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2013年辽宁省高考数学试卷（文科）
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这是一份2013年辽宁省高考数学试卷（文科），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2013年辽宁省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）复数的模长为（ ）
A． B． C． D．2
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a3 B．
C． D．
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16
二、填空题
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．
15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为 ．
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 ．
三、解答题
17．（12分）设向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值．
18．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．
19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
21．（12分）（1）证明：当x∈[0，1]时，；
（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）（选修4﹣1几何证明选讲）
如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：
（1）∠FEB=∠CEB；
（2）EF2=AD•BC．
23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．
24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．
2013年辽宁省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
【分析】求出B中绝对值不等式的解集，确定出B，找出A与B的公共元素即可求出交集．
【解答】解：由B中的不等式|x|＜2，解得：﹣2＜x＜2，即B=（﹣2，2），
∵A={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={0，1}．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）复数的模长为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
【解答】解：复数，
所以===．
故选：B．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由条件求得 =（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为 求得结果．
【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，
则与向量同方向的单位向量为 =，
故选：A．
【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．
【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{an}，an+1﹣an=d＞0，∴命题p1：数列{an}是递增数列成立，是真命题．
对于数列{nan}，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1﹣nan=（n+1）d+an，不一定是正实数，
故p2不正确，是假命题．
对于数列，第n+1项与第n项的差等于 ﹣==，不一定是正实数，
故p3不正确，是假命题．
对于数列{an+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）d﹣an﹣3nd=4d＞0，
故命题p4：数列{an+3nd}是递增数列成立，是真命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．
【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，
每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，
又∵低于60分的人数是15人，
则该班的学生人数是=50．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．
【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，
∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，
∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，
则∠B=．
故选：A．
【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据条件结合对数的运算法则得到f（﹣x）+f（x）=2，即可得到结论．
【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，+∞），
∵f（x）=ln（﹣3x）+1，
∴f（﹣x）+f（x）=ln（+3x）+1+ln（﹣3x）+1=ln[（+3x）（﹣3x）]+2=ln（1+9x2﹣9x2）+2=ln1+2=2，
则f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）=2，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件结合对数的运算法则得到f（﹣x）+f（x）=2是解决本题的关键．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i≤8，即i=2，4，6，8，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．
【解答】解：当i=2时，S=0+=，i=4；
当i=4时，S=+=，i=6；
当i=6时，S=+=，i=8；
当i=8时，S=+=，i=10；
不满足循环的条件i≤8，退出循环，输出S=．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a3 B．
C． D．
【分析】利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．
①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；
②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；
③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．
综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．
故选：C．
【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．
【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，
所以球的半径为：．
故选：C．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．
11．（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
即可得到a，c，进而取得离心率．
【解答】解：如图所示，在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，
∴，化为（|BF|﹣8）2=0，解得|BF|=8．
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=6，|FF′|=10．
∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．
∴．
故选：B．
【点评】熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键．
12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16
【分析】本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．
【解答】解：取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．
则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，
由
解得或，
∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．
二、填空题
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 16π﹣16 ．
【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．
【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，
圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，
四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．
故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，
故答案为：16π﹣16．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．
14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= 63 ．
【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．
【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．
因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，
所以a1=1，a3=4．
设等比数列{an}的公比为q，则，所以q=2．
则．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为 44 ．
【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．
【解答】解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，
虚轴长为：8；
双曲线图象如图：
|PF|﹣|AP|=2a=6 ①
|QF|﹣|QA|=2a=6 ②
而|PQ|=16，
①+②
得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，
∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44
故答案为：44．
【点评】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 10 ．
【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．
