高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式图文ppt课件

这是一份高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式图文ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了答案D，答案B，答案①③⑤等内容，欢迎下载使用。

现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B的底面积均为a2，高分别为a和b，C、D的底面积均为b2，高分别为a和b(其中a≠b)．现规定一种游戏规则：每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜．先取者有没有必胜的方案？若有，有几种？
已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.[解析]　∵a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，c2＋a2>2ca，以上三式相加：2(a2＋b2＋c2)>2ab＋2bc＋2ca，∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.[点评]　本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换a→b→c→a后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解．
一.不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
若a、b、c均为正数，求证：a3＋b3＋c3≥3abc.[解析]　a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a、b为正数，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，∴a3＋b3≥a2b＋ab2，①同理可得b3＋c3≥b2c＋bc2，②a3＋c3≥a2c＋ac2.③
将①②③式两边分别相加，得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2＝(a2b＋bc2)＋(ab2＋ac2)＋(b2c＋a2c)＝b(a2＋c2)＋a(b2＋c2)＋c(a2＋b2)≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab＝6abc，∴a3＋b3＋c3≥3abc.显然，当且仅当a＝b＝c时，a3＋b3＋c3＝3abc.
二.利用均值不等式证明不等式
已知a、b、c、d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1.
三.均值不等式的综合应用
证法三(分析法)：要证|ac＋bd|≤1，只需证明(ac＋bd)2≤1，即只需证明a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.①由于a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，因此①式等价于a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．②将②式展开化简得(ad－bc)2≥0.因此a、b、c、d全是实数∴此式成立，故①式成立，从而原命题得证．
[点评]　三种证法各有侧重点，但都植根于条件a2＋b2＝1与c2＋d2＝1的灵活运用上，解题时要善于展开联想，不放过一种可能的思路火花，多方探索、对比，对开阔视野，训练思维很有帮助．
[辨析]　误解中忽视了判定等号是否成立．