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沪教版 (五四制)八年级上册17．2 一元二次方程的解法教学ppt课件
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这是一份沪教版 (五四制)八年级上册17．2 一元二次方程的解法教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了典型例题，练一练，知识回顾，公式法，情景引入，解原方程可变形为，因式分解法，简记歌诀，解题步骤演示，方程右边化为零等内容，欢迎下载使用。
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
如：9的平方根是______
2.平方根有哪些性质？
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解:（1）∵x是4的平方根
即此一元二次方程的解（或根）为: x1=2，x2 =-2
（2）移项，得x2=2
∵ x是2的平方根∴x=
像解x2=4，x2-2=0这样的方程方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（a ≥0）或（x + h)2 =k（k ≥0)的形式，然后再根据平方根的意义求解
例1 解下列方程（1）x²-1.21=0 (2)4x²-1=0
解（1）移项，得x2=1.21
∵x是1.21的平方根
即此一元二次方程的根为： x1=1.1，x2=-1.1
（2）移项，得4x2=1
例2 解下列方程：⑴ (x＋1)2= 2 ⑵ (x－1)2－4 = 0⑶ 12(3－2 x )2－3 = 0
分析：第1小题中只要将（ x ＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；
解：（1）∵ x +1是2的平方根
分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；
例2 解下列方程：⑵ (x－1)2－4 = 0⑶ 12(3－2 x )2－3 = 0
∴ x1=3， x2=-1
解：（2）移项，得（ x -1）2=4
∵ x -1是4的平方根
即x -1=+2 或 x -1=-2
例2 解下列方程： ⑶ 12(3－2 x )2－3 = 0
分析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解。
解：(3)移项，得12(3－2x )2 = 3
两边都除以12，得 (3-2x )2 =0.25
∵3-2x是0.25的平方根
即3-2x=0.5 或 3-2x=-0.5
1、解下列方程： （1）x2=16 （2）x2－0.81=0 （3）9x2=4 （4）y2 －144=0
例3：解方程(2x－1)2=(x－2)2
即x1=-1，x2=1
分析：如果把2x-1看成是(x－2)2的平方根，同样可以用直接开平方法求解
即 2x-1=±（x-2）
∴2x-1=x-2 或 2x-1=-x+2
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2、下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(A)x2=-2,解方程，得x=±
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有( x＋h)2 = k（k ≥ 0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明
3、解下列方程：（1） ( x－1)2 =4 （2） ( x+2)2 =3（3） ( x－4)2 －25=0 （4） ( 2x+3)2 －5=0（5） ( 2x－1)2 =( 3－x )2
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解?
方程可化为一边是 ___________________,另一边是____________,那么就可以用直接开平方法来求解.
2、直接开平方法的理论依据是什么?
17.2 一元二次方程的解法
式子a²±2ab+b²叫做完全平方式且a²±2ab+b²=(a±b)².
如果一个一元二次方程具有x²=a(a≥0)或( x＋h)2 = k（k ≥ 0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
3.解一元二次方程的基本思想是什么？
(1) x²+2x+ =(x+ )²(2) x²-8x+ =(x- )²(3) y²+5y+ =(y+ )²(4) y²- y+ =(y- )²
解方程 x²+2x-1=01.移项：x²+2x=1 （ 把常数项移到方程的右边）2.配方：x²+2x+1=1+1（方程两边都加上一次项系数一半的平分）3.变形：(x+1)²=2(方程左边分解因式，右边合并同类项)4.开方：x+1=±√2(根据平方根的意义，方程两边开平方)5.求解：x1=-1+√2 ; x2=-1-√2 .(解一元一次方程)6.定解：所以原方程的根是x1=-1+√2 ; x2=-1-√2 .（写出原方程的解）
像这种先把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用直接开平方法求解的方法，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
例1.用配方法解下列方程： （1）x²-4x-1=0; （2）2x²-3x-1=0.
解：（1）移项，得 x²-4x=1 . 配方，得 x²-2×2x+2²=1+2²， 变形，得 (x-2)²=5,开平分，得 x-2=± 求解，得x1=2+ ， x2=2- 定解，所以原方程的根是x1=2+ ，x2=2-
解：（2）化1，x²- x - =0移项，得 x²- x= . 配方，得 x²- x+( )²= +( )²， 变形，得 (x- )²= , 开平分, 得 x- =± 求解，得x1= ， x2= 定解，所以原方程的根是x1 = ，x2=
随堂练习 你能行吗？
1.填空：（1）x²-8x+( )²=(x- )²;（2）y²+5y+( )²=(y+ )²;(3) x²- x+( )²=(x- )²;（4）x²+px+( )²=(x+ )².
