2021年人教版八年级上暑假培训 第9讲全等三角形性质及判定方法综合（教师版）

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1． 形状、大小相同的两个三角形放在一起能够完全重合，称这样的两个三角形叫做全等三角形．
2． 如图，平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等．
3． 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等．
4． 全等三角形的判定方法：
（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（ HL）
二、典例讲练
例1 如图，已知，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，DE=BF，AF=CE．求证：AB∥DC．
易证：△CDE≌△BAF（SAS） 所以∠C＝∠A ∴AB∥DC
练习：如图，已知AB=CD，AB∥CD，BE=DF，E、F是BD上两点，求证：∠DAE=∠BCF．
易证：△CDF≌△BAE（SAS） ∴∠CFD＝∠AEB
∴△ADE≌△CBF（SAS） ∴∠DAE=∠BCF
例2 如图，已知AC、BD相交于O，AE=FC，AO=OC，BO=OD． 求证：∠1=∠2．
易证：△DOC≌△BOA（SAS） ∴ ∠CDO＝∠ABO
易证：OE＝OF，∴△DOF≌△BOE（SAS） ∴ ∠FDO＝∠EBO ∴∠1=∠2
练习：如图，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，点B、D、C、F在一条直线上，EF⊥AD于E，
(1) 求证：∠ADF＝∠DAF；
(2) 求证：AE＝DE．
证明：（1）∵ ∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴ ∠ADF＝∠DAF
（2）∵ ∠AEF＝∠DEF ∴△AEF≌△DEF（AAS） ∴ AE＝DE
例3 如图，已知，AB=DE，BC=EF，CD=FA，∠A=∠D． 求证：∠C=∠F．
证明：连接BF、CE、BE，则△ABF≌△DEC（SAS） ∴BF＝EC ∠AFB＝∠DCE
易证 △BEF≌△EBC （SSS） ∴ ∠BFE＝∠ECB ∴ ∠BCD＝∠EFA
练习： 如图，已知，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，M为CD的中点． 求证：AM平分∠BAE．
证明：连接AD、AC，则△AED≌△ABC（SAS） ∴ AD＝AC ∠EAD＝∠BAC
易证 △ADM≌△ACM（SSS） ∴ ∠DAM＝∠CAM ∴∠EAM＝∠BAM ∴AM平分∠BAE
例4 如图，AD、BE是△ABC的两条高，它们交于点F，且BF=AC，CD=DF，ED平分∠BEC．求证：∠ABE=∠ADE．
证明：△ACD≌△BFD（HL） ∴ AD＝BD
∴ ∠DAB＝∠DEB＝45° ∴∠ABE=∠ADE
练习： 如图，已知，AD⊥BD，AE⊥EC，AD=AE，AB=AC，BD、CE交于点O． 求证：
（1）BD=CE；（2）OE=OD；（3）BE=CD．
证明：（1）△ABD≌△ACE（HL） ∴ BD＝CE
（2）连AO，则△AOE≌△AOD（HL） ∴ OE＝OD
（3）由（1）可知∠BAE＝∠CAD ∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴ BE＝CD
例5 如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形． 以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，试求△AMN的周长．

解：延长MB至E，使BE＝CN，则△BDE≌△CDN（SAS）
再证△EDM≌△NDM（SAS）∴ MN＝BM＋CN
∴ C△AMN＝AM＋AN＋MN＝AB＋AC＝2
练习：如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，∠MDN=60°，点M在AB的延长线上，点N在CA的延长线上，连接MN． 试探求线段BM、MN、CN之间的数量关系，并予以证明．
证明：CN＝BM＋MN 在CN上截取CE＝BM，则△BDM≌△CDE（SAS）
再证△DMN≌△DEN（SAS） ∴ MN＝EN 即CN＝BM＋MN
例6 如图，已知．
（1）如图①，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若，求C 点坐标；

易证△AOB≌△CGA ∴ C（－6，－2 ）
（2）如图②，P为y轴负半轴上一个动点，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点．
当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明
理由．

易证：△AOP≌△DHP ∴ AO＝PH，DE＝OH ∴ OP－DE＝PH＝AO＝2

（3）如图③，已知F点坐标为，G是y轴负半轴上一点，以FG为直角边作等腰Rt△FGH，H点在x
轴上，∠GFH=90°． 设，，当G点在y轴负半轴上沿负方向运动时，的值是否变
化？若不变，求其值；若变化，说明理由．