【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，
平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；
方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．
从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①
（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②
若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：
（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；
若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．
三、解答题
17．（12分）设向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值．
【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．
（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，
由，可得 4sin2x=1，即sin2x=．
∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．
（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．
x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，
∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
18．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．
【分析】（1）由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，根据直线和平面垂直
的判定定理可得结论．
（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，
QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC．
【解答】解：（1）AB是圆O的直径，PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，
C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC．
再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC．
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，
连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点．
故OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC．
而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，
故平面OQM∥平面PBC．
又QG⊂平面OQM，∴QG∥平面PBC．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．
19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
【分析】（1）根据题意，设事件A为“都是甲类题”，由组合数原理，可得试验结果总数与A包含的基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案，
（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从6件中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可得答案．
【解答】解：（1）从中任取2道题解答，试验结果有=15种；
设事件A为“所取的2道题都是甲类题”，则包含的基本事件共有C=6种，
因此，P（A）=．
（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，
从6件中抽取2道，有C62种情况，
而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C41•C21=8种情况，
根据古典概型的计算，有P（B）=．
【点评】本题考查组合的运用以及古典概型的概率的计算，属于基础题．
20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．
（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程
【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，
所以设A点坐标为（x，y），得，解得x=﹣1，y==，点A的坐标为（﹣1，），
故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+
因为点M（1﹣，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是
y0=﹣（2﹣）+=﹣①
∴y0=﹣=﹣②
解得p=2
（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=③，y==④
切线MA，MB的方程为y=（x﹣x1）+，⑤；y=（x﹣x2）+⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=
因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣⑦
由③④⑦得x2=y，x≠0
当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y
因此中点N的轨迹方程为x2=y
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题
21．（12分）（1）证明：当x∈[0，1]时，；
（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）记F（x）=sinx﹣x，可求得F′（x）=cosx﹣，分x∈（0，）与x∈（，1）两类讨论，可证得当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥x；记H（x）=sinx﹣x，同理可证当x∈（0，1）时，sinx≤x，二者结合即可证得结论；
（2）利用（1），可求得当x∈[0，1]时，ax+x2++2（x+2）cosx﹣4≤（a+2）x，分a≤﹣2与a＞﹣2讨论即可求得实数a的取值范围．
【解答】（1）证明：记F（x）=sinx﹣x，则F′（x）=cosx﹣．
当x∈（0，）时，F′（x）＞0，F（x）在[0，]上是增函数；
当x∈（，1）时，F′（x）＜0，F（x）在[，1]上是减函数；
又F（0）=0，F（1）＞0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥x，
记H（x）=sinx﹣x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx﹣1＜0，所以H（x）在[0，1]上是减函数；则H（x）≤H（0）=0，
即sinx≤x．
综上，x≤sinx≤x．
（2）∵当x∈[0，1]时，ax+x2++2（x+2）cosx﹣4
=（a+2）x+x2+﹣4（x+2）
≤（a+2）x+x2+﹣4（x+2）
=（a+2）x，
∴当a≤﹣2时，不等式ax+x2++2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，
下面证明，当a＞﹣2时，不等式ax+x2++2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
∵当x∈[0，1]时，ax+x2++2（x+2）cosx﹣4
=（a+2）x+x2+﹣4（x+2）
≥（a+2）x+x2+﹣4（x+2）
=（a+2）x﹣x2﹣
≥（a+2）x﹣x2
=﹣x[x﹣（a+2）]．
所以存在x0∈（0，1）（例如x0取和中的较小值）满足
ax0+++2（x0+2）cosx0﹣4＞0，
即当a＞﹣2时，不等式ax+x2++2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）（选修4﹣1几何证明选讲）
如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：
（1）∠FEB=∠CEB；
（2）EF2=AD•BC．
【分析】（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证．
（2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AF•FB．等量代换即可．
【解答】证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．
∴∠FEB=∠EAB．
∴∠CEB=∠EAB．
（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，
又∠CEB=∠FEB，EB公用．
∴△CEB≌△FEB．
∴CB=FB．
同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．
在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．
∴EF2=AD•CB．
【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键．
23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．
【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．
【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，
解得或，
∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），
故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，
由参数方程可得y=x﹣+1，
∴，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．
24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．
【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可．
（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=．由|h（x）|≤2解得，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，
当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，得2≥4，无解；
当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；
故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．
（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=
由|h（x）|≤2得，
又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以，
