高中数学1.1命题及其关系一课一练

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课时提升作业(一)

命　　题

(25分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.(2015·太原高二检测)下列语句不是命题的是　(　　)

A.5>8

B.若a是正数，则是正数

C.x∈{-1，0，1，2}

D.正弦函数是奇函数

【解析】选C.A，B，D中语句是陈述句且能判断真假，是命题.而C中，x∈{-1，0，1，2}不能判断真假，故不是命题.

2.下列命题是真命题的是　(　　)

A.若=，则x=y

B.若x2=1，则x=1

C.若x=y，则=

D.若x<y，则x2<y2

【解析】选A.由=，得x=y，故A真.而由x2=1得x=±1，故B假；由于x=y，，不一定有意义，故C假；而由x<y，不一定得到x2<y2，故D假.

3.(2015·杭州高二检测)命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是　

(　　)

A.两个平面

B.一条直线

C.垂直

D.两个平面垂直于同一条直线

【解析】选D.可把命题改写成“若p，则q”的形式.若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行.

【补偿训练】下列说法正确的是　(　　)

A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B.语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题

C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

D.语句“当a>4时，方程x2-4x+a=0有实根”是假命题

【解析】选D.对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句不是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.

4.(2015·衡水高二检测)给出下列命题：

①函数f(x)=是奇函数；

②函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数；

③函数y=与y=-log3x的图象关于直线y=x对称；

④若y=f(x)是定义在R上的函数，则y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于y轴对称.

其中正确命题的个数为　(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

【解析】选B.①函数f(x)=的定义域为，图象不关于原点对称，不是奇函数，

①错误；

②函数f(x)=1是偶函数不是奇函数，②错误；

③函数y=与y=-log3x互为反函数，图象关于直线y=x对称，③正确；

④若y=f(x)是定义在R上的函数，函数y=f(1+x)是把y=f(x)的图象向左平移1个单位得到的，y=f(1-x)是由y=f(x)先得到y=f(-x)，再把y=f(-x)右移1个单位得到y=f(-(x-1))，所以y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于y轴对称，④正确.

所以正确的命题是③④.

5.(2015·北京高二检测)对于△ABC，有如下命题：

①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形

②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形

③若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是钝角三角形

④若==，则△ABC是等边三角形

其中真命题的个数是　(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

【解析】选A.对于①，2A=2B或2A+2B=π，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①为假命题，对于②，如B=120°，A=30°满足sinB=cosA，但△ABC为钝角三角形，故②为假命题，对于③，仅能说明C为锐角，故③为假命题，对于④，由正弦定理及已知可得sin=sin=sin，即A=B=C，△ABC为等边三角形，故④为真命题.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.把命题“已知a，b为正数，当a>b时，有log2a>log2b”写成“若p，则q”的形式：________.

【解析】已知a，b为正数，若a>b，则log2a>log2b.

答案：已知a，b为正数，若a>b，则log2a>log2b

7.(2015·广州高二检测)判断下列语句是命题的有________；其中是真命题的有__________.(只填序号)

①等边三角形是等腰三角形吗？

②作三角形的一个内角平分线.

③在三角形中，大边对大角，小边对小角.

④若x+y为有理数，则x，y也都是有理数.

⑤x>8.

【解题指南】先根据命题的概念，判断所给语句是否为命题，若是，再判断真假.

【解析】①是疑问句.②是祈使句，不是命题.③是真命题.④是假命题.⑤不能判断真假，不是命题.

答案：③④　③

【拓展延伸】判断语句是否为命题的方法

　　要判断一个语句是不是命题就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件.

　　一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.

数学中的定义、公理、定理等都是命题.

猜想类的，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和(哥德巴赫猜想)”虽然目前不能确定真假，但随着科技发展总能确定其真假.这一类猜想可以作为命题.

8.(2015·烟台高二检测)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

③设α和β相交于直线l，若α内一条直线垂直于l，则α和β垂直.

上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).

【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直线可以与交线垂直，故③不对.

答案：①②

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.(2015·天津高二检测)指出下列命题中的条件p和结论q.

(1)若a，b，c成等差数列，则2b=a+c.

(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形.

【解题指南】数学中的一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式.一般而言，“若”“如果”“只要”后面是条件，“则”“那么”“就有”后面是结论.

【解析】(1)条件p：a，b，c成等差数列，结论q：2b=a+c.

(2)条件p：一个函数是偶函数，

结论q：这个函数的图象关于y轴成轴对称图形.

【补偿训练】指出下列命题中的条件p和结论q.

(1)若a，b都是无理数，则ab是无理数.

(2)如果一个数是奇数，那么它不能被2整除.

(3)函数y=sinωx(ω≠0)的最小正周期是.

【解析】(1)条件p：a，b都是无理数，结论q：ab是无理数.

(2)条件p：一个数是奇数，结论q：它不能被2整除.

(3)条件p：函数y=sinωx(ω≠0)，结论q：它的最小正周期是.

