2013年辽宁省高考数学试卷（理科）

这是一份2013年辽宁省高考数学试卷（理科），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2013年辽宁省高考数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数的模长为（　　）
A． B． C． D．2
2．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（　　）
A．（0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．（1，2]
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an+3nd}是递增数列；
其中真命题是（　　）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（　　）

A．45 B．50 C．55 D．60
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（　　）

A． B． C． D．
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（　　）
A．b=a3 B．
C． D．
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（　　）
A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16
12．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（　　）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　 　．

14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=　 　．
15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=　 　．
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为　 　．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）设向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值．
18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，
（I）求证：；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
　
请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：
（I）∠FEB=∠CEB；
（II）EF2=AD•BC．

23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．
24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．
　

2013年辽宁省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数的模长为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
【解答】解：复数，
所以===．
故选：B．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
　
2．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（　　）
A．（0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．（1，2]
【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．
【解答】解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，
解得：1＜x＜4，即A=（1，4），
∵B=（﹣∞，2]，
∴A∩B=（1，2]．
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
　
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由条件求得 =（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为 求得结果．
【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，
则与向量同方向的单位向量为 =，
故选：A．
【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．
　
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an+3nd}是递增数列；
其中真命题是（　　）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．
【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{an}，an+1﹣an=d＞0，∴命题p1：数列{an}是递增数列成立，是真命题．
对于数列{nan}，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1﹣nan=（n+1）d+an，不一定是正实数，
故p2不正确，是假命题．
对于数列，第n+1项与第n项的差等于 ﹣==，不一定是正实数，
故p3不正确，是假命题．
对于数列{an+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）d﹣an﹣3nd=4d＞0，
故命题p4：数列{an+3nd}是递增数列成立，是真命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．
　
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（　　）

A．45 B．50 C．55 D．60
【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．
【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，
每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，
又∵低于60分的人数是15人，
则该班的学生人数是=50．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．
　
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．
【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，
∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，
∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，
则∠B=．
故选：A．
【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
　
7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．
【解答】解：设（n∈N+）的展开式的通项为Tr+1，
则：Tr+1=3n﹣r••xn﹣r•=3n﹣r••，
令n﹣r=0得：n=r，又n∈N+，
∴当r=2时，n最小，即nmin=5．
故选：B．
【点评】本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
　
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（　　）

A． B． C． D．
【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，
执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．
【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，
判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；
判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；
判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；
判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；
判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；
判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．
故选：A．
【点评】本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．
　
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（　　）
A．b=a3 B．
C． D．
【分析】利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．
①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；
②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；
③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．
综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．
故选：C．
【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．
　
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（　　）
A． B． C． D．
【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．
【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，
所以球的半径为：．
故选：C．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．
　
11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（　　）
A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16
【分析】先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B即可．
【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．
①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；
②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；
③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．
综上可知：
（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，
H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，
（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；
（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），
故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，
∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．
故选：B．

【点评】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．
　
12．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（　　）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【分析】令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．
【解答】解：∵函数f（x）满足，
∴
令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，
F（2）=4•f（2）=．
由，得f′（x）=，
令φ（x）=ex﹣2F（x），则φ′（x）=ex﹣2F′（x）=．
∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．
∴φ（x）≥0．
又x＞0，∴f′（x）≥0．
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
∴f（x）既无极大值也无极小值．
故选：D．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　16π﹣16　．

【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．
【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，
圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，
四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．
故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，
故答案为：16π﹣16．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．
　
14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=　63　．
【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．
【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．
因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，
所以a1=1，a3=4．
设等比数列{an}的公比为q，则，所以q=2．
则．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
　
15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=　　．
【分析】设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．
【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6
∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，
∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8
由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7
∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2
∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5
因此，椭圆C的离心率e==
故答案为：

【点评】本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．
　
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为　10　．
【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．
【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，
平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；
方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．
从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①
（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②
若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：
（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；
若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）设向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值．
【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．
（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，
由，可得 4sin2x=1，即sin2x=．
∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．
（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．
x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，
∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
　
18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，
由AB是圆的直径，得AC⊥BC．
由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．
又PA∩AC=A，PA⊂平面APC，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因为BC⊂平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，
因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM，
故CM⊥平面PAB．
过M作MN⊥PB于N，连接NC．
由三垂线定理得CN⊥PB．
所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角．
在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．
在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．
因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以．
故MN=．
又在Rt△CNM中，．故cos．
所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．

【点评】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．
　
19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
【分析】（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解
（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
【解答】解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”
则=张同学至少取到的全为甲类题
∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=
（II）X的所有可能取值为0，1，2，3
P （X=0）==
P（X=1）==
P（X=2）=+=
P（X=3）==
X的分布列为
X
0
1
2
3
P




EX=
【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．
　
20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．
（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程
【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，
所以设A点坐标为（x，y），得，解得x=﹣1，y==，点A的坐标为（﹣1，），
故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+
因为点M（1﹣，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是
y0=﹣（2﹣）+=﹣①
∴y0=﹣=﹣②
解得p=2
（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=③，y==④
切线MA，MB的方程为y=（x﹣x1）+，⑤；y=（x﹣x2）+⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=
因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣⑦
由③④⑦得x2=y，x≠0
当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y
因此中点N的轨迹方程为x2=y
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题
　
21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，
（I）求证：；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；
②当x∈[0，1）时，⇔ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．
（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．
【解答】（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex，
令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex，则h′（x）=x（ex﹣e﹣x）．
当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，
∴h（x）在[0，1）上是增函数，
∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．
②当x∈[0，1）时，⇔ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，则u′（x）=ex﹣1．
当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，
∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，
∴f（x）．
综上可知：．
（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=
≥=．
令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，
令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．
当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，
可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，
∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．
∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．
下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．
f（x）﹣g（x）≤==﹣x．
令v（x）==，则v′（x）=．
当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，
∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．
当a＞﹣3时，a+3＞0．
∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．
即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．
综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．
【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力．
　
请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：
（I）∠FEB=∠CEB；
（II）EF2=AD•BC．

【分析】（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证．
（2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AF•FB．等量代换即可．
【解答】证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．
∴∠FEB=∠EAB．
∴∠CEB=∠EAB．
（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，
又∠CEB=∠FEB，EB公用．
∴△CEB≌△FEB．
∴CB=FB．
同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．
在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．
∴EF2=AD•CB．
【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键．
　
23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．
【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．
【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，
解得或，
∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），
故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，
由参数方程可得y=x﹣+1，
∴，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．
　
24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．
【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可．
（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=．由|h（x）|≤2解得，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，
当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，得2≥4，无解；
当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；
故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．
（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=
由|h（x）|≤2得，
又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以，
故a=3．
【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．