2.用配方法解下列方程：（1）x²+ x - 1=0； （2）x²- 3x - 2=0； （3）2x²+ 5x - 1=0； （4）3x²- 6x + 1=0.
开拓智慧 你能行吗？
1.如果mx²+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于 （ ）A. 1 B. -1 C. 1或9 D. -1或92.代数式 的值为0，则x的值为3.已知（x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值为4.已知三角形的两边长分别为2和4，第三边的长是方程x²- 4x+3=0的解，求这个三角形的周长.5.如果x²- 4x+y²+6y+ +13=0,求 xyz 的值.
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的一般步骤：1.化1： 二次项系数化为1，（方程两边都除以二次项系数）2.移项： 把常数项移到方程的右边，3.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平分，4.变形：方程左边分解因式，右边合并同类项，5.开方：根据平方根的意义，方程两边开平方，6.求解：解一元一次方程，7.定解：写出原方程的解是.
小结拓展 回味无穷
1.一般地，对于形如x²=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平分. 3.用配方法解形如x²+bx+c=0的一元二次方程的一般步骤是什么？ 移项 配方 变形 开方 求解 定解
教材第30页 习题17.2第2题
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方，求解，定根
用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法？
3.如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
解：因为a≠0 ，所以方程两边都除以a，得
什么条件下就能用直接开平方解？
1.为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
（1）公式叫做一元二次方程的求根公式；
（2）利用求根公式解一元二次方程的方 法叫求根公式法；
一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程的求根公式为：
(a≠0, b2-4ac≥0)
这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定，用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解。
例1 用公式法解下列方程 ：（1）2x2+7x-4=0 （2）x²+3=2 x
2.计算: b2-4ac的值;
3.代入:把有关数值代入公式计算;
4.定根:写出原方程的根.
1.确定系数:用a,b,c写出各项系数；
解 （1）a=2,b=7,c=-4，
b²-4ac =7²-4×2×(-4)=81>0
1.变形:化已知方程为一般形式;
3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公式计算;
5.定根:写出原方程的根.
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数；
解 （2）将原方程化为标准形式，得 ： x²-2 x + 3 = 0
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
例2 解方程：x² + x - 1 = 0.（精确到0.001）
解 a = 1,b = 1,c = - 1,代入求根公式，得
1.把下列方程化成 ax2+bx+c=0 的形式，并写出其中a , b, c的值：（1）x²- 5x = 2 ； （2）3x²- 1 = 2x ；（3）2x(x-1) = x + 4 ; (4) (x+1)² = 3x - 2 .
3.用公式法解方程：x²-3x-1=0.（精确到0.1）
解 a = 1,b = -3 , c = -1,
4. 解关于x的方程：2x²- mx - n²= 0.
解 a = 2 , b = - m , c = - n², b²-4ac=(-m)²-4×2×(-n²)=m²+8n²≥0
一、由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
二、用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
(x+h)2=k (k≥0)
一个数的平方与这个数的3倍相等,这个数是几?
解：设这个数为x,根据题意得
如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之成立。
即：若AB=0〈=〉A=0或B=0（ A、B表示两个因式）
例1、解方程 ：x2－9=0
(x+3)(x－3)=0
x+3=0 或 x－3=0
∴ x1=-3 ,x2=3
例2、解方程：9x2－25=0
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解. 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法称为因式分解法.
温馨提示:1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”4.基本思想是“降次”
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
例3、解下列方程
x+2=0或3x－5=0
(3x+1)2－5=0
例4、解下列方程 x2－3x－10=0
解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0 ∴ x1=5 ,x2=-2
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1、方程右边化为 。2、将方程左边分解成两个 的乘积。3、至少 因式为零，得到两个一元一次方程。4、两个 就是原方程的解。
右化零 左分解两因式 各求解
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
2、 (x+3)(x－1)=5
(x－2)(x+4)=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=2 ,x2=-4
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
两个一元一次方程的解就是原方程的解
心动不如行动 成功是你吗？
用因式分解法解下列方程：
解：原方程可变形为： =0( )( )=0 =0或 =0 ∴ x1= , x2=
A解
A解
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”4.基本思想是“降次”
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
只含有一个未知数,未知数的最高次数是二次的整式方程,叫做一元二次方程。一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
1、提公因式法，平方差公式，完全平方公式2、十字相乘法
当二次项系数为1时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方
依据：平方根的意义，即
这种方法称为直接开平方法。
4，写出方程的解 x1= ?, x2= ?