易证：四边形FMON为正方形，△FMH≌△FNG ∴ MH＝NG
∴ OG－OH＝NG＋ON－OH＝OM＋ON＝8，∴ －m－n＝8，即m＋n＝－8

练习：如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，已知、．
（1）如图①，求点B的坐标；
作BH⊥y轴于H，则△ABH≌△CAO， ∴ B（－2，－3）
（2）如图②，BF在△ABC的内部且过B点的任意一条射线，过A作AM⊥BF于M，过C作CN⊥BF于N点，写出BN－NC与AM之间的数量关系，并证明你的结论．
作AG⊥CN于G，则四边形AMNG为正方形，易证△ABM≌△ACG
∴ BM＝CG＝CN＋NG ∴ BN－NC＝MN＋GN＝2AM
三、课后作业
A 基础巩固
1．如图，点C．E分别为∆ABD的边BD、AB上两点，且AE＝AD，CE＝CD．
∠D＝，∠ECD＝，求∠B的度数．
解：连AC，则△AEC≌△ADC（SSS） ∴∠AEC＝∠D＝70° ∵∠ECB＝30°
∴ ∠B＝∠AEC－∠ECB＝70°－30°＝40°
2．已知AC＝BC，AC⊥BC，CD＝CE，CD⊥CE，连AD、BE，求证：
(1) AD＝BE； (2) AD⊥BE．
证明：（1）∵∠ACD＝∠BCE ∴ △ACD≌△BCE ∴ AD＝BE
（2）由（1）可得：∠ADC＝∠BEC ∴ AD⊥BE
3．已知△ACB和△CDE都为等腰直角三角形，连AE、BD，求证：
(1) AE＝BD； (2) AE⊥BD．
证明：（1）∵∠ACE＝∠BCD ∴ △ACE≌△BCD ∴AE＝BD
（2）由（1）可得：∠EAC＝∠DBC，由四边形内角和可得AE⊥BD
4． 如图，AC⊥CB，AD为△ABC的中线，CG为高，DE⊥AD，BC=2AC．
求证：．
证明：△ACD为等腰直角三角形，∴ ∠CAD＝∠CDA＝∠BDE＝45° ∠ACF＝∠DBE
∴ △ACF≌△DBE ∴ AF＝DE ∴ AD＝DF＋DE
5． 已知：△ACB为等腰直角三角形，点P在AC上，连BP，过B点作BE⊥BP，BE=PB，连AE交BC于F．
（1）如图①，问PA与CF有何数量关系，并证明；

解：PA＝2CF 过E作EM⊥BC于M，
易证：△BEM≌△PBC ∴ EM＝BC＝AC BM＝CP
∴ CM＝AP △EMF≌△ACF ∴CF＝MF 即AP＝2CF
（2）如图②，若点P在CA的延长线上，问上结论是否仍成立，画图证明．

图略，结论任然成立，同理可得
B 综合训练
1．已知△ABC和△ADE的顶点公共，点B、A、E在一条直线上．AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，PB＝PD，PC＝PE．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，则∠BPC＋∠DPE＝ ；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，则∠BPC＋∠DPE＝ ；
（3）在图2的基础上将等腰Rt△ABC绕点A旋转一个角度，得到图3，则∠BPC＋∠DPE＝ ，并证明你的结论．
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AE，B、A、E在同一条直线上，C、A、D在同一条直线上，
∴BE＝CD，
在△BPE与△DPC中，，
∴△BPE≌△DPC， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC和△ADE为等边三角形，
∴∠7＝∠8＝∠2＋∠5＝∠3＋∠6＝60°，
∵∠BPC＝180°－∠1－∠4－∠7－∠8＝60°－∠1－∠4；
∠DPE＝180°－∠5－∠6＝180°－（60°－∠2）－（60°－∠3）＝60°＋∠2＋∠3，
∴∠BPC＋∠DPE＝60°×2＝120°；
（2）如图2，同理可证得∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BAC＝90°，
∴∠7＝∠8＝∠2＋∠5＝∠3＋∠6＝45°，
∴∠BPC＝180°－∠1－∠4－∠7－∠8＝90°－∠1－∠4，
∠DPE＝180°－∠5－∠6＝180°－（45°－∠2）－（45°－∠3）＝90°＋∠2＋∠3，
∴∠BPC＋∠DPE＝180°；
故答案为120°，180°．
（3）解：连接DC，交BE于Z，交AE于O，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠3＝∠AEB，
∵∠DAE＝90°，
∴∠3＋∠AOD＝90°，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠AEB＋∠COE＝90°，
∴∠OZE＝180°－90°＝90°，
∵△DAC≌△EAB，
∴DC＝BE，
在△DCP和△BEP中，，
∴△DCP≌△BEP（SSS），
∴∠1＝∠2，
∵∠DOP＝∠BOC，∠1＋∠DOP＋∠DPO＝180°，∠2＋∠BOC＋∠BZO＝180°，
∴∠BZO＝∠DPB，
∵∠BZO＝90°，
∴∠DPO＝90°，
同理∠CPE＝90°，
∴∠BPC＋∠DPE＝90°＋90°＝180°．
故答案为：180°．
2．已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，点M为直线BC上任意一点，过点C作CD⊥AM交AB于点D，在BC上取一点N使CN＝BM，连接DN
（1）如图，M、N在线段BC上，求证：∠AMC＝∠DNB；
（2）若M、N分别在BC、CB的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？
【解答】（1）证明：作BG⊥BC，交CD的延长线于G，AM交CD于O．
∵AM⊥CD，BG⊥BC，
∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM＝90°，
∴∠ACO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠BCG＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△CBG，
∴CM＝BG，∠AMC＝∠G，
∵CN＝BM，
∴CM＝BN＝BG，
∵BD＝BD，∠DBN＝∠DBG＝45°，
∴△DBN≌△DBG，
∴∠G＝∠BND，
∴∠AMC＝∠DNB；
（2）解：（1）中的结论成立．
理由：作BG⊥BC，交CD的延长线于G，AM交CD的延长线于O．
∵AM⊥CD，BG⊥BC，
∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM＝90°，
∴∠ACO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠BCG＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△CBG，
∴CM＝BG，∠M＝∠G，
∵CN＝BM，
∴CM＝BN＝BG，
∵BD＝BD，∠DBN＝∠DBG＝45°，
∴△DBN≌△DBG，
∴∠G＝∠N，
∴∠M＝∠N；