故a=3．
【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．
2013年辽宁省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）复数的模长为（ ）
A． B． C． D．2
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a3 B．
C． D．
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16
二、填空题
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．
15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为 ．
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 ．
三、解答题
17．（12分）设向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值．
18．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．
19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
21．（12分）（1）证明：当x∈[0，1]时，；
（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）（选修4﹣1几何证明选讲）
如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：
（1）∠FEB=∠CEB；
（2）EF2=AD•BC．
23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．
24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．
2013年辽宁省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
【分析】求出B中绝对值不等式的解集，确定出B，找出A与B的公共元素即可求出交集．
【解答】解：由B中的不等式|x|＜2，解得：﹣2＜x＜2，即B=（﹣2，2），
∵A={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={0，1}．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）复数的模长为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
【解答】解：复数，
所以===．
故选：B．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由条件求得 =（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为 求得结果．
【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，
则与向量同方向的单位向量为 =，
故选：A．
【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．
【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{an}，an+1﹣an=d＞0，∴命题p1：数列{an}是递增数列成立，是真命题．
对于数列{nan}，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1﹣nan=（n+1）d+an，不一定是正实数，
故p2不正确，是假命题．
对于数列，第n+1项与第n项的差等于 ﹣==，不一定是正实数，
故p3不正确，是假命题．
对于数列{an+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）d﹣an﹣3nd=4d＞0，
故命题p4：数列{an+3nd}是递增数列成立，是真命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．
【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，
每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，
又∵低于60分的人数是15人，
则该班的学生人数是=50．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．
【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，
∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，
∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，
则∠B=．
故选：A．
【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据条件结合对数的运算法则得到f（﹣x）+f（x）=2，即可得到结论．
【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，+∞），
∵f（x）=ln（﹣3x）+1，
∴f（﹣x）+f（x）=ln（+3x）+1+ln（﹣3x）+1=ln[（+3x）（﹣3x）]+2=ln（1+9x2﹣9x2）+2=ln1+2=2，
则f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）=2，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件结合对数的运算法则得到f（﹣x）+f（x）=2是解决本题的关键．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i≤8，即i=2，4，6，8，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．
【解答】解：当i=2时，S=0+=，i=4；
当i=4时，S=+=，i=6；
当i=6时，S=+=，i=8；
当i=8时，S=+=，i=10；
不满足循环的条件i≤8，退出循环，输出S=．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a3 B．
C． D．
【分析】利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．
①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；
②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；
③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．
综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．
故选：C．
【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．
【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，
所以球的半径为：．
故选：C．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．
11．（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
即可得到a，c，进而取得离心率．
【解答】解：如图所示，在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，
∴，化为（|BF|﹣8）2=0，解得|BF|=8．
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=6，|FF′|=10．
∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．
∴．
故选：B．
【点评】熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键．
12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16
【分析】本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．
【解答】解：取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．
则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，
由
解得或，
∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．
二、填空题
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 16π﹣16 ．
【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．
【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，
圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，
四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．
故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，
故答案为：16π﹣16．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．
14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= 63 ．
【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．
【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．
因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，
所以a1=1，a3=4．
设等比数列{an}的公比为q，则，所以q=2．
则．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为 44 ．
【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．
【解答】解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，
虚轴长为：8；
双曲线图象如图：
|PF|﹣|AP|=2a=6 ①
|QF|﹣|QA|=2a=6 ②
而|PQ|=16，
①+②
得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，
∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44
故答案为：44．
【点评】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 10 ．
【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．
【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，
平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；