1.（3x -2）²-49=0 2.（3x -4）²=（4x -3）²
解：移项，得：(3x-2)²=49两边开平方，得：3x -2=±7所以： x=所以 x1 = 3，x2 = -
解：两边开平方，得： 3x-4=±（4x-3） 3x -4 = 4x -3 或 3x-4= -4x+3 -x=1或 7x=7 x=-1，x=1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式, 且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
用配方法解一元二次方程： 2x2-9x+8=0
1.化1:把二次项系数化为1;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;
5.开方:两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
例1. 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0
例2. 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
提示:用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一元二次方程≥0.
例1 用公式法解方程 2x2-9x+8=0
1.变形:化已知方程为一般形式；
3.计算: b2-4ac的值；
4.代入:把有关数值代入公式计算；
5.定解:写出原方程的根.
2.确定系数:用a,b,c写出各项 系数；
例2. 用公式法解方程 2x2 + 5x - 3 = 0解: ∵ a=2 b=5 c= -3 ∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值，将其与0比较。3、代入求根公式 :
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
四 因式分解法
2 平方差公式与完全平方公式
的式子运用完全平方公式得：
[4(2-x)-3][4(2-x)+3]=0 4( 2 - x ) - 3 = 0或 4( 2 - x ) + 3 = 0
用十字相乘法解下列方程
(x－7)(x+4)=0
x－7=0或x+4=0
x1=7,x2= -4
1 二次项系数为1的情况： 将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘积的形式，且p + q = 一次项系数。
2 二次项系数不为1的情况： 将二次项系数分成两个数（式）a ,b的乘积的形式，常数项分解成p ,q的乘积的形式，且aq +bp = 一次项系数。
分解结果为 (x +p)(x +q) = 0
分解结果为 (ax +p)(bx +q) = 0
请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程1、3x² - 1 = 0 2、x（2x +3）= 5（2x +3）3、x² - 4x - 2 = 0 4、2 x ² - 5x + 1= 0
1、形如（x-k）² = h的方程可以用直接开平方法求解；2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了。要利用因式分解法求解；3、当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解；4、当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解，公式法是万能的。
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
如：9的平方根是______
2.平方根有哪些性质？
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解:（1）∵x是4的平方根
即此一元二次方程的解（或根）为: x1=2，x2 =-2
（2）移项，得x2=2
∵ x是2的平方根∴x=
像解x2=4，x2-2=0这样的方程方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（a ≥0）或（x + h)2 =k（k ≥0)的形式，然后再根据平方根的意义求解
例1 解下列方程（1）x²-1.21=0 (2)4x²-1=0
解（1）移项，得x2=1.21
∵x是1.21的平方根
即此一元二次方程的根为： x1=1.1，x2=-1.1
（2）移项，得4x2=1
例2 解下列方程：⑴ (x＋1)2= 2 ⑵ (x－1)2－4 = 0⑶ 12(3－2 x )2－3 = 0
分析：第1小题中只要将（ x ＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；
解：（1）∵ x +1是2的平方根
分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；
例2 解下列方程：⑵ (x－1)2－4 = 0⑶ 12(3－2 x )2－3 = 0
∴ x1=3， x2=-1
解：（2）移项，得（ x -1）2=4
∵ x -1是4的平方根
即x -1=+2 或 x -1=-2
例2 解下列方程： ⑶ 12(3－2 x )2－3 = 0
分析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解。
解：(3)移项，得12(3－2x )2 = 3
两边都除以12，得 (3-2x )2 =0.25
∵3-2x是0.25的平方根
即3-2x=0.5 或 3-2x=-0.5
1、解下列方程： （1）x2=16 （2）x2－0.81=0 （3）9x2=4 （4）y2 －144=0
例3：解方程(2x－1)2=(x－2)2
即x1=-1，x2=1
分析：如果把2x-1看成是(x－2)2的平方根，同样可以用直接开平方法求解
即 2x-1=±（x-2）
∴2x-1=x-2 或 2x-1=-x+2
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2、下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(A)x2=-2,解方程，得x=±
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有( x＋h)2 = k（k ≥ 0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明
3、解下列方程：（1） ( x－1)2 =4 （2） ( x+2)2 =3（3） ( x－4)2 －25=0 （4） ( 2x+3)2 －5=0（5） ( 2x－1)2 =( 3－x )2
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解?