10.将下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.

(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等.

(2)末位数字是0或5的整数，能被5整除.

(3)方程x2-x+1=0有两个实数根.

【解析】(1)若n(n≥3)边形是正多边形，则它的n个内角全相等.真命题.

(2)若一个整数的末位数是0或5，则它能被5整数.真命题.

(3)若一个方程是x2-x+1=0，则它有两个实数根.假命题.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.(2015·威海高二检测)已知a，b∈R，下列命题正确的是　(　　)

A.若a>b，则|a|>|b|    B.若a>b，则<

C.若|a|>b，则a2>b2     D.若a>|b|，则a2>b2

【解析】选D.A错误，比如3>-4，得不到|3|>|-4|；

B错误，比如3>-4，得不到<；

C错误，比如|3|>-4，得不到32>(-4)2；

D正确，a>|b|，则a>0，根据不等式的性质即可得到a2>b2.

【补偿训练】下列命题正确的是　(　　)

A.经过三点确定一个平面

B.两条直线确定一个平面

C.四边形确定一个平面

D.不共面的四点可以确定4个平面

【解析】选D.因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定4个平面.

2.(2015·武汉高二检测)给出下列命题

①若a≥b>-1，则≥；

②若正整数m和n满足m≤n，则≤；

③设P1(x1，y1)为圆O1：x2+y2=9上任一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1，当(a-x1)2+(b-y1)2=1时，圆O1与圆O2相切.

其中假命题的个数为　(　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

【解析】选B.①因为a≥b>-1，所以a+1≥b+1>0.

所以-=≥0，所以≥.故①为真命题.

②因为正整数m，n满足m≤n，所以有m>0，n-m≥0，

≤=，故②为真命题.

③实质是点P1(x1，y1)在☉O1上，又P1(x1，y1)也在☉O2上，但两圆相交于点P1并不能保证两圆相切.故③为假命题.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.(2015·西安高二检测)给出以下命题：

①y=ln(x+2)在区间(0，+∞)上单调递增；

②y=3x+3-x是奇函数，y=3x-3-x是偶函数；

③y=的值域为；

④命题“若cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，则其中正确命题的序号为________.

【解析】对于①，因为函数y=ln(x+2)的单调递增区间为(-2，+∞)，故在区间(0，+∞)上单调递增，故①正确；

对于②，y=3x+3-x是偶函数，y=3x-3-x是奇函数，故②错误；

对于③，y=的值域为，故③错误；

对于④，命题“cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，故④正确；

故正确命题的序号是①④.

答案：①④

4.设y=f(x)是定义在R上的函数，给定下列条件：

(1)y=f(x)为偶函数.

(2)y=f(x)的图象关于直线x=1对称.

(3)T=2为y=f(x)的一个周期.

如果将上面的(1)(2)(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中，真命题有________个.

【解题指南】先写出相应的命题，然后判断真命题的个数.

【解析】①(1)(2)⇒(3)，由(2)知f(x)=f(2-x)，

又f(x)=f(-x)，所以f(-x)=f(2-x)，

所以T=2为y=f(x)的一个周期.

②(1)(3)⇒(2)，由(3)知f(x)=f(2+x)，

又f(x)=f(-x)，所以f(-x)=f(2+x)，

所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称.

③(2)(3)⇒(1)，由(2)知f(x)=f(2-x)，

所以f(-x)=f(2+x)，由(3)知f(x)=f(2+x)，

所以f(x)=f(-x)，即y=f(x)为偶函数.

答案：3

【延伸探究】若把条件中的“偶函数”改为“奇函数”，“关于直线x=1对称”改为“关于点(1，0)对称”，结论如何？

【解析】①(1)(2)⇒(3)，由(2)知f(x)=-f(2-x)，

又f(x)=-f(-x)，所以f(-x)=f(2-x)，

所以T=2为y=f(x)的一个周期.

②(1)(3)⇒(2)，由(3)知f(x)=f(2+x)，

又f(x)=-f(-x)，所以f(-x)=-f(2+x)，

所以y=f(x)的图象关于点(1，0)对称.

③(2)(3)⇒(1)，由(2)知f(x)=-f(2-x)，

所以f(-x)=-f(2+x)，由(3)知f(x)=f(2+x)，

所以f(x)=-f(-x)，即y=f(x)为奇函数.故真命题仍有3个.

三、解答题(每小题10分，共20分)

5.(2015·兰州高二检测)把下列命题改写成“若p，则q”的形式.

(1)末位是0的整数，可以被10整除.

(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

(3)等式两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.

【解析】(1)若一个整数的末位数是0，则它可以被10整除.

(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等.

(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.

6.(2015·杭州高二检测)已知命题p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若p，q一真一假，求m的取值范围.

【解析】方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，设为x1，x2，则有

若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根，则有16(m-2)2-4×4×1<0，解得1<m<3.

若p真，q假，则得m∈.

综上所述，m的取值范围是(1，2]∪[3，+∞).

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