＝eq \r(3)，∴∠A1OB1＝60°.
(2)如图，作OH⊥A4B3于H.
由题意可得OA2＝2，OA3＝4，OA4＝8.
∵OA4＝OB3，OH⊥A4B3，
∴∠A4OH＝eq \f(1,2)∠A4OB3＝30°，
∴OH＝OA4·cs30°＝8×eq \f(\r(3),2)＝4 eq \r(3). ∴弦A4B3的弦心距为4 eq \r(3).
六、21.解：(1)可能出现的所有结果如下表
(2)∵x2－3x＋2＝0，∴(x－1)(x－2)＝0，∴x1＝1，x2＝2.
∵共有12种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数都是方程x2－3x＋2＝0的根的结果有2种，摸出的两个小球上的数都不是方程x2－3x＋2＝0的根的结果有2种，
∴P(小明赢)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6)，P(小亮赢)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6)，
∴游戏规则公平．
七、22.(1)证明：如图，连接OD，则OD⊥DE，∴∠ODA＋∠EDC＝90°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
又∵OA⊥OB，∴∠OAD＋∠OCA＝90°，∴∠OCA＝∠EDC.
又∵∠OCA＝∠ECD，∴∠ECD＝∠EDC.
(2)解：由(1)知，∠ECD＝∠EDC，∴ED＝EC.
设ED＝x，则OE＝OC＋CE＝2＋x.
在Rt△ODE中，
∵OD2＋DE2＝OE2，OD＝OA＝8，∴82＋x2＝(2＋x)2，解得x＝15，
∴DE的长为15.
(3)解：弦AD在圆内扫过的面积为eq \f(16π,3)＋16 eq \r(3)－16.
点拨：如图，连接OD′，过点O作OH⊥AD′于点H，延长AO交⊙O于点M，过点D作DN⊥AM于点N.
设弦AD在圆内扫过的面积为S，则S＝S扇形AOD－S△OAD－S弓形ABD′，
由题意知，∠OAH＝30°，
∴在Rt△OAH中，∠AOH＝60°，AH＝eq \f(\r(3),2)OA＝4 eq \r(3)，OH＝eq \f(1,2)OA＝4，
∴AD′＝2AH＝8 eq \r(3)，∠AOD′＝120°，
∴S弓形ABD′＝S扇形AOD′－S△OAD′＝eq \f(120π×82,360)－eq \f(1,2)×8 eq \r(3)×4＝eq \f(64π,3)－16 eq \r(3).
在Rt△ODN中，∠DON＝2∠OAD＝30°，∴DN＝eq \f(1,2)OD＝4，
∴S△OAD＝eq \f(1,2)OA·DN＝eq \f(1,2)×8×4＝16.
∵∠AOD＝180°－∠DON＝150°，
∴S扇形AOD＝eq \f(150π×82,360)＝eq \f(80π,3)，
∴S＝S扇形AOD－S△OAD－S弓形ABD′
＝eq \f(80π,3)－16－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(64π,3)－16 \r(3)))＝eq \f(16π,3)＋16 eq \r(3)－16，
∴弦AD在圆内扫过的面积为eq \f(16π,3)＋16 eq \r(3)－16.
八、23.(1)解：PA与⊙O相切．
理由如下：
连接CD.
∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠D＋∠CAD＝90°.
∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，∴∠PAC＝∠D.
∴∠PAC＋∠CAD＝90°，即DA⊥PA.
∴PA与⊙O相切．
(2)证明：连接BG.
∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(AG,\s\up8(︵)).
∴∠AGF＝∠ABG.
∵∠GAF＝∠BAG，∴△AGF∽△ABG.
∴AG∶AB＝AF∶AG. ∴AG2＝AF·AB.
(3)解：连接BD.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.
∵AG2＝AF·AB，AG＝AC＝2 eq \r(5)，AB＝4 eq \r(5)，∴AF＝eq \f(AG2,AB)＝eq \r(5).
∵CG⊥AD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.
又∵∠EAF＝∠BAD，∴△AEF∽△ABD.
∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(AF,AD)，即eq \f(AE,4 \r(5))＝eq \f(\r(5),10)，解得AE＝2.∴EF＝eq \r(AF2－AE2)＝1.
∵EG＝eq \r(AG2－AE2)＝4，
∴FG＝EG－EF＝4－1＝3.
∴S△AFG＝eq \f(1,2)FG·AE＝eq \f(1,2)×3×2＝3.
－1
－2
1
2
－1
(－1，－2)
(－1，1)
(－1，2)
－2
(－2，－1)
(－2，1)
(－2，2)
1
(1，－1)
(1，－2)
(1，2)
2
(2，－1)
(2，－2)
(2，1)