方程可化为一边是 ___________________,另一边是____________,那么就可以用直接开平方法来求解.
2、直接开平方法的理论依据是什么?
17.2 一元二次方程的解法
式子a²±2ab+b²叫做完全平方式且a²±2ab+b²=(a±b)².
如果一个一元二次方程具有x²=a(a≥0)或( x＋h)2 = k（k ≥ 0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
3.解一元二次方程的基本思想是什么？
(1) x²+2x+ =(x+ )²(2) x²-8x+ =(x- )²(3) y²+5y+ =(y+ )²(4) y²- y+ =(y- )²
解方程 x²+2x-1=01.移项：x²+2x=1 （ 把常数项移到方程的右边）2.配方：x²+2x+1=1+1（方程两边都加上一次项系数一半的平分）3.变形：(x+1)²=2(方程左边分解因式，右边合并同类项)4.开方：x+1=±√2(根据平方根的意义，方程两边开平方)5.求解：x1=-1+√2 ; x2=-1-√2 .(解一元一次方程)6.定解：所以原方程的根是x1=-1+√2 ; x2=-1-√2 .（写出原方程的解）
像这种先把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用直接开平方法求解的方法，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
例1.用配方法解下列方程： （1）x²-4x-1=0; （2）2x²-3x-1=0.
解：（1）移项，得 x²-4x=1 . 配方，得 x²-2×2x+2²=1+2²， 变形，得 (x-2)²=5,开平分，得 x-2=± 求解，得x1=2+ ， x2=2- 定解，所以原方程的根是x1=2+ ，x2=2-
解：（2）化1，x²- x - =0移项，得 x²- x= . 配方，得 x²- x+( )²= +( )²， 变形，得 (x- )²= , 开平分, 得 x- =± 求解，得x1= ， x2= 定解，所以原方程的根是x1 = ，x2=
随堂练习 你能行吗？
1.填空：（1）x²-8x+( )²=(x- )²;（2）y²+5y+( )²=(y+ )²;(3) x²- x+( )²=(x- )²;（4）x²+px+( )²=(x+ )².
2.用配方法解下列方程：（1）x²+ x - 1=0； （2）x²- 3x - 2=0； （3）2x²+ 5x - 1=0； （4）3x²- 6x + 1=0.
开拓智慧 你能行吗？
1.如果mx²+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于 （ ）A. 1 B. -1 C. 1或9 D. -1或92.代数式 的值为0，则x的值为3.已知（x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值为4.已知三角形的两边长分别为2和4，第三边的长是方程x²- 4x+3=0的解，求这个三角形的周长.5.如果x²- 4x+y²+6y+ +13=0,求 xyz 的值.
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的一般步骤：1.化1： 二次项系数化为1，（方程两边都除以二次项系数）2.移项： 把常数项移到方程的右边，3.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平分，4.变形：方程左边分解因式，右边合并同类项，5.开方：根据平方根的意义，方程两边开平方，6.求解：解一元一次方程，7.定解：写出原方程的解是.
小结拓展 回味无穷
1.一般地，对于形如x²=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平分. 3.用配方法解形如x²+bx+c=0的一元二次方程的一般步骤是什么？ 移项 配方 变形 开方 求解 定解
教材第30页 习题17.2第2题
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方，求解，定根
用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法？
3.如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
解：因为a≠0 ，所以方程两边都除以a，得
什么条件下就能用直接开平方解？
1.为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
（1）公式叫做一元二次方程的求根公式；
（2）利用求根公式解一元二次方程的方 法叫求根公式法；
一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程的求根公式为：
(a≠0, b2-4ac≥0)
这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定，用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解。
例1 用公式法解下列方程 ：（1）2x2+7x-4=0 （2）x²+3=2 x
2.计算: b2-4ac的值;
3.代入:把有关数值代入公式计算;
4.定根:写出原方程的根.
1.确定系数:用a,b,c写出各项系数；
解 （1）a=2,b=7,c=-4，
b²-4ac =7²-4×2×(-4)=81>0
1.变形:化已知方程为一般形式;
3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公式计算;
5.定根:写出原方程的根.