方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．
从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①
（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②
若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：
（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；
若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．
三、解答题
17．（12分）设向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值．
【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．
（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，
由，可得 4sin2x=1，即sin2x=．
∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．
（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．
x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，
∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
18．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．
【分析】（1）由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，根据直线和平面垂直
的判定定理可得结论．
（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，
QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC．
【解答】解：（1）AB是圆O的直径，PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，
C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC．
再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC．
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，
连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点．
故OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC．
而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，
故平面OQM∥平面PBC．
又QG⊂平面OQM，∴QG∥平面PBC．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．
19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
【分析】（1）根据题意，设事件A为“都是甲类题”，由组合数原理，可得试验结果总数与A包含的基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案，
（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从6件中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可得答案．
【解答】解：（1）从中任取2道题解答，试验结果有=15种；
设事件A为“所取的2道题都是甲类题”，则包含的基本事件共有C=6种，
因此，P（A）=．
（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，
从6件中抽取2道，有C62种情况，
而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C41•C21=8种情况，
根据古典概型的计算，有P（B）=．
【点评】本题考查组合的运用以及古典概型的概率的计算，属于基础题．
20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．
（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程
【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，
所以设A点坐标为（x，y），得，解得x=﹣1，y==，点A的坐标为（﹣1，），
故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+
因为点M（1﹣，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是
y0=﹣（2﹣）+=﹣①
∴y0=﹣=﹣②
解得p=2
（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=③，y==④
切线MA，MB的方程为y=（x﹣x1）+，⑤；y=（x﹣x2）+⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=
因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣⑦
由③④⑦得x2=y，x≠0
当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y
因此中点N的轨迹方程为x2=y
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题
21．（12分）（1）证明：当x∈[0，1]时，；
（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）记F（x）=sinx﹣x，可求得F′（x）=cosx﹣，分x∈（0，）与x∈（，1）两类讨论，可证得当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥x；记H（x）=sinx﹣x，同理可证当x∈（0，1）时，sinx≤x，二者结合即可证得结论；
（2）利用（1），可求得当x∈[0，1]时，ax+x2++2（x+2）cosx﹣4≤（a+2）x，分a≤﹣2与a＞﹣2讨论即可求得实数a的取值范围．
【解答】（1）证明：记F（x）=sinx﹣x，则F′（x）=cosx﹣．
当x∈（0，）时，F′（x）＞0，F（x）在[0，]上是增函数；
当x∈（，1）时，F′（x）＜0，F（x）在[，1]上是减函数；
又F（0）=0，F（1）＞0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥x，
记H（x）=sinx﹣x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx﹣1＜0，所以H（x）在[0，1]上是减函数；则H（x）≤H（0）=0，
即sinx≤x．
综上，x≤sinx≤x．
（2）∵当x∈[0，1]时，ax+x2++2（x+2）cosx﹣4
=（a+2）x+x2+﹣4（x+2）
≤（a+2）x+x2+﹣4（x+2）
=（a+2）x，
∴当a≤﹣2时，不等式ax+x2++2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，
下面证明，当a＞﹣2时，不等式ax+x2++2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
∵当x∈[0，1]时，ax+x2++2（x+2）cosx﹣4
=（a+2）x+x2+﹣4（x+2）
≥（a+2）x+x2+﹣4（x+2）
=（a+2）x﹣x2﹣
≥（a+2）x﹣x2
=﹣x[x﹣（a+2）]．
所以存在x0∈（0，1）（例如x0取和中的较小值）满足
ax0+++2（x0+2）cosx0﹣4＞0，
即当a＞﹣2时，不等式ax+x2++2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）（选修4﹣1几何证明选讲）
如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：
（1）∠FEB=∠CEB；
（2）EF2=AD•BC．
【分析】（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证．
（2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AF•FB．等量代换即可．
【解答】证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．
∴∠FEB=∠EAB．
∴∠CEB=∠EAB．
（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，
又∠CEB=∠FEB，EB公用．
∴△CEB≌△FEB．
∴CB=FB．
同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．
在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．
∴EF2=AD•CB．
【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键．
23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．
【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．
【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，
解得或，
∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），
故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，
由参数方程可得y=x﹣+1，
∴，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．
24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．
【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可．
（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=．由|h（x）|≤2解得，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，
当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，得2≥4，无解；
当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；
故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．
（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=
由|h（x）|≤2得，
又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以，
故a=3．
【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．
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