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数；
解 （2）将原方程化为标准形式，得 ： x²-2 x + 3 = 0
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
例2 解方程：x² + x - 1 = 0.（精确到0.001）
解 a = 1,b = 1,c = - 1,代入求根公式，得
1.把下列方程化成 ax2+bx+c=0 的形式，并写出其中a , b, c的值：（1）x²- 5x = 2 ； （2）3x²- 1 = 2x ；（3）2x(x-1) = x + 4 ; (4) (x+1)² = 3x - 2 .
3.用公式法解方程：x²-3x-1=0.（精确到0.1）
解 a = 1,b = -3 , c = -1,
4. 解关于x的方程：2x²- mx - n²= 0.
解 a = 2 , b = - m , c = - n², b²-4ac=(-m)²-4×2×(-n²)=m²+8n²≥0
一、由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
二、用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
(x+h)2=k (k≥0)
一个数的平方与这个数的3倍相等,这个数是几?
解：设这个数为x,根据题意得
如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之成立。
即：若AB=0〈=〉A=0或B=0（ A、B表示两个因式）
例1、解方程 ：x2－9=0
(x+3)(x－3)=0
x+3=0 或 x－3=0
∴ x1=-3 ,x2=3
例2、解方程：9x2－25=0
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解. 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法称为因式分解法.
温馨提示:1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”4.基本思想是“降次”
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
例3、解下列方程
x+2=0或3x－5=0
(3x+1)2－5=0
例4、解下列方程 x2－3x－10=0
解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0 ∴ x1=5 ,x2=-2
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1、方程右边化为 。2、将方程左边分解成两个 的乘积。3、至少 因式为零，得到两个一元一次方程。4、两个 就是原方程的解。
右化零 左分解两因式 各求解
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
2、 (x+3)(x－1)=5
(x－2)(x+4)=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=2 ,x2=-4
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
两个一元一次方程的解就是原方程的解
心动不如行动 成功是你吗？
用因式分解法解下列方程：
解：原方程可变形为： =0( )( )=0 =0或 =0 ∴ x1= , x2=
A解
A解
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”4.基本思想是“降次”
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
只含有一个未知数,未知数的最高次数是二次的整式方程,叫做一元二次方程。一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
1、提公因式法，平方差公式，完全平方公式2、十字相乘法
当二次项系数为1时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方
依据：平方根的意义，即
这种方法称为直接开平方法。
4，写出方程的解 x1= ?, x2= ?
1.（3x -2）²-49=0 2.（3x -4）²=（4x -3）²
解：移项，得：(3x-2)²=49两边开平方，得：3x -2=±7所以： x=所以 x1 = 3，x2 = -
解：两边开平方，得： 3x-4=±（4x-3） 3x -4 = 4x -3 或 3x-4= -4x+3 -x=1或 7x=7 x=-1，x=1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式, 且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
用配方法解一元二次方程： 2x2-9x+8=0
1.化1:把二次项系数化为1;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;
5.开方:两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
例1. 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0
例2. 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
提示:用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一元二次方程≥0.
例1 用公式法解方程 2x2-9x+8=0
1.变形:化已知方程为一般形式；
3.计算: b2-4ac的值；
4.代入:把有关数值代入公式计算；
5.定解:写出原方程的根.
2.确定系数:用a,b,c写出各项 系数；
例2. 用公式法解方程 2x2 + 5x - 3 = 0解: ∵ a=2 b=5 c= -3 ∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值，将其与0比较。3、代入求根公式 :
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
四 因式分解法
2 平方差公式与完全平方公式
的式子运用完全平方公式得：
[4(2-x)-3][4(2-x)+3]=0 4( 2 - x ) - 3 = 0或 4( 2 - x ) + 3 = 0
用十字相乘法解下列方程
(x－7)(x+4)=0
x－7=0或x+4=0
x1=7,x2= -4
1 二次项系数为1的情况： 将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘积的形式，且p + q = 一次项系数。
2 二次项系数不为1的情况： 将二次项系数分成两个数（式）a ,b的乘积的形式，常数项分解成p ,q的乘积的形式，且aq +bp = 一次项系数。
分解结果为 (x +p)(x +q) = 0
分解结果为 (ax +p)(bx +q) = 0
请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程1、3x² - 1 = 0 2、x（2x +3）= 5（2x +3）3、x² - 4x - 2 = 0 4、2 x ² - 5x + 1= 0
1、形如（x-k）² = h的方程可以用直接开平方法求解；2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了。要利用因式分解法求解；3、当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解；4、当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解，公式法是万能的。
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